導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)2023/1/131oyxyox1oyx1在（－∞，0）和（0,＋∞）上分別是減函數(shù)。但在定義域上不是減函數(shù)。在（－∞，1）上是減函數(shù)，在（1,＋∞）上是增函數(shù)。在(－∞,＋∞)上是增函數(shù)概念回顧畫(huà)出下列函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像指出每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2023/1/132單調(diào)性的概念對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x):1.如果對(duì)于這個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí)，都有

f(x1)<f(x2),那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù).首頁(yè)2.如果對(duì)于這個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2),那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的性質(zhì)，叫做f(x)在這個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，這個(gè)區(qū)間叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間。2023/1/133ox1y1.在x＝1的左邊函數(shù)圖像的單調(diào)性如何？新課引入首頁(yè)2.在x＝1的左邊函數(shù)圖像上的各點(diǎn)切線的傾斜角為

(銳角/鈍角)?他的斜率有什么特征？3.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，你可以得到什么結(jié)論？4.在x＝1的右邊時(shí)，同時(shí)回答上述問(wèn)題。2023/1/134定理：一般地，函數(shù)y＝f（x）在某個(gè)（a，b）區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)：如果恒有f′(x)>0，則f（x）是增函數(shù)。如果恒有f′(x)<0，則f（x）是減函數(shù)。如果恒有f′(x)=0，則f（x）是常數(shù)。2023/1/135

確定函數(shù)，在哪個(gè)區(qū)間是增函數(shù)，那個(gè)區(qū)間是減函數(shù)。xyo解：函數(shù)f(x)的定義域是(－∞,＋∞)

令6x2－12x>0,解得x>2或x<0∴當(dāng)x∈(2,＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)也是增函數(shù)令6x2－12x<0,解得,0<x<2∴當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)是減函數(shù)。首頁(yè)2023/1/136知識(shí)點(diǎn)：定理：一般地，函數(shù)y＝f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)：如果恒有

，則f(x)在是增函數(shù)。如果恒有

，則f(x)是減函數(shù)。如果恒有

，則f(x)是常數(shù)。步驟：（1）求函數(shù)的定義域（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自變量x的取值范圍，即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。f’(x)>0f’(x)<0f’(x)＝02023/1/137練習(xí):判斷下列函數(shù)的單調(diào)性(1)f(x)=x3+3x;(2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π);(3)f(x)=2x3+3x2-24x+1;(4)f(x)=ex-x;2023/1/1382023/1/1391.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

2023/1/1310問(wèn)題：如圖表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖象

單調(diào)遞增單調(diào)遞減歸納:函數(shù)在點(diǎn)處,在的附近,

當(dāng)時(shí),函數(shù)h(t)單調(diào)遞增，;

當(dāng)時(shí),函數(shù)h(t)單調(diào)遞減,。2023/1/1311探究（3）在點(diǎn)附近,的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律?（1）函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系?（2）函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少?(圖一)問(wèn)題：(圖二)2023/1/1312探究(圖一)(圖二)極大值f(b)點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.點(diǎn)b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.極小值f(a)思考：極大值一定大于極小值嗎？2023/1/1313

（1）如圖是函數(shù)的圖象,試找出函數(shù)的極值點(diǎn),并指出哪些是極大值點(diǎn),哪些是極小值點(diǎn)？（2）如果把函數(shù)圖象改為導(dǎo)函數(shù)的圖象?隨堂練習(xí)答：1、x1,x3,x5,x6是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)，其中x1,x5是函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，x3,x6函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)。2、x2,x4是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn),其中x2是函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，x4是函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)。2023/1/1314

下面分兩種情況討論:

（1）當(dāng)，即x＞2,或x＜-2時(shí);（2）當(dāng)，即-2＜x＜2時(shí)。例4：求函數(shù)的極值.

解:∵∴當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：

∴當(dāng)x=-2時(shí),f(x)的極大值為

令解得x=2,或x=-2.當(dāng)x=2時(shí),f(x)的極小值為2023/1/1315（2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值歸納：求函數(shù)y=f(x)極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值；解方程，當(dāng)時(shí)：練習(xí)：

1、下列結(jié)論中正確的是（）。

A、導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)。

B、如果在x0附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,那么

f(x0)是極大值。

C、如果在x0附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,那么

f(x0)是極大值。Ｄ、極大值一定大于極小值。B0xy2023/1/1316鞏固練習(xí)：1、求函數(shù)的極值解:∵∴

令，得，或下面分兩種情況討論：（1）當(dāng)，即時(shí)；（2）當(dāng)，即，或時(shí)。當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

∴當(dāng)時(shí),有極小值，并且極小值為

當(dāng)時(shí),有極大值，并且極大值為2023/1/1317思考：已知函數(shù)在處取得極值。（1）求函數(shù)的解析式（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：（1）∵在取得極值，∴即解得

∴

（2）∵，由得

∴的單調(diào)增區(qū)間為由得的單調(diào)減區(qū)間為2023/1/1318課堂小結(jié):

一、方法:(1)確定函數(shù)的定義域(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x)(3)求方程f'(x)

=0的全部解(4)檢查f'(x)在f'(x)

=0的根左.右兩邊值的符號(hào),如果左正右負(fù)(或左負(fù)右正),那么f(x)在這個(gè)根取得極大值或極小值二、通過(guò)本節(jié)課使我們學(xué)會(huì)了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法去求函數(shù)的極值，并能應(yīng)用函數(shù)的極值解決函數(shù)的一些問(wèn)題今天我們學(xué)習(xí)函數(shù)的極值,并利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值2023/1/13191.3.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)2023/1/1320xoyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6最值是相對(duì)函數(shù)定義域整體而言的.極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì).注意:※溫故知新極值最值不唯一極大值和極小值大小不定只能是內(nèi)點(diǎn)值，不能為端點(diǎn)值唯一最大值一定比最小值大兩者都有可能2023/1/1321xoybay=f(x)oyxy=f(x)abx1x2x4如果在閉區(qū)間【a，b】上函數(shù)y=f（x）的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必定有最大值和最小值。所有極值連同端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行比較，最大的為最大值，最小的為最小值※探究新知x3xoyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x62023/1/1322※典型例題1、求出所有導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)；2、計(jì)算；3、比較確定最值。在閉區(qū)間上求函數(shù)最值時(shí)，必須確定函數(shù)的極大值和極小值嗎？2023/1/1323※動(dòng)手試試求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值：2023/1/1324※典型例題反思：本題屬于逆向探究題型；

其基本方法最終落腳到比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值大小上，從而解決問(wèn)題，往往伴隨有分類討論。2023/1/1325※拓展提高我們知道，如果在閉區(qū)間【a，b】上函數(shù)y=f（x）的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必定有最大