第1章 矢量分析2010課件

電磁場(chǎng)與電磁波ElectromagneticFields&MagneticWave牛長(zhǎng)hl_niu@126.com一本課程的地位、作用與任務(wù)二電磁場(chǎng)理論的發(fā)展簡(jiǎn)史三電磁場(chǎng)理論的主要應(yīng)用領(lǐng)域四本課程的基本內(nèi)容與要求前言一、本課程的地位、作用與任務(wù)

電子信息類本科各專業(yè)許多主要課程的核心內(nèi)容都是宏觀電磁現(xiàn)象在特定條件下的具體表現(xiàn)。同時(shí)，電磁場(chǎng)理論也是一些交叉學(xué)科和邊緣學(xué)科發(fā)展的理論基礎(chǔ)之一。

《電磁場(chǎng)與電磁波》課程是電子信息類本科各專業(yè)學(xué)生必修的一門核心基礎(chǔ)課，它所涉及的內(nèi)容是電子信息類本科學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的必要組成部分。

本課程的主要任務(wù)是：在大學(xué)物理（電磁學(xué)）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步論述宏觀電磁場(chǎng)的基本概念和基本特性，要求學(xué)生建立場(chǎng)的觀念，學(xué)會(huì)運(yùn)用場(chǎng)的觀點(diǎn)對(duì)電磁現(xiàn)象進(jìn)行分析和求解。為進(jìn)一步學(xué)習(xí)有關(guān)專業(yè)課程奠定必要的理論基礎(chǔ)。

電磁學(xué)是研究電、磁和電磁的相互作用現(xiàn)象，及其規(guī)律和應(yīng)用的物理學(xué)分支學(xué)科。電磁學(xué)的建立，實(shí)際上是人類對(duì)早期發(fā)現(xiàn)的一些電磁現(xiàn)象進(jìn)行的物理解釋。二、電磁場(chǎng)理論發(fā)展簡(jiǎn)史

電磁場(chǎng)理論的早期研究電磁作用的機(jī)制或者本質(zhì)是什么？也就是作用力是怎么傳遞的？超距作用與近距作用超距作用：認(rèn)為電荷之間存在“超距力”，這種力的傳遞不需時(shí)間，是一種能超越一無所有空間的作用力。近距作用：認(rèn)為宇宙間充滿著一種不可見的流質(zhì)“以太”，起著力的傳遞作用。前言在19世紀(jì)以前，電、磁現(xiàn)象是作為兩個(gè)獨(dú)立的物理現(xiàn)象進(jìn)行研究的，當(dāng)時(shí)還沒有發(fā)現(xiàn)電與磁的聯(lián)系。這些早期的研究為電磁學(xué)理論的建立奠定了基礎(chǔ)。其中貢獻(xiàn)較大的有萊頓、富蘭克林、伏特、庫侖等科學(xué)家。18世紀(jì)末期，德國(guó)哲學(xué)家謝林認(rèn)為，宇宙是有活力的，而不是僵死的。他認(rèn)為電就是宇宙的活力，是宇宙的靈魂；電、磁、光、熱是相互聯(lián)系的。奧斯特是謝林的信徒，他從1807年開始研究電磁之間的關(guān)系。1820年，他發(fā)現(xiàn)電流以力作用于磁針（電流的磁效應(yīng)）。

宏觀電磁場(chǎng)理論的建立前言安培發(fā)現(xiàn)作用力的方向和電流的方向以及磁針到通過電流的導(dǎo)線的垂直線方向相互垂直，并定量建立了若干數(shù)學(xué)公式（Ampere定律），揭示了磁的本質(zhì)。法拉第奧斯特1820年發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)后，法拉第敏銳地意識(shí)到，電可以對(duì)磁產(chǎn)生作用，磁也一定能夠?qū)﹄姰a(chǎn)生影響。1831年他發(fā)現(xiàn)，當(dāng)磁捧插入導(dǎo)體線圈時(shí)；導(dǎo)線圈中就產(chǎn)生電流。這表明，電與磁之間存在著密切的聯(lián)系（Faraday定律）。前言麥克斯韋1865年，英國(guó)物理學(xué)家麥克斯韋（J.C.Maxwell1831-1879)在前人實(shí)踐和理論的基礎(chǔ)上，總結(jié)出宏觀電磁現(xiàn)象的一般規(guī)律——麥克斯韋方程組，并于1873年發(fā)表了詳述該理論的《電磁學(xué)通論》。其核心思想是：變化著的電場(chǎng)能產(chǎn)生磁場(chǎng)，與變化著的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)相對(duì)應(yīng)。并預(yù)言了電磁波的存在。在1888年赫茲用實(shí)驗(yàn)方法證實(shí)了電磁波的存在后，麥克斯韋方程組成為經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的公理，麥克斯韋成為宏觀電磁場(chǎng)理論的奠基人。前言作為理論物理學(xué)的一個(gè)重要研究分支，主要致力于統(tǒng)一場(chǎng)理論和微觀量子電動(dòng)力學(xué)的研究。電磁

場(chǎng)的

主要

研究

領(lǐng)域

作為無線電技術(shù)的理論基礎(chǔ)，集中于三大類應(yīng)用問題的研究。三、電磁場(chǎng)理論的主要應(yīng)用領(lǐng)域?電磁場(chǎng)（波）作為能量的一種形式，是當(dāng)今世界最重要的能源，其研究領(lǐng)域涉及電磁能量的產(chǎn)生、儲(chǔ)存、變換、傳輸和綜合利用。?電磁波作為信息傳輸?shù)妮d體，成為當(dāng)今人類社會(huì)發(fā)布和獲取信息的主要手段，主要研究領(lǐng)域?yàn)樾畔⒌漠a(chǎn)生、獲取、交換、傳輸、儲(chǔ)存、處理、再現(xiàn)和綜合利用。?電磁波作為探測(cè)未知世界的一種重要手段，主要研究領(lǐng)域?yàn)殡姶挪ㄅc目標(biāo)的相互作用特性、目標(biāo)特征的獲取與重建、探測(cè)新技術(shù)等。

三大類應(yīng)用問題無線電通信雷達(dá)氣象雷達(dá)軍用雷達(dá)電子對(duì)抗美空軍E-3“哨兵”預(yù)警飛機(jī)中國(guó)空警2000預(yù)警機(jī)高能武器電磁軌道炮高能微波武器美機(jī)載激光武器原子核物理歐洲大型強(qiáng)子對(duì)撞機(jī)受控?zé)岷司圩冎袊?guó)自行研制的全超導(dǎo)托卡馬克EAST核聚變實(shí)驗(yàn)裝置射電天文學(xué)

北京天文臺(tái)密云觀測(cè)站航空、航天

遙感、遙測(cè)磁懸浮列車醫(yī)療

食品加工

電磁爐微波爐掌握宏觀電磁場(chǎng)的基本屬性和運(yùn)動(dòng)規(guī)律掌握宏觀電磁場(chǎng)問題的基本求解方法了解宏觀電磁場(chǎng)的主要應(yīng)用領(lǐng)域及其原理掌握電磁波的概念及其傳播特性培養(yǎng)用場(chǎng)的觀念分析問題、解決問題的能力培養(yǎng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力獨(dú)立完成作業(yè)，做好課堂筆記精讀一本教學(xué)參考書四、本課程的基本內(nèi)容和要求本課程的學(xué)時(shí)安排章節(jié)理論教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)0緒論及矢量分析61靜電場(chǎng)1022恒定電場(chǎng)23恒定磁場(chǎng)1024時(shí)變電磁場(chǎng)625平面電磁波62合計(jì)408主要教學(xué)參考書教材：《電磁場(chǎng)與電磁波》劉文楷主編北京郵電大學(xué)出版社2013參考書《工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論》，馮慈璋、馬西奎主編，高等教育出版社，2000.《電磁場(chǎng)與電磁波》（第三版），謝處方、饒克謹(jǐn)編，高等教育出版社，2000.《工程電磁場(chǎng)原理》，倪光正主編，高等教育出版社，2002．第一章矢量分析三種常用坐標(biāo)系矢量運(yùn)算標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)的旋度亥姆霍茲定理主要內(nèi)容坐標(biāo)變量（x，y，z）一、直角坐標(biāo)系其中：分別是矢量在方向的投影，稱為矢量的三個(gè)相應(yīng)的坐標(biāo)分量。分別表示坐標(biāo)軸的三個(gè)方向，稱為坐標(biāo)單位矢量。坐標(biāo)表示若矢量的大小和方向均與空間坐標(biāo)無關(guān)，這種矢量稱為常矢量或常矢。1.1三種常用坐標(biāo)系

體積元

線元

直角坐標(biāo)系

面元

其中坐標(biāo)變量坐標(biāo)表示線元面元體積元二、柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量

坐標(biāo)表示

線元面元體積元

三、球坐標(biāo)系

直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系的關(guān)系oxzy四、三種坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系oxzy三種坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的關(guān)系

柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系oxzy三種坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系的關(guān)系五、三種坐標(biāo)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系三種坐標(biāo)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系三種坐標(biāo)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系標(biāo)量:只有大小沒有方向的物理量稱為標(biāo)量。如：時(shí)間、質(zhì)量、溫度、功等。矢量:既有大小又有方向的物理量稱為矢量。如：力、速度、力矩等。一、矢量表示法矢量A的幾何表示是用一條有向線段來表示，線段的長(zhǎng)度表示矢量A的大小，其指向表示矢量A的方向。

幾何法1.2矢量表示法與矢量的微積分單位矢量（unitvector）：

的模值：方向余弦：

分量法或矢量表示法矢量加減法二、矢量代數(shù)矢量乘積

標(biāo)量積（點(diǎn)乘積）兩矢量垂直的充要條件：標(biāo)量積等于零。交換率：矢量積（叉乘積）兩矢量平行的充分必要條件：矢量積等于零。交換率：例1-1：用球坐標(biāo)表示的場(chǎng)，1）求在點(diǎn)（－3，4，－5）處的和，2）求與矢量構(gòu)成的夾角。解：1）矢量代數(shù)2）矢量代數(shù)矢量函數(shù)矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

對(duì)空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)三、矢量微積分例如矢量微積分對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)場(chǎng)（field）是描述空間中所有點(diǎn)上的某一物理量的函數(shù)。

一、場(chǎng)的概念靜態(tài)場(chǎng)動(dòng)態(tài)場(chǎng)

StaticfieldTime-varyingfield

標(biāo)量場(chǎng)矢量場(chǎng)1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度等值面空間內(nèi)標(biāo)量值相等的點(diǎn)的集合所形成的曲面。等值面方程

（C為任意常數(shù)）二、標(biāo)量場(chǎng)的等值面標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場(chǎng)自該點(diǎn)沿某一方向的變化率。

lM0U計(jì)算：定義：三、方向?qū)?shù)四、梯度

gradient

在無窮多個(gè)方向中沿哪個(gè)方向的變化率最大呢？

這個(gè)最大的變化率又是多少呢？定義：標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)梯度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，梯度的方向就是該點(diǎn)具有最大方向?qū)?shù)的方向，并記為gradu,即上式表明當(dāng)矢量G與L方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)有最大值，其值為：可見矢量G就是梯度。在直角坐標(biāo)系中，令：則：梯度的計(jì)算

標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量。在給定點(diǎn)，梯度的方向就是函數(shù)u變化率最大的方向，它的模值就是該點(diǎn)最大變化率的數(shù)值。標(biāo)量場(chǎng)u在給定點(diǎn)沿任意l方向的方向?qū)?shù)就等于函數(shù)u的梯度在l方向的投影。任一點(diǎn)的梯度總是垂直于過該點(diǎn)的等值面（線），且指向函數(shù)u增加方向。梯度的物理意義例1三維高度場(chǎng)的梯度例2電位場(chǎng)的梯度高度場(chǎng)的梯度與過該點(diǎn)的等高線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最

大變化率；指向地勢(shì)升高的方向。電位場(chǎng)的梯度與過該點(diǎn)的等位線垂直；指向電位增加的方向。數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；

三維高度場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度梯度哈密頓（Hamilton）算子

又稱那勃勒算子(nabla)梯度例1-2求在點(diǎn)沿的方向?qū)?shù)。解：梯度例1-3

求在M0（2，-1，1）點(diǎn)的梯度及沿的方向?qū)?shù)。解：或者：梯度矢量線是這樣的一些曲線，曲線上每一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的矢量場(chǎng)方向一致，曲線的稠密度正比于場(chǎng)量的大小。（矢量線的任一點(diǎn)的切向和Ｆ平行）

矢量線方程：一、矢量場(chǎng)的矢量線1.4矢量場(chǎng)的散度矢量在場(chǎng)中某一個(gè)曲面上的面積分，稱為該矢量通過此曲面的通量。

二、通量flowofflux對(duì)于閉合曲面有：通量可認(rèn)為是穿過1S1面的矢量線的總數(shù)，故矢量線又叫通量線；模1F1等于在某點(diǎn)與1F1垂直的單位面積上通過的矢量線的數(shù)目，故1F1又稱為通量面密度矢量。

>0(有正源)<0(有負(fù)源)=0(無源)通量當(dāng)閉合面S向某點(diǎn)無限收縮時(shí)，矢量F通過該閉合面的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限，稱為矢量場(chǎng)F在該點(diǎn)的散度。定義：散度是通量對(duì)體積的變化率（單位體積內(nèi)所穿出的通量），所以散度又稱為通量源密度。

三、散度

divergence散度的計(jì)算直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)

點(diǎn)的函數(shù)；散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性。?A=0(無源）?A=0(負(fù)源)?A=0(正源)

在矢量場(chǎng)中，若?A=0，稱之為有源場(chǎng)，稱為(通量)源密度；若矢量場(chǎng)中處處?A=0，稱之為無源場(chǎng)。散度的物理意義上式表明：任意矢量場(chǎng)的散度，在場(chǎng)中任意一個(gè)體積內(nèi)的體積分等于矢量場(chǎng)在限定該體積的閉合面上的法向分量沿閉合面的面積分。四、高斯散度定理散度例1-4點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)原點(diǎn)，在離其r處產(chǎn)生的電通量密度為：其中，求：任意點(diǎn)處電通量密度的散度；并求穿出以為半徑的球面的電通量。解：散度所以同理可得可見，除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)（）外，空間各點(diǎn)的散度均為0。散度或先變換為球坐標(biāo)系：散度例1-5

在的矢量場(chǎng)中，假設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為，中心在直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，各表面與三個(gè)坐標(biāo)面平行的正六面體。試求從正六面體內(nèi)穿出的電場(chǎng)凈通量，并驗(yàn)證高斯散度定理.解：先用公式計(jì)算通量

因?yàn)橹挥蟹至?，在六面體的上、下、左、右四個(gè)表面上和垂直，面積分為零。

散度xzyo再用公式計(jì)算通量

所以

散度水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)=0，無渦旋運(yùn)動(dòng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)0，有產(chǎn)生渦旋的源矢量F

沿空間有向閉合曲線L

的線積分，定義為矢量F

沿此閉合曲線的環(huán)量。例：流速場(chǎng)一、環(huán)量circulation1.5矢量場(chǎng)的旋度環(huán)量面密度過點(diǎn)P作一微小曲面S，它的邊界曲線記為L(zhǎng)。當(dāng)S0時(shí)，存在極限取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。二、旋度rotation該極限稱為矢量F對(duì)于方向的環(huán)量強(qiáng)度或環(huán)量面密度旋度的定義旋度是一個(gè)矢量，其模值等于環(huán)量面密度的最大值；其方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量面密度的方向。它與環(huán)量面密度的關(guān)系為：在直角坐標(biāo)系中旋度的計(jì)算旋度與散度的區(qū)別

矢量場(chǎng)的旋度是一個(gè)矢量函數(shù)；矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)。

旋度表示場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)與漩渦源的關(guān)系；散度表示場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)與通量源的關(guān)系。

旋度描述的是場(chǎng)分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律;散度描述的是場(chǎng)分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。

三、斯托克斯定理Gauss公式和Stockes公式是兩個(gè)非常重要的公式。

標(biāo)量函數(shù)的梯度的旋度恒等于零。

矢量函數(shù)的旋度的散度恒等于零。

推論:如果任一矢量函數(shù)的旋度恒等于零，則這個(gè)矢量函數(shù)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示。推論:若一矢量函數(shù)的散度恒等于零，則這個(gè)矢量函數(shù)可以用另外一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。

四、矢量微分算子及恒等式例1-6

已知計(jì)算如圖所示的線積分，并驗(yàn)證斯托克斯定理。解旋度所以：又因?yàn)椋盒群ツ坊羝?/p>