5 質(zhì)數(shù)、合數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)

5質(zhì)數(shù)、合數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)學(xué)習(xí)目標：掌握質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念，知道它們之間的聯(lián)系和區(qū)別；理解質(zhì)因數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)的概念，會用短除法分解質(zhì)因數(shù)。采用分解質(zhì)因數(shù)的方法解決問題；根據(jù)題目要求將質(zhì)因數(shù)進行組合，培養(yǎng)學(xué)生的推理分析能力。教學(xué)重點：掌握并且靈活運用分解質(zhì)因數(shù)的方法解決問題。教學(xué)難點：根據(jù)題目要求將質(zhì)因數(shù)進行組合，培養(yǎng)學(xué)生的推理分析能力。教學(xué)過程：一、情景體驗師：密碼在我們的生活中隨處可見，同學(xué)們知道都有些什么密碼嗎？（以開放式的提問，讓學(xué)生暢所欲言。）生：手機密碼、銀行卡密碼、保險箱密碼、旅行箱密碼、QQ密碼、微信密碼、微博密碼、淘寶密碼、網(wǎng)站注冊密碼……師：你們設(shè)置的密碼通常都是由什么組成的呢？生：數(shù)字+字母，純數(shù)字、純字母……師：我們經(jīng)常會聽到別人說QQ密碼被盜、銀行卡密碼被破解之類的，密碼為什么這么容易被人破譯呢？生：因為設(shè)置的密碼太簡單啦。師：實際上，密碼設(shè)計領(lǐng)域都是利用了數(shù)學(xué)知識。師：首先，我們來復(fù)習(xí)兩個概念一一質(zhì)數(shù)、合數(shù)。哪位同學(xué)能告訴老師，什么樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)？生：一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個約數(shù)，我們把這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）。師：什么樣的數(shù)叫做合數(shù)？生：一個數(shù)，如果除了1和它本身兩個約數(shù)外還有別的約數(shù)，我們把這樣的數(shù)叫做合數(shù)。師：因此，可以根據(jù)什么來判斷一個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？生：判斷一個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，主要是看它的約數(shù)的個數(shù)。（要求學(xué)生掌握質(zhì)數(shù)、合數(shù)的判斷方法：定義法、查質(zhì)數(shù)表）師：是不是就是說，我們可以把自然數(shù)分成質(zhì)數(shù)、合數(shù)兩大類呢？生：不是。1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。師：回答得非常正確！按照約數(shù)的個數(shù)，我們可以把自然數(shù)分成三類：「質(zhì)數(shù)一一只有兩個約數(shù)自然數(shù)（按約數(shù)的個數(shù)分）T合數(shù)——兩個以上的約數(shù)、1——只有1個約數(shù)（以上主要是帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固質(zhì)數(shù)、合數(shù)的定義、區(qū)別和聯(lián)系）師：密碼設(shè)計領(lǐng)域其實就是利用了質(zhì)數(shù)，因為將幾個質(zhì)數(shù)相乘非常簡單，反過來，將一個數(shù)分解成質(zhì)數(shù)相乘的形式卻是一個及其困難的問題，這就使得質(zhì)數(shù)在設(shè)計密碼系統(tǒng)方面相當(dāng)適合，但是這是一個非常深奧的數(shù)學(xué)問題。今天我們就從最簡單的學(xué)起，看看分解質(zhì)因數(shù)有哪些作用。（板書課題：質(zhì)數(shù)、合數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)）二、思維探索（建立知識模型）展示例1例1：把36分解質(zhì)因數(shù)。師：哪位同學(xué)能告訴老師什么叫做分解質(zhì)因數(shù)嗎？生：把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。師：回答得非常正確！那么，質(zhì)因數(shù)是指什么呢？師：每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。師：分解質(zhì)因數(shù)常常采用什么方法呢？生：短除法。師：短除法應(yīng)該怎么表示呢？我們一起來做一做吧。(1)介紹短除法：它是筆算除法的簡化，“I ”叫做短除號。除數(shù)f12…被降數(shù)S…商(2)用短除法分解質(zhì)因數(shù)：(參考課件)36=2X2X3X3師小結(jié)：注意書寫格式一一要分解的合數(shù)寫在等號左邊，把它的質(zhì)因數(shù)相乘的形式寫在等號的右邊。展示例2例2：優(yōu)優(yōu)在暑假夏令營時給自己的行李箱設(shè)置了一個兩位數(shù)的密碼，她想考驗一下密碼的安全性就對小奧說：“密碼的兩個數(shù)字的乘積是42,且前一個數(shù)字比后一個數(shù)字要小……”你能破譯優(yōu)優(yōu)設(shè)置的密碼嗎？師：讀完題后，你能從題目中獲得哪些信息？師：密碼的兩個數(shù)字的乘積是42,42是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？生：合數(shù)。師：合數(shù)怎樣分解成兩個數(shù)的乘積形式呢？生：可以把42分解質(zhì)因數(shù)。師：怎么做？自己在草稿紙上動手試一試。師：誰能告訴老師分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是多少呢？生：42=2X3X7師：題目條件是兩個數(shù)的乘積為42,因此可能是哪幾種情況？生：2X21,3X14,6X7。師：因為密碼是兩位數(shù)，且前一個數(shù)字小于后一個，所以只有哪種情況符合呢？生：只有6X7符合要求。師：所以優(yōu)優(yōu)設(shè)置的密碼為多少？生：67。師小結(jié)：采用分解質(zhì)因數(shù)這種方法解決問題時，一般是先利用短除法分解質(zhì)因數(shù)，然后再將質(zhì)因數(shù)按要求進行組合。采用“分解質(zhì)因數(shù)這種方法解決問題”的典型特征是條件中知道“幾個數(shù)的乘積”三、思維拓展（知識模型的運用）展示例3例3：強強是四年級的學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試后，他說：“這次考試，我在班上的考試名次乘以我的年齡再乘以我的考試分數(shù)，結(jié)果是2910?！蹦隳芩愠鰪姀姷拿?、年齡與他這次考試的分數(shù)嗎？師：讀完題后，你能從題目中獲得哪些信息？師：剛才例題2講到，采用“分解質(zhì)因數(shù)這種方法解決問題”的典型特征是條件中知道“幾個數(shù)的乘積”，本題是否滿足這個特征呢？生：滿足，2910是三個數(shù)的乘積，可采用分解質(zhì)因數(shù)的方法解答。師：2910等于哪三個數(shù)的乘積呢？生：2910=考試名次X年齡X考試分數(shù)。師：非常好！那么，大家先自己獨立將2910分解質(zhì)因數(shù)，然后和同桌交換檢查，看結(jié)果是否一致。師：分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是多少呢？生：2910=2X5X3X97。師：根據(jù)這個結(jié)果，在考試名次、年齡、考試分數(shù)三個中，有沒有我們能夠首先確定的呢？（引導(dǎo)學(xué)生觀察比較最大的數(shù)97）生：97是考試分數(shù)。師：因此，2910可以寫成哪三個數(shù)的乘積呢？生：10X3X97，6X5X97，2X15X97。師：怎么進一步判斷呢？題目告訴我們強強是幾年級的學(xué)生??？生：強強是四年級學(xué)生。師：你們讀四年級的時候大概幾歲呢？生：大約9、10歲。師：對啦，四年級的學(xué)生大約10歲。如果是2910=6X5X97，強強要么是6歲，要么是5歲，都不符合實際四年級學(xué)生的年齡，因此排除這種情況。而如果是2910=2X15X97，強強要么是2歲，要么是15歲，也都不符合實際四年級學(xué)生的年齡，因此也排除這種情況。師：所以只能是哪一種情況？生：2910=10X3X97師：我們來驗證一下是否符合實際。97是考試分數(shù)，10是年齡，3是考試名次,符合四年級學(xué)生的實際情況嗎？生：符合。師：還有其他情況嗎？生：還可以97是名次，10是年齡，3是考試分數(shù)。師：所以，這道題的答案就是……師小結(jié)：在將質(zhì)因數(shù)按要求進行組合時，要結(jié)合題意和實際情況分析判斷，能夠先確定的數(shù)就先確定，然后逐個排除，找到最終的答案。展示例4例4：兩個質(zhì)數(shù)的和是39,求這兩個質(zhì)數(shù)的積。師：同學(xué)們可以先大膽猜一猜，哪兩個質(zhì)數(shù)的和是39?師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了加減法中的奇偶性規(guī)律，大家還記得嗎？生：記得。師：39是奇數(shù)，什么數(shù)相加和為奇數(shù)呢？生：奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)。師：還有沒有別的數(shù)相加和為奇數(shù)的？生：沒有了，只有這一種情況。師：既然只有奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，說明本題中的兩個質(zhì)數(shù)一定是什么數(shù)？生：一個奇數(shù)，一個偶數(shù)。師：我們知道，質(zhì)數(shù)當(dāng)中只有哪個數(shù)是偶數(shù)？生：只有2是偶數(shù)。師：因此，其中一個質(zhì)數(shù)是2，對嗎？師：另一個質(zhì)數(shù)怎么求？生：39—2=37。師：所以這兩個質(zhì)數(shù)的積怎么計算？生：2X37=74。師小結(jié)：在做這類型的題時，能夠根據(jù)奇偶性規(guī)律判斷的數(shù)要先判斷，不能判斷出來就要根據(jù)質(zhì)數(shù)表大膽地猜測、嘗試。四、融會貫通（知識模型的拓展）展示例5例5：求1X2X3X-X48X49的積的末尾共有多少個0?師：我們能不能先算出這49個數(shù)的積，再數(shù)末尾的0有多少個呀？生：不能，太復(fù)雜了。師：老師在黑板上寫出幾組數(shù)，同學(xué)們觀察看有什么特點。師（黑板板書）：10=2X5,100=2X5X2X5,1000=2X5X2X5X2X5生：是把10、100、1000分解質(zhì)因數(shù)。生：等號左邊的數(shù)末尾分別是1個0、2個0、3個0。生：等號右邊的質(zhì)因數(shù)都是2和5。生：10是一個2和5的乘積，100是兩個2和5的乘積，1000是三個2和5的乘積。師：通過觀察這三組數(shù)可以得出，積的末尾0的個數(shù)是由因數(shù)中質(zhì)因數(shù)2和5的個數(shù)決定的。因此，本題只需要找出從1到49這49個數(shù)中有多少個2和多少個5就可以求出來了。師：同學(xué)們思考一下，是不是需要把質(zhì)因數(shù)2的個數(shù)和質(zhì)因數(shù)5的個數(shù)都數(shù)出來？（引導(dǎo)學(xué)生觀察上面的三組數(shù)，得出：積末尾0的個數(shù)應(yīng)該由質(zhì)因數(shù)2和質(zhì)因數(shù)5的個數(shù)中最少的決定，而本題當(dāng)中質(zhì)因數(shù)5的個數(shù)最少。）師：1—49當(dāng)中，含有質(zhì)因數(shù)5的有哪些數(shù)呢？生：5、10、15、20、25、30、35、40、45。師：為什么是這些數(shù)？生：因為5的倍數(shù)特征是個位上是0或5的數(shù)。師：因此，這49個數(shù)中一共有多少個5?生：一共有9個5。師：確定是9個5嗎？這9個數(shù)里面，哪個數(shù)比較特