2022-2023學(xué)年河北省張家口市部分學(xué)校高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省張家口市部分學(xué)校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線l的斜率為，則其傾斜角為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斜率的定義及傾斜角的范圍可得答案.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，所以斜率.故選：C．2．圓的半徑等于（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】圓的一般方程配方成標(biāo)準(zhǔn)方程后可得半徑．【詳解】把圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓，所以圓的半徑為．故選：B．3．已知直線與直線垂直，則（

）．A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系列方程求解即可.【詳解】解：直線斜率為，直線斜率為，又兩直線垂直，故，解得．故選：C．4．已知直線恒過(guò)定點(diǎn)Q，Q點(diǎn)在直線l上，則l的方程可以是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)的求法求得，利用代入驗(yàn)證法確定正確答案.【詳解】由題意知可化為，則直線l恒過(guò)定點(diǎn)，驗(yàn)證選項(xiàng)得直線l的方程可以為．故選：B5．已知圓與圓，若圓與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則得實(shí)數(shù)等于（

）．A．7 B．3 C．3或7 D．5【答案】C【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷即可得得實(shí)數(shù)得值.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為圓的圓心，半徑為所以，因?yàn)閳A與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以圓與圓相內(nèi)切或外切，所以或，所以或或（舍）.故選：C．6．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用中點(diǎn)和斜率來(lái)求得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得．所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選：A7．如圖，在三棱錐中，平面，是正三角形，，，F(xiàn)是棱上一點(diǎn)，且滿足，則異面直線與所成角的余弦值是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，易知，，，，，，設(shè)，則，已知，因?yàn)?，，所以，可得，即，所以，所以，則，∴異面直線與所成角的余弦值為．故選：B．8．如果圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓相交，根據(jù)圓與圓位置關(guān)系判斷即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：如果圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2則圓和圓相交，又圓的圓心為，半徑為兩圓圓心距，由得，解得，即．故選：D．二、多選題9．已知圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則（

）．A．兩圓的圓心距B．直線的方程為C．圓上存在兩點(diǎn)P和Q使得D．圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為【答案】BD【分析】對(duì)于A，根據(jù)兩個(gè)圓的方程先得到兩個(gè)圓心坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式即可求解；對(duì)于B，兩圓作差即可得公共弦的方程；對(duì)于C，根據(jù)直線經(jīng)過(guò)圓的圓心即可判斷；對(duì)于D，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為圓心到直線的距離加上半徑即可求解.【詳解】由圓和圓，可得圓和圓，則圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，對(duì)于A，兩圓的圓心距，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將兩圓方程作差可得，即得直線的方程為，故B正確；對(duì)于C，直線經(jīng)過(guò)圓的圓心坐標(biāo)，所以線段是圓的直徑，故圓中不存在比長(zhǎng)的弦，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，故D正確.故選：BD.10．已知直線，，和圓，下列說(shuō)法正確的是（

）．A．直線l恒過(guò)定點(diǎn)B．圓C被x軸截得的弦長(zhǎng)為C．直線l被圓截得的弦長(zhǎng)存在最大值，且最大值為D．直線l被圓截得的弦長(zhǎng)存在最小值，且最小值為【答案】ABD【分析】求出直線l過(guò)的定點(diǎn)判斷A；求出圓C截x軸的弦長(zhǎng)判斷B；求出l被圓C截得最長(zhǎng)弦、最短弦判斷C，D作答.【詳解】對(duì)于A，由，得，由解得，因此無(wú)論m為何值，直線l恒過(guò)定點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，在中，令，得，因此圓C截x軸所得弦長(zhǎng)為，B正確；對(duì)于C，直線l恒過(guò)的定點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)直線l過(guò)圓心時(shí)，直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最大，最大值為圓C直徑4，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線l恒過(guò)的定點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)直線l與過(guò)點(diǎn)P的直徑垂直時(shí)，直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短，最短弦長(zhǎng)為，D正確．故選：ABD11．若直線，，不能構(gòu)成三角形，則m的取值可能為（

）．A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由已知可得出不能構(gòu)成三角形的條件，分個(gè)討論即可得到.【詳解】因?yàn)橹本€，，不能構(gòu)成三角形，所以存在，，過(guò)與的交點(diǎn)三種情況.顯然，.則直線的斜率分別為，，.當(dāng)時(shí)，有，即，解得；當(dāng)時(shí)，有，即，解得；當(dāng)過(guò)與的交點(diǎn)時(shí).先聯(lián)立，解得，則與的交點(diǎn)為，代入，得，解得．綜上：或或．故選：ABD．12．已知三棱錐，，且，，兩兩垂直，G是的重心，E，F(xiàn)分別為，上的點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)，，兩兩垂直，設(shè)，，，則是空間的一個(gè)正交基底，根據(jù)空間向量運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：如圖，設(shè)，，，則是空間的一個(gè)正交基底，則，取的中點(diǎn)，連接，由于是的重心，則則，，又，則，，∴，則不平行于，故A不正確；，B正確；，C正確；，D正確．故選：BCD．三、填空題13．若過(guò)兩點(diǎn)，的直線的斜率為，則直線的方程為_(kāi)_________．【答案】【分析】根據(jù)直線斜率求得m的值，利用直線的點(diǎn)斜式方程可得答案.【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、且直線的斜率是，所以，解得,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)可得,故答案為：．14．已知圓C的圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)，，則圓C的一般方程為_(kāi)_________．【答案】【分析】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合圓心在上，列出方程組，求出圓心和半徑，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，化為一般方程.【詳解】設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得：，解得：，故所求圓的方程為，即．故答案為：．15．已知圓，若圓C與y軸交于M，N兩點(diǎn)，且，則__________．【答案】2【分析】首先通過(guò)的關(guān)系，得，然后根據(jù)圓的垂徑定理構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程即可求出半徑.【詳解】由題意知的圓心，半徑為r，圓心到y(tǒng)軸的距離為1，因?yàn)閳AC與y軸交于M，N兩點(diǎn)，且，，所以，由垂徑定理得，，即，解得．故答案為：2．16．球O為正四面體的內(nèi)切球，，是球O的直徑，點(diǎn)M在正四面體的表面運(yùn)動(dòng)，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】##【分析】先求出正四面體的高以及內(nèi)切圓半徑，再把分解到上可得答案.【詳解】如圖，為中點(diǎn)，為中心，平面，設(shè)球O的半徑為r，，正四面體中，易求得所以正四面體的高為，所以根據(jù)體積公式得：，解得，因?yàn)辄c(diǎn)M在正四面體的表面運(yùn)動(dòng)，所以，所以．故答案為：．四、解答題17．已知的頂點(diǎn)，，．(1)直線l過(guò)點(diǎn)B且與直線平行，求直線l的方程；(2)若垂足為D，求D的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由直線平行求得，從而利用點(diǎn)斜式即可求得直線l的方程；（2）先由點(diǎn)斜式得到的方程，從而得到，再由得到，聯(lián)立方程解之，即可得到.【詳解】（1）由題意可知，則，所以直線l方程為，即．（2）設(shè)，由題意得，，D在直線上，因?yàn)?，所以直線方程為，，又D在直線上，所以，聯(lián)立，解得，所以．18．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E，F(xiàn)為棱，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)2【分析】對(duì)于（1），在平面內(nèi)找到一直線與直線CF平行即可；對(duì)于（2），以A點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACF法向量，利用公式求得答案.【詳解】（1）證明：如圖取的中點(diǎn)M，連接，．∵F，M分別是，的中點(diǎn)，∴，．又，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴．又平面，平面，∴平面；（2）如圖，連接，以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，．設(shè)平面的法向量為，則.令，得，∴到平面的距離為．19．已知直線．(1)求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)；(2)已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段有公共點(diǎn)，求直線l的傾斜角的取值范圍．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）直線方程整理為關(guān)于的方程，由恒等式知識(shí)可得定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出直線的傾斜角，直線介于直線之間，由此可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：由，得．由直線方程的點(diǎn)斜式可知，直線恒過(guò)定點(diǎn)．（2）由題意可知，，由題意可知直線l的傾斜角介于直線與的傾斜角之間，又的傾斜角是，的傾斜角是，點(diǎn)橫坐標(biāo)在兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之間，因此直線可能與軸垂直，傾斜角可以是，∴的取值范圍是．20．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的動(dòng)點(diǎn)，．(1)證明：平面；(2)當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面所成的夾角最小？【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)先證明平面，由此建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法證明，，由線面垂直判定定理證明平面；(2)求平面與平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式求兩平面的夾角余弦，再求其最小值可得的取值.【詳解】（1）因?yàn)槿庵侵比庵缘酌?，底面，所以．因?yàn)?，，平面，平面，所以平面．所以，，兩兩垂直．以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，所以，，，，，，因?yàn)椋?，，所以，，所以，，因?yàn)?，，平面，所以平面．?）由題設(shè)．設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，即．令，則．因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋O(shè)平面與平面所成的夾角為，則，當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為，此時(shí)，符合題意．故當(dāng)時(shí)，面與面所成的夾角最?。?1．已知圓．(1)求過(guò)點(diǎn)與圓O相切的直線方程；(2)點(diǎn)在直線上，若在圓O上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使，求的取值范圍．【答案】(1)和；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到直線的距離公式，并按切線斜率存在和不存在分別討論作答.（2）利用給定的向量關(guān)系，結(jié)合切線長(zhǎng)定理可得OP與AB互相垂直平分，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系列出不等式求解作答.【詳解】（1）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線與圓相切，此時(shí)切線方程為，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線斜率為k，直線方程為，即，因此有，解得，此時(shí)直線方程為，所以過(guò)點(diǎn)與圓O相切的直線方程為和．（2）如圖，，故四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，所以四邊形為菱形，故與互相垂直平分，則線段OP的中點(diǎn)在圓O內(nèi)，因此，即，又，即，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．22．已知圓，P是圓C上動(dòng)點(diǎn)，Q為圓C與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)，E是中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)E的軌跡方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與點(diǎn)E的軌跡交于A，B兩點(diǎn)（A在x軸上方），問(wèn)在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N，使得x軸平分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在；點(diǎn)N為【分析】（1）根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法