高考數(shù)學(xué)所有公式及結(jié)論總結(jié)大全

高考數(shù)學(xué)常用公-式及結(jié)論200條集合元素與集合的關(guān)系xAxCUB)B)CUA CB;C (A B)C AUUUCB.U

A,xCU

AxA.C (AU包含關(guān)系的等價(jià)條件CardA是集合A中元素的個(gè)數(shù)〕card(A B)card(B C)card(C A)card(A B C).集合a1 2

, ,an

}的子集個(gè)數(shù)共有2n 個(gè)；真子集有2n–1個(gè)；非空子集有2n–1個(gè)；非空的真子集有2n–2集合A中有M個(gè)元素，集合B中有N個(gè)元素，則可以構(gòu)造M*N個(gè)從集合A到集合B的映射；二次函數(shù)，二次方程二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);(2)頂點(diǎn)式f(x)a(xh)2k(a0);(3)零點(diǎn)式f(x)a(xx1

)(xx2

)(a0).Nf(xM常有以下轉(zhuǎn)化形式 1 1 .f(x)N MN方程f(x)0在(kk1 2充分條件.

)上有且只有一個(gè)實(shí)根,與f(k1

)f(k2

)0不等價(jià),前者是后者的一個(gè)必要而不是特別地,方程ax

bxc0(a0有且只有一個(gè)實(shí)根在(kk1 2

),等價(jià)于f(k1

)f(k2

)0,或f(k

0且

b

k k1 2,1 1 2a 2或f(k

)0且k1k2

b k.2 2 2a 2閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0在閉區(qū)間q上的最值只能在x得，具體如下表：

b2a處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取設(shè)f xax

二次函數(shù)在閉區(qū)間m二次函數(shù)在閉區(qū)間mbxc00，則二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大、最小值有如下的分布情況：mmnb2amb n即bn2a2ab2amn. z.-f

max

fm

fxmax

f

f

max

fnfx

fn

fx

fb

fx

fmmin

min

2a

min對于開口向下的情況，討論類似。其實(shí)無論開口向上還是向下，都只有以下兩種結(jié)論：〔1〕假設(shè)

bf

maxff

bf，f

minff

b,fn；2a max

2a

min

2a 〔2〕假設(shè)

bn，則f

ff

minfm,fn2a max

min另外，當(dāng)二次函數(shù)開口向上時(shí)，自變量的取值離開x軸越遠(yuǎn)，則對應(yīng)的函數(shù)值越大；反過來，當(dāng)二次函數(shù)開口向下時(shí)，自變量的取值離開x軸越遠(yuǎn)，則對應(yīng)的函數(shù)值越小。

bxc0根的分布情況分 兩個(gè)負(fù)根即兩根都小于0 兩個(gè)正根即兩根都大于0 一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于0，布情 x0,x況 1 2

0 x1

0,x2

0

一個(gè)大于0x1

0x2大致圖象〔a0〕得 0

0出 b b 論 的 2a0

2a0

f00結(jié) f00 f00. z.-大致圖象〔a0〕得 0 0出 b b 的 2a0

2a0

f00論結(jié) f00論

f00綜合 0

0論 結(jié) a 論 〕 〔

b 2a

2a0

af

00不 a討

00

af

00表一：〔兩根與0的大小比擬即根的正負(fù)情況，注意：用韋達(dá)定理也可以〕設(shè)方程ax2bxc0a0的不等兩根為x,x且xx

，相應(yīng)的二次函數(shù)為fxax2bxc0，1 2 1 2方程的根即為二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，它們的分布情況見下面各表〔每種情況對應(yīng)的均是充要條件〕分 兩根都小于k即 兩根都大于k即 一個(gè)根小于k，一個(gè)大于k布情況大致圖象〔a0〕

x k,x1

k x1k k

k,x2

k x1

kx2k得 0 0出 b b 的 2ak

2ak

fk 0論結(jié) f0論

fk0. z.-大致圖象〔a0〕得 0 0出 b b 的 2ak

2ak

fk 0論結(jié) f0論

fk0綜合 0

0論 結(jié) a 論 〕 〔

b k2a

b 2a k

af

k0不 a討

k 0

af

k 0表二：〔兩根與k的大小比擬〕分情布 兩根都在n況分情

兩根有且僅有一根在n 一根在n，另一根在p,q，〔圖象有兩種情況，只畫了一種〕mnpq大致圖象〔a0〕出得出

0 fm0

fm0fn0 fmfn0的 fn0結(jié)

ffn0

或fp或

p

0論 mb n 2a

fq0. z.大致圖象〔a0〕得出

0 fm0

-fm0

fn0 fmfn0的 f n 0

fmf

n0

fp0或

p

0b結(jié) b論 m n

fq0 2a綜合結(jié)

fmfn0〕 a 論 —————— ffn〕 不討論

pf

q0根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間m,n外，即在區(qū)間兩側(cè)x1

m,x2

n需滿足的條件是

fm0〔1〕a0f

n0；fm0〔2〕a0f

n0對以上的根的分布表中一些特殊情況作說明：〔1〕兩根有且僅有一根在m,n有以下特殊情況：1假設(shè)fm0或fn0fmfn0m或n，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間n，從而可以求出參數(shù)的值。如方程mx2m2x20在區(qū)間上有一根，因?yàn)閒0，所以mx2m2x2x2，另一根為2，由123得2m2即為所求；m m 32方程有且只有一根，且這個(gè)根在區(qū)間m,n，即0，此時(shí)由0可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值. z.--.z..z.x24mx2m60有且一根在區(qū)間3,0，求m的取值圍。分析：①由ff00即15m30得出3m15；②由0即16m242m60得出m1或m3，當(dāng)m1時(shí)，根x3,0，14 2即m1滿足題意；當(dāng)m

3時(shí)，根x33,0，故m

3不滿足題意；綜上分析，得出3m15或m1

2 2 14定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條依

在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間L

,

，,

，,

不同〕上含參數(shù)的二次不等式f(xt)0tf(xt)

min

0(xL).在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式 f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x,t)

man

0(xL).

a0() 0

a0cc0簡易邏輯ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常見結(jié)論的否認(rèn)形式

x ax4bx2c

恒成立的充要條件是b0或 .b24ac0原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)大于不大于至少有n個(gè)至多有〔n1〕個(gè)小于不小于至多有n個(gè)至少有〔n1〕個(gè)對所有x，成立存在*x，不成立p或q且對任何x，不成立存在*x，成立p且q或四種命題的相互關(guān)系原命題 互假設(shè)ｐ則ｑ互 互 為 為否逆 逆

逆命題假設(shè)ｑ則ｐ互否否否命題假設(shè)非ｐ則非ｑ 互充要條件

否逆否命題假設(shè)非ｑ則非ｐ〔1〕充分條件：假設(shè)pq，則p是q〔2〕必要條件：假設(shè)qp，則p是q〔3〕充要條件：假設(shè)pq，且qp，則p是q注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.函數(shù)設(shè)xx1 2

a,b,x1

x則2(xx

)f(x)f(x

)0

f(x1

)f(x)2

0f(x)

上是增函數(shù)；1 2 1 2

xx1 2(x

)f(x)f(x

)0

f(x1

)f(x)2

0f(x)

上是減函數(shù).1 2 1 2

xx設(shè)函數(shù)yf(x)

1在*個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，如果

f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)0，則f(x)如果函數(shù)f(x)和g(x)f(xg(x)也是減函數(shù);如果函數(shù)yf(u和ug(xyf[g(x奇偶函數(shù)的圖象特征yy軸對稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，如果一個(gè)奇函數(shù)的定義域包括0，則必有f(0)=0;假設(shè)函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；假設(shè)函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa).對于函數(shù)yf(x(xR),f(xa)f(bx恒成立,則函數(shù)f(x)的對稱軸是函數(shù)x

ab2

;兩個(gè)函數(shù)yf(xa)與yf(bx) 的圖象關(guān)于直線x

ab2 假設(shè)f(x)f(xa,則函數(shù)yf(x的圖象關(guān)于點(diǎn)a,0)對稱;假設(shè)f(x)f(xa,則函數(shù)2yf(x為周期為2a是奇函數(shù)x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.P(x)是奇函數(shù)x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

xna xn1

的奇偶性多項(xiàng)式函數(shù)P(x)

nPn1 0多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.函數(shù)yf(x的圖象的對稱性函數(shù)yf(xxa對稱f(axf(ax)f(2ax)f(x).函數(shù)yf(xxf(abmx)f(mx).兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱性

ab2

對稱f(amxf(bmx)函數(shù)yf(x與函數(shù)yf(xx0(即y函數(shù)yf(mxa與函數(shù)yf(bmxx函數(shù)yf(x和yf1(x)的圖象關(guān)于直線y=*

ab2m 對稱.假設(shè)將函數(shù)yf(x的圖象右移ab個(gè)單位，得到函數(shù)yf(xab的圖象；假設(shè)將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到曲線f(xa,yb)0的圖象.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系f(a)bf1(b)a.假設(shè)函數(shù)yf(kxb存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y1k

(xb,并不是y

1(kxb),而函數(shù)y[f1(kxb)是y1[f(x)b]的反函數(shù).k幾個(gè)常見的函數(shù)方程(1)正比例函數(shù)f(x)cx,f(xyf(xfy),f(1)c.(2)指數(shù)函數(shù)f(x)ax,f(xyf(xfy),f(1)a0.(3)對數(shù)函數(shù)f(x)loga

x,f(xy)f(x)f(y),f(a)0,a1).(4)冪函數(shù)f(x)x,f(xy)f(x)fy),f(1).(5)余弦函數(shù)f(x)cosx,正弦函數(shù)g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，g(x)f(0)1,limx0 x

1.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)〔1〕f(x)f(xa，則f(x的周期T=a；〔2〕f(x)f(xa0，或f(xa)

1 (f(x)0)，f(x)f(x)f2(x)或f(x 1

f0),或1

f(xa),(f(x,則f(x)的周期T=2a；(3)f(x)1

f(x) 21 f(x)0，則f(x的周期T=3a；f(x a)f(x

)f(x)(4)f(x1

x)2 1

1f(x1

2)f(x2

且f(a)1(f(x1

)f(x2

)1,0|xx1 2

|2a)，則f(x)的周期T=4a；(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(xf(xa，則f(x的周期T=6a.指數(shù)與對數(shù)n分?jǐn)?shù)指數(shù)冪nnamm(1)annamm

1 a0,mnN，且n1〕.(2)am

1a0,mnN，且n1〕.mannanan〔1〕na)n

a.〔2〕當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

aa,a0 .nannana,a有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)aras(ar)s(ab)r

ars(a0,r,sQ).ars(a0,r,sQ).arbr(a0,b0,rQ).注：假設(shè)a＞0，p是一個(gè)無理數(shù)，則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式.log NbabN(a0,a1,N0).a對數(shù)的換底公式log

log N m

a0,且a1m0m1N0).a log am推論 log am

nlogm

ba0a1mn0m1n1N0).對數(shù)的四則運(yùn)算法則假設(shè)a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)loga

(MN)loga

Mloga

N;(2) loga

MlogN

Mlog N;alog Ma

nloga

M(nR).設(shè)函數(shù) f(x)logm

(ax

bxc)(a0),記b24ac.假設(shè)f(x)的定義域?yàn)?R,則a0，且0;假設(shè)f(xRa0，且0.對于a0對數(shù)換底不等式及其推廣假設(shè)a0b0x0x

1,則函數(shù)ylog (bx)當(dāng)ab

1(0,

a1和( 1

ax)上ylog

(bx)為增函數(shù).a a， ab (0, ) ( ,當(dāng) 時(shí),在 1， ab (0, ) ( ,a a

ax(bx)為減函數(shù).推論:設(shè)nm1，p0a0，且a1，則〔1〕

m

(np)logm

n.〔2〕loga

mloga

nlog2a

mn2 .平均增長率的問題如果原來產(chǎn)值的根底數(shù)為N，平均增長率為px的總產(chǎn)值y，有yN(1p)x.39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前na).ns, a).na 1n s n

n1

(數(shù)列{a,n2

}的前n項(xiàng)的和為s

aa n 1 2數(shù)列數(shù)列的前n

S(n①S a a a； ②

1 .n 1 2

n S S (n2)a等差數(shù)列的判斷方法：a

n n1定義法

n1

d常數(shù))ana

為等差數(shù)列。中項(xiàng)法2

an1a

an na

為等差數(shù)列。ana③通項(xiàng)公式法：a

anb〔a,b為常數(shù)〕 annn

為等差數(shù)列。④前n項(xiàng)和公式法：s

An2Bn〔A,B為常數(shù)〕n

ana

ab等差中項(xiàng)假設(shè)a,b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且A 2 。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an

a(n1)ddna1

d(nN*)；n(aa) n(n1) d 1其前n項(xiàng)和公式為s n

1 n na2

d2

n2(a2

2d)n.等差數(shù)列的性質(zhì)：〔1〕當(dāng)公差d0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an

a(n1)ddna1

d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公dn

n(n1)d

dn2(a

d)n是關(guān)于

的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.等差數(shù)列{a

S}中，n是n 1 2 2 1 2 n nS d dn的一次函數(shù)，且點(diǎn)〔n，

n〕均在直線y= *+(a － )上n 2 1 2〔2〕假設(shè)公差d0，則為遞增等差數(shù)列，假設(shè)公差d0，則為遞減等差數(shù)列，假設(shè)公差d0數(shù)列?！?

mnpqn時(shí),則有a a a a ，特別地，當(dāng)mn2p時(shí)，則有a a 2a .m n p q m n pa(4)項(xiàng)數(shù)成等差,則相應(yīng)的項(xiàng)也成等差數(shù)列.即ak

,akm,a

k

,...(k,mN*)成等差.假設(shè){an

}、{bn

}是等差數(shù)列，則{kan

n

pbn

}k、p

pnq

}(p,qN*)、S,Sn 2n

S,Sn

S 〔公差為nd2n也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；假設(shè)}是等比數(shù)列，且a 0，則{lga}是等差數(shù).n n n〔5〕在等差數(shù)列}中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，nsn(a

)；s

nd

s a偶 n1.an n n1 偶 奇 sa奇 n項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1時(shí)，s a ；s

；s偶 n1。(2n1)2n1

偶 奇a

s n奇〔6〕單調(diào)性：設(shè)d為等差數(shù)列

的公差，則nd>0

是遞增數(shù)列；d<0n

是遞減數(shù)列；d=0n

是常數(shù)數(shù)列n假設(shè)等差數(shù)列

}

}的前n和分別為A

A且

a (2n1)aAf(n)則 n A

2n1

f(2n1).n n n n Bn

b (2n1)bn

B2n1〔8〕設(shè)al

，a ，am

為等差數(shù)列中的三項(xiàng)，且al

與a ，a 與am m

的項(xiàng)距差之比

lm〔≠－1mna =an．m 1〔9〕在等差數(shù)列{an

}中，Sn

=a，Sm

=b(n＞m)，則S

m

=nm(a－b)．nm

成等差數(shù)列，求sn

的最值問題：① 假設(shè)

0,d<0且滿足an

最大；1

n10n② 假設(shè)n

0,d>0且滿足an,sn1 n

n10“首正〞的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和n項(xiàng)和nana

0 a n0或 n

0 確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)〔或非正0n1 n1法二：因等差數(shù)列前n項(xiàng)是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性nN*n1定義法n1an

q(q為常數(shù)），其中q0,an

0或an1an

an (n2)。aabn1ab等比中項(xiàng)如果b三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則G叫做a與b的等比中項(xiàng)，即G= .提醒：不是任ab何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè) 。aba等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an

aqn11

1qn(nN*)；q其前n項(xiàng)的和公式為a(1qn)

aq1 ,q

1 n ,q1s 1q sn na,q1

1qna,q11等比數(shù)列的性質(zhì)：〔1

1mnpqn時(shí)，則有a a，特別地，當(dāng)mn2p時(shí)，則有a a2.m n p q m n p1假設(shè){an

}是公比為q的等比數(shù)列，則{|an

|{a2{kan

}、{an

}也是等比數(shù)列，其公比分別為|q|}、2 2 {q }{q}{ }假q

n

bnn

a { }q1，}{n}{nbnSSn 2n

S,Sn

S ，…也是等比數(shù)列。當(dāng)q1，且n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列SS2n n 2

S,Sn

S ，…是2n常數(shù)數(shù)列

是等比數(shù)列，且各項(xiàng)均為正數(shù)，則log aan a

成等差數(shù)列。假設(shè)項(xiàng)數(shù)為3n的等比數(shù)列(q≠－1)前n項(xiàng)和與前n項(xiàng)積分別為S1與T1，次n項(xiàng)和與次n項(xiàng)積分別為S2與T2，最后n項(xiàng)和與n項(xiàng)積分別為S3與T3，則S1，S2，S3成等比數(shù)列，T1，T2，T3亦成等比數(shù)列假設(shè)a1

0,q1，或a1

0,0q1則n

}為遞增數(shù)列；假設(shè)a1

0,q1,或a1

0,0q1則}為遞減數(shù)列；假設(shè)q0，則}為擺動數(shù)列；假設(shè)q1，則}為常數(shù)列.n n nq1

a a 1qn 1

aqnb，這里ab0，但a0,b0，這是等比數(shù)列前n項(xiàng)和n 1q 1q公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù)Sn則r＝〔答：－1〕

，判斷數(shù)列{an

}是否為等比數(shù)列。如假設(shè){a

}是等比數(shù)列，且Sn

3nr，S S qmS S qnS .如設(shè)等比數(shù)列}的公比為q，前n項(xiàng)和為S，假設(shè)S ,S,S 成等mn m n n m n n n1 n n2差數(shù)列，則q的值〔答〕在等比數(shù)列n

}中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶

qS奇

；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1時(shí)，S奇

aqS .1 偶如果數(shù)列{an

}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，則數(shù)列{an

}是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列{an

}僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。.等比差數(shù)列n

n1

qan

d,a1

b(q0)的通項(xiàng)公式為b(n1)d,q1a bqn(db)qn1dn q1其前n項(xiàng)和公式為

,q1；nbn(n1)d,(q1)s

d 1qn d .n (b1

) n,(q1)q q1 1q每次還款x

ab(1b)n(1b)n1

元(貸款a元,n次還清,每期利率為b).三角函數(shù)常見三角不等式2〔1〕假設(shè)x(0,)，則sinxxtanx.(2)假設(shè)x(0,)，則1sinxcosx .22 2(3)|sinx||cosx1.同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式sin2cos21，tan=sin，tan1.cos正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(n(n(n(n (sin(n

)

2sin , 2 (1)n1cos (n(n(1)ncos(n(ncos( ) 2 2 (1)n1sin 和角與差角公式sinsin.sin()sincoscossinsin.)coscos ;tan()

tantan1 tantan)sin()sin2sin2)cos()cos2sin2.ba2b2asinba2b2

)(輔助角所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決,tan ).atan

sin

,cot

sin

2 1cos 1cos

2tansinsincos.coscos2sin22cos2112sin2.tan sin3sin4sin34sinsin( )sin( ). cos34cos33cos4coscos( )cos( )3 3

1tan2.

.tan

3tantan3

tantan(

)tan(

).13tan2 3 3三角函數(shù)的周期公式函數(shù)yx及函數(shù)ycos(x，*∈R(A,ω,為常數(shù)，且的周期T；函數(shù)ytan(x)，xk2

kZ(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T.正弦定理 a b c 2R.sinA sinB sinC余弦定理a2b2c2cosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.11面積定理11〔1〕S1ah bh

h、h、

分別表示a、b、c邊上的高〕.112 a 2 b 2 11

a b c〔2S

absinC

bcsinA

1casinB.(3)S

2 2 212 (|OA||OB|)2(OAOB)2.1三角形角和定理在△ABC中，有ABCC(AB)CAB2(AB).2 2 2在三角形中有以下恒等式：①sin(AB)sinC②tanAtanBtanCtanA.tanB.tanC簡單的三角方程的通解sinxaxk(1)karcsina(kZ,|a|1).cosxax2karccosa(kZ,|a1).tanxaxkarctana(kZaR.sinsink(1)k(kZ).coscos2k(kZ).tantank(kZ).最簡單的三角不等式及其解集sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.tanxa(aR)x(karctana,k),kZ.2tanxa(aR)x(k2

,karctana),kZ.))2)()向量設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，則結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a;第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1)b=b〔交換律;(2〔b= b=b=〔b;(3·c=+b·c.平面向量根本定理如果ee 是同一平面的兩個(gè)不共線向量，則對于這一平面的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ、λ，使得a=1 2 1 2λe+λe．11 22不共線的向量e、e1 2

叫做表示這一平面所有向量的一組基底．向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x,y1 1

),b=(x,y2

)，且b0，則a b(b0)xy1 2

xy2

0.aba·b=|a||b|cosθ．a(chǎn)·b的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a=(xy1 1

),b=(x,y2

)，則a+b=(x1

x,y2

y).2設(shè)a=(xy1 1

),b=(x,y2

)，則a-b=(x1

x,y2

y).2設(shè)A(x

)，B(x,y

,則ABOBOAx

x,

y).1 1

2 1 2 1(4)設(shè)a=(x,y),

R，則

a=(

y).(5)設(shè)a=(x,y

),b=(x,y

)，則a·b=(xx

yy).1 1 2 2 12 1212x212x2y21112x2y22 2cos x

y

(a=(x,y1 1

),b=(x,y2

)).平面兩點(diǎn)間的距離公式d =|ABABABA,B(x(xx)2(y y)22 1 2 1

(A(x,y1 1

)，B(x,y2

)).設(shè)a=(x,y1 1

),b=(x,y2

)，且b0，則A||bb=λaxy1 2

xy2

0.ab(a0)a·b=0xx1 2線段的定比分公式

yy1

0.設(shè)P(x,y

)，P(x,y

)，P(x,y)是線段PP

是實(shí)數(shù)，且PPPPPP，則OPtOP1

t)OP2

〔t

1 〕.1三角形的重心坐標(biāo)公式△ABC 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x,y1 1

)、B(x,y2 2

)、C(x,y3 3

),則△ABC 的重心的坐標(biāo)是xxxG(1 2 3

yy1

y3).3 3OP'OP'OPPP'.x'y

xhy

xx'h yy'k注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(*，yFP(x,y'PP'的坐標(biāo)為(hk.“按向量平移〞的幾個(gè)結(jié)論〔1〕點(diǎn)P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點(diǎn)P'(xh,yk).函數(shù)yf(x的圖象C按向量a(hk平移后得到圖象C',則C'的函數(shù)解析式為yf(xhk.圖象C'

按向量 a=(h,k)平移后得到圖象C,假設(shè)C的解析式y(tǒng)f(x),則C'

的函數(shù)解析式為yf(xh)k.曲線C:f(xy0a(hk平移后得到圖象C',則C'的方程為f(xhyk0.m(x,ya(hkm(x,y.三角形五“心〞向量形式的充要條件設(shè)O為ABCBC所對邊長分別為abc，則〔1〕O為ABC的外心OA2

OB2

OC2.〔2〕O為ABC的重心OAOBOC0.〔3〕O為ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.〔4〕O為ABC的心aOAbOBcOC0.〔5〕O為ABC的A的旁心aOAbOBcOC.不等式常用不等式：〔1〕abRa2b2

2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=〞號)．〔2〕abR

ab2

(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=〞號)．a(chǎn)b〔3〕a3b3c3ab4〕柯西不等式

3abc(a0,b0,c0).5〕ababab.極值定理x,y都是正數(shù)，則有p〔1〕假設(shè)積xy是定值p，則當(dāng)xy時(shí)和xy有最小值2 ；p〔2xy是定值sxyxy1s2.4推廣 x,yR，則有(xy)

(xy)2

2xy〔1〕假設(shè)積xy是定值,則當(dāng)|xy|最大時(shí),|xy|最大；當(dāng)|xy|最小時(shí),|xy|最小.〔2〕假設(shè)和|xy|是定值,則當(dāng)|xy|最大時(shí),|xy|最小；當(dāng)|xy|最小時(shí),|xy|最大.ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)aax2bxc同號，則其解集在兩根之外；如果a與ax2bxc之間.xxx1

(xx1

)(xx2

)0(x1

x)；2xx,或xx (xx)(xx)0(xx).1 2 1 2 1 2當(dāng)a>0時(shí)，有xax2a2axa.xax2a2xa或xa.75.無理不等式f(xf(x)

f(x)0g(x)g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)f(xf(x)〔2〕

g(x)g(x)0 或f(x0.〔3〕

f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)g(x)g(x)f(x)f(x)[g(x)]2

g(x)0(1)當(dāng)a1時(shí),af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0loga

f(x)loga

g(x)g(x)0 .f(x)g(x)(2)當(dāng)0a1時(shí),af(x)ag(x)f(x)g(x);直線方程斜率公式①k

y y2 1〔P(x

)、P(x,y

)〕.② k=tanα(α為直線傾斜角〕xx2 1

1 1

2 2 2直線的五種方程〔1〕點(diǎn)斜式y(tǒng)yk(xx)(直線lP(x

，且斜率為k)．1 1 1 1 1〔2〕斜截式y(tǒng)kxb(b為直線l在y軸上的截距).〔3〕兩點(diǎn)式

yy1

xx 1(

y)(P(x,

)、P(x,y) (x

)).y y2 1

x x 2 1

2 1 1

2 2 2 1 2(4)截距式x

y1b、b0)a b〔5〕一般式AxByC0(其中A、B不同時(shí)為0).兩條直線的平行和垂直假設(shè)l1

:yk1

xb，l1

:yk2

xb2①l||l1 2

kk,bb1 2 1 2;②ll1 2

kk12

1.假設(shè)lAx

yC0,l:AxB y

0,且A、A、B、B

都不為零,1 11①l||l A11 2 A2

1 1 2 2 2 B1 1C ；B1B C2 2

1 2 1 2②兩直線垂直的充要條件是 A

B

0l

AA

BB 0夾角公式1(1)tank2k |1

1 2 1 2

1 2 1 2 1 21kk21(l:yk1

xb，l1

:yk2

xb2

,kk12

1) A

AB(2)

1 2 2 1|.AABB1 2 1 222(l:AxByC0,l:Ax22

yC 0,AAB

0).1 1 1 1 2

1 2 1 2直線l1

l時(shí)，直線l與l12212

的夾角是 .2l到l1 2tan

的角公式k k2 1.1kk21(l:yk1

xb，l1

:yk2

xb2

,kk12

1) AB

AB

1 2 2 1.AABB1 2 1 22(l:AxByC0,l:AxB y2

0,AAB

0).1 1 1 1 2 2

1 2 1 2直線l1

l時(shí)，直線l到l12212

的角是 .2四種常用直線系方程P(x,

)的直線系方程為yy

k(x

)(除直線xx

),其中k是待定的0 0 0 0 0 0P(x,

)的直線系方程為A(xx

)B(y

)0,其中A,B是待定的系數(shù)．0 0 0 0 0共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線 l:AxByC0,l:AxB y

0的交點(diǎn)的直線系方程為1 1 1 1 2 2 2 2AxByCAxByC0(除l

)，其中λ是待定的系數(shù)．1 1 1 2 2 2 2平行直線系方程：直線 ykxb中當(dāng)斜率 k一定而b變動時(shí)，表示平行直線系方程．與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBy0(0)，λ是參變量．垂直直線系方程：與直線AxByC0 垂直的直線系方程是BxAy0,λ是參變量．0 0A0 0A2B2|Axd

C

(點(diǎn)P(x,y0

),直線l：AxByC0).AxByC0或0所表示的平面區(qū)域設(shè)直線l:AxByC0，假設(shè) A>0,則在坐標(biāo)平面從左至右的區(qū)域依次表示 AxByC0，AxByC0，假設(shè)A<0,則在坐標(biāo)平面從左至右的區(qū)域依次表示 AxByC0，AxByC0，記為“*為正開口對為負(fù)背靠背“〔正負(fù)的系數(shù)A，開口對指<>"，背靠背"><"〕85.(AxByC)(AxBy

0或0所表示的平面區(qū)域1 1 1 2 2 2設(shè)曲線CAxByCAxByC0AABB

0〕，則1 1 1 2 2 2 1 2 1 2(AxByC)(AxBy

0或0所表示的平面區(qū)域是：1 1 1 2 2 2(AxByC)(AxBy

)0所表示的平面區(qū)域上下兩局部；1 1 1 2 2 2(AxByC)(AxBy

)0所表示的平面區(qū)域上下兩局部.1 1 1 2 2 2圓圓的四種方程〔1〕圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2yb)2

r2.〔2x2y2DxEyF0D2E24F＞0).xarcos〔3〕圓的參數(shù)方程ybrsin.〔4〕圓的直徑式方程(xx1

)(xx2

)(yy1

)(yy2

)0(圓的直徑的端點(diǎn)是A(x,y1 1

)、B(x,y2

)).圓系方程過點(diǎn)A(xy1 1

),B(x,y2

)的圓系方程是(xx1

)(xx2

)(yy1

)(yy2

)(axbyc)0,其中axbyc0是直線AB的方程,λ是待定的系數(shù)．過直線 l : AxByC0 與圓C : x2y2DxEyF0 的交點(diǎn)的圓系方程是x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系數(shù)．過圓

:x2

y2Dx

y

0與圓C

:x2y2

x

y

0的交點(diǎn)的圓系方程是1 1 1 1 2 2 2 2x2y2DxEyF(x2y2DxEyF

)0,λ是待定的系數(shù)．1 1 1 2 2 2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系P(xy與圓(xa(a(ax)2(by)20 0假設(shè)d

(yb)2

r2的位置關(guān)系有三種dr點(diǎn)P在圓外;dr點(diǎn)P在圓上;dr點(diǎn)P在圓.直線與圓的位置關(guān)系直線AxByC0與圓(xa)2dr0dr0dr0

(yb)

r2的位置關(guān)系有三種:AaBbCAAaBbCA2B2兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為O，O，半徑分別為r，r，OO d1 2 1 2 1 2drr1 drr1

條公切線;條公切線;rr1 2

drr1

相交2條公切線;dr1

r 內(nèi)切條公切線;20dr1

r 內(nèi)含無公切線.291.圓的切線方程(1)圓x2y2DxEyF0．①假設(shè)切點(diǎn)(x,y0 0

)在圓上，則切線只有一條，其方程是xxy

D(xy

x)E(y0

F0.0 0 2 2D(x

x) E(

y)當(dāng)(x

xyy 0

F0表示過兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程．0 0 0 0 2 2②過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為yy0要漏掉平行于y軸的切線．

k(xx0

)，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不③斜率為k的切線方程可設(shè)為ykxb，再利用相切條件求b，必有兩條切線．(2)圓x2y2r2．P(x,

)點(diǎn)的切線方程為x

xy

yr2;0 0 0 0 01k2②斜率為k的圓的切線方程為ykx1k2橢圓

x2y2

xacosb0)的參數(shù)方程是 .a2 b2x2 y2橢圓a2 b2

b0)

ybsinPF aex，PF aexFF分別為左右焦點(diǎn)1 2 1 2x2 y2 PFF焦點(diǎn)三角形為橢圓

b0)PF

的面積S=b2tan

1 2特別a2 b2

12 2地，假設(shè)PF1

PF2

,此三角形面積為b2；

x2y2a2 b2

b0)上存在點(diǎn) P，使PF1

PF2

的條件是 c≥b,即橢圓的離心率 e的圍是2[ ,1)22橢圓的的外部〔1P(x,y0 〔2P(x,y0

在橢圓x2y2x2y2b0)的部x2y20 0a2 b2x2y2ba2 b20)的外部x2y20 0a2b2a2 b2

1.1.橢圓的切線方程x2 y2 xx yy橢圓 a2 b2

b0)P(xy0 0

)處的切線方程是 0 0a2 b2

1.x2 y2 xx yy〔〕過橢圓 a2

b0)P(xyb2 0

)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 0 0a2 b2

1.〔3〕橢圓

x2y2

b0)與直線AxByC0相切的條件是A2a2B2b2

c2.a2 b2

雙曲線x2 y2雙曲線a2 b2

1(a0,b0)的焦半徑公式PF e(xa2)|，PF e(a2

x)|.1 c 2 c

x2 y2

x2 y2點(diǎn)P(xy0 0

)在雙曲線 a2 b2

0,b0)的部 0 a2 b2

1.點(diǎn)P(x

x2y2

1(a0,b0)的外部

x2 y20 0

1.0 0 a2 b2

a2 b2雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1〕假設(shè)雙曲線方程為x2a2

yb2

1漸近線方程：x2a2

y2b2

0

ybx.a

y

bx

xy

0雙曲線可設(shè)為x2

y2

.a a b

a2 b2軸上〕.

x2ya2 b2

1有公共漸近線，可設(shè)為

x2a2

y2〔0，焦點(diǎn)在*軸上，0，焦點(diǎn)在yb2雙曲線的切線方程x2 y2 xx yy雙曲線 a2 b2

0,b0)P(xy0 0

)處的切線方程是 0 0a2 b2

1.〔〕過雙曲線x2y2a2 b2

0,b0)P(xy0 0

)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是xx y0 0

1.a2 b2〔3〕雙曲線

x2y2

1(a0,b0)與直線AxByC0相切的條件是A2a2B2b2

c2.a2 b2焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半軸的長度〔即b值〕拋物線焦點(diǎn)與半徑焦半徑公式p拋物線y2

2px(p0)，C (x,y0 0

CFx0

2.過焦點(diǎn)弦長CDx1

px2

pxx2 1

p.對焦點(diǎn)在y軸上的拋物線有類似結(jié)論。y

2px

y2

,2 )或拋物線 2

上的動點(diǎn)可設(shè)為P(

0 ,y)

pt2

P(x,y)，其中 y22px.二次函數(shù)

2p 0 0 0b 4acb2yax2bxca(x )22a

(a0)的圖象是拋物線：〔1〕頂點(diǎn)坐標(biāo)為(

b,4acb2)；2a 4a〔2〕焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(b

4acb21,)；,〔3〕準(zhǔn)線方程是y拋物線的外部

2a 4a4acb214a .點(diǎn)P(xy0 0

)在拋物線y2

2px(p0)的部y2

2px(p0).點(diǎn)P(x,y0 0

)在拋物線y2

2px(p0)的外部y2

2px(p0).點(diǎn)P(xy0 0

)在拋物線y2

2px(p0)的部y2

2px(p0).點(diǎn)P(x,y0 0

)在拋物線y2

2px(p0)的外部y2

2px(p0).點(diǎn)P(xy0 0

)在拋物線x2

2py(p0)的部x2

2py(p0).點(diǎn)P(x,y0 0

)在拋物線x2

2py(p0)的外部x2

2py(p0).點(diǎn)P(xy0 0

)在拋物線x2

2py(p0)的部x2

2py(p0).點(diǎn)P(x,y0 0

)在拋物線x2

2py(p0)的外部x2

2py(p0).拋物線的切線方程(1)拋物線y

2pxP(xy0 0

)處的切線方程是y0

yp(xx).0〔2〕過拋物線y2

2pxP(xy0 0

)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是y0

yp(xx).0〔3〕拋物線y2

2px(p0)與直線AxByC0相切的條件是pB2

2AC.過 拋 物

y22px 〔 p>0) 的 焦 點(diǎn) F 的 直 線 與 拋 物 線 相 交 于A(x,y)B(x,y),則有yy p2,x

4p2,1 1 2 2 12 12即k.KOA OB

=-1(O為原點(diǎn))41A(x,y)B(x,y),則yy p2,x

4p2,即k.K=-為原點(diǎn));1 1 2 2 12 1

OA OB 4圓錐曲線共性問題兩個(gè)常見的曲線系方程過曲線f1

(x,y)0,f2

(x,y)0的交點(diǎn)的曲線系方程是f(x,y)f1

(xy0

x2 y2

a2k b2

1kmax{a2b2kmin{a2b2時(shí),表示橢圓;當(dāng)min{a2b2kmax{a2b2直線與圓錐曲線相交的弦長公式(xx)2(xx)2(yy)21 2 1 2〔弦端點(diǎn)A(xy1 1

或),B(x,y)2 2F(x,y)0由方程yF(x,y)0

消去y得到ax2bxc00,為直線ABk涉及到曲線上的 點(diǎn)A，B及線段 AB的中點(diǎn) M的關(guān)系時(shí)，可以利用“點(diǎn)差法：，比方在橢圓中：A(x ,y1 1

), B(x ,y2

),中點(diǎn) M( x0, y0), 則有 :x 2 y 1 1

1(1)a2 b2x 2 y 2 2

1(2)a2 b

y

21x 21

2b2 x b221(1)(2) 1

x x 1 2

y y1

( )a2

0 ( )y a20圓錐曲線的兩類對稱問題〔1F(xy0P(xy0 0

)成中心對稱的曲線是F(2x0

-x,2y0

y)0.〔2〕曲線F(x,y)0關(guān)于直線AxByC0成軸對稱的曲線是F(x2AxByC),y2B(AxByC))0.A2B2“四線〞一方程

A2B2Ax2BxyCy2DxEyF0x0

x代x2，用y0

xy代y2用

yxy02

代xy，用x用0

yy代x，用 0

y即得方程2 xyxy

xx y yAxxB 00

0Cy0

yD 02

E 02

F0，曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到.109．證明直線與直線的平行的思考途徑〔1〕轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；〔2〕轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；3〕轉(zhuǎn)化為線面平行；4〕轉(zhuǎn)化為線面垂直；〔5〕轉(zhuǎn)化為面面平行.110．證明直線與平面的平行的思考途徑〔1〕轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；〔2〕轉(zhuǎn)化為線線平行；〔31〕轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；〔2〕轉(zhuǎn)化為線面平行；〔3〕轉(zhuǎn)化為線面垂直.112．證明直線與直線的垂直的思考途徑1〕轉(zhuǎn)化為相交垂直；2〕轉(zhuǎn)化為線面垂直；3〕轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；〔4113．證明直線與平面垂直的思考途徑〔1〕轉(zhuǎn)化為該直線與平面任一直線垂直；234

立體幾何〔5〕轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.114．證明平面與平面的垂直的思考途徑〔1〕轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；〔2〕轉(zhuǎn)化為線面垂直.(1(2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣共線向量定理對空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0)，a∥b存在實(shí)數(shù)λ使a=λb．B三點(diǎn)共線AP||ABAPtABOP1t)OAtOB.AB||CDAB、CDCD不共線ABtCDCD不共線.118.共面向量定理向量p與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的存在實(shí)數(shù)對x,y,使paxby．推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB的x,yMPxMAyMB，或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，xy，使OPOMxMAyMB.ADxAByAC對空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)C，滿足OPxOAyOBzOC〔xyzkk1時(shí)，對于空間任一點(diǎn)O，總有PABC四點(diǎn)共面；當(dāng)k1時(shí)，假設(shè)O平面ABC，則PABC四點(diǎn)共面；假設(shè)OADxAByACCD四點(diǎn)共面AD與ABAC共面OD(1xy)OAxOByOC〔O平面ABC〕.空間向量根本定理如果三個(gè)向量a、b、c不共面，則對空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組*，y，z，使p＝*a＋yb＋zc．推論設(shè) O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn) P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù) *，y，z，使OPxOAyOBzOC.射影公式向量AB=a和軸l，e是l上與l.作A點(diǎn)在l上的射影A，作B點(diǎn)在lB'，則A'B'|AB|cos〈a，e〉=a·e122.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a

,a)，b＝(b,

,b)則1 2(a

3b,

1b,

2 3b)；1(a

1 b,a

2 b,a

3b)；1 1 2 2 3 3(a1

,a2

,a3

) (λ∈R)；ababab；11 22 33設(shè)A(x,y,z)，B(x,y

)，則1 1 1 2 2 2ABOBOA= (x2

x,y1

y,z1

z).1空間的線線平行或垂直設(shè)a(x,y,z)，b(x,y,z

)，則1 1 1 2 2 2xx

0)12；a b a b

y y1 2abaabab01 2xx yy zz

0.

12 12 12a＝(aaa，b＝(b

b，則1 2 3a

1 2aba

3ab112233a2112233a2a2a2 b2b2b21 2 3 1 2 3推論 (ababab)2(a2a2a2)(b2b2b2)，此即三維柯西不等.11 22 33 1 2 3 1 2 3四面體的對棱所成的角四面體ABCD中,AC與BD所成的角為,則cos|(AB2CD2)(BC2DA2)|.2ACBD異面直線所成角|ab|

|xx

y

zz |= 12 12 12|a||b| x2y2z2

2y

2z21 1 1 2 2 2〔其中〔090〕為異面直線ab分別表示異面直線的方向向量〕128.直線AB與平面所成角arcsin

ABm m為平面|AB||m|假設(shè)ABC與過假設(shè)AB的平面成的角,另兩邊ACBC與平面成的角分別是、1

,、B為ABC的兩個(gè)角，則sin21

sin22

(sin2Asin2B)sin2.特別地,當(dāng)ACB90時(shí),有sin21

sin22

sin2.假設(shè)ABC所在平面假設(shè)與過假設(shè)AB的平面成的角,另兩邊ACBC與平面成的角分別是、1

B'為ABO的兩個(gè)角，則tan21

tan22

(sin2A'sin2B')tan2.特別地,當(dāng)AOB90時(shí),有sin2

sin2

sin2.|m|m||n|〔mn為平面mnl

2

的平面角arccos mn|m||n|三余弦定理

或arccos

，的法向量〕.設(shè)AC是α的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為

，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為．則coscos1

1 2cos .2三射線定理假設(shè)夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是,1

,與二面角的棱所成的角是2θ，則有sin2sin2sin2((

sin22

2sin1

sin2

cos;|1

(當(dāng)且僅當(dāng)901 2空間兩點(diǎn)間的距離公式假設(shè)A(xyz，B(xy

)，則1 1 1 2 2 2dA,B

=|ABABAB (x2

x)2(y1

y)2(z1

z)2.11|a|(|a||1|a|(|a||b|)2(ab)2PQ).h|CDn|

(點(diǎn)P在直線l上，直線l的方向向量a=PA，向量b=d|n|

(l,l1

是兩異面直線，其公垂向量為nD分別是ll1 2

d為ll1 2

間的距離).B到平面的距離d|ABn|〔n為平面的法向量，AB是經(jīng)過面A〕.|n|h2h2m2n2 2mncos.h2m2n22mncosEA',AF.ddh2m2n22mncosd 〔h2m2n22mncos(兩條異面直線 a、b所成的角為θ，其公垂線段 AA'的長度為 h.在直線 a、b上分別取兩點(diǎn) E、F，A'Em,AFn,EFd).三個(gè)向量和的平方公式長度為l的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為l、l、

，夾角分別為、、

,則有1 2 3 1 2 3l2l2l2l2cos2

cos2

cos2

1sin2

sin2

sin22.1 2

1 2

1 2 3〔立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例〕.面積射影定理S S' .cos(平面多邊形及其射影的面積分別是SS').斜棱柱的直截面斜棱柱的側(cè)棱長是l,側(cè)面積和體積分別是

斜棱柱側(cè)

和V斜棱柱

,它的直截面的周長和面積分別是cS,則1 1①S斜棱柱側(cè)

cl.1②V斜棱柱

Sl.1作截面的依據(jù)三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行.144．棱錐的平行截面的性質(zhì)VFE2(簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).〔1〕E=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,假設(shè)每個(gè)面的邊數(shù)為n的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：1E2nF；〔2〕假設(shè)每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為m，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：E球的半徑是R，則4

1mV.2其體積V R3,3其外表積S4R2．147.球的組合體長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.(2)球與正方體的組合體:正方體的切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.66(3)球與正四面體的組合體:66棱長為a148．柱體、錐體的體積

12a,外接球的半徑為 4a.V 1ShS是柱體的底面積、h柱體 3V 1ShS是錐體的底面積、h錐體 3排列組合m.m.nNmm1 2m.nm.nNmm1 2排列數(shù)公式nAmn(n1)(nm注:規(guī)定1.n;排列恒等式;

n！nm∈N，且mn)．*(nm)！*(1〕Amn

(nm1)Am1nn〔2〕Amn

n

Am;n1〔3〕Amn〔4〕

nAm1;n1An1An;.n n1 n.〔5〕Amn1

Amn

mAm1n23組合數(shù)公式

nn!(n1)!1.Cm=

Am n(n1)(nmn！nn= = (n

∈N*，

m

，且mn).n m

12

m(nm！組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)Cm=Cnm ;n nCm+Cm1=Cm .n注:規(guī)定C0n

n1

n1組合恒等式nm1;〔1〕Cm;n

Cm1m nn〔2〕Cm Cm;n nm n1n〔3〕Cmn

Cm1;mn1m〔4〕Crnr0

=2n;〔5〕Crr

Crr

Crr

Crn

Cr.n1.C0n

C1n

Cn

Crn

Cnn

2n.C1n

Cn

Cn

Cn

Cn

Cn

2n1.C1n

2Cn

n

nCn

n2n1.CrC

Cr1C1

C0rCr

Cr .m n m

m n mn(10)(C0)n

(C1)n

(C2)n

(Cn)