自然數(shù)的序數(shù)理論與基數(shù)理論

第一講自然數(shù)的基數(shù)理論與序數(shù)理論1.1、自然數(shù)的基數(shù)理論1.2、自然數(shù)的序數(shù)理論1編輯ppt第一講自然數(shù)的基數(shù)理論與序數(shù)理論1.1、自然數(shù)的基數(shù)理論一、自然數(shù)的概念1、集合的對等自然數(shù)的基數(shù)理論以集合論的基本概念為基礎。在集合論中，如果集合A和B的元素之間可以建立一一對應關系，就稱集合A與B對等，記作A∽B集合的對等是一種等價關系，即對等關系滿足（1）反身性：A∽A；（2）對稱性：A∽B，則B∽A；（3）傳遞性：若A∽B，B∽C，那么A∽C定義1：如果一個集合能與自己的一個真子集對等，這樣的集合叫無限集；否則叫做有限集2編輯ppt2、集合的基數(shù)定義2：如果兩個集合A、B對等，我們稱這兩個集合具有相同的基數(shù)，集合A的基數(shù)記為若則規(guī)定集合A的基數(shù)不小于集合B的基數(shù)即定義3：有限集的基數(shù)叫做自然數(shù)3、馮·諾伊曼的自然數(shù)體系定義4：設φ表示空集，規(guī)定集合φ的基數(shù)為0，即其余的自然數(shù)按下列規(guī)則構造：3編輯ppt…………依照上述規(guī)則，全體自然數(shù)就構造出來：0，1，2，……，n，……4、自然數(shù)的大小定義5：設A、B是兩個集合，C是集合A的真子集，如果B∽C，則稱按照這個定義，自然數(shù)有下列大小關系全體自然數(shù)作成的集合叫做自然數(shù)集，用N表示即4編輯ppt二、自然數(shù)的四則運算定義6：設A、B是兩個有限集，并且(由所有不屬于C但屬于A的元素作成的集合）則稱集合的基數(shù)是集合A與B的基數(shù)的和，記為1、自然數(shù)的加減法定義7：設A、B是兩個有限集，并且集合C是集合A中與B對等的子集，用符號表示集合C在集合A中的余集則稱集合的基數(shù)是與的差，記為5編輯ppt定理1：自然數(shù)的加法滿足結合律和交換律，即對于任意有（1）(a+b)+c=a+(b+c)（2）a+b=b+a（證明略）2、自然數(shù)的乘除法定義8：設A、B是兩個有限集，由集合A、B作成的的基數(shù)笛卡爾直積叫做與的乘積，記為6編輯ppt定理2：自然數(shù)的乘法滿足下列算律，即對于任意有結合律交換律乘法對加法的分配率證明略定義9：對于兩個自然數(shù)a、b，如果存在自然數(shù)c使則稱c是a除以b的商，記為7編輯ppt1.2、自然數(shù)的序數(shù)理論一、自然數(shù)的皮亞諾公理定義10：設N是非空集合，集合N的元素間有一個基本關系叫“后繼”（用符號“ˊ”表示），并且這個集合以及這個關系滿足下面五條公理:（1）（2）對任意（3）對任意有且僅有唯一的后繼元即（4）除1外，N的任何一個元素只能是一個元素的后繼，

（5）（歸納公理）對于N的任何一個子集M，如果滿足那么這個集合的元素叫做自然數(shù)。即8編輯ppt二、序數(shù)理論下的自然數(shù)四則運算定義11：設定義對于定義其中的叫做加數(shù)，叫做它們的和。1、加法這個定義實質上給出了加法的具體步驟。例1：求3+7解：按定義11如此一步一步做下去，直到9編輯ppt定理3：自然數(shù)的加法滿足結合律和交換律，即對于任意有（1）(a+b)+c=a+(b+c)（2）a+b=b+a（證明略）2、自然數(shù)的大小則稱a小于b，記為也稱b大于a，記為在這個定義下，任何兩個自然數(shù)都可以比較大小（順序）。如果存在使定義12：對于也就是說，自然數(shù)的大小關系具有三歧性：10編輯ppt證明從略定理4：任意兩個自然數(shù)a、b，下面三個關系成立且只成立一個：除了三歧性之外，這種順序還有反對稱性和傳遞性的特點；則若若（或），則（或）。在這種大小順序下，自然數(shù)的加法滿足加法單調律：定理5：設是三個自然數(shù)，（2）若那么（3）若那么那么（1）若11編輯ppt推論：設是四個自然數(shù)，并且定理6：設是三個自然數(shù)，（2）若那么（或），那么（或）。自然數(shù)的加法還滿足加法消去律：那么（1）若（3）若那么使成立的自然數(shù)c叫做a減b的差3、減法當時，必存在自然數(shù)c，使記為定理7：對于任意兩個自然數(shù)定義12對于任意兩個自然數(shù)并且12編輯ppt4、乘法（2）設定義定義定義13：（1）設例2：求解跟基數(shù)理論一樣，可以證明，自然數(shù)的乘法滿足結合律、交換律、乘法對加法的分配率，限于時限，這里不再累述13編輯ppt、定義14：對于任意兩個自然數(shù)如果存在自然數(shù)c，使那么c叫做a被b除得的商，記作5、除法三、自然數(shù)集的性質性質8：自然數(shù)集是全序集。這條性質是說，任何兩個自然數(shù)都可以在運算的意義下比較大小。性質9：自然數(shù)集具有阿基米德性質（即對任何兩個自然數(shù)a，b，一定存在自然數(shù)c，使性質10：自然數(shù)集具有離散性（即對任何兩個相鄰自然數(shù)之間都不存在第三個自然數(shù)）。14編輯ppt性質11：(最小數(shù)原理)自然數(shù)集的任何非空子集都存在一個最小數(shù)。三、數(shù)學歸納法設是一個與自然數(shù)有關的命題，那么，對一切不小于的自然數(shù)命題都成立。定理12：（第一歸納法原理）：（2）假設命題對自然數(shù)成立時，如果：（1）命題對某個自然數(shù)成立；對也成立。命題)(np15編輯ppt設是一個與自然數(shù)有關的命題，定理13：（第二歸納法原理）：如果：（1）命題對某個自然數(shù)成立；假設命題成立，此時如果命題（2）對滿足條件的一切自然數(shù)對也成立。那么，對一切不小于的自然數(shù)命題都成立。16編輯ppt定理14（第三歸納法）：設是一個與自然數(shù)有關的命題，如果：（1）命題對無窮多個自然數(shù)成立（2）假設命題對自然數(shù)成立時，命題對也成立。那么，對一切自然數(shù)不小于n0的自然數(shù)n，命題都成立第三歸納法也叫柯西歸納法17編輯ppt證明：用反證法：如果命題不能對一切不小于n0的自然數(shù)都成立那么將所有使命題不成立的自然數(shù)作成一個集合M，那么這個集合必有一個最小數(shù)k，則比k小的數(shù)至多只有有限個，按條件（1），應該有r>k,使命題在r時成立，反復應用條件（2），那么命題必然在這些