《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用》設(shè)計(jì) 一等獎(jiǎng)

《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)（6）教學(xué)目標(biāo)會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)利潤(rùn)最大問(wèn)題和費(fèi)用最小的應(yīng)用題，強(qiáng)化用導(dǎo)數(shù)求最值的方法以及解決實(shí)際的方法和步驟。教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)（1）根據(jù)題意列目標(biāo)函數(shù)，邊際函數(shù)的概念；（2）用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值的應(yīng)用能力．教學(xué)課時(shí)：1課時(shí)教學(xué)過(guò)程一、問(wèn)題情境1．復(fù)習(xí)：求實(shí)際問(wèn)題的最大值和最小值的一般步驟。實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型函數(shù)求導(dǎo)解決問(wèn)題二、數(shù)學(xué)運(yùn)用1．例題：例1．設(shè)某銀行中的總存款與銀行付給存戶的利率的平方成正比，若銀行以10％的年利率把總存款的90％貸出，它給存戶支付的年利率定為多少時(shí)，才能獲得最大利潤(rùn)？解：設(shè)支付存戶的年利率為，則總存款為，銀行獲得的利潤(rùn)是貸出后收入的利潤(rùn)與支付存戶的利息差，即，求導(dǎo)數(shù)，得，令，即，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)時(shí)，取極大值，并且極大值就是函數(shù)的最大值．答：當(dāng)銀行給存戶的年利率定為時(shí)，才能獲得最大利潤(rùn)．例2．在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，生產(chǎn)單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)，記為；出售單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為；稱為利潤(rùn)函數(shù)，記為（1）設(shè)，生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時(shí)，邊際成本最低？（2）設(shè)，產(chǎn)品的單價(jià)，怎樣定價(jià)，可使利潤(rùn)最大？解：（1）記，由，得：結(jié)合的圖象可知，當(dāng)時(shí)，邊際成本最低。（2）由，得收益函數(shù)則利潤(rùn)函數(shù)為由，解得結(jié)合的圖象可知，當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大，此時(shí)答：生產(chǎn)1000件產(chǎn)品時(shí)，邊際成本最低，當(dāng)產(chǎn)品的單價(jià)為75時(shí)，利潤(rùn)最大。說(shuō)明：（1）上面兩小題均可以用二次函數(shù)求最值；（2）一般地，為使利潤(rùn)函數(shù)取得最大值，生產(chǎn)規(guī)模應(yīng)確定為，且，即，用圖象來(lái)表示有下列幾種形式：這就是如何確定生產(chǎn)規(guī)模的一般數(shù)學(xué)模型。例3．一蒸汽機(jī)火車每小時(shí)消耗煤的費(fèi)用與火車行駛的速度的立方成正比，已知速度為時(shí)，每小時(shí)消耗的煤價(jià)值40元，其余費(fèi)用每小時(shí)200元，問(wèn)火車行駛的速度是多少時(shí)（速度不超過(guò)），全程費(fèi)用最少？解：設(shè)速度為，全程為，則總費(fèi)用為，∵，∴∴，∵∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴，∴當(dāng)火車行駛的速度是時(shí)，全程費(fèi)用最少。三、回顧小結(jié)：（1）成本函數(shù)、收益函數(shù)、利潤(rùn)函數(shù)的概念及其相互關(guān)系；邊際