微分學(xué)基本定理及應(yīng)用

第六章

微分學(xué)基本定理及應(yīng)用

§6.1中值定理

§6.2洛必達(dá)法則

§6.3泰勒公式

§6.4導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)上的應(yīng)用§6.1

中值定理一、羅爾定理定義:設(shè)函數(shù)在區(qū)間有定義,若且存在的某個(gè)鄰域有,則稱是函數(shù)的極大點(diǎn)(極小點(diǎn)).是函數(shù)的極大值(極小值)極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.

引理：費(fèi)馬定理.設(shè)函數(shù)在區(qū)間有定義.若函數(shù)在可導(dǎo),且是函數(shù)的極值點(diǎn),則幾何意義：若曲線上一點(diǎn)(,)存在切線,且是它的極值點(diǎn).則曲線在點(diǎn)(,)的切線平行于軸.

洛爾定理：若函數(shù)滿足下列條件:

（1）在閉區(qū)間[]連續(xù).

（2）在開區(qū)間()可導(dǎo).

（3）則在()內(nèi)至少存在一點(diǎn),使.

二、拉格朗日定理1拉格朗日定理.若函數(shù)滿足下列條件:（1）在閉區(qū)間[]連續(xù).（2）在開區(qū)間()可導(dǎo).則在開區(qū)間()內(nèi)至少存在一點(diǎn)使.(1)

例1:若函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo),且有(常數(shù)).即是常數(shù)函數(shù).2推論:若(區(qū)間),有.則有,其中是常數(shù).

例2:證明:,例3:證明:當(dāng)時(shí),有不等式:

例4:若函數(shù)在的鄰域.且則函數(shù)在可導(dǎo).且

三、柯西中值定理.

若函數(shù)與滿足下列條件:(1)在閉區(qū)間連續(xù).(2)在開區(qū)間可導(dǎo).且有.則在內(nèi)至少存在一點(diǎn).使

(1)§6.2洛必達(dá)法則

一、型洛必達(dá)法則1：若函數(shù)與滿足下列條件：（1）在的某去心鄰域可導(dǎo)且.（2）（3）則

洛必達(dá)法則2：若函數(shù)與滿足下列條件：（1）（2）（3）則

例1:

求極限例2:

求極限

例3:

求極限例4:

求極限二、()型洛必達(dá)法則3：若函數(shù)與滿足下列條件：（1）在的某去心鄰域可導(dǎo)且.（2）（3）則

例5.求極限例6.求極限例7.求極限§6.3泰勒公式

一、泰勒公式若任意一個(gè)函數(shù)，只要函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù)，總能形式地寫出一個(gè)相應(yīng)的次多項(xiàng)式稱為函數(shù)在的次泰勒多項(xiàng)式

將函數(shù)與它的次泰勒多項(xiàng)式的差表為：或稱為函數(shù)在的次泰勒余項(xiàng)，簡稱泰勒余項(xiàng)

定理1:（泰勒定理）若函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù)，則有其中證法：由高階無窮小的定義.只須證明：.這是的待定理.應(yīng)用次洛比達(dá)法則.

馬克勞林公式：

當(dāng)時(shí)

定理2（泰勒中值定理）若函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù)..函數(shù)在以與為端點(diǎn)的閉區(qū)間連續(xù)，在其開區(qū)間可導(dǎo)，且則與之間至少存在一點(diǎn)，使

其中，

取,,

，，在與之間稱為拉格朗日余項(xiàng).

取,有,,,

在與之間稱為柯西余項(xiàng)

二、常用的幾個(gè)展開式

1、拉格朗日余項(xiàng)2、拉格朗日余項(xiàng)

3、拉格朗日余項(xiàng)4、其中柯西余項(xiàng)

§6.4導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)上的應(yīng)用一、函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增

.定理1

設(shè)函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo).函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加(單調(diào)減少)

定理2(嚴(yán)格單調(diào)的充分條件)若函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo),,則函數(shù)在區(qū)間嚴(yán)格增加(嚴(yán)格減少).討論可導(dǎo)函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間步驟(1).確定函數(shù)的定義域.(2).求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)(或方程的根)(3).用零點(diǎn)將定義域分成若個(gè)開區(qū)間.(4).判別導(dǎo)數(shù)在每個(gè)開區(qū)間的符號根據(jù)定理2,確定函數(shù)的嚴(yán)格增加或嚴(yán)格減少.

例1:討論函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性.例2:討論函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性.例3:討論函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性.例4:證明二、函數(shù)的極值與最小值

若函數(shù)在可導(dǎo).且是函數(shù)的極值點(diǎn).則即可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是方程的根.定義:可導(dǎo)函數(shù)的方程的根()稱為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).但是穩(wěn)定點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).

定理3(第一判別法)若函數(shù)在可導(dǎo)，且.有.則是函數(shù)的極大點(diǎn)(極小點(diǎn)).是極大值(極小值)

函數(shù)在的最值問題歸結(jié)為：({極值點(diǎn)}{駐點(diǎn)}{不可導(dǎo)點(diǎn)}).

例1:試求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.例2:求乘積為常數(shù)而其和為最小的兩個(gè)正數(shù).

在解決實(shí)際問題的最值問題時(shí),一般遵循以下步驟進(jìn)行:（1）分析問題,建立目標(biāo)函數(shù)(注意寫出定義域),（2）求解得出函數(shù)駐點(diǎn),并寫出不可導(dǎo)點(diǎn).（3）比較各點(diǎn)函數(shù)值,根據(jù)題意,確定最值.若所求駐點(diǎn)唯一,則駐點(diǎn)值即為最值三、函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)

定義:設(shè)函數(shù)在可導(dǎo)(從而處的存在切線不垂直于軸)若曲線每一點(diǎn)處的切線都位于該曲線的下方(上方),則稱曲線在內(nèi)是凹(凸)的,稱為凹(凸)區(qū)間.

定理4設(shè)函數(shù)在可導(dǎo),曲線在凸(凹)在單調(diào)減少(增加),即:,且有,(或).

推論:設(shè)函數(shù)在存在二階導(dǎo)數(shù).（1）.若有則曲線在是凹的.（2）.若有則曲線在是凸的.

定義若函數(shù)在可導(dǎo),且曲線在的一側(cè)是凹的,另一側(cè)是凸的則稱是曲線的拐點(diǎn).

定理5(拐點(diǎn)的必要條件)若函數(shù)在處的二階導(dǎo)數(shù)存在且點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)則

定理6若函數(shù)在處且在兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)變號.則點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn).

例:設(shè)證明其圖形沒有拐點(diǎn).

例:討論曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).例:討論曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).四、曲線的漸進(jìn)線

定義：當(dāng)曲線C上動點(diǎn)P沿著曲線C無限遠(yuǎn)移時(shí).若動點(diǎn)P在某直線L的距離無限趨近于0,則稱直線L是曲線C上的漸進(jìn)線.曲線的漸進(jìn)線有兩種:一種是垂直漸進(jìn)線.另一種是斜漸進(jìn)線(包括水平漸進(jìn)線).

垂直漸進(jìn)線：若或.則直線是曲線的垂直漸進(jìn)線(垂直于軸).斜漸進(jìn)線：直線是曲線的漸進(jìn)線與若則直線是曲線的水平漸進(jìn)線.

例：求曲線的漸進(jìn)線.

例:求曲線的漸進(jìn)線.五、描繪函數(shù)圖象

描繪函數(shù)圖象的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域.（2）觀察函數(shù)的否有某