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文檔簡(jiǎn)介

2022-2023學(xué)年廣東省汕頭市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考真題(含答案)學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________

一、單選題(20題)1.

2.

3.過點(diǎn)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)的平面方程為().

A.x+y+z=1

B.2x+y+z=1

C.x+2y+z=1

D.x+y+2z=1

4.設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3),則方程f(x)=0有()。A.一個(gè)實(shí)根B.兩個(gè)實(shí)根C.三個(gè)實(shí)根D.無實(shí)根

5.設(shè)y1,y2為二階線性常系數(shù)微分方程y"+p1y+p2y=0的兩個(gè)特解,則C1y1+C2y2()A.為所給方程的解,但不是通解B.為所給方程的解,但不一定是通解C.為所給方程的通解D.不為所給方程的解

6.函數(shù)y=sinx在區(qū)間[0,n]上滿足羅爾定理的ξ=A.A.0B.π/4C.π/2D.π

7.

8.設(shè)f(x)=sin2x,則f(0)=()

A.-2B.-1C.0D.2

9.A.3B.2C.1D.1/2

10.設(shè)D={(x,y){|x2+y2≤a2,a>0,y≥0),在極坐標(biāo)下二重積分(x2+y2)dxdy可以表示為()A.∫0πdθ∫0ar2dr

B.∫0πdθ∫0ar3dr

C.D.

11.A.A.

B.

C.

D.

12.A.等價(jià)無窮小

B.f(x)是比g(x)高階無窮小

C.f(x)是比g(x)低階無窮小

D.f(x)與g(x)是同階但非等價(jià)無窮小

13.設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)均在(α,b)可導(dǎo),且滿足f'(x)<g'(x),則f(x)與g(x)的關(guān)系是

A.必有f(x)>g(x)B.必有f(x)<g(x)C.必有f(x)=g(x)D.不能確定大小

14.A.A.-(1/2)B.1/2C.-1D.2

15.曲線y=lnx-2在點(diǎn)(e,-1)的切線方程為()A.A.

B.

C.

D.

16.

17.

18.

19.A.A.4B.-4C.2D.-220.設(shè)函數(shù)為().A.A.0B.1C.2D.不存在二、填空題(20題)21.22.23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.y=x3-27x+2在[1,2]上的最大值為______.32.

33.

34.

35.

36.y''-2y'-3y=0的通解是______.37.設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,則該切線方程為______.

38.曲線y=(x+1)/(2x+1)的水平漸近線方程為_________.

39.

40.

三、計(jì)算題(20題)41.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.

42.43.

44.

45.

46.

47.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間,并求該曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線l的方程.48.49.證明:50.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).51.求微分方程的通解.52.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度

u(x,y)=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.53.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B,在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi),以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示).設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x,面積為

S(x).

(1)寫出S(x)的表達(dá)式;

(2)求S(x)的最大值.

54.求曲線在點(diǎn)(1,3)處的切線方程.55.將f(x)=e-2X展開為x的冪級(jí)數(shù).56.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂,何時(shí)條件收斂,何時(shí)發(fā)散,其中常數(shù)a>0.

57.

58.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p,當(dāng)p=10時(shí),若價(jià)格上漲1%,需求量增(減)百分之幾?

59.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無窮小量,則60.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值.四、解答題(10題)61.

62.

63.64.65.

66.

67.

68.

69.

70.

五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.已知∫f(ex)dx=e2x,則f(x)=________。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.C解析:

2.B解析:

3.A設(shè)所求平面方程為.由于點(diǎn)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)都在平面上,將它們的坐標(biāo)分別代入所設(shè)平面方程,可得方程組

故選A.

4.B

5.B如果y1,y2這兩個(gè)特解是線性無關(guān)的,即≠C,則C1y1+C2y2是其方程的通解?,F(xiàn)在題設(shè)中沒有指出是否線性無關(guān),所以可能是通解,也可能不是通解,故選B。

6.Cy=sinx在[0,π]上連續(xù),在(0,π)內(nèi)可導(dǎo),sin0=sinπ=0,可

知y=sinx在[0,π]上滿足羅爾定理,由于(sinx)'=cosx,可知ξ=π/2時(shí),cosξ=0,因此選C。

7.A

8.D由f(c)=sin2x可得f"(x)=cos2x(2x)"=2cos2x,f"(0)=2cos0=2,故選D。

9.B,可知應(yīng)選B。

10.B因?yàn)镈:x2+y2≤a2,a>0,y≥0,令則有r2≤a2,0≤r≤a,0≤θ≤π,所以(x2+y2)dxdy=∫0πdθ∫0ar2.rdr=∫0πdθ∫0ar3.rdr故選B。

11.Dy=cos3x,則y'=-sin3x*(3x)'=-3sin3x。因此選D。

12.D

13.D解析:由f'(x)<g'(x)知,在(α,b)內(nèi),g(x)的變化率大于f(x)的變化率,由于沒有g(shù)(α)與f(α)的已知條件,無法判明f(x)與g(x)的關(guān)系。

14.A

15.D

16.B

17.A

18.D解析:

19.D

20.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極限與左極限、右極限的關(guān)系.

由于f(x)為分段函數(shù),點(diǎn)x=1為f(x)的分段點(diǎn),且在x=1的兩側(cè),f(x)的表達(dá)式不相同,因此應(yīng)考慮左極限與右極限.

21.

22.2.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極限的運(yùn)算.

能利用洛必達(dá)法則求解.

如果計(jì)算極限,應(yīng)該先判定其類型,再選擇計(jì)算方法.當(dāng)所求極限為分式時(shí):

若分子與分母的極限都存在,且分母的極限不為零,則可以利用極限的商的運(yùn)算法則求極限.

若分子與分母的極限都存在,但是分子的極限不為零,而分母的極限為零,則所求極限為無窮大量.

檢查是否滿足洛必達(dá)法則的其他條件,是否可以進(jìn)行等價(jià)無窮小量代換,所求極限的分子或分母是否有非零因子,可以單獨(dú)進(jìn)行極限運(yùn)算等.23.x-arctanx+C;本題考查的知識(shí)點(diǎn)為不定積分的運(yùn)算.

24.1/(1-x)2

25.2yex+x

26.坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)

27.

28.1/21/2解析:

29.x(asinx+bcosx)

30.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二重積分的計(jì)算.31.-24本題考查的知識(shí)點(diǎn)為連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值.

若f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),在[a,b]上連續(xù),??梢岳脤?dǎo)數(shù)判定f(x)在[a,b]上的最值:

(1)求出f'(x).

(2)求出f(x)在(a,b)內(nèi)的駐點(diǎn)x1,…,xk.

(3)比較f(x1),f(x2),…,f(xk),f(a),f(b).其中最大(小)值為f(x)在[a,b]上的最大(小)值,相應(yīng)的點(diǎn)x為f(x)的最大(小)值點(diǎn).

y=x3-27x+2,

則y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),

令y'=0得y的駐點(diǎn)x1=-3,x2=3,可知這兩個(gè)駐點(diǎn)都不在(1,2)內(nèi).

由于f(1)=-24,f(2)=-44,可知y=x3-27x+2在[1,2]上的最大值為-24.

本題考生中出現(xiàn)的錯(cuò)誤多為求出駐點(diǎn)x1=-3,x2=3之后,直接比較

f(-3)=56,f(3)=-52,f(1)=-24,f(2)=-44,

得出y=x3-27x+2在[1,2]上的最大值為f(-3)=56.其錯(cuò)誤的原因是沒有判定駐點(diǎn)x1=-3,x2=3是否在給定的區(qū)間(1,2)內(nèi),這是值得考生注意的問題.在模擬試題中兩次出現(xiàn)這類問題,目的就是希望能引起考生的重視.

本題還可以采用下列解法:注意到y(tǒng)'=3(x-3)(x+3),在區(qū)間[1,2]上有y'<0,因此y為單調(diào)減少函數(shù)??芍?/p>

x=2為y的最小值點(diǎn),最小值為y|x=2=-44.

x=1為y的最大值點(diǎn),最大值為y|x=1=-24.

32.

33.

34.

35.436.y=C1e-x+C2e3x由y''-2y'-3y=0的特征方程為r2-2r-3=0,得特征根為r1=3,r2=-1,所以方程的通解為y=C1e-x+C2e3x.37.y=f(1)本題考查的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè):一是導(dǎo)數(shù)的幾何意義,二是求切線方程.

設(shè)切點(diǎn)為(x0,f(x0)),則曲線y=f(x)過該點(diǎn)的切線方程為

y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).

由題意可知x0=1,且在(1,f(1))處曲線y=f(x)的切線平行于x軸,因此應(yīng)有f'(x0)=0,故所求切線方程為

y=f(1)=0.

本題中考生最常見的錯(cuò)誤為:將曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程寫為

y-f(x0)=f'(x)(x-x0)

而導(dǎo)致錯(cuò)誤.本例中錯(cuò)誤地寫為

y-f(1)=f'(x)(x-1).

本例中由于f(x)為抽象函數(shù),一些考生不習(xí)慣于寫f(1),有些人誤寫切線方程為

y-1=0.

38.y=1/2本題考查了水平漸近線方程的知識(shí)點(diǎn)。

39.

40.1/2

41.解:原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0,

42.

43.

44.由一階線性微分方程通解公式有

45.

46.

47.

48.

49.

50.

列表:

說明

51.52.由二重積分物理意義知

53.

54.曲線方程為,點(diǎn)(1,3)在曲線上.

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0.

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在,則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)

(x0,fx0))處存在切線,且切線的斜率為f′(x0).切線方程為

55.

56.

57.

58.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%59.

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