馬爾科夫相關性質、馬爾科夫隨機場詳解

馬爾科夫與圖像處理馬爾科夫馬爾科夫隨機過程就是，下一個時間點的狀態(tài)只與當前的狀態(tài)有關系，而與以前的狀態(tài)沒有關系，即未來的狀態(tài)決定于現(xiàn)在而不決定于過去。其未來由現(xiàn)在決定的程度，使得我們關于過去的知識絲毫不影響這種決定性。這種在已知“現(xiàn)在”的條件下，“未來”與“過去”彼此獨立的特性就被稱為馬爾科夫性，具有這種性質的隨機過程就叫做馬爾科夫過程馬爾科夫過程例如：假定天氣是馬爾科夫的，其意思就是我們假設今天的天氣僅僅與昨天的天氣存在概率上的關聯(lián)，而與前天及前天以前的天氣沒有關系。其它如傳染病和謠言的傳播規(guī)律，都是馬爾科夫的。荷花池里有N張荷葉，在時刻Tn時，Xn為時刻Tn青蛙所處的狀態(tài)。P(Xn+1=j/Xn=i)=Pi,j

,

其中，i,j=1,2,…N.表示在Tn時刻青蛙在第i張荷葉上。在下一個時刻Tn+1跳到第j張荷葉上的可能性，又稱為從狀態(tài)i經(jīng)一步轉移到j的概率，簡稱為一步轉移概率。將這些Pi,j依序排列起來，就構成一個矩陣，叫做轉移概率矩陣。

P11

P12

...

P1n

P

=

[

P21

P22

...

P2n

]

...

Pn1

Pn2

...

Pnn馬爾科夫預測例如：A,B,C三個廠生產(chǎn)的電腦上公司在某地區(qū)市場上的占有率分別為0.3，0.2

，0.5。根據(jù)市場調查得知、顧客的流動情況如下：

A

B

C

A

0.4

0.3

0.3B

0.6

0.3

0.1C

0.6

0.1

0.3市場的初始狀態(tài)為S(0)=(0.3,0.2,0.5)轉移概率P為

0.4

0.3

0.3

P

=

[

0.6

0.3

0.1

]

0.6

0.1

0.3

S(1)=S(0)*P=(0.54,

0.20,

0.26),這個月A,B,C電腦的市場占有率為54%,20%,26%S(2)=S(1)*p=S(0)*P^2=(0.492,

0.248,

0.26),下個月A,B,C電腦的市場占有率為49.2%，24.8%，26%隱馬爾科夫過程與馬爾科夫相比，隱馬爾科夫模型則是雙重隨機過程，不僅狀態(tài)轉移之間是個隨機事件，狀態(tài)和輸出之間也是一個隨機過程該圖上面那行是一個馬爾科夫轉移過程，X1，X2,……XT狀態(tài)稱為隱藏狀態(tài)，下面這一行則是輸出，即我們可以觀察到的值，稱為觀察狀態(tài)，觀察狀態(tài)的集合表示為O={O1,O2,O3,…OM}。隱馬爾科夫也比馬爾科夫多了一個假設，即輸出僅與當前狀態(tài)有關，可以用如下公式表示：P(O1,O2,…,Ot|S1,S2,…,St)=P(O1|S1)*P(O2|S2)*...*P(Ot|St)O1,O2,…,Ot為從時刻1到時刻t的觀測狀態(tài)序列，S1,S2,…,St則為隱藏狀態(tài)序列。例如：我在不同天氣狀態(tài)下去做一些事情的概率不同，（觀察狀態(tài)）天氣狀態(tài)集合為{下雨，陰天，晴天}，（隱藏狀態(tài)）事情集合為{宅著，自習，游玩}。假如我們已經(jīng)有了轉移概率和輸出概率，即P(天氣A|天氣B)和P(事情a|天氣A)的概率都已知道，那么我們可以解決：假如一周內的天氣變化是下雨->晴天->陰天->下雨->陰天->晴天->陰天，那么我這一周自習->宅著->游玩->自習->游玩->宅著->自習的概率。假如一周內的天氣變化是下雨->晴天->陰天->下雨->陰天->晴天->陰天，那我們這一周最有可能的做事序列。這些可以通過隱馬爾科夫模型得到結果。馬爾科夫隨機場馬爾科夫隨機場包含兩層意思馬爾科夫性質隨機場隨機場當給每一個位置中按照某種分布隨機賦予相空間的一個值之后，其全體就叫做隨機場。其中有兩個概念：位置（site），相空間（phasespace）。我們可以拿種地來打個比方?！拔恢谩焙帽仁且划€畝農田；“相空間”好比是要種的各種莊稼。我們可以給不同的地種上不同的莊稼，這就好比給隨機場的每個“位置”，賦予相空間里不同的值。所以，隨機場就好比是在哪塊地里種什么莊稼的事情。馬爾科夫隨機場

同樣拿種地打比方，如果任何一塊地里種的莊稼的種類僅僅與它鄰近的地里種的莊稼的種類有關，與其它地方的莊稼的種類無關，那么這些地里種的莊稼的集合，就是一個馬爾可夫隨機場。馬爾科夫隨機場與圖像的關系一維馬爾科夫隨機過程很好的描述隨機過程中某點的狀態(tài)只與該點之前的一個點的狀態(tài)有關系。對于定義在二維空間上的圖像，也可以將它看為一個二維隨機場。那么就存在二維馬爾科夫隨機場,將時間上的馬爾科夫性轉換到空間上，考慮空間的關系,二維MRF的平面網(wǎng)格結構可以較好的表現(xiàn)圖像中像素之間的空間相關性。馬爾科夫圖像模型MRF將圖像模擬成一個隨機變量組成的網(wǎng)格，其中的每一個變量對明確的對其自身之外的隨機變量組成的鄰近基團具有依賴性。該模型考慮每個像元關于它的鄰近像元的條件分布，有效地描述圖像的局部統(tǒng)計特性?；径x

圖像分割問題要求解的是滿足最大后驗概率準則的對每個像素的分類標號，我們統(tǒng)一稱為標號場，記為X。xs∈

，表示在標號場X上，狀態(tài)空間為Λ的隱狀態(tài)隨機變量。在圖像中格點集S表示像素的位置X稱為標號場，也可以表示像素值的集合或圖像經(jīng)小波變換后的小波系數(shù)集合L表示將圖像分割為不同區(qū)域的數(shù)目，即標簽集合鄰域系統(tǒng)隨機場（RandomFiled）中，利用鄰域系統(tǒng)可以分析空間上的馬爾科夫性。一個像素點的特性，更可能受它周圍像素的影響，與它距離越遠的像素，對它的特性的影響越小。鄰域系統(tǒng)分階鄰域系統(tǒng)與子團在圖像模型中，可以根據(jù)對象元的距離建立一種分階鄰域系統(tǒng)，定義如下：基團S中有不同的鄰域結構，在S上由單個像元或由象元與其鄰點組成的子集稱為一個基團。子團c的集合用C來表示。分階鄰域系統(tǒng)與基團示例

馬爾科夫隨機場

在數(shù)字圖像中，一個像元的灰度值僅與其鄰域系統(tǒng)內各象元的灰度值有關，因而可以利用馬爾科夫隨機場來模擬數(shù)字圖像。當鄰域系統(tǒng)足夠大時，任何定義在S上的圖像數(shù)據(jù)均可看成馬爾科夫隨機場的一個實現(xiàn)MRF與Gibbs分布的等價性由于Markov隨機場是用來描述圖像的局部性質，而Gibbs隨機場由隨機場的全局性質來刻畫?？梢詫蓚€隨機場聯(lián)系起來。20世紀80年代Hammersley-Clifford給出了Gibbs分布與MRF關系。

Harmmersley-Clifford定理：鄰域系統(tǒng)M在集合S中，若S上隨機場X符合Gibbs隨機場，那么X也是一個Markov隨機場。

從而用Gibbs分布求解MRF中的概率分布，相應的MRF模型的結構信息就可以由Gibbs分布的表達式可以描述。MRF與Gibbs分布的等價關系Gibbs分布：MRF與Gibbs分布的等價關系Gibbs分布與MRF的等價條件：一個隨機場是關于鄰域系統(tǒng)的MRF，當且僅當這個隨機場是關于鄰域系統(tǒng)的Gibbs分布，表示為：通過能量函數(shù)確定MRF的條件概率，從而使其在全局上具有一致性。通過單個像素及其領域的簡單的局部交互，MRF模型可以獲得復雜的全局行為。即計算局部的Gibbs分布得到全局的統(tǒng)計結果。上式解決了求MRF中概率分布的難題,使對MRF的研究轉化為對勢函數(shù)Vc(x)的研究。貝葉斯公式用來描述兩個條件概率之間的關系，比如P(A|B)和P(B|A)。按照乘法法則：P(A∩B)=P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)。事件A在事件B(發(fā)生)的條件下的概率，與事件B在事件A的條件下的概率是不一樣的。P(A)是A的先驗概率或邊緣概率。所以稱為"先驗"是因為它不考慮任何B方面的因素。P(A|B)是已知B發(fā)生后A的條件概率，也被稱作A的后驗概率。P(B|A)是已知A發(fā)生后B的條件概率，也被稱作B的后驗概率。P(B)是B的先驗概率或邊緣概率，也作標準化常量。按這些術語，Bayes法則可表述為：后驗概率=(似然度*先驗概率)/標準化常量也就是說，后驗概率與先驗概率和似然度的乘積成正比?；贛RF的圖像分割模型我們把圖像的的分割問題轉化為圖像的標記問題。標記場是用來對待測對象的像素進行跟蹤標記，特征場是擬合原始的觀測數(shù)據(jù)，盡可能準確的反映每一個像素位置的特征信息，使圖像分割的結果中能夠保留更多的細節(jié)信息。

根據(jù)貝葉斯估計準則和最大后驗概率準則，將后驗概率轉換為先驗概率與似然函數(shù)的乘積，似然函數(shù)同城是一個高斯分布，而先驗概率通過MRF轉換為Gibbs分布得到，最后更新標號場使得成績最大，得到最佳分割。基于MRF的圖像分割模型勢函數(shù)選擇MLL（多級邏輯模型）為勢函數(shù)的參考模型。對于單點子團，函數(shù)依賴于已經(jīng)分配的標簽值：

對于成對點子團勢，勢函數(shù)為：J為像素點i鄰域內的點，

為耦合系數(shù)，表示領域內相鄰像素的懲罰程度。根據(jù)上面的式子，我們可以求出P(X)特征場模型建立接下來是求P(Y|X),表示給定標記場X=xi一個實現(xiàn)的條件下，特征場Y=yi的聯(lián)合分布。擬合原始的觀測數(shù)據(jù)，盡可能的反映出每一個分類的特征信息，使分割結果保留更多的細節(jié)信息。假設則圖像的觀測數(shù)據(jù)可以視為多個高斯函數(shù)的加權來表現(xiàn)其特征。即P(Y|X)服從高斯分布，即：

其中，y表示該點的灰度值；m=1,2,…，n表示觀測區(qū)域的類別標記狀態(tài)；表示圖像中標記為k類像素的個數(shù)占整幅圖像的像素個數(shù)的比重。即0<<1f(Y|X=m)表示對應類別的高斯概率密度函數(shù)，即：其中，和分別表示標記為m區(qū)域的均值和方差。參數(shù)估計根據(jù)每一個像素位置(標記分類)直接計算出該像素的每一個參數(shù)。

為圖像中被標記為m類像素的個數(shù)，N為整幅圖像的像素個數(shù)，y為像素的灰度值。根據(jù)上面得到的P(X)和P(Y|X)的計算公式，采用最大后驗估計來得到圖像標號的分布，即求得最優(yōu)分割結果，即完成圖像的分割過程。

Markov隨機場分割算法對圖像進行預分割，將分割后的圖像根據(jù)灰度直方圖設定一個閾值T。假設W表示觀測圖像的標記場，根據(jù)閾值T對圖像進行初始標記分類

。w是像素的標記。計算當前狀態(tài)的每個像素的標記場能量函數(shù)：U1(w)，其中k=n，n為分割的次數(shù)。假設F表示觀測圖像的特征場，求得似然函數(shù)P(F|W)的參數(shù)集合即對每個分類