軸以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件如機(jī)器中的傳動軸

扭轉(zhuǎn)第九章扭轉(zhuǎn)§9-1引言軸：以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機(jī)器中的傳動軸、石油鉆機(jī)中的鉆桿等。扭轉(zhuǎn)：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。扭轉(zhuǎn)角（）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動而發(fā)生的角位移。剪應(yīng)變（）：直角的改變量。ABOmmOBA1扭轉(zhuǎn)一、傳動軸的外力偶矩

傳遞軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)數(shù)與外力偶矩的關(guān)系：其中：P—功率，千瓦（kW）

n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）其中：P—功率，馬力（PS）

n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）1PS=735.5N·m/s，1kW=1.36PS§9-2扭矩與扭矩圖23扭矩的符號規(guī)定：

“T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負(fù)。扭轉(zhuǎn)二、扭矩與扭矩圖

1扭矩：

構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。

2截面法求扭矩mmmTx3扭轉(zhuǎn)4扭矩圖：

表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。

目的①扭矩變化規(guī)律；②|T|max值及其截面位置強(qiáng)度計算（危險截面）。xTm4扭轉(zhuǎn)

[例1]已知一傳動軸，n=300r/min，主動輪輸入P1=500kW，從動輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。nABCDm2

m3

m1

m4解：①計算外力偶矩5扭轉(zhuǎn)nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）x6扭轉(zhuǎn)③繪制扭矩圖BC段為危險截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37–7扭轉(zhuǎn)§9-3剪應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律

薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）一、實驗：1.實驗前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對外力偶m。8扭轉(zhuǎn)2.實驗后：①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。3.結(jié)論：

①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。②各縱向線均傾斜了同一微小角度。

③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。9扭轉(zhuǎn)acddxbdy′′①無正應(yīng)力②橫截面上各點處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪應(yīng)力，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。4.與的關(guān)系：微小矩形單元體如圖所示：小變形假設(shè)前提下，cosφ≈cosγ≈1,因此，有：10扭轉(zhuǎn)二、薄壁圓筒剪應(yīng)力大?。?/p>

A0：平均半徑所作圓的面積。注：在t≤r0/10的前提下，本公式誤差不超過4.53%。11扭轉(zhuǎn)三、剪應(yīng)力互等定理：

上式稱為剪應(yīng)力互等定理。該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxbdy′′tz12扭轉(zhuǎn)四、剪切胡克定律：

單元體的四個側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。l13扭轉(zhuǎn)式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因無量綱，故G的量綱與相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。彈性模量、剪切彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）：可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。

剪切胡克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時（τ≤τp)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。14扭轉(zhuǎn)§9-4圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面的應(yīng)力等直圓桿橫截面應(yīng)力①變形幾何方面②物理關(guān)系方面③靜力學(xué)方面

1.橫截面變形后仍為平面；

2.軸向無伸縮；

3.縱向線變形后仍為平行。一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察：15扭轉(zhuǎn)16扭轉(zhuǎn)二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力：1.變形幾何關(guān)系：距圓心為任一點處的與該點到圓心的距離成正比?！まD(zhuǎn)角沿長度方向變化率。17扭轉(zhuǎn)Ttmaxtmax2.物理關(guān)系：虎克定律：代入上式得：18扭轉(zhuǎn)3.靜力學(xué)關(guān)系：令代入物理關(guān)系式得：TOτpdA19扭轉(zhuǎn)橫截面上距圓心為處任一點剪應(yīng)力計算公式。4.公式討論：①僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面直桿。②式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。

—該點到圓心的距離。

Ip—截面極慣性矩，純幾何量，無物理意義。單位：mm4，m4。20扭轉(zhuǎn)③應(yīng)力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。21扭轉(zhuǎn)④

確定最大剪應(yīng)力：由知：當(dāng)WP—抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），幾何量，單位：mm3或m3。22扭轉(zhuǎn)一、

對于實心圓截面：DdO§9-5極慣性矩與抗扭截面系數(shù)23扭轉(zhuǎn)二、對于空心圓截面：dDOd三、對于薄壁圓截面：

原理同上，參見教材p178.24扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件：對于等截面圓軸：([]

稱為許用剪應(yīng)力。)強(qiáng)度計算三方面：①校核強(qiáng)度：②設(shè)計截面尺寸：③計算許可載荷：§9-6圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件25試驗表明，塑性材料的扭轉(zhuǎn)破壞，通常是沿橫截面斷裂；脆性材料則多沿與軸線成45。角斷裂，且斷裂前不像塑性材料有較為明顯的屈服。

設(shè)計扭轉(zhuǎn)軸一要盡量設(shè)計為空心，

以充分利用材料，但過薄又容易引起

其他破壞。二要盡量避免截面尺寸的

急劇變化，以避免應(yīng)力集中。

Ttmaxtmax26扭轉(zhuǎn)

[例2]

功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖，許用剪應(yīng)力[]=30MPa,試校核其強(qiáng)度。Tm解：①求扭矩及扭矩圖②計算并校核剪應(yīng)力強(qiáng)度③此軸滿足強(qiáng)度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx27扭轉(zhuǎn)§9-7圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算一、扭轉(zhuǎn)時的變形由公式知：長為

l一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角為28扭轉(zhuǎn)二、單位長度扭轉(zhuǎn)角：或三、剛度條件或

GIp

反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為圓軸的抗扭剛度。[]稱為許用單位長度扭轉(zhuǎn)角。29扭轉(zhuǎn)剛度計算的三方面：①校核剛度：②設(shè)計截面尺寸：③計算許可載荷：有時，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。30扭轉(zhuǎn)

[例3]

長為L=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為

=0.8，G=80GPa，許用剪應(yīng)力[]=30MPa，試設(shè)計桿的外徑；若[]=2o/m，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解：①設(shè)計桿的外徑31扭轉(zhuǎn)40NmxT代入數(shù)值得：D0.0226m。②由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度32扭轉(zhuǎn)40NmxT③右端面轉(zhuǎn)角為：33

[例4]

某傳動軸設(shè)計要求轉(zhuǎn)速n=500r/min，輸入功率N1=500馬力，輸出功率分別N2=200馬力及

N3=300馬力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1o/m

，試確定：

①AB段直徑

d1和BC段直徑

d2

？②若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？

③主動輪與從動輪如何安排合理？扭轉(zhuǎn)解：①圖示狀態(tài)下,扭矩如圖，由強(qiáng)度條件得：

500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)34扭轉(zhuǎn)由剛度條件得：500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)35扭轉(zhuǎn)

綜上：②全軸選同一直徑時36扭轉(zhuǎn)

③軸上的絕對值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應(yīng)

該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,此時,軸的最大直徑才

為75mm。Tx–4.21(kNm)2.81437扭轉(zhuǎn)

[例5]圖示階梯圓軸，受力如圖。已知該軸大端直徑為D=60mm，小端直徑為d=40mm，材料的許用應(yīng)力為，試校核該軸的強(qiáng)度。解：1．內(nèi)力分析：畫扭矩圖如圖所示。38扭轉(zhuǎn)2．應(yīng)力分析及強(qiáng)度條件：

故強(qiáng)度不夠。

39扭轉(zhuǎn)

[例6]橫截面相等的兩根圓軸，一根為實心，許用剪應(yīng)力為，另一根為空心，內(nèi)外直徑比，許用剪應(yīng)力為，若僅從強(qiáng)度條件考慮，哪一根圓軸能承受較大的扭矩。解：兩根圓軸橫截面相等，即

(1)∵∴

(2)40聯(lián)合(1)、(2)式得：說明第二根圓軸能承受較大的扭矩。

扭轉(zhuǎn)

[例7]圖示階梯圓軸，受力如圖。已知該軸大端直徑為D=