數(shù)學(xué)建模的常用方法(上)

我們稱研究對(duì)象的同一個(gè)量在兩個(gè)不同方面的表現(xiàn)之間的關(guān)系為平衡原理。利用這些平衡關(guān)系導(dǎo)出研究對(duì)象的數(shù)學(xué)關(guān)系的過程稱為用平衡原理建模。第四章數(shù)學(xué)建模的常用方法(上)§4.1平衡原理建模一、平衡原理思考題用平衡原理方法建立某物種數(shù)量發(fā)展的數(shù)學(xué)模型.用動(dòng)態(tài)平衡的方法建立某可再生物種的動(dòng)態(tài)平衡模型.§4.2數(shù)據(jù)資料建模一、數(shù)據(jù)資料建模方法的含義1、數(shù)據(jù)資料建模方法的適用范圍在科學(xué)研究中，人們經(jīng)常遇到的有些問題具有以下特征：●能確定其中某些因素之間有因果關(guān)系，但不知道這種因果關(guān)系的解析表達(dá)?！癞?dāng)需要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行類別劃分時(shí)，知道區(qū)分這些對(duì)象的類別歸屬的描述指標(biāo)，但面對(duì)一個(gè)給定的對(duì)象，怎樣確定它應(yīng)該屬于哪一類？其科學(xué)標(biāo)準(zhǔn)和方法是什么？●哪些因素之間有因果關(guān)系，哪種因果關(guān)系是該問題中因果關(guān)系的更準(zhǔn)確的表達(dá)？●哪些指標(biāo)能更有力地區(qū)分研究對(duì)象的類屬？2、多個(gè)原因的線性因果關(guān)系問題的表現(xiàn)形式為：現(xiàn)假設(shè)因果關(guān)系的函數(shù)形式為：將問題中的數(shù)據(jù)代入模型即有誤差上式便是模型中的系數(shù)應(yīng)該滿足的條件。應(yīng)用求多元函數(shù)極值的方法不難求得全部系數(shù)的估計(jì)值。在建模時(shí)，這一計(jì)算求解過程由專門的計(jì)算函數(shù)來完成。3、單一原因的非線性因果關(guān)系問題的表現(xiàn)形式為：這些數(shù)據(jù)全是具體數(shù)值，它們的任何已知函數(shù)值也是已知數(shù)值。如果猜想我們的模型是，其中a、b是待定系數(shù)，它們由實(shí)際問題中收集到的數(shù)據(jù)所確定。對(duì)于任何一個(gè)原因數(shù)據(jù)xi，是一個(gè)已知數(shù)值?；谶@一認(rèn)識(shí)，上述模型中待定系數(shù)的確定就等同于下述模型中相應(yīng)系數(shù)的確定。問題便轉(zhuǎn)化成一個(gè)原因的線性因果關(guān)系。我們還可以嘗試用下列模型進(jìn)行擬合，以選擇擬合精度最高的模型作為我們的最終模型。10020040080010001500100200400800100015001002004008001000150004008001200160020000370470550600670690400510620730800850870800650760880970102010501200740880108011301250128016008309801180132014501420200088010601230139015001500例5：一個(gè)模型類型設(shè)定方面的例子問題：在錄音機(jī)運(yùn)行過程中，我們觀測(cè)了錄音機(jī)運(yùn)行的時(shí)間和它的計(jì)數(shù)器的讀數(shù)的數(shù)據(jù)如下表。試建模分析其運(yùn)行規(guī)律。時(shí)間：分12345101520253031--讀數(shù)91828374797151211280362382385仔細(xì)觀察表中數(shù)據(jù)的特征，讀數(shù)與時(shí)間之間的正向增長關(guān)系，其增加速度并不均勻。由此，我們聯(lián)想到讀數(shù)記錄著磁帶輪的轉(zhuǎn)數(shù)。即磁帶輪的轉(zhuǎn)速隨纏在它身上的磁帶的減少而加快。因此，有理由設(shè)想磁帶輪轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度是常數(shù)。于是我們有假設(shè)：1、計(jì)數(shù)器的讀數(shù)n與纏有磁帶的輪的轉(zhuǎn)速k成正比。2、磁帶運(yùn)動(dòng)時(shí)的線速度是常數(shù)v3、磁帶的厚度均為d，各圈磁帶間無空隙4、磁帶纏繞一圈的長度等于它所纏顧的圓的周長假設(shè)我們?cè)陂_始運(yùn)行時(shí)把計(jì)數(shù)器置為0空磁帶輪的半徑為r與計(jì)數(shù)器相連的磁帶輪上纏有N圈磁帶；于是由假設(shè)1有：令L(k)表示從磁帶輪最外圈開始k圈磁帶的長度，由假設(shè)3和4有6、多指標(biāo)對(duì)象類屬的判別方法三、數(shù)據(jù)資料建模實(shí)例例1：多原因的線性模型例2：?jiǎn)卧虻姆蔷€性模型例3：多原因的非線性模型例4：多指標(biāo)對(duì)象的分類實(shí)例§4.3數(shù)學(xué)規(guī)劃建模（一）規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)描述一、規(guī)劃模型的一般含義若某實(shí)際問題所表示成的數(shù)學(xué)形式為：S.t.為subjectto的縮寫，即“受約束于”之意

則稱該問題可用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法建模，也稱該問題的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃模型。滿足所有約束條件的任一x

稱為一個(gè)可行解；可行解之集稱為可行域．（二）規(guī)劃模型的分類1.根據(jù)是否存在約束條件分為約束問題和無約束問題。2.根據(jù)設(shè)計(jì)變量的性質(zhì)分為靜態(tài)問題和動(dòng)態(tài)問題。無約束問題約束問題動(dòng)態(tài)約束問題3.根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和約束條件表達(dá)式的性質(zhì)可分為線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，二次規(guī)劃，多目標(biāo)規(guī)劃等四、建立優(yōu)化模型的一般步驟1.確定設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)變量2.確定目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式3.尋找約束條件例1：設(shè)某廠生產(chǎn)電腦和手機(jī)兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)需要逐次經(jīng)過兩條裝配線進(jìn)行裝配。電腦在第一條裝配線每臺(tái)需要2小時(shí)，在第二條裝配線每臺(tái)需要3小時(shí)；手機(jī)在第一條裝配線每臺(tái)需要4小時(shí)，在第二條裝配線每臺(tái)需要1小時(shí)。第一條裝配線每天有80個(gè)可用工時(shí)，第一條裝配線每天有60個(gè)可用工時(shí)，電腦和手機(jī)每臺(tái)的利潤分別為100元和80元。問怎樣制定生產(chǎn)計(jì)劃？分析：目標(biāo)是利潤L；而利潤是由電腦的產(chǎn)量x和手機(jī)的產(chǎn)量y決定假設(shè)：1、兩種產(chǎn)品的銷量不受限制2、原材料供應(yīng)不受限制約束條件：裝配線1的工時(shí)限制裝配線2的工時(shí)限制變量約束建立模型模型求解：1243657例2：最短路線問題的數(shù)學(xué)建模實(shí)例141512101320912881012436579810例3：最短路線問題算例1001502001751254002503002002751752752003501501009-101008-101506-9-103005-8-104007-8-102752-6-106004-6-105003-5-106001-4-10650最短路線為:1-4-6-9-10，長度：650例4：分派問題的數(shù)學(xué)模型12436571415121013209128810例5：最小費(fèi)用流問題12436571415121013209128810例6：最大流量問題鋼管的訂購和運(yùn)輸i1234567si80080010002000200020003000pi160155155160155150160

一單位鋼管的鐵路運(yùn)價(jià)如下表：里程km301～350351～400401～450451～500運(yùn)價(jià)萬元2023262932里程km501～600601～700701～800801～900901～1000運(yùn)價(jià)萬元3744505560圖1圖212436579810最短路線問題算例1001502001751254002503002002751752752003501501009-101008-101506-9-103005-8-104007-8-102752-6-106004-6-105003-5-106001-4-10650最短路線為:1-4-6-9-10，長度：650最小運(yùn)費(fèi)單價(jià)表s1s2s3s4s5s6s7A2320.3360.3375.3410.3400.3400.3425.3A3300.2345.2355.2395.2380.2385.2405.2A4258.6326.6336.6376.6361.6366.6386.6A5198266276316301306326A6180.5250.5260.5300.5285.5290.5310.5A7163.1241251291276278.1301A8181.2226.2241.2276.2266.2266.2291.2A9224.2269.2203.2244.2234.2234.2259.2A10252297237222212211236A11256301241211188197224A12266311251221206187216A13281.2326.2266.2236.2226.2166.2198.2A14288333273243228161186A15302347287257242178162最小運(yùn)費(fèi)單價(jià)表s1s2s3s4s5s6s7A16220265199240230230255A17255300240210187196223A18260305245215200183210A19265310250220206186215A20275320260230220160192A21285330270240230150186符號(hào)說明：工廠定期訂購原料，存入倉庫供生產(chǎn)之用；車間一次加工出一批零件，供裝配線每天生產(chǎn)之用；商店成批購進(jìn)各種商品，放在貨柜里以備零售；水庫在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和發(fā)電。例1存貯模型（四）簡(jiǎn)單優(yōu)化模型舉例存貯量多少合適？存貯量過大，存貯費(fèi)用太高；存貯量太小，會(huì)導(dǎo)致一次性訂購費(fèi)用增加，或不能及時(shí)滿足需求。問題1不允許缺貨的存貯模型配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種部件，輪換生產(chǎn)不同的部件時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)（與生產(chǎn)數(shù)量無關(guān)），同一部件的產(chǎn)量大于需求時(shí)因積壓資金、占用倉庫要付存貯費(fèi)。今已知某一部件的日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，存貯費(fèi)每日每件1元。如果生產(chǎn)能力遠(yuǎn)大于需求，并且不允許出現(xiàn)缺貨，試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（稱為生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，可使總費(fèi)用最小。問題分析若每天生產(chǎn)一次，每次100件，無存貯費(fèi)，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，每天費(fèi)用5000元；若10天生產(chǎn)一次，每次1000件，存貯費(fèi)900+800+…+100=4500元，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)9500元，平均每天費(fèi)用950元；若50天生產(chǎn)一次，每次5000件，存貯費(fèi)4900+4800+…+100=122500元，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)127500元，平均每天費(fèi)用2550元；尋找生產(chǎn)周期、產(chǎn)量、需求量、生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和存貯費(fèi)之間的關(guān)系，使每天的費(fèi)用最少。模型假設(shè)1連續(xù)化，即設(shè)生產(chǎn)周期T和產(chǎn)量Q

均為連續(xù)量；2產(chǎn)品每日的需求量為常數(shù)r

；3每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)C1，每日每件產(chǎn)品存貯費(fèi)C2；4生產(chǎn)能力為無限大（相對(duì)于需求量），當(dāng)存貯量降到零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即生產(chǎn)出來供給需求，即不允許缺貨。模型建立總費(fèi)用與變量的關(guān)系總費(fèi)用=生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)+存貯費(fèi)存貯費(fèi)=存貯單價(jià)*存貯量存貯量=？設(shè)t時(shí)刻的存貯量為q(t)，t=0時(shí)生產(chǎn)Q

件，存貯量q(0)=Q,q(t)以需求速率r線性遞減，直至q(T)=0，如圖。q(t)=Q-rt，

Q=rT

。otqQTrA不允許缺貨模型的存貯量q(t)

存貯量的計(jì)算一個(gè)周期內(nèi)存貯量一個(gè)周期內(nèi)存貯費(fèi)(A的面積)一個(gè)周期的總費(fèi)用每天平均費(fèi)用模型求解用微分法每天平均最小費(fèi)用著名的經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式（EOQ公式）。思考建模中未考慮生產(chǎn)費(fèi)用（這應(yīng)是最大一筆費(fèi)用），在什么情況下才可以不考慮它？建模時(shí)作了“生產(chǎn)能力無限大”的簡(jiǎn)化假設(shè)，如果生產(chǎn)能力有限，是大于需求量的一個(gè)常數(shù)，如何建模？結(jié)果解釋當(dāng)準(zhǔn)備費(fèi)c1增加時(shí)，生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變大；當(dāng)存貯費(fèi)c2

增加時(shí)，生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變小；當(dāng)日需求費(fèi)r增加時(shí)，生產(chǎn)周期變小而產(chǎn)量變大。這些定性結(jié)果符合常識(shí)，而定量關(guān)系（平方根，系數(shù)2等）憑常識(shí)是無法得出的，只能由數(shù)學(xué)建模得到。這里得到的費(fèi)用C與前面計(jì)算得950元有微小差別，你能解釋嗎？在本例中敏感性分析討論參數(shù)有微小變化時(shí)對(duì)生產(chǎn)周期T影響。由相對(duì)變化量衡量對(duì)參數(shù)的敏感程度。T對(duì)c1

的敏感程度記為意義是當(dāng)準(zhǔn)備費(fèi)增加1%時(shí)，生產(chǎn)周期增加0.5%；而存貯費(fèi)增加1%時(shí)，生產(chǎn)周期減少0.5%；日需求量增加1%時(shí)，生產(chǎn)周期減少0.5%。當(dāng)有微小變化對(duì)生產(chǎn)周期影響不太大。模型假