2022-2023學(xué)年江西省崇仁一中、廣昌一中、金溪一中高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省崇仁一中、廣昌一中、金溪一中高二上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若空間向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以．故選：A2．已知某居民小區(qū)附近設(shè)有A，B，C，D4個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)，居民可以選擇任意一個(gè)點(diǎn)位去做核酸檢測(cè)，現(xiàn)該小區(qū)的3位居民要去做核酸檢測(cè)，則檢測(cè)點(diǎn)的選擇共有（

）A．64種 B．81種 C．7種 D．12種【答案】A【分析】由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算．【詳解】3位居民依次選擇檢測(cè)點(diǎn)，方法數(shù)為．故選：A．3．設(shè)，若直線與直線平行，則的值為（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)直線的一般式判斷平行的條件進(jìn)行計(jì)算.【詳解】時(shí)，容易驗(yàn)證兩直線不平行，當(dāng)時(shí)，根據(jù)兩直線平行的條件可知：，解得或.故選：C.4．若過(guò)點(diǎn)，的直線與圓有公共點(diǎn)，則直線傾斜角的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】解：若直線斜率不存在，此時(shí)與圓沒(méi)有交點(diǎn)，則直線斜率一定存在，設(shè)為，則過(guò)的直線方程為，即，若過(guò)點(diǎn)，的直線與圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離，即，即，平方得，解得，設(shè)直線傾斜角為,即，解得，故選：D．5．為了紀(jì)念高中三年舍友之間留下的深厚情感，某宿舍的7位同學(xué)決定站成一排合照留念，其中中間位置只能站甲或乙，且甲、乙、丙三人不站在兩側(cè)，則不同的安排方法有（

）.A．232種 B．464種 C．288種 D．576種【答案】D【分析】先為中間位置選人，再為甲、乙、丙中剩余的兩個(gè)人選位置排序，最后剩余的同學(xué)進(jìn)行全排列，利用乘法原理進(jìn)行相乘即得結(jié)果.【詳解】依題意，分三步進(jìn)行：（1）先為中間位置選人，從甲乙中選，有種選法，（2）為甲、乙、丙中剩余的兩個(gè)人選位置，不占兩側(cè)，去掉中間位置，還有4個(gè)位置可選，故有種排法，（3）剩余的同學(xué)進(jìn)行全排列，有種排法，故利用乘法原理即得，不同的安排方法有種.故選：D.6．若圓：與圓：相切，則的值可以是（

）A．16或-4 B．7或-7 C．7或-4 D．16或-7【答案】A【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系，以及二元二次方程表示圓，列出關(guān)系式求解即可.【詳解】因?yàn)楸硎緢A，故，解得：；對(duì)圓，其圓心為，半徑；對(duì)圓，其圓心為，半徑；當(dāng)兩圓外切時(shí)，，即，解得；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，即，解得；綜上所述：的取值可以為或.故選：.7．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別為上底面和側(cè)面的中心，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，按照距離的向量求法求解即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知，設(shè)平面的法向量，則，令，解得，故點(diǎn)到平面的距離為.故選：A.8．設(shè)橢圓：的上頂點(diǎn)為，左?右焦點(diǎn)分別為，，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定的條件，結(jié)合橢圓定義用a表示，在中利用余弦定理列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，由得：，而，于是得，令橢圓半焦距為c，有，如圖，在中，由余弦定理得：，即，整理得，因此，解得，所以橢圓的離心率為.故選：C二、多選題9．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量（其中），定點(diǎn)，異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是（

）A．若為直線的方向向量，則B．若為直線的方向向量，則C．若為平面的法向量，面經(jīng)過(guò)和P，則D．若為平面的法向量，面經(jīng)過(guò)和P，則【答案】AD【分析】由直線的方向向量、平面法向量的概念求解判斷．【詳解】直線是直線的一個(gè)方向向量，，為直線的方向向量，則，A正確，B錯(cuò)誤，在平面內(nèi)，為平面的法向量，則，所以，C錯(cuò)誤D正確．故選：AD．10．我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作中，《周碑算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《孫丘建算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《級(jí)術(shù)》和《糾古算經(jīng)》，稱(chēng)為“算經(jīng)十書(shū)”，某老師將其中的《周碑算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)）、《五經(jīng)算術(shù)》、《綴術(shù)》和《緝古算經(jīng)》6本書(shū)分給5名數(shù)學(xué)愛(ài)好者，其中每人至少一本，則不同的分配方法的種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】先選出一個(gè)人分得兩本書(shū)，剩余四人各分得一本書(shū)，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理相乘即得結(jié)果.【詳解】依題意，6本書(shū)分給5名數(shù)學(xué)愛(ài)好者，其中一人至少一本，則有一人分得兩本書(shū)，剩余四人各分得一本書(shū)，方法一：分三步完成，第一步：選擇一個(gè)人，有種選法；第二步：為這個(gè)人選兩本書(shū)，有種選法；第三步:剩余四人各分得一本書(shū)，有種選法.故由乘法原理知，不同的分配方法的種數(shù)為，故A正確；方法二：分兩步完成，第一步：先分組，選擇兩本書(shū)，將書(shū)分成“2+1+1+1+1”的五組，有種選法；第二步：將五組分配給五個(gè)人，有種選法.故由乘法原理知，不同的分配方法的種數(shù)為，故D正確.故選：AD.11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在雙曲線上，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該雙曲線的離心率為2B．該雙曲線的漸近線方程為C．若，則的面積為9D．點(diǎn)P到兩漸近線的距離乘積為【答案】BD【分析】.由雙曲線方程得，然后計(jì)算離心率，確定漸近線方程，結(jié)合雙曲線的定義和垂直求得可得的面積，設(shè)，直接求出點(diǎn)到兩漸近線的距離之積后判斷各選項(xiàng)．【詳解】由雙曲線方程得，，，焦點(diǎn)為，．離心率為，A錯(cuò)；漸近線方程是，B正確；若，不妨設(shè)，則，∴，，C錯(cuò)；設(shè)，則，，漸近線方程為，點(diǎn)P到兩漸近線的距離乘積為，D正確．故選：BD．12．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，且的最小值為1，M是線段AB的中點(diǎn)，是平面內(nèi)一定點(diǎn)，則（

）A．B．若，則M到x軸距離為3C．若，則D．的最小值為4【答案】ABD【分析】根據(jù)給定的條件，求出拋物線的方程，結(jié)合拋物線定義，逐項(xiàng)分析計(jì)算即可判斷作答.【詳解】拋物線上的點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)F距離的最小值為1，則有，解得，A正確；拋物線的方程為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，設(shè)，對(duì)于B，點(diǎn)，由拋物線的定義知，，有，所以M到x軸距離，B正確；對(duì)于C，，由得：，即，又，即，則，解得，于是得，C不正確；對(duì)于D，拋物線中，當(dāng)時(shí)，，因此點(diǎn)在拋物線上方，過(guò)點(diǎn)P作于，交拋物線于點(diǎn)Q，連QF，過(guò)A作于，連AF，AP，，如圖，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A與Q重合時(shí)取等號(hào)，所以，D正確.故選：ABD三、填空題13．若異面直線和的方向向量分別為，，則直線與直線所成角的余弦值為_(kāi)_____．【答案】【分析】利用空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算求，結(jié)合線線角的范圍確定直線與直線所成角的余弦值.【詳解】由題設(shè)，又線線角的范圍為，所以直線與直線所成角的余弦值為.故答案為：14．若實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最大值是_____________________.【答案】##【分析】由題可知表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離的平方，根據(jù)圓的性質(zhì)即得.【詳解】將方程化為，表示以為圓心，半徑為3的圓，表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離，故表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離的平方，由可知原點(diǎn)（0,0）在圓內(nèi)，且原點(diǎn)與圓心之間的距離為，所以的最大值為，所以的最大值為．故答案為：.15．將編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球放到三個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少放一個(gè)小球且編號(hào)為1，2的兩個(gè)小球不能放到同一個(gè)盒子里，則不同放法的種數(shù)有___________.（用數(shù)字作答）.【答案】【分析】利用先分組后排序的方法求出總的情況數(shù)，然后求出對(duì)立面編號(hào)為1，2號(hào)小球放在同一個(gè)盒子的情況數(shù)，總的減去對(duì)立面的情況數(shù)即可.【詳解】由題意得4個(gè)小球有2個(gè)放在一個(gè)盒了里的種數(shù)是，把這兩個(gè)作為一個(gè)元素同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置排列，有種結(jié)果，而編號(hào)為1，2號(hào)小球放在同一個(gè)盒子里有種結(jié)果，所以編號(hào)為1，2的小球不放到同一個(gè)盒子里的種數(shù)是.故答案為：30.16．設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，的最大值為m，的最小值為n，且m≥2n，則該橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)_______【答案】[，1）【詳解】∵，∴，，，，的最大值，設(shè)，則，，的最小值為，由，得，，解得，故答案為．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查平面向量數(shù)量積公式、利用橢圓定義與的簡(jiǎn)單性質(zhì)求橢圓的離心率范圍，屬于中檔題.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫(huà)出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問(wèn)題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來(lái)，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的不等式等式，從而求出的范圍.本題是利用構(gòu)造出關(guān)于的不等式，最后解出的范圍.四、解答題17．已知向量，，且．(1)求c的值；(2)若與互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，根據(jù)向量模長(zhǎng)公式列出方程，求出；（2）分與兩種情況，根據(jù)向量垂直列出方程，求出實(shí)數(shù)k的值.【詳解】（1），所以，解得：；（2）當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)榕c互相垂直，所以，解得：，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榕c互相垂直，所以，解得：，綜上：.18．已知直線與直線．(1)若，求m的值，并求出兩平行線間的距離；(2)若點(diǎn)在直線上，直線l過(guò)點(diǎn)P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，求直線l的方程．【答案】(1)；；(2)或.【分析】（1）由題意可知，可得，從而可求出m的值，然后利用平行線間距離公式即得；（2）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程中，求出m的值，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后設(shè)出直線方程，利用兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，列方程可求出直線方程.【詳解】（1）因?yàn)橹本€與直線，且，所以，且，由，得，解得或（舍去）所以，所以，，所以兩平行線間的距離為；（2）因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題可設(shè)直線的方程為（），令，則，令，則，因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，所以，解得或，所以直線的方程為或.19．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)焦半徑公式得，求得，即可求解方程；（2）由點(diǎn)差法化為，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)可得直線斜率從而求出直線方程．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以又因?yàn)?，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，則，所以，化為又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，則，故直線的斜率為，所以直線的方程為整理得．20．已知點(diǎn)，圓C：.(1)若直線l過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程；(2)設(shè)直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分弦AB，這樣的實(shí)數(shù)a是否存在，若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)或(2)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)出直線方程，求出圓心到直線的距離，由勾股定理得弦長(zhǎng)求得參數(shù)，注意考慮直線斜率不存在的情形；（2）過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分弦AB，則圓心在直線上，由此可得直線的斜率，然后由垂直求得，由直線與圓相交求得的范圍，比較可得．【詳解】（1）∵點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P，∴設(shè)直線l的斜率為k（k存在），則方程為.又題C的圓心為，半徑，由弦長(zhǎng)為，故弦心距，由，解得.所以直線方程為，即.當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，l的方程為，經(jīng)驗(yàn)證也滿足條件.故l的方程為或.（2）把直線，即.代入圓C的方程，消去y，整理得.由于直線交圓C于A，B兩點(diǎn)，故，即，解得.設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在，由于垂直平分弦AB，故圓心必在上.所以的斜率，而，所以.由于，故不存在實(shí)數(shù)a，使得過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分弦AB.21．如圖，三棱柱中，側(cè)面，已知，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在,或.【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證得平面.（2）以為原點(diǎn)，分別以，和的方向?yàn)椋洼S的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)，得到的坐標(biāo)，結(jié)合平面的法向量為列出方程，即可求解.【詳解】（1）由題意，因?yàn)?，，，∴，又∴，∴，∵?cè)面，∴.又∵，，平面∴直線平面.（2）以為原點(diǎn)，分別以，和的方向?yàn)?，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，∵，∴，令，則，∴設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，∵，∴，令，則，∴，，，，∴.設(shè)二面角為，則.∴設(shè)二面角的余弦值為.（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，∵，，∴，∴∴設(shè)平面的一個(gè)法向量為，∴，得.即，∴或，∴或.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定與證明，以及空間角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過(guò)嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.22．已知橢圓，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓上，若直線，的斜率分別為，滿足，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由對(duì)稱(chēng)性可知經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，再把代入，得到，從而確定不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，確定點(diǎn)在上，待定系數(shù)法求出曲線的方程；（2）設(shè)直線，與橢圓的方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出，列出方程，求出，直線過(guò)定點(diǎn)，故，且由