第3章 綜合指標(biāo)分析

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分析：成績(jī)（分）x人數(shù)（人）f甲班乙班丙班603915010013950平均成績(jī)（分）619980起到權(quán)衡輕重的作用決定平均數(shù)的變動(dòng)范圍.

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表現(xiàn)為次數(shù)、頻數(shù)、單位數(shù)；即公式中的表現(xiàn)為頻率、比重；即公式中的指變量數(shù)列中各組標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)，是變量值的承擔(dān)者，反映了各組的標(biāo)志值對(duì)平均數(shù)的影響程度。對(duì)平均數(shù)的大小有權(quán)衡輕重的作用。（能反映各x的重要性）

權(quán)數(shù)絕對(duì)權(quán)數(shù)相對(duì)權(quán)數(shù)權(quán)數(shù)的實(shí)質(zhì)：其權(quán)衡輕重作用真正體現(xiàn)在頻率上。.

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當(dāng)各組單位數(shù)（頻率）相等時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)等于簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)即；當(dāng)

f1=

f2=

f3=…=

fn

=

A，時(shí)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù).

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⒈變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和衡等于零，即：（三）算術(shù)平均數(shù)的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)⒉變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方和為最小，即：.

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離差的概念12345678-1-1-213.

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【例】

設(shè)X=（2，4，6，8），則其調(diào)和平均數(shù)可由定義計(jì)算如下：⒉再求算術(shù)平均數(shù)：⒈求各標(biāo)志值的倒數(shù)：⒊再求倒數(shù)：是總體各單位標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，又叫倒數(shù)平均數(shù)三、調(diào)和平均數(shù)H.

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——適用于總體資料未經(jīng)分組整理、尚為原始資料的情況式中：H

為調(diào)和平均數(shù);n為變量值的個(gè)數(shù)；xi

為第i個(gè)變量值。1.簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù).

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2.加權(quán)調(diào)和平均數(shù)——適用于總體資料經(jīng)過(guò)分組整理形成變量數(shù)列的情況m=xf式中：H

為調(diào)和平均數(shù);mi為第i組的標(biāo)志總量；xi

為第i組的變量值。.

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——當(dāng)己知各組變量值和標(biāo)志總量時(shí)，調(diào)和平均數(shù)作為算術(shù)平均數(shù)的變形使用。加權(quán)調(diào)和平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的變形。算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算，沒(méi)有根本的區(qū)別，只是由于所掌握的資料不同，而采取了不同的計(jì)算方法而已。

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日產(chǎn)量（件）各組工人日總產(chǎn)量（件）10111213147001100456019501400合計(jì)9710【例】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：計(jì)算該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量。.

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即該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量為12.1375件。解：.

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某日三種蔬菜的批發(fā)成交數(shù)據(jù)蔬菜名稱(chēng)批發(fā)價(jià)格(元)

xi成交額(元)xifi=m甲乙丙1.200.500.8018000125006400合計(jì)—36900【例】某蔬菜批發(fā)市場(chǎng)三種蔬菜的日成交數(shù)據(jù)如表，計(jì)算三種蔬菜該日的平均批發(fā)價(jià)格。.

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當(dāng)自變量表現(xiàn)為比值時(shí)，求解其平均數(shù)的方法：由于比值（平均數(shù)或相對(duì)數(shù)）不能直接相加，求解比值的平均數(shù)時(shí)，需將其還原為構(gòu)成比值的分子、分母原值總計(jì)進(jìn)行對(duì)比。設(shè)比值

分子變量分母變量則有：當(dāng)標(biāo)志值（x）表現(xiàn)為相對(duì)數(shù)或平均數(shù)時(shí)，次數(shù)f不一定是正確的權(quán)數(shù)。正確的權(quán)數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①它是標(biāo)志值的直接承擔(dān)者；②它與標(biāo)志值相乘有明確的經(jīng)濟(jì)意義或能體現(xiàn)標(biāo)志總量。

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已知m、f，采用基本平均數(shù)公式己知x、f，采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式己知x、m，采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)公式比值.

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【例】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下：計(jì)劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值（萬(wàn)元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計(jì)—1824900計(jì)算該公司該季度的平均計(jì)劃完成程度。.

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【例】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下：計(jì)劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值（萬(wàn)元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計(jì)—1824900計(jì)算該公司該季度的平均計(jì)劃完成程度。分析：應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算.

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【例】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下（按計(jì)劃完成程度分組）：計(jì)劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個(gè)）實(shí)際產(chǎn)值（萬(wàn)元）90以下90～100100～110110以上8595105115231036802375180605060合計(jì)—1826175計(jì)算該公司該季度的平均計(jì)劃完成程度。.

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【例】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下（按計(jì)劃完成程度分組）：計(jì)劃完成程度（﹪）企業(yè)數(shù)（個(gè)）組中值（﹪）實(shí)際產(chǎn)值（萬(wàn)元）90以下90～100100～110110以上2310385951051156802375180605060合計(jì)18—26175計(jì)算該公司該季度的平均計(jì)劃完成程度。分析：應(yīng)采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)公式計(jì)算.

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是n項(xiàng)變量值連乘積的開(kāi)n次方根用于計(jì)算現(xiàn)象的平均比率或平均速度應(yīng)用：各個(gè)比率或速度的連乘積等于總比率或總速度；相乘的各個(gè)比率或速度不為零或負(fù)值。應(yīng)用的前提條件：四、幾何平均數(shù)G.

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1.簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)——適用于總體資料未經(jīng)分組整理尚為原始資料的情況式中，G：幾何平均數(shù)；

x

：各單位標(biāo)志值；

n：標(biāo)志值的個(gè)數(shù)；

∏：連乘符號(hào)。.

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【例】某流水生產(chǎn)線(xiàn)有前后銜接的五道工序。某日各工序產(chǎn)品的合格率分別為95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整個(gè)流水生產(chǎn)線(xiàn)產(chǎn)品的平均合格率。分析：設(shè)最初投產(chǎn)100A個(gè)單位，則第一道工序的合格品為100A×0.95；第二道工序的合格品為（100A×0.95×0.92）；

……第五道工序的合格品為（100A×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；.

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因該流水線(xiàn)的最終合格品即為第五道工序的合格品，故該流水線(xiàn)總的合格品應(yīng)為100A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；則該流水線(xiàn)產(chǎn)品總的合格率為：即該流水線(xiàn)總的合格率等于各工序合格率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故需采用幾何平均法計(jì)算。解.

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思考若上題中不是由五道連續(xù)作業(yè)的工序組成的流水生產(chǎn)線(xiàn)，而是五個(gè)獨(dú)立作業(yè)的車(chē)間，且各車(chē)間的合格率同前，又假定各車(chē)間的產(chǎn)量相等均為100件，求該企業(yè)的平均合格率。.

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因各車(chē)間彼此獨(dú)立作業(yè)，所以有第一車(chē)間的合格品為：100×0.95；第二車(chē)間的合格品為：100×0.92；

……

第五車(chē)間的合格品為：100×0.80。則該企業(yè)全部合格品應(yīng)為各車(chē)間合格品的總和，即總合格品=100×0.95+……+100×0.80分析：.

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不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需按照求解比值的平均數(shù)的方法計(jì)算。又因?yàn)閼?yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算，即.

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2.加權(quán)幾何平均數(shù)——適用于總體資料經(jīng)過(guò)分組整理形成變量數(shù)列的情況式中：f—各組標(biāo)志值的次數(shù).

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【例】某金融機(jī)構(gòu)以復(fù)利計(jì)息。近12年來(lái)的年利率有4年為3﹪，2年為5﹪，2年為8﹪，3年為10﹪，1年為15﹪。求平均年利率。設(shè)本金為V，則至各年末的本利和應(yīng)為：第1年末的本利和為：第2年末的本利和為：………………第12年末的本利和為：分析：第2年的計(jì)息基礎(chǔ)第12年的計(jì)息基礎(chǔ).

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則該筆本金12年總的本利率為：即12年總本利率等于各年本利率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故計(jì)算平均年本利率應(yīng)采用幾何平均法。解：.

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利用計(jì)算器計(jì)算幾何平均數(shù)：例：求10的5次方根。105=2ndF.

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思考若上題中不是按復(fù)利而是按單利計(jì)息，且各年的利率與上相同，求平均年利率。分析第1年末的應(yīng)得利息為：第2年末的應(yīng)得利息為：第12年末的應(yīng)得利息為：…………設(shè)本金為V，則各年末應(yīng)得利息為：.

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則該筆本金12年應(yīng)得的利息總和為：=V（0.03×4+0.05×2+……+0.15×1）

這里的利息率或本利率不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需按照求解比值的平均數(shù)的方法計(jì)算。因?yàn)榧俣ū窘馂閂.

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所以，應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算平均年利息率，即：解：.

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是否為比率或速度各個(gè)比率或速度的連乘積是否等于總比率或總速度是否為其他比值是否否是否是幾何平均法算術(shù)平均法求解比值的平均數(shù)的方法數(shù)值平均數(shù)計(jì)算公式的選用順序指標(biāo).

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指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，它不受極端數(shù)值的影響，用來(lái)說(shuō)明總體中大多數(shù)單位所達(dá)到的一般水平。五、眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。不受極端值的影響。一組數(shù)據(jù)可能沒(méi)有眾數(shù)或有幾個(gè)眾數(shù)。用于分類(lèi)數(shù)據(jù)，也可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)。.

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日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）101112131470100380150100合計(jì)800【例】已知某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下:1.單項(xiàng)式數(shù)列確定眾數(shù)－－出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值就是眾數(shù)。如果出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志有兩個(gè)，稱(chēng)為復(fù)眾數(shù)。

計(jì)算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的眾數(shù)。.

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2.組距式數(shù)列確定眾數(shù)先確定眾數(shù)組，即次數(shù)最多的一組，而后計(jì)算眾數(shù)的近似值。式中：L：眾數(shù)所在組的下限；△1：眾數(shù)組頻數(shù)與其前一組頻數(shù)之差；△2：眾數(shù)組頻數(shù)與其后一組頻數(shù)之差；d：眾數(shù)所在組的組距。.

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【例】某車(chē)間50名工人月產(chǎn)量的資料如下：月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計(jì)50—計(jì)算該車(chē)間工人月產(chǎn)量的眾數(shù)。.

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當(dāng)數(shù)據(jù)分布存在明顯的集中趨勢(shì)，且有顯著的極端值時(shí)，適合使用眾數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)分布的集中趨勢(shì)不明顯或存在兩個(gè)以上分布中心時(shí)，不適合使用眾數(shù)（前者無(wú)眾數(shù)，后者為雙眾數(shù)或多眾數(shù)，也等于沒(méi)有眾數(shù)）。眾數(shù)的原理及應(yīng)用.

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出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.0160140120100806040200沒(méi)有突出地集中在某個(gè)年份413名學(xué)生出生時(shí)間分布直方圖（無(wú)眾數(shù)）.

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192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100413名學(xué)生的身高分布直方圖（雙眾數(shù)）當(dāng)數(shù)據(jù)分布呈現(xiàn)出雙眾數(shù)或多眾數(shù)時(shí)，可以斷定這些數(shù)據(jù)來(lái)源于不同的總體。出現(xiàn)了兩個(gè)明顯的分布中心.

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六、中位數(shù)和分位數(shù)

（一）中位數(shù)（Median）：

將數(shù)據(jù)依其大小順序排列，位于中間位置的數(shù)據(jù)稱(chēng)為中位數(shù)（Me）。

中位數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì):是變量值與其中位數(shù)的絕對(duì)離差的總和是一個(gè)最小值。即：∑|x－Me|＝最小值中位數(shù)是一種位置平均數(shù)，不受極端標(biāo)志值或開(kāi)口組的影響。Me50%50%.

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中位數(shù)的位次為：即第3個(gè)單位的標(biāo)志值就是中位數(shù)【例】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷(xiāo)售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元，則（1）未分組資料.

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中位數(shù)的位次為：中位數(shù)應(yīng)為第3和第4個(gè)單位標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)，即【例】若上述售貨小組為6個(gè)人，某天的銷(xiāo)售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元、760元，則.

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⑵由分組（組距）數(shù)列確定中位數(shù)。①確定中位數(shù)所在組（采用向上或向下累計(jì)的方法）；②根據(jù)下列公式確定中位數(shù)的近似值：式中L：中位數(shù)所在組的下限；∑f：數(shù)列的頻數(shù)總和；

fm：中位數(shù)所在組的頻數(shù)；Sm-1：中位數(shù)所在組之前組的向上累計(jì)頻數(shù)；

∑f/2：中位數(shù)的位次。U：中位數(shù)所在組的上限；Sm+1：中位數(shù)所在組之前組向下累計(jì)頻數(shù)；

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【例】某車(chē)間50名工人月產(chǎn)量的資料如下：月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計(jì)50—計(jì)算該車(chē)間工人月產(chǎn)量的中位數(shù)。.

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（組距數(shù)列）共個(gè)單位共個(gè)單位共個(gè)單位共個(gè)單位LU中位數(shù)組組距為d共個(gè)單位假定該組內(nèi)的單位呈均勻分布共有單位數(shù)

中位數(shù)下限公式為

該段長(zhǎng)度應(yīng)為.

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排序后處于25%和75%位置上的值。不受極端值的影響。主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù)。QLQMQU25%25%25%25%（二）四分位數(shù)(quartile)十分位數(shù)和百分位數(shù)分別是將數(shù)據(jù)分成十等分和一百等分的數(shù)值。.

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算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的關(guān)系：對(duì)稱(chēng)分布左偏分布右偏分布三者的關(guān)系與數(shù)據(jù)分布是否偏斜有關(guān)。對(duì)同一資料用三種方法計(jì)算，其結(jié)果是算術(shù)平均數(shù)最大，幾何平均數(shù)次之，調(diào)和平均數(shù)最小。只有當(dāng)所有變量值都相同時(shí)，三者結(jié)果才相等。

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第三節(jié)分布的離中趨勢(shì)特征

一、標(biāo)志變異指標(biāo)的概念、作用和種類(lèi)

二、極差和分位差

三、平均差四、方差和標(biāo)準(zhǔn)差五、標(biāo)志變異系數(shù)六、分布的偏度和峰度.

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課程學(xué)生語(yǔ)文數(shù)學(xué)英語(yǔ)總成績(jī)平均成績(jī)甲乙丙606555656565706575195195195656565單位：分某班三名同學(xué)三門(mén)課程的成績(jī)?nèi)缦拢赫?qǐng)比較三名同學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)的差異。.

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離中趨勢(shì)數(shù)據(jù)分布的另一個(gè)重要特征；反映各變量值遠(yuǎn)離其中心值的程度（離散程度）；從另一個(gè)側(cè)面說(shuō)明了集中趨勢(shì)測(cè)度值的代表程度；

離散程度越大，平均數(shù)的代表性越小。.

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集中趨勢(shì)弱、離中趨勢(shì)強(qiáng)集中趨勢(shì)強(qiáng)、離中趨勢(shì)弱.

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一、變異指標(biāo)的概念和作用變異指標(biāo)是反映統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)差異程度的綜合指標(biāo)。

平均指標(biāo)是說(shuō)明數(shù)據(jù)一般水平的綜合指標(biāo)，反映了數(shù)據(jù)分布的集中趨勢(shì)。變異指標(biāo)從相反的角度研究數(shù)據(jù)的差異狀況和分布的離散程度。變異指標(biāo)越大，反映數(shù)據(jù)的差異程度越大。(一）變異指標(biāo)的概念.

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（二）標(biāo)志變異指標(biāo)的作用用來(lái)衡量和比較平均數(shù)代表性的大小；用來(lái)反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過(guò)程的均衡性和節(jié)奏性；用來(lái)測(cè)定變量數(shù)列次數(shù)分布較正態(tài)分布的偏離程度。

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描述變量值差異程度的指標(biāo)描述分布差異程度的指標(biāo)偏度峰度（三）標(biāo)志變異指標(biāo)的種類(lèi)全距分位差平均差標(biāo)準(zhǔn)差變異系數(shù).

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二、極差和分位差（一）極差(Range)又稱(chēng)全距：是數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，說(shuō)明數(shù)據(jù)的變動(dòng)范圍。極差（R）＝最高組的上限－最低組的下限極差（R）＝max(x)－min(x)（未分組數(shù)列）（分組數(shù)列）【例A】某售貨小組5人某天的銷(xiāo)售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，則.

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【例】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下：計(jì)劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值（萬(wàn)元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計(jì)—1824900計(jì)算該公司該季度計(jì)劃完成程度的全距。.

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優(yōu)點(diǎn):計(jì)算方法簡(jiǎn)單、易懂；缺點(diǎn):易受極端數(shù)值的影響，不能全面反映所有標(biāo)志值差異大小及分布狀況，準(zhǔn)確程度差往往應(yīng)用于生產(chǎn)過(guò)程的質(zhì)量控制中全距的特點(diǎn).

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（二）四分位差(quartiledeviation)也稱(chēng)為內(nèi)距或四分間距，上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差

Qd=QU

–QL反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度不受極端值的影響.

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平均差彌補(bǔ)了全距的不足，考慮了所有的數(shù)據(jù)，能較好地反映各數(shù)據(jù)相對(duì)于均值的平均差異（離散）程度，能全面反映數(shù)據(jù)的離散程度。三、平均差：是數(shù)據(jù)與其均值之間離差絕對(duì)值的平均數(shù)。（適用未分組數(shù)列）（適用分組數(shù)列）.

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平均差的計(jì)算方法:.

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【例A】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷(xiāo)售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷(xiāo)售額的平均差。解即該售貨小組5個(gè)人銷(xiāo)售額的平均差為93.6元。.

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所以，A組學(xué)生的考分比B

組學(xué)生的考分離散程度更大。學(xué)生序號(hào)考分（分）

xAxB

甲乙丙丁戊

65707580856870768081

合計(jì)375375

∵M(jìn)ADA＞MADB離差離差離差絕對(duì)值離差絕對(duì)值-10-50510—-7-5-156—105051075156解：=753024A、B

兩組那一組學(xué)生的成績(jī)的離散程度更大？.

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優(yōu)點(diǎn):不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實(shí)際差異程度；缺點(diǎn):用絕對(duì)值的形式消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)值問(wèn)題，不便于作數(shù)學(xué)處理和參與統(tǒng)計(jì)分析運(yùn)算。平均差的特點(diǎn)一般情況下都是通過(guò)計(jì)算另一種標(biāo)志變異指標(biāo)——標(biāo)準(zhǔn)差，來(lái)反映總體內(nèi)部各單位標(biāo)志值的差異狀況.

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四、方差(variance)和標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation)數(shù)據(jù)離散程度的最常用測(cè)度值；反映了各變量值與均值的平均差異；方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方。.

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（一）數(shù)量標(biāo)志的方差、標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差是測(cè)定數(shù)據(jù)變異程度最常用的指標(biāo)，其意義與平均差基本相同，但在數(shù)學(xué)處理方法上不同。標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法（適用未分組數(shù)列）（適用分組數(shù)列）標(biāo)準(zhǔn)差（用σ表示）是各數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的平均數(shù)的方根。又叫均方差。而σ2

稱(chēng)為方差。.

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【例】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷(xiāo)售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷(xiāo)售額的標(biāo)準(zhǔn)差。解（比較：其銷(xiāo)售額的平均差為93.6元）即該售貨小組銷(xiāo)售額的標(biāo)準(zhǔn)差為109.62元。.

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所以，A組學(xué)生的考分比B

組學(xué)生的考分差異更大?！擀褹＞σB學(xué)生序號(hào)考分（分）

xAxB

甲乙丙丁戊

65707580856870768081

合計(jì)375375

試問(wèn)A、B

兩組那一組學(xué)生的考分差異更大？解離差離差離差平方離差平方-10-50510—10025025100250-7-5-156—492512536136.

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【例】計(jì)算下表中某公司職工月工資的標(biāo)準(zhǔn)差。月工資（元）組中值（元）職工人數(shù)（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合計(jì)—2000.

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解（比較：其工資的平均差為138.95元）即該公司職工月工資的標(biāo)準(zhǔn)差為167.9元。.

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標(biāo)準(zhǔn)差的特點(diǎn)不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實(shí)際差異程度；用平方的方法消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)值問(wèn)題，可方便地用于數(shù)學(xué)處理和統(tǒng)計(jì)分析運(yùn)算..

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分組單位數(shù)變量值具有某一屬性不具有某一屬性10合計(jì)—為研究是非標(biāo)志總體的數(shù)量特征，令是非標(biāo)志：指總體中全部單位只具有“是”或“否”、“有”或“無(wú)”兩種表現(xiàn)形式的標(biāo)志，又叫交替標(biāo)志（二）是非標(biāo)志的方差、標(biāo)準(zhǔn)差合格不合格（是）（非）.

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具有某種標(biāo)志表現(xiàn)的單位數(shù)所占的成數(shù)不具有某種標(biāo)志表現(xiàn)的單位數(shù)所占的成數(shù)指是非標(biāo)志總體中具有某種表現(xiàn)或不具有某種表現(xiàn)的單位數(shù)占全部總體單位總數(shù)的比重成數(shù).

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均值標(biāo)準(zhǔn)差.

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方差標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù).

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【例】某廠(chǎng)某月份生產(chǎn)了400件產(chǎn)品，其中合格品380件，不合格品20件。求產(chǎn)品質(zhì)量分布的集中趨勢(shì)與離中趨勢(shì)。解.

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全距、平均差和標(biāo)準(zhǔn)差都是以絕對(duì)數(shù)、平均數(shù)形式反映標(biāo)志值數(shù)據(jù)的差異程度，且?guī)в杏?jì)量單位，其數(shù)值大小不但取決于數(shù)據(jù)的差異程度，而且受數(shù)列平均水平高低的影響。

因此，如果兩組數(shù)據(jù)平均水平不同或計(jì)量單位不同時(shí)，要比較兩者數(shù)據(jù)的變異程度（或比較數(shù)列平均數(shù)的代表性）大小，需消除平均水平不同或計(jì)量單位不同的影響，計(jì)算變異系數(shù)（離散系數(shù)）。成年組

65666767686869707173幼兒組

11121313141415161719兩組體重?cái)?shù)據(jù)（公斤）：五、標(biāo)志變異系數(shù).

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可比變異系數(shù)指標(biāo).

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身高的差異水平：cm體重的差異水平：kg用變異系數(shù)可以相互比較可比.

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變異系數(shù)，是數(shù)列中變異指標(biāo)與其平均數(shù)之比，以反映標(biāo)志值差異的相對(duì)水平。常用的離散系數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)：在上例中，成年組:幼兒組：V1<V2

，所以成年組的體重差異較小。

在比較平均水平不同或計(jì)量單位不同數(shù)列間變異程度大?。ɑ蚱骄鶖?shù)代表性大小）時(shí)，需計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)進(jìn)行比較。.

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【例】某年級(jí)一、二兩班某門(mén)課的平均成績(jī)分別為82分和76分，其成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為15.6分和14.8分，比較兩班平均成績(jī)代表性的大小。解一班成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為：二班成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為：因?yàn)?，所以一班平均成?jī)的代表性比二班大。.

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六、分布的偏度與峰度

1.偏度(skewness)：描述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分布偏斜程度的統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)學(xué)家Pearson于1895年首次提出。偏度用偏度系數(shù)來(lái)描述：左偏分布右偏分布V1=0為正態(tài)分布；V1>0為右偏分布；V1<0為左偏分布。.

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2.峰度(kurtosis)

描述數(shù)據(jù)分布扁平程度的測(cè)度，統(tǒng)計(jì)學(xué)家Pearson于1905年首次提出峰度度用峰度系數(shù)來(lái)描述：扁平分布尖峰分布V2=3為標(biāo)志正態(tài)分布；V2>3圖形趨于陡峭；V2<3圖形趨于平緩。.

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一、思考題

1.什么是總量指標(biāo)？2.總體單位總量和總體標(biāo)志總量、時(shí)期指標(biāo)與時(shí)點(diǎn)指標(biāo)如何區(qū)別？3.結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)、比例相對(duì)指標(biāo)和比較相對(duì)指標(biāo)有什么不同特點(diǎn)？強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)和其它相對(duì)指標(biāo)主要區(qū)別何在？4.如何理解權(quán)數(shù)的意義？5.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)調(diào)和平均數(shù)之間的關(guān)系如何？6.什么是標(biāo)志變異指標(biāo)？它有什么作用？7.為什么計(jì)算變異系數(shù)？變異系數(shù)的應(yīng)用條件是什么？.

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二、單項(xiàng)選擇題（在每小題的四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確的答案，并將正確答案的號(hào)碼填在題干后的括號(hào)內(nèi)）

1、某企業(yè)計(jì)劃產(chǎn)值比上年提高10％，實(shí)際比上年提高15％，則其計(jì)劃完成程度為（）A、150％B、5％C、4.56％D、104.55％

2、在分配數(shù)列中，當(dāng)標(biāo)志值較小而其權(quán)數(shù)較大時(shí)，計(jì)算出來(lái)的算術(shù)平均數(shù)（）A、接近于標(biāo)志值大的一方B、接近于標(biāo)志值小的一方C、接近于大小合適的標(biāo)志值D、不受權(quán)數(shù)的影響A、強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo) B、結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo) C、比較相對(duì)指標(biāo) D、平均指標(biāo)

3、人均糧食產(chǎn)量是一個(gè)（）.

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4、某廠(chǎng)生產(chǎn)了三批產(chǎn)品，第一批產(chǎn)品的廢品率為1％，第二批產(chǎn)品的廢品率為1.5％，第三批產(chǎn)品的廢品率為2％；第一批產(chǎn)品數(shù)量占這三批產(chǎn)品總數(shù)的25％，第二批產(chǎn)品數(shù)量占這三批產(chǎn)品總數(shù)的30％，則這三批產(chǎn)品的廢品率為（）

A、1.5％B、1.6％C、4.5％ D、1.48％5、成數(shù)方差的特點(diǎn)是，成數(shù)()

A、愈接近于1方差愈大B、愈接近于0方差愈大

C、愈接近于0.5方差愈大D、無(wú)論如何變化方差均不受影響6、兩個(gè)數(shù)值對(duì)比若分母數(shù)值比分子數(shù)值大很多時(shí)，常用的相對(duì)數(shù)形式是（）A、倍數(shù)B、百分?jǐn)?shù)C、系數(shù)D