統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)知識

第一章概率統(tǒng)計基礎(chǔ)知識（中級）上海質(zhì)量教育培訓(xùn)中心2005年精選課件第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識一、事件與概率（一）隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象。特點——隨機現(xiàn)象的結(jié)果至少有兩個——至于哪一個出現(xiàn)，人們事先并不知道精選課件樣本點認識一個隨機現(xiàn)象，首要的是能羅列出它的一切可能發(fā)生的基本結(jié)果。這里的基本結(jié)果是今后的抽樣單元即樣本點。樣本空間：記為Ω隨機現(xiàn)象可能樣本點的全部稱為這個隨機現(xiàn)象的樣本空間。精選課件（二）隨機事件事件（隨機事件）：隨機現(xiàn)象的某些樣本點組成的集合。用大寫英文字母A、B、C……表示。精選課件隨機事件的特征——任一事件A是相應(yīng)樣本空間Ω中的一個子集?！录嗀發(fā)生當且僅當（）A 中某一樣本點發(fā)生?！录嗀的表示可用集合，也可用語言，但所用語言要大家明白無誤。——任一樣本空間Ω有一個最大子集即Ω；它對應(yīng)的事件稱為必然事件，仍用Ω表示?！我粯颖究臻gΩ都有一個最小子集即空集，它對應(yīng)的事件稱為不可能事件，記為Φ精選課件隨機事件的關(guān)系——包含：AB或BA在一個隨機現(xiàn)象中有兩個事件A與B，若事件A中任一個樣本點必在B中，則稱A被包含在B中，或B包含A。精選課件——互不相容在一個隨機現(xiàn)象中有兩個事件A與B，若事件A與B沒有相同的樣本點，則稱A與B互不相容?？赏茝V到三個或更多個事件間的互不相容精選課件——相等：A=B即AB且BA在一個隨機現(xiàn)象中有兩個事件A與B，若樣本A與B含有相同的樣本點，則稱事件A與B相等。例：A={（x，y）：x+y=奇數(shù)}B={（x，y）：x與y的奇偶性不同}A=B=(1,2),(1,4),(1,6),(2.1),(2,3),(2,5)(3,2),(3,4),(3,6)…則：精選課件（三）事件的運算事件運算——對立事件：A→在一個隨機現(xiàn)象中，Ω是樣本空間，A為事件，則由在Ω中而不在A中的樣本點組成的事件稱為A的對立事件，記。則，，精選課件——事件A與B的并：AB由事件A與B中所有樣本點（相同的只計入一次）組成的新事件。稱為A與B的并，發(fā)生意味著“事件A與B至少一個發(fā)生”精選課件——事件A與B的交：AB或AB由事件A與B中公共的樣本點組成的新事件稱為事件A與B的交。發(fā)生意味著“事件A與B同時發(fā)生”事件的并和交可推廣到更多個事件上去。精選課件——事件A對B的差：A-B由在事件A中而不在B中的樣本點組成的新事件，稱為A對B的差。（a）A-B精選課件（b）A-B（）精選課件事件運算性質(zhì)：——交換律：，——結(jié)合律：——分配律：——對偶律：可用維恩圖驗證，可推廣到三個或三個以上事件的運算。精選課件（四）事件的概率概率——事件發(fā)生可能性大小的度量在一個隨機現(xiàn)象中，用來表示任一隨機事件A發(fā)生可能性大小的實數(shù)稱為該事件的概率，記為P（A）。概率是一個介于0和1之間的數(shù)，即0≤P(A)≤1;必然事件的概率等于1，即P（Ω）=1；不可能事件的概率等于0，即P（Φ）=0。精選課件二、概率的古典定義與統(tǒng)計定義（一）古典定義——所涉及的隨機現(xiàn)象只有有限個樣本點。如共有n個樣本點；——每個樣本點出現(xiàn)的可能性是相同的（等可能性）；——假如被考察事件A含有K個樣本點，則事件A的概率定義為精選課件（二）統(tǒng)計定義——與考察事件A有關(guān)的隨機現(xiàn)象是可以大量重復(fù)試驗的；——若在n次重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生Kn次，則事件A發(fā)生的頻率為：——fn(A)將會隨著重復(fù)試驗次數(shù)不斷增加而趨于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值就是事件A的概率。一般用重復(fù)次數(shù)n較大時的頻率去近似概率。精選課件三、概率的性質(zhì)及其運算法則概率的性質(zhì)：（可由概率的定義看出）

——性質(zhì)1：對任意事件A，有0≤P(A)≤1；

——性質(zhì)2：

——性質(zhì)3：若AB

則P（A-B）=P（A）-P（B）

——性質(zhì)4：P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）

若A與B互不相容P（A∪B）=P（A）+P（B）——性質(zhì)5：對于多個互不相容事件A1，A2，……，有P(A1∪A2∪A3∪……)=P(A1)+P()+p(A3)+……；

精選課件四、條件概率與概率的乘法法則

（1）條件概率

兩個事件A與B，在事件B已發(fā)生的條件下，事件A再發(fā)生的概率稱為條件概率，記P（A/B）。計算公式：

精選課件性質(zhì)6：對任意二個事件A與B，有

P(AB)=P(AB)P(B)=P(BA)P(A)

P(B)0P(A)0

精選課件（2）獨立性和獨立事件的概率

相互獨立：

設(shè)有兩個事件A與B，假如其中一個事件的發(fā)生不影響另一個事件的發(fā)生與否，則稱A事件與B事件相互獨立。

精選課件性質(zhì)7：

假如二個事件A與B相互獨立，則A與B同時發(fā)生的概率為P(AB)=P(A)P(B)

性質(zhì)8：

假如二個事件A與B相互獨立，則在事件B發(fā)生條件下，事件A的條件概率P(AB)等于事件A的（無條件）概率p(A)

∵

事件的相互獨立可推廣到三個或更多的事件上去。

精選課件第二節(jié)隨機變量及其分布

一、隨機變量

隨機變量

用來表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機變量。常用大寫字母X、Y、Z……表示。

精選課件隨機變量類型

——離散隨機變量

一個隨機變量僅取數(shù)軸上有限個點或可列個點，則此隨機變量為離散（型）隨機變量。

——連續(xù)隨機變量

如一個隨機變量的所有可能取值充滿數(shù)軸上一個范圍（a，b）或整個數(shù)軸，則此隨機變量為連續(xù)（型）隨機變量。

精選課件二、隨機變量的分布

隨機變量的分布

隨機變量取值的統(tǒng)計規(guī)律性。

隨機變量X的分布內(nèi)容：

——X可能取哪些值或在哪個區(qū)間上取值

——X取這些值的概率各是多少？或X在任 一小區(qū)間上取值的概率是多少？

精選課件（一）離散隨機變量的分布

離散隨機變量的分布可用分布列表示（離散分布）

分布列

或用數(shù)學(xué)式表達：

P(X=Xi)=pii=1，2……n（p1+…+pn=1）

pi也稱為分布的概率函數(shù)

精選課件（二）連續(xù)隨機變量的分布

用概率密度函數(shù)表示（簡稱分布）

條件：

①p（x）≥0

②精選課件概率密度函數(shù)p(x)的各種形式

——位置不同

精選課件——散布不同

精選課件——形狀不同

其中p(x)在x0點的值p(x)不是概率，是高度。

精選課件注：縱軸原為“單位長度上的頻率”，由頻率的穩(wěn)定性，可用概率代替頻率，縱軸就成為“單位長度上的概率”即概率密度的概念，故最后形成的曲線稱為概率密度曲線。

p（x）x精選課件重要結(jié)論：

1．X在區(qū)間（a，b）上取值的概率p(a＜X＜b)為概率密度曲線以下區(qū)間（a，b）上的面積，即

P(a＜Χ＜b)=

精選課件2.X在一點取值的概率為零，即

P(X=a)=0

故：P(a＜x＜b)=P(a≤x≤b)

=P(a≤X＜b)

=P(a＜X≤b)

精選課件三、隨機變量分布的均值、方差與標準差

均值：

用來表示分布的中心位置，用E(X)表示

X是離散隨機變量X是連續(xù)隨機變量精選課件方差：

用來表示分布的散布大小，用Var(x)表示

X是離散隨機變量X是連續(xù)隨機變量標準差：用σ表示

表示分布散布大小。

精選課件均值與方差的運算性質(zhì)

——對任意二個隨機變量X1和X2，有

E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)

——設(shè)X為隨機變量，a與b為任意常數(shù)，有

E(ax+b)=aE(x)+b

精選課件——設(shè)X1與X2相互獨立

（和的方差等于方差之和）

這個性質(zhì)可推廣到三個或更多個相互獨立隨機變量場合

——方差的這個性質(zhì)不能推廣到標準差場 合，對任意兩個相互獨立的隨機變量 X1與X2，σ(X1+X2)≠σ(X1)+σ(X2)

而應(yīng)為：

方差具有可加性，標準差不具有可加性。

精選課件四、常用分布（一）常用的離散分布二項分布x=0，1，……，n其中表示從n個不同元素取出x個的組合數(shù)。記為b（n，p）精選課件二項分布均值、方差和標準差——均值E(x)=np——方差：Var(x)=np(1-p)——標準差：精選課件泊松分布：（常用于計點過程）x=0，1，2，……記為P(λ)其中e=2.71828泊松分布均值、方差和標準差——均值：E(X)=λ——方差：——標準差：精選課件超幾何分布：（不放回抽樣）x=1，2……，r式中r=min（n，M）M為N中所含不合格品數(shù)n為樣本量記為h（n，N，M）超幾何分布均值、方差、標準差——均值：——方差：精選課件（二）連續(xù)型隨機變量的分布正態(tài)分布：能描述很多質(zhì)量特性X隨機取值 的統(tǒng)計規(guī)律性。正態(tài)分布概率密度函數(shù)：（-∞＜x＜+∞）正態(tài)分布含兩個參數(shù)μ和σ，常記：N(μ,σ2)。其中μ為分布均值（即分布中心）；σ2為分布方差；σ﹥0為分布標準差。精選課件精選課件正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖形分析標準正態(tài)分布：μ=0且σ=1的正態(tài)分布，稱 為標準正態(tài)分布，記N（0，1），其變量記為U，概率密度函數(shù)記為(u)精選課件標準正態(tài)分布表及其應(yīng)用——標準正態(tài)分布表可用于計算形如“U≤u”隨機事件發(fā)生的概率。如：查附表得0.93575——＜精選課件——＞精選課件——精選課件————精選課件標準正態(tài)分布N(0，1)的分位數(shù)——分位數(shù)（為0~1間實數(shù)）指它的左側(cè)面積恰好為，右側(cè)面積恰好為1-，即用概率表達當=0.5時，稱為中位數(shù)，N(0，1)分布中u0.5≡0＜0.5時，如=0.25則u0.25=-u0.75——查附表u0.75=0.675，故u0.25=-0.675精選課件精選課件正態(tài)分布的計算性質(zhì)1：設(shè)，則性質(zhì)2：設(shè)，則對任意實數(shù)a，b有——————精選課件不合格品率為產(chǎn)品質(zhì)量特性X超出規(guī)范限（TL，TU）的概率——X超出TU（上規(guī)范限）的概率記PUpU=P（X>TU）——X超出TL（下規(guī)范限）的概率記PLpL=P（X<TL）——X的不合格品率P=PU+PL精選課件正態(tài)分布中心精選課件計算不合格品率要知道兩件事：——質(zhì)量特性X的分布，在過程受控情況下， 常為正態(tài)分布N(μ,σ2)——產(chǎn)品規(guī)范限，是對產(chǎn)品質(zhì)量特性所作的要 求，這些要求可能是顧客要求；可能是標 準；可能是企業(yè)規(guī)定的技術(shù)要求。則：其中可查標準正態(tài)分布函數(shù)表精選課件TLTu精選課件當正態(tài)分布中心μ=規(guī)范中心時產(chǎn)品質(zhì)量特性X超出規(guī)范μ±3σ的不合格率pL=P(x﹤μ-3σ)=Ф(-3)=1-Ф(3)=1-0.99865=0.00135=1350PPmpU=P(x﹤μ+3σ)=1-Ф(3)=0.00135=1350PPmp=pL+pU=0.00135+0.00135=0.0027=2700PPm精選課件-6σ-5σ-4σ-3σ-2σ-σμσ2σ3σ4σ5σ6σ規(guī)范限±1σ±2σ±3σ±4σ±5σ±6σ合格品率（%）68.2795.4599.7399.993799.99994399.9999998不合格品率（ppm）317300455002700630.57.002精選課件（三）其他連續(xù)分布均勻分布——在區(qū)間（a，b）上的均勻分布，記U（a、b）0，，a﹤x﹤b其它精選課件——均值、方差、標準差均值方差標準差精選課件指數(shù)分布0，，記為，其中λ﹥0。均值，方差，標準差精選課件對數(shù)正態(tài)分布（特點）——隨機變量都在正半軸（0,+∞）上取值——大量取值在左邊，少量取值在右邊，且很 分散，這樣的分布稱之為右偏分布。（曲 線的尾巴在右邊）對數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)精選課件——最重要特征：若隨機變量X服從對數(shù)正態(tài)分布，則作對數(shù)變換后，服從正態(tài)分布?！浾龖B(tài)分布的均值為，方差為，則相 應(yīng)的對數(shù)正態(tài)分布的均與方差分別為——均值：精選課件——方差：——若X服從對數(shù)正態(tài)分布，則精選課件五、中心極限定理隨機變量的獨立性隨機變量X1與X2相互獨立是指其中一個取什么值不影響另一個的取值，或者說是指兩個隨機變量獨立的取值，互不影響。隨機變量的獨立性可以推廣到3個或更多個隨機變量。精選課件中心極限定理在統(tǒng)計中，多個相互獨立隨機變量的平均值（仍然是一個隨機變量）將服從或近似服從正態(tài)分布。即n個相互獨立同分布的隨機變量X1，X2，……Xn，均值μ和方差都存在，則在n較大時，其樣本均值服從或近似服從正態(tài)分布N（μ，）。精選課件第三節(jié)統(tǒng)計基礎(chǔ)知識一、總體、個體與樣本（一）總體與個體總體：在一個統(tǒng)計問題中，我們把研究對象的 全體成為總體?！斞芯慨a(chǎn)品某個特定的質(zhì)量特性X時， 也常把全體產(chǎn)品的特性看做為總體。個體：構(gòu)成總體的每個成員?！斞芯慨a(chǎn)品的某個特定的質(zhì)量特性X時， 把一個具體產(chǎn)品的特性值x視為個體。精選課件（二）隨機樣本滿足下面兩個條件的樣本稱為簡單隨機樣本，簡稱隨機樣本：1.隨機性?？傮w中每個個體都有相同的機會 入樣。2.獨立性。從總體中抽取的每個樣品對其它 樣本的的抽取無任何影響。隨機樣本可看做n個相互獨立的、同分布的隨機變量，其分布與總體分布相同。下面所述的樣本都是指滿足這兩個要求的簡單隨機樣本。精選課件二、頻數(shù)（頻率）直方圖為了研究數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，需要對數(shù)據(jù)進行一定的加工整理。直方圖是為研究數(shù)據(jù)變化規(guī)律而對數(shù)據(jù)進行加工整理的一種基本方法。精選課件（一）直方圖的作法[例1.3-3]食品廠用自動裝罐機生產(chǎn)罐頭食品，從一批罐頭中隨機抽取100個進行稱量，獲得罐頭的凈重數(shù)據(jù)如下：精選課件為了解這組數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，對數(shù)據(jù)做如下整理：（1）找出這組數(shù)據(jù)中的最大值xmax及最小值xmin，計算它們的差R=xmax-xmin，R稱為極差，也就是這組數(shù)據(jù)的取值范圍。在本例中xmax=356，xmin=332，從而R=356-332=24。精選課件（2）根據(jù)數(shù)據(jù)個數(shù)，即樣本量n，決定分組數(shù)k及組距h。一批數(shù)據(jù)究竟分多少組，通常根據(jù)n的多少而定，不過這也不是絕對的，教材中1.3-2是可以參考的分組數(shù)。選擇k的原則是要能顯示出數(shù)據(jù)中所隱藏的規(guī)律，組數(shù)不能過多，但也不能太少。精選課件每一組的區(qū)間長度，稱為組距。組距可以相等，也可以不相等。組距相等的情況用得比較多，不過也有不少情形在對應(yīng)于數(shù)據(jù)最大及最小的一個或兩個組，使用與其他組不相等的組距。對于完全相等的組距，通常取組距h為接近的某個整數(shù)值。在本例中，n=100，取k=9，R/k=24/9=2.7，故取組距h=3。精選課件（3）確定組限，即每個區(qū)間的端點及組中值。為了避免一個數(shù)據(jù)可能同時屬于兩個組，因此通常將各組的區(qū)間確定為左開右閉的：通常要求＜xmin,＞xmax。在等距分組時，，…，，而每一組的組中值在本例中取=331.5，則每組的組限及組中值見表1.3-3。精選課件（4）計算落在每組的數(shù)據(jù)的頻數(shù)及頻率確定分組后，統(tǒng)計每組的頻數(shù)，即落在組中的數(shù)據(jù)個數(shù)以及頻率，列出每組的頻數(shù)、頻率表，見表1.3-3。精選課件頻數(shù)、頻率及累積頻率表表1.3-3精選課件（5）作頻數(shù)頻率直方圖在橫軸上標上每個組的組限，以每一組的區(qū)間為底，以頻數(shù)（頻率）為高畫一個矩形，所得的圖形稱為頻數(shù)（頻率）直方圖，如圖1.3-4。在本例中頻數(shù)直方圖及頻率直方圖的形狀是完全一致的。這是因為分組是等距的。在分組不完全等距的情形，在作頻率直方圖時，應(yīng)當用每一個組的頻率與組距的比值/為高作矩形。此時以每個矩形的面積表示頻率。精選課件頻數(shù)（頻率）直方圖精選課件（二）直方圖的觀察與分析a.對稱型b.偏態(tài)型c.孤島型d.鋸齒型e.平頂型f.雙峰型精選課件三、統(tǒng)計量與抽樣分布1．統(tǒng)計量的概念不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)樣本均值、樣本中位數(shù)、樣本極差、樣本方差、樣本標準差及樣本變異系數(shù)等都是統(tǒng)計量，只有眾數(shù)除外。2．抽樣分布統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布精選課件（一）樣本數(shù)據(jù)集中位置的統(tǒng)計量（1）樣本均值（2）樣本中位數(shù)Me(或)，n為奇數(shù)，n為偶數(shù)（3）眾數(shù)（Mod）數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻率最高的值。精選課件（二）描述樣本數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計量（1）樣本極差（2）樣本方差精選課件——因為n個離差（）的總和為零，所以 對于n個獨立數(shù)據(jù)，獨立的離差個數(shù)只有 n-1個，稱n-1為離差（或離差平方和）的 自由度。故方差用離差平方和除以n-1。簡化計算公式：或精選課件（3）樣本標準差標準差的量綱與數(shù)據(jù)的量綱一致（4）樣本變異系數(shù)精選課件四、常用抽樣分布1．的分布設(shè)X服從N（μ，），（x1，x2，……，xn）是由總體X中抽取的一個樣本，則服從 N（μ，）（1）的精確分布精選課件（2）的漸進分布設(shè)X為任意分布，（x1，x2，……，xn）是由總體X中抽取一個樣本，若， ，則當n→∞時，近似服從N（μ，）。精選課件（3）——分布設(shè)X服從N(0，1)，且設(shè)（x1，x2，……，xn）是由總體X中抽取的一個樣本，則服從自由度為n的分布，記作~(n)。設(shè)X服從N（μ，），則精選課件（3）t——分布設(shè)隨機變量X，Y相互獨立，X~N(0，1)，Y~(n)則服從自由度為n的t—分布記作t~t(n)設(shè)X~N（μ，），（x1，x2，……，xn）是由總體X中抽取的一個樣本，則精選課件設(shè)X和Y相互獨立，且X~N（μ，），Y~N（μ，），（x1，x2，……，xn1）與（y1，y2，……，yn2）分別由總體X和Y中抽取的樣本，則精選課件（4）F——分布設(shè)X與Y相互獨立，且X～χ2(N1)，Y～χ2(N2)則服從自由度為（N1，N2）的F——分布。記作F～F(N1，N2)。精選課件設(shè)X和Y相互獨立，X～，Y～，(x1，x2，……，xn)與(y1，y2，……，ym)分別由X和Y中抽取的樣本，則～F(n－1，m－1)當==時，則精選課件正態(tài)分布t分布精選課件分布F分布精選課件第四節(jié)參數(shù)估計一、點估計1．概念設(shè)是一個未知參數(shù)，由總體X中抽取的樣本，則用來估計，則稱為的估計量（或稱估計）。精選課件2．矩法估計（1）用樣本矩估計相應(yīng)總體矩；（2）用樣本矩的函數(shù)估計相應(yīng)總體矩的函數(shù)。例如用樣本均值估計總體均值；用樣本方差（標準差）來估計總體方差（標準差）。精選課件3.點估計優(yōu)劣的評選標準（1）無偏性設(shè)是θ的一個估計量，若，則稱是θ的無偏估計。（2）有效性設(shè)都是θ的無偏估計量，若對一切θ的可能取值有：，且至少有一個，嚴格不等號成立，則比有效。精選課件（3）正態(tài)總體參數(shù)的無偏估計①的無偏估計有兩個，即和。②的無偏估計常用的只有一個，即。③的無偏估計有兩個，即和精選課件二、區(qū)間估計（一）區(qū)間估計的概念設(shè)θ是總體分布中的未知參數(shù)，其一切可能取值組成的參數(shù)空間為，從總體中抽取一個樣本(x1，x2，……，xn)，對給定的，確定兩個統(tǒng)計量：與對任意的有則稱［θL，θu］是θ的置信水平為的置信區(qū)間。精選課件1-置信區(qū)間的含義：所構(gòu)造的一個隨機區(qū)間[]能包含未知參數(shù)的概率為1-。由于這個隨機區(qū)間會隨樣本觀察值的不同而不同，它有時包含了參數(shù)，有時沒有包含，但是用這種方法作區(qū)間估計時，100次中大約有100(1-)個區(qū)間能包含未知參數(shù)。精選課件（二）一個正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間（1）已知，求的置信區(qū)間的1-置信區(qū)間為：（2）未知，求的置信區(qū)間精選課件（3）方差的1-的置信區(qū)間（未知）（4）標準差的1-的置信區(qū)間（未知）精選課件（三）比例p的置信區(qū)間（大樣本場合）設(shè)總體，樣本為x1，x2，…，xn，樣本之和為K，樣本均值為則（點估計）