線性代數總復習

總復習第一章行列式

1、了解行列式的概念；

3、會用行列式的性質和展開定理計算行列式；

2、掌握行列式的性質和展開定理；

4、掌握幾種特殊行列式的計算。

5、會用克萊母(cramer)法則;第二章矩陣

2.理解逆矩陣的概念,掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件,理解伴隨矩陣的概念,會求逆矩陣。

3.掌握矩陣的初等變換,了解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念。

4.了解分塊矩陣及其運算。

1.理解矩陣的概念,了解單位矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣,以及它們的性質;掌握矩陣的線性運算、轉置、乘法、方陣的冪與方陣的行列式。第三章向量線性關系秩

1.理解n維向量的概念以及向量的線性運算;

2.理解向量組的線性組合與線性表示的概念;

3.理解向量組線性相關,線性無關的定義,了解并會用向量組線性相關,線性無關的有關性質及判別法;

4.理解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念,會求向量組的極大無關組和秩，理解向量組等價的概念;

5.理解矩陣秩的概念及與向量組秩的關系及其計算．第四章線性方程組

1.理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件;

2.理解齊次線性方程組的基礎解系和通解的概念,掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法;

3.理解非齊次線性方程組的解的結構和通解的概念;

4.會用消元法求解線性方程組.第五章線性空間與線性變換

1.了解向量空間,子空間,維數,基底,坐標等概念;

2.了解基變換和坐標變換公式,會求過渡矩陣;

3.了解線性變換的概念，會求線性變換的矩陣；

5.了解規(guī)范正交基,正交矩陣的概念,以及它們的性質.

4.了解euclid(歐幾里得)空間及內積的概念,掌握將線性無關向量組正交化的施密特(schmidt)正交化方法;第六章矩陣的特征值與特征向量

1.了解矩陣的特征值和特征向量的概念及其求法;

2.了解矩陣的特征值和特征向量的性質;

3.了解相似矩陣的概念及性質;

4.掌握將(實對稱)矩陣(正交)相似對角化的方法.第七章二次型

1.掌握二次型及其矩陣表示,了解二次型秩的概念,了解合同變換與合同矩陣的概念,了解二次型的標準形和規(guī)范形的概念以及慣性定理;

2.掌握用正交變換化二次型為標準形的方法,會用配方法化二次型為標準形;

3.理解正定二次型和正定矩陣的概念,掌握其判別法.典型例題

1＊.計算

24頁：11(1),(3),(4),12

2.(051,2,4)(4分)設1,2,3均為3維列向量,記矩陣a=(1,2,3),b=(1+2+3,1+22+43,1+32+93),如果|a|=1,求|b|.

解法一|b|=|1+2+3,1+22+43,1+32+93|=|1+2+3,2+33,2+53|=|1+2+3,2+33,23|=2|1+2+3,2+33,3|=2|1+2,2,3|=2|1,2,3|=2|a|=2

b=(1+2+3,1+22+43,1+32+93)

解法二由于所以求矩陣b.

3*.(951)設三階方陣a,b滿足關系式a-1ba=6a+ba,且

解

a-1ba=6a+bab-ab=6aa-1b=6e+bb=6a+abb=6(e-a)-1a,即

49頁：10,11,12,18

4.(041,2)設a是3階方陣，將a的第1列與第2列交換得b,再把b的第2列加到第3列得c,求滿足aq=c的可逆矩陣q.解由已知有:b=ap[1,2],c=bp[2+3(1)],所以有:

q=p[1,2]p[2+3(1)]于是，c=ap[1,2]p[2+3(1)],

5*.(063,4)設4維向量組問a為何值時1,2,3,4線性相關?當1,2,3,4線性相關時,求其一個極大線性無關組,并將其余量用該極大線性無關組線性表出.解由于所以,a=0或a=-10時,1,2,3,4線性相關.

a=0時,由于此時r(a)=1,1是一個極大線性無關組,且有

2=21,3=31,4=41

a=-10時,由于可見,此時r(a)=3,1,2,3是一個極大線性無關組,且4=-1-2-3.

64頁：6,7,12,15

6**.取何值時,方程組無解,有唯一解或有無窮多解?并在有無窮多解時寫出方程組的通解.解由于方程組的增廣矩陣為可見,當=-4/5時,r(a)=2,r(a|b)=3,方程組無解.當-4/5,且-1時r(a)=r(a|b)=3,方程組有唯一解.當=-1時,有所以,有r(a)=r(a|b)=2,方程組有無窮多解,且通解為或寫成也可以寫成向量形式7.(043)(4分)設n階矩陣a的伴隨矩陣a*0,

若是非齊次線性方程組的互不相等的解，則對應的齊次線性方程組的基礎解系()(a)不存在.(b)僅含一個非零解向量.(c)含有兩個線性無關的解向量.(d)含有三個線性無關的解向量.

解由于a*0,所以存在某個aij0,于是r(a)n-1.

又由于ax=b的解不唯一,故r(a)＜n.于是r(a)=n-1.

b所以,方程組ax=0的解空間是1維的.故應選(b).

78頁：5;79頁:9,1

7**.

117頁：2(2),(3);3(1),(2);

8**.

135頁：2(2),(3);5行列式的概念定義由n個數1,2,3,…,n所組成的一個有序數組稱為一個n級排列。一個排列中所有逆序的總數叫做這個排列的逆序數。

逆序數為奇數的排列稱為奇排列，逆序數為偶數的排列叫做偶排列。其中，ti是比pi大的且排在pi

前面的數的個數．定理對排列進行一次對換,改變排列的奇偶性。定義行列式的性質

性質1

行列式與其轉置行列式相等,即d=dt。

性質2

行列式可以按行(列)提取公因子.行列式的性質

性質3

行列式兩行(列)互換，行列式變號.

性質4

行列式某兩行(列)元素相同,則行列式為零。

性質5

行列式某兩行(列)元素成比例,則行列式為零。行列式的性質

性質6

若行列式的某一行(列)的元素都是兩個數之和,則行列式可分成兩個行列式之和。行列式的性質

性質7

行列式某一行(列)的若干倍加到另一行(列)對應的元素上，行列式不變.行列式展開定理

.行列式展開定理:行列式的值等于其任何一行(列)元素與其對應的代數余子式乘積之和.即.關于代數余子式的重要性質：cramer法則及其應用

.cramer法則

若d0,則ax=b有唯一解:xi=di

/d

.解判定

ax=0有非零解|a|=0.

ax=0只有零解|a|0.

ax=b有唯一解|a|0.

ax=b無解|a|=0.

ax=b有無窮多解|a|=0.特殊行列式的計算

.對角行列式,上(下)三角行列式:對角線元素乘積

.二、三階行列式:對角線法則特殊行列式的計算

.vandermonde行列式線性運算,乘法,轉置,方陣的冪,方陣的行列式;

|ab|=|a||b|:a,b為同階方陣.a+b:a,b為同型矩陣(行和列都相等);ab:a的列數等于b的行數,abbaab=0推不出a=0或b=0ab=ac或ba=ca推不出a=0或b=c矩陣的運算

|ka|=kn|a|,|a+b||a|+|b|逆矩陣可逆矩陣又稱為非異陣或非奇異陣.

若ab=e(或ba=e)，則a可逆,且b=a-1(a為方陣)。（?。?a-1)

-1=a

（ⅲ）(at)-1=(a-1)t

（ⅱ）(ka)-1

=1/ka-1（ⅳ）(ab)-1=b-1a-1逆矩陣的計算:

a可逆|a|0。

（ⅴ）|a-1|

=1/|a|（ⅵ）(ak)-1=(a-1)ka-k

(a+b)-1a-1+b-1=伴隨矩陣

|a*|=|a|n-1(a*)-1=a/|a|=(a-1)*(a可逆時)aa*=a*a=|a|e,a可逆時有a*=|a|a-1

(at)*=(a*)t(ca)*=cn-1a*

(ab)*=b*a*

(ak)*=(a*)k

(a*)*=|a|n-2an=2時有:初等變換與初等矩陣

初等變換與初等方陣的關系：

初等變換:ri?rj

,k×ri,rj+kri,ci?cj

,k×ci,cj+cri

初等矩陣:p[i,j],p[i(k)],p[i+j(k)]矩陣的等價:a經初等變換變成b，稱a與b等價；

p-1[i,j]=p[i,j],p-1[i(k)]=p[i(1/k)],p-1[i+j(k)]=p[i+j(-k)]分塊對角矩陣分塊對角矩陣分塊對角矩陣

設a為n階方陣,若a的分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊,其余子塊都為零矩陣,且非零子塊都是方陣,即則稱a為分塊對角矩陣,分塊對角矩陣具有性質:

（a）

|a|=|a1||a2|…|as|（b）

定義給定向量組:1,2,…,m,若存在一組數k1,k2,…,km,使:=k11+k22+…+kmm,則稱向量可由向量組1,2,…,m線性表示,也稱向量是向量組1,2,…,m的線性組合.稱可互相線性表示的兩個向量組等價.向量組的線性表示向量可由向量組1,2,…,m線性表示當且僅當線性方程組x11+x22+…+xm

m=有解.向量可由向量組1,2,…,m線性表示當且僅當向量組1,2,…,m和1,2,…,m,有相同的秩.反之,線性方程組ax=b有解當且僅當常向量b可由系數矩陣a的列向量組線性表示.如果矩陣a可經過初等行(列)變換變成矩陣b,則矩陣a和矩陣b的行(列)向量組等價.若c=ab,則矩陣c的列向量組能由矩陣a的列向量組線性表示,而且矩陣b的各列恰是對應的表示式系數.向量組的線性表示實際上,由可得,i=b1i1+b2i2+…+bmim

.若c=ab,則矩陣c的行向量組能由矩陣b的行向量組線性表示,而且矩陣a的各行恰是對應的表示式系數.

如果,則向量能用1,2,…,m唯一線性表示.而且此時有向量組的線性表示則表示式為:=a11+a22+…+amm

這是因為:(1,2,…,m)x=,即=x11+x22+…+xmm

的解為:x1=a1,x2=a2,…,xm=am

如果,則向量能用1,2,…,m線性表示,但表示式不唯一.設此時有向量組的線性表示則表示式為:=(a1-c1r+1k1-…-c1mkm-r)1+…+(ar-crr+1k1-…-crmkm-r)

r

+k1r+1+…+km-rm

,k1,k2,…,km-2r

定義若存在一組不全為零的數k1,k2,…,ks,使:

k11+k22+…+kss=0則稱向量組1,2,…,s線性相關,否則稱線性無關.向量組的線性相關性向量組1,2,…,s線性相關(線性無關)齊次線性方程組x11+x22+…+xss=0有非零解(只有零解).反之,齊次線性方程組ax=0有非零解(只有零解)矩陣a的列向量組線性相關(線性無關)r(a)<s(r(a)=s).向量組1,2,…,s(s2)線性相關向量組中至少有一個向量可由其余s-1個向量線性表示.

定理1

若向量組有一個部分組線性相關,則此向量組線性相關.向量組的線性相關性

定理3

設向量組1,2,…,s線性無關,而向量組1,2,…,s,線性相關,則可由1,2,…,s線性表示,且表示式唯一.

定理2

設向量組1,2,…,s線性無關,將每個i增加若干個分量得到的新的加長向量組仍然線性無關.

推論含有零向量的向量組必線性相關.推論線性無關向量組的任一部分組也線性無關.

(ⅰ)1,2,…,r線性無關;

(ⅱ)1,2,…,r,線性相關(是向量組中任一向量).定義若向量組t中的某個部分組1,2,…,r,滿足:則稱1,2,…,r是此向量組的一個極大線性無關向量組.向量組的最大無關組和秩稱r是此向量組的秩,記為r(t)=r.

矩陣的秩等于行向量組的秩也等于列向量組的秩.

向量組與它的任一極大線性無關組等價.若列向量組1,2,…,r線性無關,則當(1,2,…,r)a

=0時,有a=0(其中a是矩陣).向量組的最大無關組和秩

推論1

等價的線性無關向量組含有相同個數的向量.

定理若向量組1,2,…,s可由向量組1,2,…,t線性表示，則r{1,2,…,s}r{1,2,…,t}

推論3

向量組1,2,…,p線性無關,且可由向量組1,2,…,q

線性表示，則pq.

推論2

等價的向量組具有相等的秩．

推論4

向量組1,2,…,p可由向量組1,2,…,q

線性表示，且p>q,則向量組1,2,…,p線性相關.

推論5

任意n+1個n維向量線性相關.線性方程組的表示矩陣形式:ax=b,ax=0

向量形式:x11+x22+…+xnn=注意:方程組有解和系數矩陣(行列式),增廣矩陣,以及向量組的線性表示,線性相關性之間的關系.

x11+x22+…+xnn=0解空間為v={x=k11+k22+…+kn-rn-r|kir}是n-r維的通解為:x=k11+k22+…+kn-rn-r

,

kir(基礎解系)

amnx=0,x11+x22+…+xnn=0

齊次線性方程組有非零解r(a)=r<n1,2,…,n線性相關

若只有零解r(a)=n1,2,…,n線性無關

非齊次方程解+齊次方程解=非齊次方程解

amnx=b,x11+x22+…+xnn=b

非齊次線性方程組無解r(a)r(a|b)b不能由1,2,…,n線性表示.

唯一解r(a)=r(a|b)=n1,2,…,n線性無關且b可由1,2,…,n線性表示.

無窮多解r(a)=r(a|b)<n1,2,…,n線性相關且b可由1,2,…,n線性表示.

非齊次方程解-非齊次方程解=齊次方程解非齊次方程通解=非齊次方程特解+齊次方程通解若r(a)=r(a|b)=r<n,通解中含有n-r個任意實數.如果向量空間的一個基為1,2,…,r,向量可表示為:=a11+a22+…+arr,則稱(a1,a2,…,ar)t為向量在基1,2,…,r下的坐標.向量空間對向量空間v1和v2,若v1v2,稱v1是v2的子空間.

定義若非空向量集合v上定義了線性運算(滿足8條性質),則稱v是一個向量空間.把向量空間看成向量組,其極大線性無關組就是向量空間的基,其秩就是向量空間的維數.如果向量空間的一個基為1,2,…,r,則有

v={11+22+…+rr|1,2,…,rr}

定義設1,2,…,n和1,2,…,n是v的兩個基,矩陣c滿足:(1,2,…,n)c=(1,2,…,n),則稱矩陣c是基1,2,…,n到基1,2,…,n的過渡矩陣.過渡矩陣是可逆的.向量空間－過渡矩陣定理設1,2,…,n和1,2,…,n是線性空間v的兩組基.如果向量在這兩組基下的坐標分別為x=(x1,x2,…,xn)t,y=(y1,y2,…,yn)t,則x=cy.其中c是過渡矩陣.向量空間

定義

設?是線性空間vk到vk的一個映射,且滿足,vk,kk都有則稱?為vk的一個線性變換.

?(+)=?()+?()

?(k)=k?()

若?(1,2,…,n)=(1,2,…,n)a即，矩陣a的第j列為向量?(j)在基1,2,…,n下的坐標.矩陣a稱為線性變換?在基1,2,…,n下的矩陣.向量空間

定義設=(a1,a2,…,ar)t,=(b1,b2,…,br)t,則稱(,)=a1b1+a2b2+…+arbr為向量和的內積.稱||=(,)1/2=(a12+a22+…+ar2)1/2為向量的長度(模).定義了內積的線性空間稱為euclid(歐幾里得)空間。由線性無關向量組1,2,…,m,得到正交向量組1,2,…,m的方法稱為schimidt(斯密特)正交化過程:再取i=i/|i|,便得規(guī)范正交向量組.若(,)=0,則稱向量和正交.

定義一組兩兩正交的非零向量稱為正交向量組,由單位向量構成的正交向量組稱為規(guī)范正交向量組.向量空間定義在n維向量空間v中,含有n個向量的正交向量組稱為v的正交基.由單位向量構成的正交基稱為規(guī)范正交基.

1,2,…,n為規(guī)范正交向量組(i,j)=ij

.定義若實方陣a滿足aat=e,

則稱a是正交矩陣.

n階實矩陣a是正交矩陣a的行(列)向量組是規(guī)范正交向量組.

正交矩陣a的行列式等于1.特征值,特征向量及其求法

定義設a是n階方陣,如果數和n維非零列向量滿足關系式則稱為a的特征值,為a的屬于的一個特征向量.a=

det(ea)稱為方陣a的特征多項式.det(ea)=0稱為方陣a的特征方程.

a的特征值就是特征方程的解,n階方陣a有n個特征值.

a的屬于特征值i的特征向量就是齊次線性方程組

(iea)x=0的所有非零解.

對角矩陣和三角矩陣對角線元素恰是n個特征值.

(1)1+2+…+n=a11+a22+…+ann特征值,特征向量的性質(2)12…n=|a|

(3)若是a的特征值,f(t)是t的多項式,則f()是f(a)的特征值,且對應的特征向量相同.

(4)若1,2是a對應的特征向量,則k11+k22(0)也是a對應的特征向量.

(5)矩陣對應不同特征值的特征向量必線性無關.

(6)實對稱矩陣的特征值都是實數.

(7)實對稱矩陣對應不同特征值的特征向量都正交.

(8)實對稱矩陣r重特征值恰有r個線性無關特征向量.相似矩陣定義設a,b都是n階方陣,若存在可逆矩陣p,使

p-1ap=b對a進行運算p-1ap=b稱為對a進行相似變換,

可逆矩陣p稱為把a變成b的相似變換矩陣.則稱b是a的相似矩陣,或說矩陣a與b相似.a與b相似記作a~b.定理相似矩陣有相同的特征多項式,因此也有相同的特征值.注意:定理的逆命題不成立.若a~b,則ak~bk,f(a)~f(b).ak=p-1bkp矩陣相似對角化

定理

n階矩陣a與對角矩陣相似的充分必要條件是矩陣a有n個線性無關的特征向量.若p-1ap==diag(1,2,…,n),則1,2,…,n是a的n個特征值,矩陣p的n個列向量恰是a的n個特征向量.也有:a=pp-1實對稱矩陣a必能與對角矩陣相似.對實對稱矩陣a,必有正交矩陣q,使q-1aq=.二次型的基本概念及表示方法

定義含有n個變量x1,x2,…,xn的二次齊次函數只含平方項