2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué) （江蘇卷）word版 含答案

好教育云平臺高考真題第②當(dāng)t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度.（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點F到左準(zhǔn)線l的距離為3.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程.19.（本小題滿分16分）已知函數(shù)。（1）試討論的單調(diào)性；（2）若（實數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是，求c的值。20.設(shè)是各項為正數(shù)且公差為d的等差數(shù)列（1）證明：依次構(gòu)成等比數(shù)列；（2）是否存在，使得依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由；（3）是否存在及正整數(shù)，使得依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由。數(shù)學(xué)Ⅰ試題參考答案一、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識、基本運算和基本思想方法.每小題5分，共計70分.1.22.63.4.75.6.-37.8.39.10.11.12.13.414.二、解答題15.本小題主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系與二倍角公式，考查運算求解能力.滿分14分。解：（1）由余弦定理知，，所以．（2）由正弦定理知，，所以．因為，所以為銳角，則．因此.16.本小題主要考查直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理論證能力.滿分14分。證明：（1）由題意知，為的中點，又為的中點，因此．又因為平面，平面，所以平面．（2）因為棱柱是直三棱柱，所以平面．因為平面，所以．又因為，平面，平面，，所以平面．又因為平面，所以．因為，所以矩形是正方形，因此．因為，平面，，所以平面．又因為平面，所以．17.本小題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，考查運用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力.滿分14分.解：（1）由題意知，點，的坐標(biāo)分別為，．將其分別代入，得，解得．（2）=1\*GB3①由（1）知，（），則點的坐標(biāo)為，設(shè)在點處的切線交，軸分別于，點，，則的方程為，由此得，．故，．=2\*GB3②設(shè)，則．令，解得．當(dāng)時，，是減函數(shù)；當(dāng)時，，是增函數(shù)．從而，當(dāng)時，函數(shù)有極小值，也是最小值，所以，此時．答：當(dāng)時，公路的長度最短，最短長度為千米．18.本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線的方程、直線與直線、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查分析問題及運算求解能力.滿分16分.（1）由題意，得且，解得，，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)軸時，，又，不合題意．當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，，，將的方程代入橢圓方程，得，則，的坐標(biāo)為，且．若，則線段的垂直平分線為軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意．從而，故直線的方程為，則點的坐標(biāo)為，從而．因為，所以，解得．此時直線方程為或．19.本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的單調(diào)性、極值及零點問題，考查綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力.滿分16分。解：（1），令，解得，．當(dāng)時，因為（），所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，時，，時，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，時，，時，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由（1）知，函數(shù)的兩個極值為，，則函數(shù)有三個零點等價于，從而或．又，所以當(dāng)時，或當(dāng)時，．設(shè)，因為函數(shù)有三個零點時，的取值范圍恰好是，則在上，且在上均恒成立，從而，且，因此．此時，，因函數(shù)有三個零點，則有兩個異于的不等實根，所以，且，解得．綜上．20.本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運用數(shù)學(xué)知識研究與解決問題的能力.滿分16分.解：（1）證明：因為（，，）是同一個常數(shù)，所以，，，依次構(gòu)成等比數(shù)列．（2）令，則，，，分別為，，，（，，）．假設(shè)存在，，使得，，，依次構(gòu)成等比數(shù)列，則，且．令，則，且（，），化簡得（），且．將代入（）式，，則．顯然不是上面方程得解，矛盾，所以假設(shè)不成立，因此不存在，，使得，，，依次構(gòu)成等比數(shù)列．（3）假設(shè)存在，及正整數(shù)，，使得，，，依次構(gòu)成等比數(shù)列，則，且．分別在兩個等式的兩邊同除以及，并令（，），則，且．將上述兩個等式兩邊取對數(shù)，得，且．化簡得，且．再將這兩式相除，化簡得（）．令，則．令，則．令，則．令，則．由，，知，，，在和上均單調(diào)．故只有唯一零點，即方程（）只有唯一解，故假設(shè)不成立．所以不存在，及正整數(shù)，，使得，，，依次構(gòu)成等比數(shù)列．?dāng)?shù)學(xué)Ⅱ（附加題）（選做題）本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩小題評分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）如圖，在中，，的外接圓O的弦交于點D求證：B、選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知，向量是矩陣的屬于特征值的一個特征向量，求矩陣以及它的另一個特征值。C.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）已知圓C的極坐標(biāo)方程為，求圓C的半徑.D．[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）解不等式22.如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，,(1)求平面與平面所成二面角的余弦值；（2）點Q是線段BP上的動點，當(dāng)直線CQ與DP所成角最小時，求線段BQ的長23.（本小題滿分10分）已知集合，設(shè)，令表示集合所含元素的個數(shù).（1）寫出的值；（2）當(dāng)時，寫出的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。21.[選做題]A.（選修4—1：幾何證明選講）本小題主要考查圓的基本性質(zhì)和相似三角形等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力.滿分10分。證明：因為，所以．又因為，所以，又為公共角，可知∽．AABCEDO（第21——A題）B[選修4—2：矩陣與變換]本小題主要考查矩陣的特征值與特征向量的概念等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.滿分10分。解：由已知，得，即，則，即，所以矩陣．從而矩陣的特征多項式，所以矩陣的另一個特征值為．C[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]本小題主要考查圓的極坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化等知識，考查運算求解能力.滿分10分。解：以極坐標(biāo)系的極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，以極軸為軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系．圓的極坐標(biāo)方程為，化簡，得．則圓的直角坐標(biāo)方程為，即，所以圓的半徑為．D[選修4—5：不等式選講]本小題主要考查含絕對值不等式的解法，考查分類討論的能力。滿分10分。解：原不等式可化為或．解得或．綜上，原不等式的解集是．22.【必做題】本小題主要考查空間向量、二面角和異面直線所成角等基礎(chǔ)知識，考查運用空間向量解決問題的能力.滿分10分。解：以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點的坐標(biāo)為，，，．（1）因為平面，所以是平面的一個法向量，．因為，．設(shè)平面的法向量為，則，，即．令，解得，．所以是平面的一個法向量．從而，所以平面與平面所成二面角的余弦值為．（2）因為，設(shè)（），又，則，又，從而．設(shè)，，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的最大值為．因為在上是減函數(shù)，此時直線與所成角取得最小值．又因為，所以．23.【必做題】本題主要考查計數(shù)原理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，考查探究能力及運用數(shù)學(xué)歸納法的推理論證能力，滿分10分。解：（1）．（2）當(dāng)時，（）．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：=1\*GB3①當(dāng)時，，結(jié)