第三章冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

函數(shù)有精確表示和近似表示。精確表示（解析表示）：表示為初等函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算近似表示：逼近近似表示為初等函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算級(jí)數(shù)表示表示為一個(gè)函數(shù)級(jí)數(shù)第三章冪級(jí)數(shù)展開(kāi)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；變項(xiàng)級(jí)數(shù)（函數(shù)級(jí)數(shù)）；冪級(jí)數(shù)；冪級(jí)數(shù)對(duì)復(fù)變函數(shù)研究的應(yīng)用：泰勒級(jí)數(shù)；洛朗級(jí)數(shù)，函數(shù)的奇異性研究。3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)是無(wú)窮項(xiàng)的和1.級(jí)數(shù)的收斂和柯西判據(jù)復(fù)無(wú)窮級(jí)數(shù)每一項(xiàng)為收斂如果極限存在并有限收斂：充要條件是其實(shí)部與虛部都收斂柯西判據(jù)：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是，對(duì)于一小的正整數(shù)，必存在一n

使得n>n

時(shí)有式中p

為任意正整數(shù)。2.絕對(duì)收斂收斂。兩個(gè)絕對(duì)收斂的和，積，仍絕對(duì)收斂。3.復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是復(fù)變函數(shù)。實(shí)際上，對(duì)于z的一個(gè)確定值，復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)變成一個(gè)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。則原級(jí)數(shù)收斂。復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)有一個(gè)定義域b

。它的收斂的概念應(yīng)當(dāng)是相對(duì)于這個(gè)定義域而言的。收斂復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)在其定義域b中每一點(diǎn)都收斂，則稱在b中收斂。它滿足柯西判據(jù)：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是，對(duì)于一小正整數(shù)，必存在一n(z)

使得n>n(z)

時(shí)有一致收斂當(dāng)n

與z無(wú)關(guān)時(shí)。即對(duì)b

中所有點(diǎn)給定，就有一個(gè)統(tǒng)一的n

使判據(jù)得到滿足。

一致收斂的級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)若為連續(xù)函數(shù)，級(jí)數(shù)也將是連續(xù)函數(shù)。在一條曲線上可以逐項(xiàng)積分。絕對(duì)一致收斂在區(qū)域b中，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)滿足

而數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。即在各點(diǎn)都絕對(duì)收斂給定

收斂，但與z的位置有關(guān)。3.2冪級(jí)數(shù)冪函數(shù)的復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)于各復(fù)常數(shù)級(jí)數(shù)叫以為中心的冪級(jí)數(shù)。1.定義(3.2.1)z02.收斂的達(dá)朗貝爾判據(jù)研究(3.2.1)的模的如下級(jí)數(shù)滿足則實(shí)冪級(jí)數(shù)(3.2.2)收斂，且復(fù)冪級(jí)數(shù)(3.2.1)絕對(duì)收斂。(3.2.1)(3.2.2)則實(shí)冪級(jí)數(shù)(3.2.2)收斂，且復(fù)冪級(jí)數(shù)(3.2.1)絕對(duì)收斂。3.收斂圓記有收斂圓r叫收斂半徑，以為圓心，r為半徑的圓叫冪級(jí)數(shù)的最簡(jiǎn)單的收斂區(qū)域。保證冪級(jí)數(shù)在圓內(nèi)的點(diǎn)上絕對(duì)收斂，而在圓外可能發(fā)散。圓外仍有區(qū)域是收斂的。根值判別法(3.2.2)收斂，(3.2.1)絕對(duì)收斂。(3.2.2)發(fā)散，(3.2.1)發(fā)散。故當(dāng)，(3.2.1)絕對(duì)收斂。當(dāng)，(3.2.1)可能發(fā)散。故例(1)解：收斂半徑:收斂圓內(nèi)部為其實(shí)，對(duì)于(2)但對(duì)于顯然級(jí)數(shù)發(fā)散。解：收斂圓實(shí)際上對(duì)于4.冪級(jí)數(shù)的積分表示利用柯西公式在一個(gè)比收斂圓c內(nèi)稍小的圓c’中冪級(jí)數(shù)絕對(duì)一致收斂，故可沿這個(gè)圓逐項(xiàng)積分。記c’上點(diǎn)為，而c’內(nèi)任一點(diǎn)為z，則圓上的冪級(jí)數(shù)為利用柯西公式得而有界，又乘以冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)可任意逐項(xiàng)求導(dǎo)。還可以逐項(xiàng)積分。3.3泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)具有無(wú)限階導(dǎo)數(shù)的實(shí)函數(shù)可以展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)。復(fù)變函數(shù)中的解析函數(shù)具有無(wú)限階導(dǎo)數(shù)，故應(yīng)可展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)。定理設(shè)在以為圓心的圓內(nèi)解析，則對(duì)圓內(nèi)任意點(diǎn)，可展開(kāi)為其中證明：又#關(guān)鍵在確定，但這不是唯一的方法例(1)解：#能直接求導(dǎo)就求導(dǎo)(2)解：#(3)

是多值函數(shù)，各分支在支點(diǎn)相連。但不是支點(diǎn)，在其的鄰域各分支相互獨(dú)立。因此，我們可以只討論展開(kāi)的主值。解：主值#(4)解：定義顯然是主值，此時(shí)有即二項(xiàng)式定理。#方法與實(shí)函數(shù)同，但應(yīng)注意主值。最普通的辦法，仍是逐級(jí)求導(dǎo)。(5)極點(diǎn)在不同的冪級(jí)數(shù)在不同的區(qū)域與函數(shù)相同。這里存在什么樣的關(guān)系？設(shè)在小圓在大圓。問(wèn)題在于3.4解析延拓例如和等式兩邊在收斂圓內(nèi)是相同的，但在收斂圓外等式不一定成立。注意，等式的左邊僅在收斂圓內(nèi)有意義，但等式的右邊除t=1（前一個(gè)）或,在整個(gè)復(fù)平面上解析。因此，問(wèn)：已知，求在之外的f(t)。這個(gè)答案是已知的

于是提出問(wèn)題：已知f(z)在b

中解析，是否存在f(z)在b

中解析，且在b

中

f(z)=f(z)。這個(gè)過(guò)程叫解析延拓。解析延拓的方法在b中取點(diǎn)，又取的一個(gè)鄰域，j將f(z)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)。如果這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂圓的一部分超出區(qū)域b進(jìn)入?yún)^(qū)域b則此函數(shù)的解析區(qū)域得以擴(kuò)大。逐步使用這種方法，可以逐漸將函數(shù)解析延拓?？梢宰C明，無(wú)論采用何種方法，函數(shù)f(z)的解析延拓是唯一的。這樣，可以采用某些最方便的方法來(lái)進(jìn)行解析延拓。在點(diǎn)z0收斂、絕對(duì)收斂。在定義域，收斂、一致收斂、絕對(duì)一致收斂級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)解析函數(shù)解析延拓是否可以將一個(gè)解析函數(shù)的解析區(qū)域擴(kuò)大？在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)積分可作為被積函數(shù)，被積函數(shù)不一定是解析函數(shù)。3.5洛朗展開(kāi)泰勒展開(kāi)必須在函數(shù)的解析區(qū)域才可進(jìn)行。在函數(shù)的奇點(diǎn)的鄰域，是否存在相應(yīng)的展開(kāi)？(2)

泰勒級(jí)數(shù)的解析區(qū)域?yàn)橐皇諗繄A，收斂圓不可包含奇點(diǎn)，但若研究一個(gè)級(jí)數(shù)，它以圓環(huán)作收斂區(qū)域，則奇點(diǎn)可以取作圓心，它在收斂環(huán)之外。這種級(jí)數(shù)為洛朗級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)是只具有正冪項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)，奇點(diǎn)易出現(xiàn)在負(fù)冪項(xiàng)，故考慮有負(fù)冪的級(jí)數(shù)1.收斂環(huán)設(shè)其收斂半徑為，則其在圓外部收斂。

故此級(jí)數(shù)在收斂。這個(gè)區(qū)域叫收斂環(huán)。其中正冪部分的收斂半徑為。負(fù)冪部分寫作2.定理 設(shè)f(z)在環(huán)形區(qū)域的內(nèi)部單值解析，則在環(huán)內(nèi)任一點(diǎn)z，f(z)可以展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)其中證：沿沿兩個(gè)積分回路的方向相反，由柯西定理，沿的積分可變?yōu)檠氐姆e分（差一個(gè)負(fù)號(hào)）如下#此為洛朗展開(kāi)在奇點(diǎn)附近的展開(kāi)3.例(1)

在的鄰域展開(kāi)。f(z)無(wú)定義。但在挖去原點(diǎn)的環(huán)域（整個(gè)復(fù)平面）中又此級(jí)數(shù)又可以看作f(z)的到整個(gè)復(fù)平面的解析延拓。利用泰勒展開(kāi)(2)在環(huán)域中將展開(kāi)。還是利用泰勒展開(kāi)f(z)的奇點(diǎn)不是z=0，而是z=1,-1。(3)在的鄰域?qū)⒄归_(kāi)。(z-1)的冪級(jí)數(shù)在(4)利用取得無(wú)限多負(fù)冪(5)習(xí)題14z

的冪級(jí)數(shù)a.b.3.6孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)f(z)除在的小鄰域外處處可導(dǎo)。在挖去的小鄰域外解析。其正冪叫解析部分，負(fù)冪叫主要部分。叫留數(shù)c.可去奇點(diǎn)冪級(jí)數(shù)無(wú)負(fù)冪項(xiàng)時(shí)的極點(diǎn)冪級(jí)數(shù)僅含有限m

個(gè)負(fù)冪項(xiàng)時(shí)的m為極點(diǎn)的階，一階極點(diǎn)稱單極點(diǎn)本性奇點(diǎn)含無(wú)窮多負(fù)冪項(xiàng)時(shí)的例(1)中

為可去奇點(diǎn)例(3)中出現(xiàn)一階極點(diǎn)。留數(shù)為例(4)中出現(xiàn)本性奇點(diǎn)。留數(shù)為例(5)中情況