第十章彎曲強(qiáng)度和剛度

1用截面法作梁的內(nèi)力圖2梁的應(yīng)力與強(qiáng)度條件3梁的變形第九章梁的平面彎曲1第九章梁的平面彎曲承受彎曲作用的桿，稱(chēng)為梁。軸向拉壓—內(nèi)力為軸力。如拉、撐、活塞桿、鋼纜、柱。桿件：某一方向尺寸遠(yuǎn)大于其它方向尺寸的構(gòu)件。直桿：桿件的軸線為直線。桿的可能變形為：軸向拉壓彎曲扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)—內(nèi)力為扭矩。如各種傳動(dòng)軸等。(軸)彎曲—內(nèi)力為彎矩。如橋梁、房梁、地板等。(梁)概述返回主目錄2梁的分類(lèi)平面問(wèn)題，梁受三個(gè)約束，都是靜定梁。平面彎曲懸臂梁簡(jiǎn)支梁Fq外伸梁M梁有縱向?qū)ΨQ(chēng)面，且載荷均作用在縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)，變形后梁的軸線仍在該平面內(nèi)，稱(chēng)為平面彎曲?？v向?qū)ΨQ(chēng)面梁的橫截面都有對(duì)稱(chēng)軸集中力，集中力偶，分布載荷返回主目錄3截面法求內(nèi)力的步驟：求約束反力截取研究對(duì)象受力圖，內(nèi)力按正向假設(shè)。列平衡方程求解內(nèi)力，負(fù)號(hào)表示與假設(shè)反向內(nèi)力右截面正向左截面正向微段變形（正）內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定yx左上右下，F(xiàn)Q為正左順右逆，M為正xFSMMFS順時(shí)針錯(cuò)動(dòng)FS向上凹M

9.1用截面法作梁的內(nèi)力圖返回主目錄4例1求懸臂梁各截面內(nèi)力并作內(nèi)力圖。解：1）求約束力。畫(huà)受力圖。由平衡方程得：

FAx=0;FAy=F;MA=Fl2）求截面內(nèi)力。截面x處內(nèi)力按正向假設(shè)，在0x<l內(nèi)，有平衡方程：

SFy=FAy-FS=0

SMC(F)=MA+M-FAyx=0得到：FS=F；M=-F(l-x)xFSo+F剪力圖xMo_Fl彎矩圖ABlFMAFAyFAxcMFSFAyAxMA3)畫(huà)內(nèi)力圖。懸臂梁在固定端A處彎矩值最大。5例2求外伸梁AB的內(nèi)力。解：1）求約束反力：受力如圖。截面法求內(nèi)力(取坐標(biāo)如圖)0x<a:aaaA

B

3F

45yx0F

FAy

FAx

FB

有平衡方程：MA(F)=2aFBcos45+Fa-3Fa=0FB=F2Fx=FAx-FBsin45=0FAx=FFy=FAy+FBcos45-F-3F=0FAy=3FMFSxFFN0FN=0;FS=-F;M=-Fx6例2求外伸梁的內(nèi)力。ax<2a:

2a

x<3a:

2)截面法求內(nèi)力0x<a:FN=0;FS=-F;M=-FxaaaA

B

3F

45yx0F

3F

F

FB

MFSxFFN0MFSxFFN03FFMFSxFFN0

3FF3FFN=-F；FS=3F-F=2FM=3F(x-a)-Fx=F(2x-3a)FN=-F；FS=3F-F-3F=-FM=3F(x-a)-Fx-3F(x-2a)=F(3a-x)7內(nèi)力方程：截面法給出的描述內(nèi)力與截面位置關(guān)系。3)

畫(huà)內(nèi)力圖：內(nèi)力圖：按內(nèi)力方程繪出各截面內(nèi)力的圖。ax<2a:FN=-F；FS=2F

M=F(2x-3a)0x<a:FN=0;FS=-F;

M=-F

x

2ax<3a:FN=-F

；FS=-F

M=F(3a-x)3P

B45x0FFAxFAyFBAMFaFa+-x2F+-FS

-FFx-FNFx8作梁的內(nèi)力圖的一般步驟求約束反力截取研究對(duì)象受力圖列平衡方程求解內(nèi)力畫(huà)內(nèi)力圖靜力平衡方程載荷突變處分段。內(nèi)力按正向假設(shè)。矩心取截面形心。內(nèi)力方程圖形應(yīng)封閉。aaaA

B

3F

45yx0F

FAy

FAx

FB

xF0MFSFN91）承受彎曲作用的桿，稱(chēng)為梁。2）平面彎曲：載荷均作用在梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)。3）梁的內(nèi)力有剪力、彎矩。作內(nèi)力圖一般步驟：求約束反力截取研究對(duì)象受力圖列平衡方程內(nèi)力方程畫(huà)內(nèi)力圖必須掌握小結(jié)10概念回顧:1.平面彎曲梁有縱向?qū)ΨQ(chēng)面，且載荷均作用在縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)，變形后梁的軸線仍在該平面內(nèi)，稱(chēng)為平面彎曲。縱向?qū)ΨQ(chēng)面Fq9.2梁的應(yīng)力與強(qiáng)度返回主目錄11概念回顧:2.純彎曲純彎曲:梁橫截面上的內(nèi)力只有彎矩。梁的橫截面上既有彎矩，又有剪力。FFM0aaFSFS=0F一般情況簡(jiǎn)單特例FS=0FSMM=FaM=M0M129.2梁的應(yīng)力與強(qiáng)度問(wèn)題:平面純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力?討論平面純彎曲梁。橫截面上只有彎矩。彎矩分布在橫截面上，xMMys只能是正應(yīng)力。z13討論矩形截面純彎曲梁。1.彎曲變形實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象AA、BB仍保持直線，但相對(duì)地轉(zhuǎn)過(guò)一角度d。aa縮短，bb伸長(zhǎng)，變?yōu)榛⌒?，但仍與AA、BB線正交。2.彎曲的基本假設(shè)—平面假設(shè)梁的橫截面在彎曲變形后仍保持為平面，且仍與梁的軸線垂直。AABBaabbMMABBAaabbdMM變形后9.2.1彎曲變形幾何分析返回主目錄143.推論：若梁由縱向纖維組成，則其變形是伸長(zhǎng)或縮短。凹部纖維aa縮短，凸部bb纖維伸長(zhǎng)，總有一層纖維既不伸長(zhǎng)又不縮短，此層稱(chēng)為中性層。2.彎曲的基本假設(shè)—平面假設(shè)梁的橫截面在彎曲變形后仍保持為平面，且仍與梁的軸線垂直。有中性層存在AABBaabbMM中性層(面)中性軸中性層(面)中性層與橫截面的交線稱(chēng)為中性軸。ABBAaabbdMM變形后15橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力s

的大小與該點(diǎn)到中性軸的距離y成正比。中性軸以上，s為負(fù)，是壓應(yīng)力，纖維縮短。中性軸以下，s為正，是拉應(yīng)力，纖維伸長(zhǎng)。到中性軸距離相同各處，應(yīng)力相等。中性軸上，s=0，截面上、下緣，s=s

。maxMxyz中性軸smax壓smax拉16截面對(duì)z

軸的慣性矩I

的計(jì)算：z矩形截面：ozybhydy取微面積如圖dA=bdyoyzd圓形截面：取微面積如圖。()222IIdAzydAIyzAArr+=+==òò由對(duì)稱(chēng)性知：yzdAò=AzdAyI212322hbdybydAyIh/2Az===òò-h/2642/4dIIIzypr===17結(jié)論：s=My/Iz中性軸上，s=0，截面上、下緣，s=s

。maxMyxsmax壓smax拉18按絕對(duì)值計(jì)算應(yīng)力s

的大小，依據(jù)彎曲后的拉壓情況判斷正負(fù)。彎曲正應(yīng)力公式：橫截面有對(duì)稱(chēng)軸的平面彎曲。載荷作用在縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)；梁的高跨比h/L<0.25；適用范圍：Myxsmax壓smax拉MzIMy=s9.3

平面彎曲的最大正應(yīng)力及強(qiáng)度條件返回主目錄19最大彎曲正應(yīng)力:y=y

時(shí)，s=s

，故maxmax

W=I/y

，是抗彎截面模量。(如表10-1或手冊(cè))zzmax梁的彎曲強(qiáng)度條件：抗力作用處處均應(yīng)滿(mǎn)足強(qiáng)度條件。若材料拉壓性能不同，則Myxsmax壓smax拉MzzWMIMy==maxmaxs20例9.9空心矩形截面梁的橫截面尺寸H=120mm，

B=60mm，h=80mm，b=30mm，若[]=120MPa，試校核梁的強(qiáng)度。解：1）作FS、M圖。

固定端彎矩最大，M=qL/2=14.4kN.mmax22)抗彎截面模量W

z查表9-1有：

W=H[B-b(h/H)]/6=1.22710m23-43z3）強(qiáng)度校核:

L=1.2mOq=20kN/mAxqLFS圖xqL/22M圖bHBhz<[]=120Mpa強(qiáng)度足夠。MPaWMz11710227.1104.1443maxmax===-s21例9.10矩形截面木梁的橫截面高寬比h/b=3/2，已知F=15kN，a=0.8m，[]=10MPa。設(shè)計(jì)截面尺寸。F

AF

B解：1.求支反力：F=F=3FAB

2.作FS、M圖。

xFSFF2F2FxFa

MFaFaFa

M=Fa=12kN.mmax4.強(qiáng)度條件：注意h/b=3/2，則：

W=bh/6=3b/8z23解得：b0.147m150mmxaaaaaaFF2F2F63max310101012][83=3=sMbWz22W=bh/6=3b/8z23討論一：

試設(shè)計(jì)木梁不同截面的尺寸。

M=Fa=12kN.m，[s]=10MPa，maxbh/b=3/2h/b=1hbh/b=2/3Wz=b3/6W=2b/27z337249mm232413mm242757mm2面積重量:87%100%115%hbbb強(qiáng)度條件：][83max3sMb3b=147h=220.5mmb==h=193mm強(qiáng)度條件：][6max3sMb3強(qiáng)度條件：b=253h=169mm][272max3sMb3截面設(shè)計(jì)應(yīng)盡可能使材料遠(yuǎn)離中性軸。OMmaxs23純彎曲內(nèi)力：彎矩M橫截面上：正應(yīng)力s橫力彎曲M;剪力FSs

：剪應(yīng)力t?9.3.5

矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力24矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力為：yzbh截面上t與FS平行，指向相同。h>b時(shí)，截面上y相同處t相同。y=h/2處，t=0?！纓max彎曲梁中有剪應(yīng)力。縱向面上的剪應(yīng)力t由剪應(yīng)力互等定理確定。t是y的函數(shù)，呈拋物線分布，最大剪應(yīng)力在中性軸處且等于平均剪應(yīng)力的1.5倍。截面上t與Q平行，指向相同。y=h/2處，t=0。±中性軸處，y=0，Iz=bh/12，故有：剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：mzbhFSIFShtt5.12382max===][maxtt￡FSt)4(222yhIFSSzz-=t25討論二、矩形截面梁AB受力如圖。

[s]=150MPa，[t]=60MPa，若取h/b=2，試設(shè)計(jì)其尺寸。解：1.求反力，作FQ、M圖。2.按彎曲正應(yīng)力設(shè)計(jì)：

AB1m10kN4kN.m1mFBMBxFS10kN

xM4kN.m6kN.m][6/2maxmaxss￡=bhM2.按彎曲剪應(yīng)力設(shè)計(jì)：

][23Smaxmaxtt￡=bhF一般按正應(yīng)力設(shè)計(jì)，再校核剪切強(qiáng)度。26

1.梁橫截面上的正應(yīng)力s呈線性分布，其大小為

s

=My/Iz

正負(fù)由彎曲后的拉壓情況判斷。

2.中性軸過(guò)截面形心，該處正應(yīng)力s

等于零。3.梁的彎曲強(qiáng)度條件：

I

為截面對(duì)z軸的慣性矩，W

為抗彎截面模量。zz4.矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力呈拋物線分布，最大剪應(yīng)力在中性軸處且等于平均剪應(yīng)力的1.5倍。CMymax壓smax拉syzbhFSttmax=3FS2bh小結(jié)27桿的拉壓9.4.1梁的撓度和轉(zhuǎn)角梁在xy平面內(nèi)彎曲。撓曲線：彎曲后梁的軸線。伸長(zhǎng)或縮短DL軸的扭轉(zhuǎn)單位扭轉(zhuǎn)角q梁的彎曲變形如何描述？xyo撓曲線撓度y：梁彎曲后各截面形心的垂直位移，y=y(x)。ccx撓度轉(zhuǎn)角q：各截面轉(zhuǎn)過(guò)的角度(角位移)，q=q(x)。即x處撓曲線的切線與x軸的夾角。qq轉(zhuǎn)角y

為正q截面正

9.4梁的變形返回主目錄28再討論:線性疊加方法在線彈性小變形條件下，

s=Ee，變形與載荷間有線性關(guān)系。圖(a)=圖(b)+圖(c)l/4xyBAFlCFAFBl/2l/4FD(a)xyBAFCFA1FB1l/2(b)l/4xyBAFA2FB2FD(c)若要求圖(a)中的yC、qB，有：

yC=yC1+yC2;qB=qB1+qB2即可由已知簡(jiǎn)單情況的解，用疊加方法求復(fù)雜載荷情況下的變形。yCyC1yC229已有結(jié)果：xyBAabLFLEIbLFabzA6)(+-=qLEIaLFabzB6)(+=q轉(zhuǎn)角情況一：xyBAFCl/2la=b=l/2F(l2/4)(3l/2)A1lEIz6-=q-=EIz483Fl2F(l2/4)(3l/2)B1lEIz6=q=EIz483Fl2撓度4/3(6222/LbLEIFbL/2yzLx-==))4/322ll/4y1x=l/2-(6lEIFl2/4z=Fl348EIz=-30已有結(jié)果：xyBAabLFLEIbLFabzA6)(+-=qLEIaLFabzB6)(+=q轉(zhuǎn)角情況二：xyBAFD3l/4la=3l/4b=l/4F(3l2/16)(5l/4)A2lEIz6-=q-=EIz1285Fl2撓度4/3(6222/LbLEIFbL/2yzLx-==))4/322ll/16y2x=l/2-(6lEIFl2/8z=11Fl3768EIz=-F(3l2/16)(7l/4)B2lEIz6=q=EIz1287Fl231情況一：xyBAFCl/2l情況二：xyBAFD3l/4l疊加后得到：l/4xyBAFCl/2l/4FDlA1=q-EIz483Fl2B1=qEIz483Fl2y1CFl348EIz=-A2=q-EIz1285Fl2y2C11Fl3768EIz=-B2q=EIz1287Fl2A=q-EIz38439Fl2B=qEIz38445Fl2yC27Fl3768EIz=-返回主目錄32除保證梁的強(qiáng)度條件外，還可能要求變形不能超過(guò)允許的限度。即需滿(mǎn)足梁的剛度條件：；[y]、[q]分別為構(gòu)件的許用撓度和許用轉(zhuǎn)角。一般主要是控制撓度。9.4.4

梁的剛度條件返回主目錄33例9.14中矩形截面梁h/b=2。若q=10kN/m，L=3m，E=200GPa，[s]=120MPa，[y]=L/250，試設(shè)計(jì)截面。解:1.求支承反力

FA=qL=30kN，MA=-qL2/2=45kN.mLAqxByFAMA得到：按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)---固定端處(A截面)彎矩最大強(qiáng)度條件:][326max322sMbbhWbhz3==