試驗(yàn)設(shè)計(jì)與優(yōu)化擬合教案資料

第三部分

試驗(yàn)(shìyàn)設(shè)計(jì)第一頁，共185頁。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與優(yōu)化的重要性就分析化學(xué)而言，通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)以找到最優(yōu)的量測(cè)實(shí)驗(yàn)條件一直是化學(xué)計(jì)量學(xué)研究(yánjiū)的一個(gè)重要內(nèi)容，如色譜分析中的最優(yōu)分離條件的選擇、各種儀器分析方法的諸多參量的選擇等。對(duì)于化學(xué)量測(cè)實(shí)驗(yàn)，試驗(yàn)設(shè)計(jì)的成敗，關(guān)系到實(shí)驗(yàn)?zāi)芊竦玫桨栊畔⒌幕瘜W(xué)量測(cè)數(shù)據(jù)，一個(gè)失敗的試驗(yàn)設(shè)計(jì)將導(dǎo)致所得到的數(shù)據(jù)中包含的信息量極低，任何卓有成效的處理數(shù)據(jù)的化學(xué)計(jì)量學(xué)方法也無法從中提取有用的信息。第二頁，共185頁。教學(xué)內(nèi)容1基本概念2因子設(shè)計(jì)和部分因子設(shè)計(jì)3正交試驗(yàn)(shìyàn)設(shè)計(jì)4均勻試驗(yàn)(shìyàn)設(shè)計(jì)5D-最優(yōu)試驗(yàn)(shìyàn)設(shè)計(jì)6星點(diǎn)設(shè)計(jì)第三頁，共185頁。基本概念試驗(yàn)(shìyàn)指標(biāo)或響應(yīng)值在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，衡量試驗(yàn)效果的量稱為(chēnɡwéi)試驗(yàn)指標(biāo)或響應(yīng)值能用數(shù)值(shùzí)表述的指標(biāo)稱定量指標(biāo)，如化學(xué)反應(yīng)的產(chǎn)率、分析試驗(yàn)的檢測(cè)限或其他品質(zhì)因數(shù)等。

定性指標(biāo)不是用量表示的指標(biāo)稱為定性指標(biāo)，如化學(xué)產(chǎn)品的色度等。定量指標(biāo)定性指標(biāo)?？赊D(zhuǎn)化為定量指標(biāo)，如用5級(jí)計(jì)分進(jìn)行評(píng)分等。第四頁，共185頁。多指標(biāo)試驗(yàn)(shìyàn)設(shè)計(jì)當(dāng)試驗(yàn)(shìyàn)設(shè)計(jì)的指標(biāo)要用一組數(shù)表示時(shí)，如分析方法的優(yōu)化需考慮靈敏度、準(zhǔn)確度、選擇性等，稱多指標(biāo)試驗(yàn)(shìyàn)設(shè)計(jì)的問題。因素(yīnsù)（因子）在改變?cè)囼?yàn)條件時(shí)，能夠影響試驗(yàn)指標(biāo)取值的量稱為因素（亦稱因子）。因素也可以是定量因素或定性因素，和指標(biāo)一樣，定性因素總可轉(zhuǎn)化為定量因素。水平第五頁，共185頁。因素的取值，稱為因素（或因子(yīnzǐ)）的水平。一般試驗(yàn)方案是由若干個(gè)試驗(yàn)組成，因素在這些試驗(yàn)中變化(biànhuà)了幾種狀態(tài)就稱為幾種水平。試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，只對(duì)可控因素在試驗(yàn)前作出設(shè)計(jì)，而對(duì)不可控因素，則在試驗(yàn)過程中記錄其水平(shuǐpíng)，在數(shù)據(jù)分析中加以處理。有的因素所處的狀態(tài)是不可控制的，例如在自然條件下進(jìn)行的某些試驗(yàn)。一般化學(xué)實(shí)驗(yàn)的條件多是可控。水平第六頁，共185頁。協(xié)同(xiétóng)作用，交互作用試驗(yàn)(shìyàn)域因素的可能(kěnéng)取值的區(qū)域稱為試驗(yàn)域多個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)的共同影響，但不是簡單的加和的現(xiàn)象。

同時(shí)試驗(yàn)通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)對(duì)有關(guān)因素的水平進(jìn)行規(guī)劃后，同時(shí)進(jìn)行諸因子各水平的試驗(yàn)，繼綜合分析所得到的試驗(yàn)結(jié)果，求出最優(yōu)條件。

序貫試驗(yàn)每進(jìn)行一次或少數(shù)幾次試驗(yàn)后，先分析已取得的試驗(yàn)結(jié)果，再根據(jù)這些結(jié)果規(guī)劃下一步的試驗(yàn)第七頁，共185頁。目前應(yīng)用廣泛的正交試驗(yàn)、均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)及最優(yōu)試驗(yàn)設(shè)計(jì)基本上屬于(shǔyú)同時(shí)試驗(yàn)法，而序貫試驗(yàn)法的典型代表是單純形優(yōu)化法。值得提出的是，同時(shí)試驗(yàn)與序貫試驗(yàn)可在優(yōu)化試驗(yàn)中綜合使用。序貫試驗(yàn)(shìyàn)設(shè)計(jì)(shèjì)和優(yōu)化試驗(yàn)設(shè)計(jì)就是研究如何選擇和優(yōu)化實(shí)驗(yàn)條件，好的試驗(yàn)設(shè)計(jì)能夠通過有限次數(shù)的試驗(yàn)，選擇優(yōu)良的實(shí)驗(yàn)條件，節(jié)約人力、物力、財(cái)力和時(shí)間。因此，試驗(yàn)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化密不可分。第八頁，共185頁。第九頁，共185頁。方法(fāngfǎ)分類分析法在試驗(yàn)區(qū)域內(nèi)有目的、有規(guī)律地散布一定量的試驗(yàn)點(diǎn)，多方向同時(shí)尋找優(yōu)化目標(biāo)。因只是對(duì)給定條件下一切可能的試驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化，因此不能真正實(shí)現(xiàn)全局優(yōu)化，所謂的最優(yōu)化只是近似的，最優(yōu)點(diǎn)也只是較優(yōu)點(diǎn)。但實(shí)際應(yīng)用表明，該優(yōu)化方法完全能夠(nénggòu)滿足一般科研和生產(chǎn)的實(shí)際需要。也就是(jiùshì)同時(shí)試驗(yàn)法又稱同步試驗(yàn)法或離散優(yōu)化法第十頁，共185頁。黑箱(hēixiānɡ)法在實(shí)現(xiàn)優(yōu)化目標(biāo)的整個(gè)過程中，遵循一定的優(yōu)化路徑逐漸尋找最優(yōu)點(diǎn)(yōudiǎn)的方法，它是單向?qū)?yōu)，后一階段是在前一階段優(yōu)化的基礎(chǔ)上進(jìn)行。方法(fāngfǎ)分類也就是序貫試驗(yàn)又稱循序試驗(yàn)法或序貫優(yōu)化拉丁方18世紀(jì)的歐洲，普魯士弗里德里希·威廉二世要舉行一次與往常不一樣的閱兵儀式，他要求閱兵式由6列方隊(duì)組成，每個(gè)方隊(duì)的行和列都要由6種不同部隊(duì)的6種軍官組成，不得有重復(fù)和空缺。這實(shí)際上就是要求在6列方隊(duì)中，安排的部隊(duì)、軍官在第十一頁，共185頁。行和列全部排列(páiliè)均衡。這在當(dāng)時(shí)可難壞了大臣們，他們冥思苦想也沒有找到答案，就請(qǐng)教于當(dāng)時(shí)著名的數(shù)學(xué)家歐拉。由此引起(yǐnqǐ)了數(shù)學(xué)家們的極大興趣，提出了均衡分布的新的數(shù)學(xué)思想，這種思想對(duì)研究自然世界具有普遍的意義。這種思想正是今天試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本思想。20世紀(jì)20年代，英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家Fisher運(yùn)用均衡排列的拉丁方成功地解決了農(nóng)業(yè)試驗(yàn)中的試驗(yàn)條件不均勻問題，創(chuàng)立了試驗(yàn)設(shè)計(jì)這一學(xué)科。拉丁方是用字母或數(shù)字排列的具有一定性質(zhì)的方陣，每個(gè)字母或數(shù)字在該方陣中每行和每列中恰好(qiàhǎo)出現(xiàn)一次，方陣的行數(shù)或列數(shù)稱為拉丁方的階。第十二頁，共185頁。ABBAabba1221ABCBCACABBACCBAACB第一行，以及第1列上所有字母（或數(shù)字(shùzì)）是按字母（或數(shù)字(shùzì)）順序排列的拉丁方。如上圖中前一種標(biāo)準(zhǔn)(biāozhǔn)拉丁方從標(biāo)準(zhǔn)(biāozhǔn)拉丁方出發(fā)，通過交換行或列可得到其它形式的拉丁方。如上圖后一種是由標(biāo)準(zhǔn)(biāozhǔn)形式的1和2列互換而得第十三頁，共185頁。因子(yīnzǐ)設(shè)計(jì)因子設(shè)計(jì)（FactorialDesign）是一種多因素試驗(yàn)(shìyàn)設(shè)計(jì)方法。因子設(shè)計(jì)根據(jù)拉丁方的思想，考察各因素所有可能的組合來安排實(shí)驗(yàn)，屬于全面試驗(yàn)(shìyàn)。試驗(yàn)(shìyàn)數(shù)目因子設(shè)計(jì)的任務(wù)就是要通過這樣的試驗(yàn)安排來了解各個(gè)因素及各因素水平之間的搭配對(duì)響應(yīng)值或指標(biāo)的影響，即析因問題。為水平數(shù)(n)為底、因素?cái)?shù)(m)為指數(shù)的冪，即nm第十四頁，共185頁。2水平(shuǐpíng)3因素:23=82水平(shuǐpíng)4因素:24=162水平(shuǐpíng)7因素:27=1283水平(shuǐpíng)4因素:34=81析因設(shè)計(jì)(shèjì)表因素(yīnsù)：A因素(yīnsù)B因素(yīnsù)AB因素(yīnsù)水平：－低水平＋高水平第十五頁，共185頁。NoABAB1―－+2+－－3－+－4++＋FD4(22)析因設(shè)計(jì)(shèjì)表第1列是試驗(yàn)(shìyàn)序號(hào)第2列是第1個(gè)因素(yīnsù)從－開始，以－與＋相間排列第３列是第２個(gè)因素從－－與開＋＋相間排列，

即前一因素的水平加倍后，再相間排列第4列是兩因素的交互效應(yīng)列，遵守乘法規(guī)則排列第十六頁，共185頁。FD8(23)析因設(shè)計(jì)(shèjì)表NoABCABACBCABC1－－－＋＋＋－2＋－－－－＋＋3－＋－－＋－＋4＋＋－＋－－－5－－＋＋－－＋6＋－＋－＋－－7－＋＋－－＋－8＋＋＋＋＋＋＋第十七頁，共185頁。設(shè)計(jì)(shèjì)矩陣MATLABR的實(shí)現(xiàn)fullfact函數(shù)(hánshù)desing=fullfact(levels)格式(géshi)說明函數(shù)FULLFACT用于混合水平（mixed-levels)的全因子設(shè)計(jì)矩陣。輸入矢量參數(shù)levels用于定義因素的水平數(shù)，如levels=[243]，函數(shù)將給出24次試驗(yàn)的全因子設(shè)計(jì)矩陣。其中第1列是2水平；第2列是4水平；第3列是3水平。第十八頁，共185頁。示例(shìlì)d=111211121221112212122222113213123223>>d=fullfact([223])

第十九頁，共185頁。d=000001010011100101110111示例(shìlì)>>d=ff2n(3)full2n函數(shù)(hánshù)格式(géshi)desing=full2n(N)說明Full2n用于構(gòu)建兩水平設(shè)計(jì)表，給出具有N列的設(shè)計(jì)矩陣，其中輸入?yún)?shù)N為因子數(shù)第二十頁，共185頁。效應(yīng)(xiàoyìng)分析主效應(yīng)(xiàoyìng)估價(jià)主效應(yīng)：單個(gè)因素對(duì)實(shí)驗(yàn)(shíyàn)結(jié)果的影響NoABABy1―－＋y12+－－y23－+－y34++＋y4第二十一頁，共185頁。A因素(yīnsù)主效應(yīng)B因素(yīnsù)主效應(yīng)因素(yīnsù)主效應(yīng)等于：(高水平和－低水平之和)/水平重復(fù)數(shù)效應(yīng)A=[(y2-y1)+(y4-y3)]/2=[(y2+y4)-(y1+y3)]/2=[(y3-y1)+(y4-y2)]/2=[(y3+y4)-(y1+y2)]/2第二十二頁，共185頁。交互(jiāohù)效應(yīng)估價(jià)交互效應(yīng)在直觀圖上表現(xiàn)(biǎoxiàn)為對(duì)角線的變化交互效應(yīng)=（正項(xiàng)(zhènɡxiànɡ)和－負(fù)項(xiàng)和）/重復(fù)數(shù)NoABABy1―－＋y12+－－y23－+－y34++＋y4第二十三頁，共185頁。交互效應(yīng)存在(cúnzài)于否的直觀判定第二十四頁，共185頁。FD8(23)析因設(shè)計(jì)(shèjì)表NoABCABACBCABC1－－－＋＋＋－2＋－－－－＋＋3－＋－－＋－＋4＋＋－＋－－－5－－＋＋－－＋6＋－＋－＋－－7－＋＋－－＋－8＋＋＋＋＋＋＋第二十五頁，共185頁。對(duì)于(duìyú)FD8(23)析因設(shè)計(jì)各因素(yīnsù)主效應(yīng)第二十六頁，共185頁。A效應(yīng)(xiàoyìng)=[(y2+y4+y6+y8)－(y1+y3+y5+y7)]/4B效應(yīng)(xiàoyìng)=[(y3+y4+y7+y8)－(y1+y2+y5+y6)]/4C效應(yīng)(xiàoyìng)=[(y5+y6+y7-y8)－(y1+y2+y3+y4)]/4對(duì)于三因素的試驗(yàn)，其各因素的主效應(yīng)已由原來的二因素的線表示，變化成面的表示。聯(lián)系其設(shè)計(jì)表，各因素的主效應(yīng)對(duì)應(yīng)的計(jì)算式如下第二十七頁，共185頁。FD8(23)析因設(shè)計(jì)(shèjì)表NoABCABACBCABC1－－－＋＋＋－2＋－－－－＋＋3－＋－－＋－＋4＋＋－＋－－－5－－＋＋－－＋6＋－＋－＋－－7－＋＋－－＋－8＋＋＋＋＋＋＋第二十八頁，共185頁。兩因素(yīnsù)間交互作用效應(yīng)第二十九頁，共185頁。三因素中任意兩因素間的交互效應(yīng)已由原來(yuánlái)的二因素試驗(yàn)時(shí)的交線變?yōu)榻徊娉擅娴谋硎?。?lián)系其設(shè)計(jì)表對(duì)應(yīng)的計(jì)算式如下AB交叉(jiāochā)效應(yīng)=[(y1+y4+y5+y8)－(y2+y3+y6+y7)]/4AC交叉(jiāochā)效應(yīng)=[(y1+y3+y6+y8)－(y2+y34+y5+y7)]/4BC交叉效應(yīng)=[(y1+y2+y7+y8)－(y2+y3+y5+y6)]/4三因素間交互作用效應(yīng)ABC三項(xiàng)間的交叉作用在立體直觀圖上無法表示，其對(duì)應(yīng)的計(jì)算式為ABC交叉效應(yīng)=[(y2+y3+y5+y8)－(y1+y4+y6+y7)]/4第三十頁，共185頁。【例】液相色譜(sèpǔ)分離酚第三十一頁，共185頁。試驗(yàn)(shìyàn)立體直觀圖第三十二頁，共185頁。主效應(yīng)(xiàoyìng)=[(y2+y4+y6+y8)-(y1+y3+y5+y7)]/4=[(9.5+10.7+8.8+11.7)-(10.0+11.0+9.3+11.9)]/4=-0.375

=[(y3+y4+y7+y8)-(y1+y2+y5+y6)]/4 =[(11.0+10.7+11.9+11.7)-(10.0+9.5+9.3+8.8)]/4

=1.925=[(y5+y6+y7+y8)-(y1+y2+y3+y4)]/4=[(9.3+8.8+11.9+11.7)-(10.0+9.5+11.0+10.7)]/4=0.125甲醇(jiǎchún)(M)乙酸(yǐsuān)(A)檸檬酸(C)第三十三頁，共185頁。兩因素交叉(jiāochā)效應(yīng)乙酸(yǐsuān)對(duì)甲醇(AM)=[(y8+y5+y4+y1)-(y7+y6+y3+y12)]/4=[(11.7+9.3+10.7+10)-(11.9+8.8+11+9.5+)]/4=0.125乙酸(yǐsuān)對(duì)檸檬酸(AC)=[(y8+y6+y3+y1)-(y7+y5+y4+y2)]/4=[(11.7+8.8+11+10)-(11.9+9.3+10.7+9.5+)]/4=0.025第三十四頁，共185頁。兩因素(yīnsù)交叉效應(yīng)甲醇(jiǎchún)對(duì)檸檬酸(MC)=[(y1+y2+y7+y8)-(y3+y4+y5+y6)]/4=[(10+9.5+11.9+11.7)-(11+10.7+9.3+8.8)]/4=0.825三因素(yīnsù)交叉效應(yīng)乙酸甲醇檸檬酸(AMC)=[(y2+y3+y5+y8)-(y1+y4+y6+y7)]/4=[(9.5+11+9.3+11.9)-(10+10.7+8.8+11.9)]/4=0.025第三十五頁，共185頁。效應(yīng)(xiàoyìng)及殘差正態(tài)圖效應(yīng)(xiàoyìng)正態(tài)圖（Normalplotofeffects）對(duì)各因素的主效應(yīng)(xiàoyìng)及交叉效應(yīng)(xiàoyìng)的計(jì)算后，進(jìn)而需對(duì)這些效應(yīng)(xiàoyìng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)估價(jià)，決定哪些效應(yīng)(xiàoyìng)在模型建立時(shí)需要包括，哪些可以忽略。正態(tài)圖即正態(tài)分布圖。是用來檢測(cè)一系列

變量是否服從正態(tài)分布的圖形。因正態(tài)分布為一種由多種不定因素綜合效

果而產(chǎn)生出來的分布，所以，如某些效應(yīng)

服從正態(tài)分布，就可認(rèn)為它們實(shí)際對(duì)實(shí)驗(yàn)

不產(chǎn)生顯著影響。第三十六頁，共185頁。

殘差正態(tài)圖（Normalplotofresiduals）殘差正態(tài)圖是在建立模型后，按模型計(jì)算(jìsuàn)試驗(yàn)結(jié)果的殘差，進(jìn)而對(duì)殘差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)估價(jià)，判斷所得模型是否合理。正態(tài)分布圖的構(gòu)造(gòuzào)1）先將需檢驗(yàn)的一系列變量(biànliàng)按大小進(jìn)行排列，對(duì)于已得到的各種效應(yīng)，可得如下表所示的排列；色譜分離試驗(yàn)所得各種效應(yīng)的順序排列表效應(yīng)名稱AACAMCC AMMCM效應(yīng)數(shù)值-0.3750.0250.0250.125 0.125 0.825 1.925第三十七頁，共185頁。2）計(jì)算累積概率：對(duì)于有T個(gè)數(shù)據(jù)(shùjù)的系列，可根據(jù)以下公式計(jì)算它們的累積概率Pi(%)=100(i-0.5)/T3）以需檢驗(yàn)(jiǎnyàn)變量的標(biāo)度為x軸，以累積概率為y軸作圖，在圖上能用一條直線描述的變量可視為是服從正態(tài)分布的變量。效應(yīng)(xiàoyìng)名AACAMCCAMMCM概率7.1421.4335.715064.8878.5792.86第三十八頁，共185頁。色譜分離(fēnlí)試驗(yàn)的正態(tài)分布圖第三十九頁，共185頁。從圖可以看出，效應(yīng)AC、AMC、C以及AM正好(zhènghǎo)落在一條直線上，說明它們對(duì)試驗(yàn)的影響很小，可以忽略。于是，如果需對(duì)此色譜分離試驗(yàn)建立回歸模型的話，只需選擇乙酸（A）、甲醇（M）和甲醇及檸檬酸的交叉效應(yīng)（MC）來建立相應(yīng)的模型即可。對(duì)數(shù)據(jù)(shùjù)建模得y=10.363-(0.375/2)XA+(1.925/2)XM+(0.825/2)XMC第四十頁，共185頁。得到上述模型后，用它來計(jì)算(jìsuàn)該模型的殘差，如所得殘差按上述方法所得的殘差正態(tài)分布圖可用一直線表出，說明模型是合理的。用此模型算出的殘差列表，它們的殘差正態(tài)分布圖示于下圖。這些殘差點(diǎn)近似可由一條直線表出，但分散度較大。No. 1 2 3 4 5 6 7 8實(shí)驗(yàn)(shíyàn)值10.0 9.5 11.0 10.7 9.3 8.8 11.911.7計(jì)算值10.0 8.80 11.1 11.55 10.0 8.80 11.1011.55殘差 -0.0 0.70 -0.10 -0.85 -0.70 -0.00 0.800.15色譜(sèpǔ)分離試驗(yàn)所得殘差表第四十一頁，共185頁。色譜分離(fēnlí)試驗(yàn)的殘差正態(tài)分布圖第四十二頁，共185頁。對(duì)于來自于正態(tài)分布的一系列數(shù)據(jù)X，當(dāng)把X按升序（由小到大）排列、對(duì)序號(hào)繪圖后，大多數(shù)數(shù)據(jù)近似一條(yītiáo)直線。正態(tài)分布圖正態(tài)分布隨機(jī)產(chǎn)生的標(biāo)準(zhǔn)差為1的組數(shù)，排序后示意圖(均值(jūnzhí)為0，100個(gè)數(shù)據(jù))第四十三頁，共185頁。將T個(gè)自然數(shù)進(jìn)行變換(biànhuàn)，使成累積概率形式Pi(%)=100(i-0.5)/T此時(shí)，累積概率(gàilǜ)同自然數(shù)序列成線性關(guān)系第四十四頁，共185頁。正態(tài)分布隨機(jī)(suíjī)產(chǎn)生的（均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1）100個(gè)數(shù)據(jù)的組數(shù)，排序后，對(duì)按自然數(shù)進(jìn)行變換，使成累積概率作圖第四十五頁，共185頁。正態(tài)分布隨機(jī)產(chǎn)生(chǎnshēng)的（均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1）10個(gè)數(shù)據(jù)的組數(shù)，排序后，對(duì)按自然數(shù)進(jìn)行變換，使成累積概率作圖第四十六頁，共185頁。正態(tài)分布隨機(jī)產(chǎn)生10個(gè)數(shù)據(jù)，排序(páixù)后，對(duì)按自然數(shù)進(jìn)行變換，使成累積概率作圖對(duì)直線偏離較大的點(diǎn)，或是不來自不同(bùtónɡ)分布藍(lán)：均值(jūnzhí)為0標(biāo)準(zhǔn)差為1；紅，均值(jūnzhí)為0標(biāo)準(zhǔn)差為4黑：均值(jūnzhí)為4標(biāo)準(zhǔn)差為1第四十七頁，共185頁。有關(guān)(yǒuguān)MATLAB指令生成服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)：r=normrnd(mu,sigma,m)%mu為均值%sigma為標(biāo)準(zhǔn)差%m為1×2的向量%r=normrnd(0,1,[1001])排序:r=sort(r)累積(lěijī)概率：y=100*(i-0.5)/T繪圖：plot(r,y,’o’)添加最小二乘擬合線：isline第四十八頁，共185頁。經(jīng)正態(tài)分布圖估算效應(yīng)(xiàoyìng)的其它算法直接(zhíjiē)繪正態(tài)概率圖MATLAB指令(zhǐlìng)normplot(x)%x待處理原始數(shù)組第四十九頁，共185頁。正態(tài)分布的Q-Q圖MATLAB指令(zhǐlìng)qqplot(x)第五十頁，共185頁。第五十一頁，共185頁。關(guān)系(guānxì)模型對(duì)于二因素試驗(yàn)(shìyàn)方案，當(dāng)用代表Y指標(biāo)，代表X因素，因素與指標(biāo)間的模型可用下列方程表示式中y表示4次試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的矢量，xj表示第j個(gè)因素在4次試驗(yàn)中的水平(shuǐpíng)矢量；e為誤差矢量。寫成矩陣為第五十二頁，共185頁。即A的最小二乘解為矩陣A中第一個(gè)a0元素是一常量（平均(píngjūn)貢獻(xiàn)）a1,a2,分別是因素x1和x2的主效應(yīng)a3是因素x1和x2的兩者之間x1x2的交互效應(yīng)的量度。在因子設(shè)計(jì)中，X矩陣(jǔzhèn)的形式非常簡單，元素僅為“+1”和“-1”，其逆陣存在、且其值是原矩陣(jǔzhèn)的X的轉(zhuǎn)置1/n倍。其中n為試驗(yàn)次數(shù)第五十三頁，共185頁。故可有即第五十四頁，共185頁。同理對(duì)于(duìyú)三因素試驗(yàn)方案第五十五頁，共185頁。第五十六頁，共185頁。對(duì)于實(shí)例(shílì)模型y=10.363-(0.375/2)XA+(1.925/2)XM+(0.825/2)XMC平均(píngjūn)貢獻(xiàn)=10.363第五十七頁，共185頁。2水平(shuǐpíng)因子設(shè)計(jì)時(shí)需計(jì)算的效應(yīng)數(shù)第五十八頁，共185頁。在實(shí)際研究中，因素只有(zhǐyǒu)3個(gè)的并不多，而且因素試驗(yàn)的水平也不可能只限于2，只要因素和水平數(shù)一增加，因子設(shè)計(jì)就顯出了它的不足。即使全部因素均是二水平的，當(dāng)因素?cái)?shù)為n時(shí)，總試驗(yàn)數(shù)就是N=2n。第五十九頁，共185頁。部分(bùfen)因子設(shè)計(jì)（FractionalFactorialDesign）對(duì)于2水平(shuǐpíng)的部分因子設(shè)計(jì)半因子設(shè)計(jì)法N=2n-1四分之一因子設(shè)計(jì)法N=2n-1對(duì)于3水平(shuǐpíng)的部分因子設(shè)計(jì)三分之一因子設(shè)計(jì)法N=3n-1為何要進(jìn)行部分因子(yīnzǐ)設(shè)計(jì)？在不損失信息的情況下，減少試驗(yàn)次數(shù)這一目標(biāo)可能實(shí)現(xiàn)嗎？第六十頁，共185頁。相關(guān)因素(yīnsù)硫酸鋅(Zincsulphate，Z)硫酸鎂(Magnesiumsulphate，M)pH值(P)對(duì)硝基苯基磷酸二鈉(Disodiump-nitrophenylphosphate，D)2-氨基2-甲基-1-丙醇(2-Amino-2-methyl-1-propanol,A)實(shí)例(shílì)：磷酸酶活性構(gòu)造一個(gè)五因素兩水平的全因子設(shè)計(jì)表來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，以得到有關(guān)磷酸酶活性的主要影響因素等信息。試驗(yàn)(shìyàn)次數(shù)N=25=32第六十一頁，共185頁。第六十二頁，共185頁。第六十三頁，共185頁。第六十四頁，共185頁。磷酸酶活性25次全因子(yīnzǐ)效應(yīng)正態(tài)分布圖第六十五頁，共185頁。此結(jié)果似乎說明對(duì)于磷酸酶活性的試驗(yàn)原本就可只用三因子設(shè)計(jì)表來完成，因pH和硫酸鎂的效應(yīng)不顯著。這從另一方面說明25次全因子試驗(yàn)本身就存在信息盈余，完全可以(kěyǐ)想辦法減少試驗(yàn)次數(shù)。對(duì)磷酸酶活性有顯著(xiǎnzhù)影響的因素A（2-氨基(ānjī)2-甲基-1-丙醇）D（對(duì)硝基苯基磷酸二鈉）Z（硫酸鋅）

ZD交叉效應(yīng)（對(duì)硝基苯基磷酸二鈉與硫酸鋅）

DA交叉效應(yīng)（2-氨基2-甲基-1-丙醇與對(duì)硝基苯基磷酸二鈉）第六十六頁，共185頁。第六十七頁，共185頁。磷酸酶活性25-1次半因子(yīnzǐ)效應(yīng)正態(tài)分布圖第六十八頁，共185頁。3正交試驗(yàn)(shìyàn)設(shè)計(jì)基本思想在試驗(yàn)因素的全部水平組合中，挑選部分有代表性的水平組合進(jìn)行(jìnxíng)試驗(yàn)，通過對(duì)這部分試驗(yàn)結(jié)果的分析了解全面試驗(yàn)的情況，找出最優(yōu)的水平組合。特點(diǎn)用部分試驗(yàn)來代替全面試驗(yàn)，通過對(duì)部分試驗(yàn)結(jié)果的分析，了解全面試驗(yàn)的情況。本質(zhì)上正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是一種特殊的部分因子設(shè)計(jì)第六十九頁，共185頁。正交試驗(yàn)(shìyàn)設(shè)計(jì)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法是利用規(guī)格化的表格—正交表,科學(xué)地挑選試驗(yàn)條件,合理安排實(shí)驗(yàn)。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法最早由日本質(zhì)量管量專家田口玄一(Taguchi日本工業(yè)(gōngyè)之父)提出,稱為國際標(biāo)準(zhǔn)型正交試驗(yàn)法。認(rèn)為：“一個(gè)工程技術(shù)人員若不掌握正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法,只能算半個(gè)工程師”。我國工業(yè)(gōngyè)企業(yè),正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法的應(yīng)用也取得相當(dāng)?shù)某删?中國數(shù)學(xué)家張里千教授發(fā)明了中國型正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法。上世紀(jì)六七十年代由華羅庚教授倡導(dǎo)而興起。第七十頁，共185頁。全面(quánmiàn)試驗(yàn)與正交試驗(yàn)全面試驗(yàn)(shìyàn)指參與試驗(yàn)(shìyàn)的全部因素與全部水平互之間的全部組合。例：有3個(gè)因素(A,B,C),每個(gè)因素有兩水平(A1A2,B1B2,C1C2)則全面試驗(yàn)(shìyàn)數(shù)為：23＝8當(dāng)3因素3水平時(shí)，全面試驗(yàn)(shìyàn)的次數(shù)達(dá)到27次正交試驗(yàn)(shìyàn)相應(yīng)的試驗(yàn)(shìyàn)次數(shù)分別為4次和9次。第七十一頁，共185頁。3因素（ABC）2水平(shuǐpíng)（1,2）的全面試驗(yàn)A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2NoABC1－（1）－（1）－（1）2＋（2）－（1）－（1）3－（1）＋（2）－（1）4＋（2）＋（2）－（1）5－（1）－（1）＋（2）6＋（2）－（1）＋（2）7－（1）＋（2）＋（2）8＋（2）＋（2）＋（2）23因子(yīnzǐ)設(shè)計(jì)（全面試驗(yàn)）表第七十二頁，共185頁。全面(quánmiàn)試驗(yàn)與正交試驗(yàn)直觀圖全面(quánmiàn)試驗(yàn):27個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)正交試驗(yàn):9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)二因素(yīnsù)三水平直觀圖三因素三水平直觀圖每一平面有均勻分布的2個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)3因素（ABC）3水平（1,2,3）試驗(yàn)每一平面有均勻分布的3個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)第七十三頁，共185頁。完全(wánquán)對(duì)設(shè)有兩組元素(yuánsù)a1,a2,…,an與b1,b2,…,bn,則有n×m個(gè)“元素(yuánsù)對(duì)”上數(shù)表為兩組元素構(gòu)成的“完全對(duì)”。如有一個(gè)矩陣的某兩列中，同行元素所構(gòu)成的元素是一完全對(duì)，并在此兩列中每對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)(cìshù)也相同，則稱這兩列搭配均衡，否則為搭配不均衡。第七十四頁，共185頁。兩列搭配(dāpèi)均衡兩列搭配不均衡(jūnhéng)(每對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)不同)第七十五頁，共185頁。對(duì)于(duìyú)一個(gè)n×m階矩陣A，它的第j列的元素由數(shù)碼1，2，…,tj(j=1,2,…,m)所構(gòu)成，如該矩陣的任意兩列都搭配均衡，則稱矩陣A為一個(gè)正交表。這里稱矩陣為表，因可將其寫成表格的形式，常簡記為L：正交表的代號(hào)，拉丁(lādīnɡ)方（Latinsquare）第一個(gè)字母n：試驗(yàn)(shìyàn)次數(shù)tj(j=1,2,…,m)：第j列由tj個(gè)水平組成t水平正交表各列水平均相同的正交表混合型正交表水平數(shù)均不同的正交表第七十六頁，共185頁。L9（33）試驗(yàn)(shìyàn)表（1/3實(shí)驗(yàn)）第七十七頁，共185頁。正交表的基本(jīběn)性質(zhì)任一列中，各水平都出現(xiàn)，且出現(xiàn)的次數(shù)相等。例如L9(33)中不同數(shù)字有1、2和3，它們(tāmen)各出現(xiàn)3次。任何兩列之間各種不同水平的所有可能組合都出現(xiàn)，且對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)相等。即每個(gè)因素的一個(gè)水平與另一因素的各個(gè)水平所有可能組合次數(shù)相等。例如L9(34)中，A列與B列，A的3個(gè)水平分別與B的3個(gè)水平均進(jìn)行了組合。A與C、A與D、B與C，B與D、C與D同樣呈現(xiàn)上述的規(guī)律。正交性第七十八頁，共185頁。正交表的基本(jīběn)性質(zhì)（1）任一列的各水平都出現(xiàn)，使得部分試驗(yàn)中包括了所有因素的所有水平；（2）任兩列的所有水平組合都出現(xiàn)，使任意兩因素間的試驗(yàn)組合為全面試驗(yàn)。由于正交表的正交性，正交試驗(yàn)的試驗(yàn)點(diǎn)必然均衡地分布在全面試驗(yàn)點(diǎn)中，具有很強(qiáng)的代表性。因此(yīncǐ)，部分試驗(yàn)尋找的最優(yōu)條件與全面試驗(yàn)所找的最優(yōu)條件，應(yīng)有一致的趨勢(shì)。代表性第七十九頁，共185頁。正交表的基本(jīběn)性質(zhì)綜合(zōnghé)可比性在這9個(gè)水平組合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3個(gè)水平，雖然搭配方式(fāngshì)不同，但B、C皆處于同等地位，當(dāng)比較A因素不同水平時(shí)，B因素不同水平的效應(yīng)相互抵消，C因素不同水平的效應(yīng)也相互抵消。所以A因素3個(gè)水平間具有綜合可比性。同樣，B、C因素3個(gè)水平間亦具有綜合可比性。第八十頁，共185頁。正交表的基本(jīběn)性質(zhì)正交表的三個(gè)基本性質(zhì)中，正交性是核心，是基礎(chǔ)，代表性和綜合可比性是正交性的必然結(jié)果根據(jù)(gēnjù)以上特性，我們用正交表安排的試驗(yàn)，具有均衡分散和整齊可比的特點(diǎn)。第八十一頁，共185頁。La（bc）正交設(shè)計(jì)(shèjì)試驗(yàn)(shìyàn)總次數(shù)，行數(shù)因素(yīnsù)的水平數(shù)因素個(gè)數(shù)，列數(shù)正交表的符號(hào)La（bc）第八十二頁，共185頁。正交試驗(yàn)(shìyàn)方案設(shè)計(jì)試驗(yàn)?zāi)康?mùdì)與要求試驗(yàn)(shìyàn)指標(biāo)選因素、定水平選擇合適正交表列試驗(yàn)方案試驗(yàn)結(jié)果分析第八十三頁，共185頁。交互(jiāohù)效應(yīng)第八十四頁，共185頁。根據(jù)L8(27)表和其交互效應(yīng)表，可將A因素(yīnsù)定在L8(27)表的第一列，B因素(yīnsù)定在L8(27)表的第二列。從L8(27)的交互效應(yīng)表知，第1列與第2列的交叉效應(yīng)在第3列，將其空出，將C因素(yīnsù)定在第4列，再由交互效應(yīng)表知，第1列與第4列的交互效應(yīng)在第5列，故也需將第5列空出，在根據(jù)交互效應(yīng)表找出B因素(yīnsù)與C因素(yīnsù)的交互效應(yīng)列，即第2列與第4列的交互效應(yīng)列，從交互效應(yīng)表可找出它們的交互效應(yīng)列是第6列，也將其空出。于是，D因素(yīnsù)就定在第7列了。示例(shìlì)設(shè)有一化學(xué)反應(yīng)，需考察(kǎochá)四個(gè)實(shí)驗(yàn)條件的影響：1）反應(yīng)溫度(A)；2）反應(yīng)時(shí)間(B)；3）反應(yīng)物配比(C)；4）反應(yīng)壓力(D)，并設(shè)各條件均是兩水平考察交叉效應(yīng)：A與B、A與C、B與C使用L8(27)表第八十五頁，共185頁。直觀(zhíguān)分析法－極差分析法計(jì)算(jìsuàn)Kjm，kjm,Rj判斷(pànduàn)因素主次優(yōu)水平優(yōu)組合正交試驗(yàn)的結(jié)果分析Kjm為第j列因素m水平所對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)指標(biāo)和，kjm為Kjm平均值。Rj為第j列因素的極差，反映了第j列因素水平波動(dòng)時(shí)，試驗(yàn)指標(biāo)的變動(dòng)幅度。Rj越大，說明該因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響越大。根據(jù)Rj大小根據(jù)kjm大小根據(jù)kjm大小第八十六頁，共185頁。山楂液化(yèhuà)率試驗(yàn)影響(yǐngxiǎng)因素品種、果肉破碎度、加水量(shuǐliànɡ)、pH、果膠酶種類、酶量、酶解溫度、酶解時(shí)間試驗(yàn)因素A:水量、B:酶量、C:酶解溫度、D：酶解時(shí)間因素個(gè)水平：3水平試驗(yàn)因素加水量（mL/100g）A加酶量（mL/100g）B酶解溫度（℃）C酶解時(shí)間（h）D1101201.52504352.53907503.5第八十七頁，共185頁。試驗(yàn)僅考察四個(gè)因素對(duì)液化率的影響效果(xiàoguǒ)，不考察因素間的交互作，選用L9（34）正交表。試驗(yàn)號(hào)因素ABCD111112122231333421235223162312731328321393321試驗(yàn)結(jié)果（液化率%）0172412472811842第八十八頁，共185頁。試驗(yàn)號(hào)因素液化率％ABCD1111102122217313332442123125223147623122873132183213189332142K141134689K287827146K361947254k113.74.315.329.7k229.027.323.715.3k320.331.324.018.0極差R15.327.08.714.3主次順序B>A>D>C優(yōu)水平A2B3C3D1優(yōu)組合A2B3C3D1第八十九頁，共185頁。指標(biāo)(zhǐbiāo)趨勢(shì)圖第九十頁，共185頁。MATLAB計(jì)算(jìsuàn)>>r=4;f=3;%因素、水平數(shù)>>[r1,c]=size(data1);%數(shù)據(jù)大小>>t=zeros(f,r);%預(yù)設(shè)極差為零>>fork=1:fforj=1:rb=0;fori=1:r1ifdata1(i,j)==k%水平相同(xiānɡtónɡ)b=b+data1(i,c);%同水平相加endendt(k,j)=b;%替換endend>>t1=t/3;%求均值>>r=max(t1)-min(t1);%求極差>>data1=[1111012221713332421231222314723122831321321318332142];第九十一頁，共185頁。正交試驗(yàn)(shìyàn)結(jié)果的方差分析將數(shù)據(jù)的總變異分解成因素引起的變異和誤差引起的變異兩部分，構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量，作F檢驗(yàn)，即可判斷因素作用(zuòyòng)是否顯著。基本(jīběn)思想偏差平方和分解自由度分解方差構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量列方差分析表，作F檢驗(yàn)若計(jì)算出的F值F0>Fa，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該因素或交互作用對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響；若F0?Fa，則認(rèn)為該因素或交互作用對(duì)試驗(yàn)結(jié)果無顯著影響。第九十二頁，共185頁。L9(34)正交表處理號(hào)第1列（A）第2列第3列第4列試驗(yàn)結(jié)果yi11111y121222y231333y342123y452231y562312y673132y783213y893321y9分析第1列因素時(shí)，其它列暫不考慮(kǎolǜ)，將其看做條件因素。因素A第1水平3次重復(fù)(chóngfù)測(cè)定值因素(yīnsù)A第2水平3次重復(fù)測(cè)定值因素A第3水平3次重復(fù)測(cè)定值因素重復(fù)1重復(fù)2重復(fù)3A1y1y2y3A2y4y5y6A3y7y8y9單因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)資料格式和y1+y2+y3K1y4+y5+y6K2y7+y8+y9K3第九十三頁，共185頁。表頭設(shè)計(jì)AB……試驗(yàn)數(shù)據(jù)列號(hào)12…kxixi2試驗(yàn)號(hào)11………x1x1221………x2x22…………………nm………xnxn2K1jK11K12…K1kK2jK21K22…K2k……………KmjKm1Km2…KmkK1j2K112K122…K1k2K2j2K212K222K2k2……………Kmj2Km12Km22…Kmk2SSjSS1SS2…SSkLn（mk）正交表及計(jì)算(jìsuàn)表格第九十四頁，共185頁?？偲?piānchā)平方和列偏差(piānchā)平方和試驗(yàn)總次數(shù)(cìshù)為n，每個(gè)因素水平數(shù)為m個(gè)，每個(gè)水平作r次重復(fù)r＝n/m。當(dāng)m＝2時(shí)，總自由度因素自由度第九十五頁，共185頁。啤酒酵母的最適自溶條件(tiáojiàn)示例(shìlì)2試驗(yàn)(shìyàn)指標(biāo)自溶液中蛋白質(zhì)含量（％）。試驗(yàn)因素溫度（℃），pH值，加酶量（％）水平試驗(yàn)因素溫度（℃）ApH值B加酶量（％）C1506.52.02557.02.43587.52.8因素水平表第九十六頁，共185頁。試驗(yàn)方案及結(jié)果(jiēguǒ)分析表處理號(hào)ABC空列試驗(yàn)結(jié)果yi11（50）1（6.5）1（2.0）16.25212（7.0）2（2.4）24.97313（7.5）3（2.834.5442（55）1237.53522315.54623125.573（58）13211.48321310.9933218.95K1j15.7625.1822.6520.74K2j18.5721.4121.4521.87K3j31.2518.9921.4822.97K1j2248.38634.03513.02430.15K2j2344.84458.39460.10478.30K3j2976.56360.62461.39527.62第九十七頁，共185頁。計(jì)算(jìsuàn)計(jì)算各列各水平(shuǐpíng)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)之和K1j、K2j、K3j及其平方K1j2、K2j2、K3j2。計(jì)算各列偏差(piānchā)平方同理，SSB=6.49，SSC=0.31，SSe=0.83（空列）第九十八頁，共185頁。計(jì)算(jìsuàn)自由度計(jì)算(jìsuàn)方差顯著性檢驗(yàn)(jiǎnyàn)根據(jù)以上計(jì)算，進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，列出方差分析表，結(jié)果見表2-1變異來源平方和自由度均方F值Fa顯著水平A45.40222.7079.6F0.05(2,4)=6.94**B6.4923.2411.4F0.01(2,4)=18.0*C△0.3120.16誤差e0.8320.41誤差e△

1.1440.285總和53.03表2-1方差分析表dfA＝dfB＝dfC＝dfe＝3-1=2第九十九頁，共185頁。因素A高度顯著，因素B顯著，因素C不顯著。因素主次順序A-B-C。(c可以(kěyǐ)選取最小值)優(yōu)化工藝條件(tiáojiàn)的確定本試驗(yàn)(shìyàn)指標(biāo)越大越好。對(duì)因素A、B分析，確定優(yōu)水平為A3、B1；因素C的水平改變對(duì)試驗(yàn)(shìyàn)結(jié)果幾乎無影響，從經(jīng)濟(jì)角度考慮，選C1。優(yōu)水平組合為A3B1C1。即溫度為58℃，pH值為6.5，加酶量為2.0%。

MATLAB的運(yùn)用anovan函數(shù)功能：進(jìn)行多因素的方差分析(analysisofvariance)p=anovan(x,group)x:試驗(yàn)結(jié)果。group：因素水平（各個(gè)因素個(gè)水平的排布即每列的排布沒有交互相和誤差項(xiàng)）第一百頁，共185頁。>>x=[6.254.974.547.535.545.511.410.98.95]；>>g={[111222333];[123123123];[123231312]}>>p=anovan(x,g)'%轉(zhuǎn)置使p結(jié)果(jiēguǒ)行顯示pp=0.01790.11330.7264C因素最不顯著(xiǎnzhù)，將其剔除再做方差分析（c與e作誤差相）>>g={[111222333];[123123123]}>>p=anovan(x,g)'p=0.00060.0224p：N個(gè)主效應(yīng)零假設(shè)的p值。小于0.05或0.01時(shí),認(rèn)為(rènwéi)結(jié)果顯著%花括號(hào)：元胞數(shù)組第一百零一頁，共185頁。正交試驗(yàn)(shìyàn)方差分析說明誤差自由度一般不應(yīng)小于2，dfe很小，F(xiàn)檢驗(yàn)靈敏度很低，有時(shí)即使因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有影響，用F檢驗(yàn)也判斷不出來。為了增大dfe，提高F檢驗(yàn)的靈敏度，在進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)之前，先將各因素和交互作用的方差與誤差方差比較，若MS因（MS交）<2MSe，可將這些因素或交互作用的偏差平方和、自由度并入誤差的偏差平方和、自由度，這樣(zhèyàng)使誤差的偏差平方和和自由度增大，提高了F檢驗(yàn)的靈敏度。由于進(jìn)行F檢驗(yàn)時(shí)，要用誤差偏差平方和SSe及其自由度dfe，因此，為進(jìn)行方差分析，所選正交表應(yīng)留出一定空列。當(dāng)無空列時(shí)，應(yīng)進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，以估計(jì)試驗(yàn)誤差。第一百零二頁，共185頁。表3-1試驗(yàn)方案(fāngàn)及結(jié)果分析表試驗(yàn)號(hào)ABA×BCA×CB×C空列吸光度111111112.42211122222.24312211222.66412222112.58521212122.36621221212.4722112212.79822121122.76K1j9.99.4210.2110.2310.2410.1210.19K2j10.3110.79109.989.9710.0910.02K1j-K2j-0.41-1.370.210.250.270.030.17SSj0.0210.2350.00550.00780.00910.00010.0036示例(shìlì)3AAS法測(cè)定食品中的鉛第一百零三頁，共185頁。變異來源平方和自由度均方F值臨界值Fa顯著水平A0.021010.0216.82

F0.05(1,3)=10.13B0.234610.23576.19

F0.01(1,3)=34.12**A×B△0.005510.006C0.007810.0082.53A×C0.009110.0092.96B×C△0.000110.000誤差e0.003610.004誤差e△

0.009230.00308總和0.2818表3-2方差分析表顯著性檢驗(yàn)(jiǎnyàn)因素B高度顯著，因素A、C及交互作用A×B、A×C、B×C均不顯著。各因素對(duì)試驗(yàn)(shìyàn)結(jié)果影響的主次順序?yàn)椋築、A、A×C、C、A×B、B×C。第一百零四頁，共185頁。優(yōu)化條件(tiáojiàn)確定交互作用均不顯著，確定因素(yīnsù)的優(yōu)水平時(shí)可以不考慮交互作用的影響。對(duì)顯著因素(yīnsù)B，通過比較K1B和K2B的大小確定優(yōu)水平為B2；同理A取A2，C取C1或C2。優(yōu)組合為A2B2C1或A2B2C2。方差分析可以分析出試驗(yàn)誤差的大小，從而知道試驗(yàn)精度；不僅可給出各因素及交互作用對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)影響的主次順序，而且可分析出哪些因素影響顯著，哪些影響不顯著。對(duì)于顯著因素，選取優(yōu)水平并在試驗(yàn)中加以(jiāyǐ)嚴(yán)格控制；對(duì)不顯著因素，可視具體情況確定優(yōu)水平。但極差分析不能對(duì)各因素的主要程度給予精確的數(shù)量估計(jì)。第一百零五頁，共185頁。mydata=[11111112.42;11122222.24;12211222.66;12222112.58;21212122.36;21221212.4;22112212.79;22121122.76];f=2;r=7;[r1,c]=size(mydata);t=zeros(f,r);fork=1:fforj=1:rb=0;fori=1:r1ifmydata(i,j)==kb=b+mydata(i,c);endendt(k,j)=b;endendt/4R=max(t/4)-min(t/4)運(yùn)用(yùnyòng)MATLAB分析第一百零六頁，共185頁。R=0.10250.34250.05250.06250.06750.00750.0425t=9.90009.420010.210010.230010.240010.120010.1900

10.3100

10.790010.00009.98009.970010.090010.0200>>g={[11112222];[11221122];[12121212]};>>anovan(mydata(:,8),g,[12345])'

由極差結(jié)果可知，6與7列對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響(yǐngxiǎng)很小，可刪除方差分析%mydata(:,8)：試驗(yàn)(shìyàn)指標(biāo)%[12345]方差分析的編碼1主項(xiàng)(zhǔxiànɡ)A2主項(xiàng)(zhǔxiànɡ)B3交叉項(xiàng)AB4主項(xiàng)(zhǔxiànɡ)C5交叉項(xiàng)AC6交叉項(xiàng)BC7交叉項(xiàng)ABC8交叉項(xiàng)D第一百零七頁，共185頁。>>anovan(mydata(:,8),g,[1245])'

ans=0.07950.00320.20940.1839ans=0.07840.00780.22750.17710.1575第一百零八頁，共185頁。試驗(yàn)(shìyàn)目的與要求試驗(yàn)(shìyàn)指標(biāo)選因素(yīnsù)、定水平因素、水平確定選擇合適正交表表頭設(shè)計(jì)列試驗(yàn)方案試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果分析第一百零九頁，共185頁。進(jìn)行(jìnxíng)試驗(yàn)，記錄試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)結(jié)果(jiēguǒ)極差分析計(jì)算(jìsuàn)K值計(jì)算k值計(jì)算極差R繪制因素指標(biāo)趨勢(shì)圖優(yōu)水平因素主次順序優(yōu)組合結(jié)論試驗(yàn)結(jié)果分析試驗(yàn)結(jié)果方差分析列方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)計(jì)算各列偏差平方和、自由度分析檢驗(yàn)結(jié)果，寫出結(jié)論第一百一十頁，共185頁。表達(dá)設(shè)計(jì)ABCY試驗(yàn)結(jié)果列號(hào)試驗(yàn)號(hào)12341234567891(900)112(1100)223(1300)331(10)2(11)3(12)1231211(70)2(80)3(90)231312123312231160215180168236190157205140K1K2K3555594502485656510555523573yi=T=1651yi2=310519ST=7652.2k1k2k3185198167.3161.7218.7170185174.3191R30.75716.7S1421.65686.9427.6116.2第一百一十一頁，共185頁。4均勻(jūnyún)設(shè)計(jì)(uniformdesign)第一百一十二頁，共185頁。概述上世紀(jì)70年代(niándài)我國巡航導(dǎo)彈研究，當(dāng)時(shí)七機(jī)部的5因素多于10水平，試驗(yàn)總數(shù)小于50的要求問題(wèntí)提出發(fā)明人王元時(shí)任中科院數(shù)學(xué)所所長(suǒchánɡ)方開泰時(shí)任中科院應(yīng)用數(shù)學(xué)所副所長(suǒchánɡ)歷史85多元統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)班2002福特汽車公司講學(xué)論文、專著均勻設(shè)計(jì)學(xué)會(huì)第一百一十三頁，共185頁。第一百一十四頁，共185頁。特點(diǎn)(tèdiǎn)試驗(yàn)(shìyàn)點(diǎn)分布均勻分散在處理設(shè)計(jì)中各個(gè)因素每個(gè)水平(shuǐpíng)只出現(xiàn)一次適用于多水平多因素模型擬合及優(yōu)化試驗(yàn)試驗(yàn)結(jié)果采用回歸分析方法與正交設(shè)計(jì)的比較正交試驗(yàn)特點(diǎn)為“均衡分散、整齊可比”，而均勻設(shè)計(jì)不考慮整齊可比性而完全保證均勻性，讓試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)充分地均勻分散，大大地減少了試驗(yàn)點(diǎn)，對(duì)于3因素5水平試驗(yàn)，正交法需25次試驗(yàn)，而均勻法僅有5次。第一百一十五頁，共185頁。3因素(yīnsù)5水平均勻設(shè)計(jì)和正交設(shè)計(jì)的比較圖第一百一十六頁，共185頁。均勻設(shè)計(jì)(shèjì)表及其使用Un(qs)均勻(jūnyún)設(shè)計(jì)試驗(yàn)(shìyàn)次數(shù)因素的最大數(shù)水平數(shù)第一百一十七頁，共185頁。

均勻設(shè)計(jì)(shèjì)表及其使用均勻(jūnyún)設(shè)計(jì)是通過一套精心設(shè)計(jì)的表來進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)的。每一個(gè)均勻(jūnyún)設(shè)計(jì)表有一個(gè)代號(hào)，Un(qs)其中“U”表示均勻(jūnyún)設(shè)計(jì)，“n”表示要做n次試驗(yàn)，“q”表示每個(gè)因素有q個(gè)水平(n=q)，“s”表示該表有s列。每個(gè)均勻設(shè)計(jì)表都附有一個(gè)(yīɡè)使用表，它指示我們?nèi)绾螐脑O(shè)計(jì)表中選用適當(dāng)?shù)牧?，以及由這些列所組成的試驗(yàn)方案的偏差。由于均勻設(shè)計(jì)表列間的相關(guān)性最多安排因素第一百一十八頁，共185頁。12341123422413331424432155555U5(54)表因素?cái)?shù)列號(hào)2123124U5(54)使用(shǐyòng)表第一百一十九頁，共185頁。1234561123456224613533625144415263553164266543217777777因素?cái)?shù)列號(hào)212312341236U7(76)表U7(76)使用(shǐyòng)表第一百二十頁，共185頁。U9(96)表因素?cái)?shù)列號(hào)212313541235U9(96)使用(shǐyòng)表第一百二十一頁，共185頁。均勻設(shè)計(jì)(shèjì)表結(jié)構(gòu)每個(gè)因素(yīnsù)的每個(gè)水平各作一次試驗(yàn)，表中的行數(shù)體現(xiàn)了水平數(shù)，即試驗(yàn)次數(shù)；表中的列數(shù)是最多可供選擇的列數(shù)。表中第一列的數(shù)字(shùzì)按自然數(shù)的順序由1排到n(試驗(yàn)次數(shù)）對(duì)于為素?cái)?shù)的試驗(yàn)表，表中第一行的數(shù)字，按自然數(shù)的順序由1排到n-1對(duì)于為非素?cái)?shù)的試驗(yàn)表，表中第一行的數(shù)字均小于n

，且不包括可被n整除的數(shù)，排列順序也是由小到大任一列的數(shù)字沒有重復(fù)對(duì)于n為偶數(shù)的試驗(yàn)表，列數(shù)較少。第一百二十二頁，共185頁。均勻設(shè)計(jì)(shèjì)表使用對(duì)于均勻設(shè)計(jì)使用表，是建議我們(wǒmen)如何選擇適當(dāng)?shù)牧?。其中‘偏差’為均勻性的度量值，?shù)值小的設(shè)計(jì)表示均勻性好。例如U7(74)的使用表為第一百二十三頁，共185頁。均勻(jūnyún)設(shè)計(jì)表使用第一百二十四頁，共185頁。數(shù)據(jù)分析—多元回歸復(fù)習(xí)(fùxí)一元(yīyuán)線性回歸分析x：0.000

0.020

0.040

0.060

0.080

0.100

0.120y：0.032

0.135

0.187

0.268

0.395

0.435

0.511X與Y的函數(shù)(hánshù)表達(dá)？X與Y函數(shù)式怎樣確定？X與Y函數(shù)式正確性如何？第一百二十五頁，共185頁。X與Y的函數(shù)(hánshù)表達(dá)？若n有個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)（xi，yi），則的觀察(guānchá)值yi可由下式表達(dá)式中，ei為殘差。令yi的估計(jì)值為則X與Y函數(shù)式怎樣(zěnyàng)確定？只要確定了線性方程中的b(斜率)與a

(截距)，即可確定函數(shù)式X與Y函數(shù)式正確性如何？所有的點(diǎn)（xi,yi）到直線距離越近，即選取a與b

，使殘差平方和Q=ei2=[yi－(a+bxi)]2越小，所建立的函數(shù)式越準(zhǔn)確，即最小二乘。第一百二十六頁，共185頁。求Q（a,b）的最小，即求其極值(jízhí)利用(lìyòng)上二式可解得系數(shù)(xìshù)的求算第一百二十七頁，共185頁。相關(guān)(xiāngguān)程度檢驗(yàn)用一個(gè)(yīɡè)數(shù)量性指標(biāo)來描述兩變量線性關(guān)系的密切程度。在直線回歸中，人們常用相關(guān)系數(shù)r來衡量兩變量間線性關(guān)系的密切程度。r值在0－1之間，r值越接近(jiējìn)0，兩變量間的線性相關(guān)性越差；越接近(jiējìn)1，兩變量間的線性相關(guān)性越好。第一百二十八頁，共185頁。方差分析總偏離(piānlí)平方和加歸平方和殘差平方和第一百二十九頁，共185頁。MATLAB的實(shí)現(xiàn)(shíxiàn)restool函數(shù)(hánshù)生成(shēnɡchénɡ)線性擬合圖在圖中Export下拉式中進(jìn)行選擇，當(dāng)選all后藍(lán)線可拖動(dòng)，相應(yīng)的X1，Y1發(fā)生變化，或在X1框中輸入第一百三十頁，共185頁。>>beta‘%擬合(nǐhé)系數(shù)beta=0.03994.0089前一為截距a，后一為斜率(xiélǜ)b>>rmse%均方差(fānɡchà)rmse=0.0197>>residuals‘

%殘差-0.00790.0149-0.0133-0.01240.0344-0.0058-0.0100Corrcoef

函數(shù)>>corrcoef(x,y)ans=1.00000.99470.99471.0000第一百三十一頁，共185頁。多元線性回歸(huíguī)分析觀測(cè)數(shù)yx1x2x3xm1y1x11x12x13x1m2y2x21x22x23x2m3y3x31x32x33x3m：：：：：：nynxn1xn2xn2xnmm個(gè)變量(biànliàng)n次測(cè)試的一般表示y的觀測(cè)(guāncè)值可表示為令則第一百三十二頁，共185頁。類似一元(yīyuán)回歸統(tǒng)計(jì)(tǒngjì)檢驗(yàn)若則說明(shuōmíng)回歸效果較顯著復(fù)相關(guān)系數(shù)第一百三十三頁，共185頁。MATLAB的實(shí)現(xiàn)(shíxiàn)regess函數(shù)(hánshù)[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)stats包含R2統(tǒng)計(jì)(tǒngjì)量，回歸的F值和p值X=71111171,13122111110262956315255713154474066686158869172218423986052204733226442226341212y=[78.574.3104.387.695.9109.2102.772.593.1115.983.8113.3109.4]在b中返回的β估計(jì)bint為的95置信區(qū)間r為殘差，第一百三十四頁，共185頁。b=2.19301.15330.75850.4863bint=1.77392.61221.04491.26180.39771.11940.39260.5800r=-0.56801.9943-0.2042-1.2017-0.02394.1180-1.5779-3.53142.0821-0.03861.49330.3946-2.8605rint=-4.72183.5858-2.64786.6363-5.63255.2240-6.17673.7733-4.73054.6828-0.22838.4642-6.03042.8747-7.11300.0502-2.86647.0306-3.32623.2490-2.94095.9276-4.80885.5980-7.38501.6639stats=0.9860152.69200.0000第一百三十五頁，共185頁。逐步回歸分析(fēnxī)最優(yōu)回歸方程的選擇(xuǎnzé)從所有可能(kěnéng)的組合中挑選最優(yōu)。但變量多時(shí)不可行從包含全部變量方程中剔除。但當(dāng)變量很多，且重要變量少時(shí)，方法效率低。把變量個(gè)引入方程。但先引入的可能使后面的變量的顯著性降低逐步回歸法按自變量對(duì)y作用的顯著程度，從大到小依次逐個(gè)引入，但先引入的變量由于后面的變量變的不顯著時(shí)，則隨時(shí)將其剔除。即每一步的前后都要作顯著性檢驗(yàn)，引入新變量前回歸方程中只包含顯著的變量，直到?jīng)]有顯著的變量可引入。第一百三十六頁，共185頁。MATLAB的實(shí)現(xiàn)(shíxiàn)Stepwise(x,y)函數(shù)(hánshù)窗口(chuāngkǒu)1Parameter:變量回歸系數(shù)Cofidenceintervals:變量回歸系數(shù)95%置信區(qū)間RMSE：均方差；R-suare:相關(guān)系數(shù)平方第一百三十七頁，共185頁。窗口(chuāngkǒu)2均方差(fānɡchà)示意圖窗口(chuāngkǒu)3誤差條圖點(diǎn)擊圖中圓圈或線，可轉(zhuǎn)換對(duì)應(yīng)變量的引入或剔除狀態(tài)。紅色對(duì)應(yīng)剔除，綠色為引入。下拉式列表框，可確定有關(guān)信息的輸出常數(shù)項(xiàng)mean(y)-mean(x(:,in))*beta(in)第一百三十八頁，共185頁。擬水平均勻(jūny