第九章 單系統(tǒng)輸出數(shù)據(jù)分析(一)

第九章單系統(tǒng)輸出數(shù)據(jù)分析主要內(nèi)容一、輸出分析簡介二、終止型和穩(wěn)態(tài)型仿真三、終止型仿真的輸出分析1、均值估計(jì)和區(qū)間估計(jì)2、誤差分析（誤差控制）四、穩(wěn)態(tài)型仿真的輸出分析一、輸出分析簡介什么是輸出分析？系統(tǒng)（結(jié)構(gòu)數(shù)量是確定的）（結(jié)構(gòu)參數(shù)是隨機(jī)的）輸入（參數(shù)是隨機(jī)的）輸出？確定的輸入激勵(lì)一個(gè)確定的系統(tǒng)，得到的輸出就是一個(gè)確定的輸出。通過一次確定的仿真便可得出解。隨機(jī)的輸入激勵(lì)一個(gè)隨機(jī)的系統(tǒng)，得到的輸出是……?輸出的表達(dá)形式如何？需要經(jīng)過多少次的仿真才能說明輸出結(jié)果？為什么要進(jìn)行輸出分析？輸出分析的目的在于估計(jì)一個(gè)系統(tǒng)的性能，或比較兩個(gè)或多個(gè)不同系統(tǒng)設(shè)計(jì)的性能。估計(jì)系統(tǒng)的性能參數(shù)，以及性能參數(shù)估計(jì)的精度。用仿真統(tǒng)計(jì)得到的作為觀察值的估計(jì)量，統(tǒng)計(jì)得到的方差S2或置信區(qū)間反映了估計(jì)量的偏差范圍。確定出達(dá)到給定精度所需的觀察次數(shù)。

例：考慮M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)，假設(shè)顧客到達(dá)時(shí)間間隔是均值為5分鐘的指數(shù)隨機(jī)變量；服務(wù)時(shí)間也是獨(dú)立同分布的指數(shù)隨機(jī)變量，均值為4分鐘。顧客以FIFO規(guī)則排隊(duì)。下表給出了M/M/1系統(tǒng)仿真的實(shí)驗(yàn)結(jié)果：可以看到，僅從某一次仿真結(jié)果來推斷系統(tǒng)的性能并不一定保證是正確的。仿真長度(n)理論值10002000300040005000Wq(n)16.019.72317.85615.56316.82616.982基于輸出分析的仿真分類根據(jù)是否有一個(gè)明確的確定仿真運(yùn)行長度的條件，可將仿真分為：終止型仿真穩(wěn)態(tài)型仿真二、終止型和穩(wěn)態(tài)型仿真終止型仿真是指具有一個(gè)終止事件，此事件的發(fā)生會(huì)觸發(fā)重復(fù)實(shí)驗(yàn)的結(jié)束，即設(shè)定了運(yùn)行長度。終止事件必須在每次運(yùn)行前設(shè)定，可以是一個(gè)隨機(jī)事件。例如：研究銀行系統(tǒng)中的客流情況，可以將其看作終止型仿真系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)型仿真是這樣一種仿真，它的目的是研究非終止型系統(tǒng)的長時(shí)間運(yùn)行或穩(wěn)態(tài)行為特性。非終止型系統(tǒng)是一個(gè)連續(xù)運(yùn)行的系統(tǒng)，或者至少在一個(gè)相當(dāng)長的時(shí)間內(nèi)運(yùn)行。例如：連續(xù)生產(chǎn)的裝配線、通信系統(tǒng)（互聯(lián)網(wǎng)）、醫(yī)院的急診室……例

某一個(gè)通信系統(tǒng)由幾個(gè)部件加上幾個(gè)備用部件組成。其中一個(gè)分支環(huán)節(jié)由A、B、C、D四個(gè)部分組成，B和C呈并聯(lián)方式連接。在系統(tǒng)失效為止的時(shí)間周期TE內(nèi)考慮系統(tǒng)。停止事件E定義為

E={A失效，或D失效，或B與C同時(shí)失效}初始條件為各部件在時(shí)刻0都是新的（系統(tǒng)處于理想狀態(tài)）。

例研究內(nèi)容：電器元件的平均壽命研究方法：在相同的實(shí)驗(yàn)條件下，進(jìn)行元件的壽命測量 即：在相同的實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，從時(shí)刻0開始測量，一直進(jìn)行到E事件變真。結(jié)論：這樣的仿真我們稱其為終止型仿真研究內(nèi)容的變化：如果對于同樣的系統(tǒng)，研究的是系統(tǒng)的特性，如通訊能力、通訊容量等。結(jié)論：這樣的仿真我們稱其為穩(wěn)態(tài)型仿真。因此終止型或穩(wěn)態(tài)型仿真是隨研究內(nèi)容的變化而改變。

終止型和穩(wěn)態(tài)型仿真的輸出分析方法不同重復(fù)運(yùn)行實(shí)驗(yàn)每次實(shí)驗(yàn)采用不同的隨機(jī)數(shù)流每次實(shí)驗(yàn)采用相同的初始條件確定預(yù)熱時(shí)間采用獨(dú)立重復(fù)運(yùn)行實(shí)驗(yàn)的方法或批均值法終止型仿真穩(wěn)態(tài)型仿真三、終止型仿真的輸出分析1．點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)2．誤差分析（誤差控制）1、均值估計(jì)和區(qū)間估計(jì)假設(shè)系統(tǒng)性能可用參數(shù)θ(或φ)表示，系統(tǒng)仿真的目的是：通過仿真，希望得到表示系統(tǒng)性能θ(或φ)的值。如何得到或統(tǒng)計(jì)得到此值？我們可以運(yùn)用參數(shù)的估計(jì)方法：既要得到這個(gè)值——點(diǎn)估計(jì)，又要得到這個(gè)值的精度范圍——區(qū)間估計(jì)。區(qū)間估計(jì)的范圍（或長度）是點(diǎn)估計(jì)準(zhǔn)確度的一個(gè)測度。仿真的數(shù)據(jù)有兩種：仿真輸出數(shù)據(jù)具有離散形式{X1，X2，…，Xn}，用來估計(jì)θ

仿真輸出數(shù)據(jù)具有連續(xù)形式{X(t)，0≤t≤T}，用來估計(jì)φ

點(diǎn)估計(jì)（離散隨機(jī)變量）基于數(shù)據(jù){X1，X2，…，Xn}的θ的點(diǎn)估計(jì)定義為式中是基于樣本量n的樣本均值。例如：制造系統(tǒng)仿真中工件的生產(chǎn)周期、理發(fā)店系統(tǒng)仿真中顧客的停留時(shí)間等。點(diǎn)估計(jì)（連續(xù)隨機(jī)變量）基于數(shù)據(jù){X(t)，0≤t≤T}的φ的點(diǎn)估計(jì)定義為

式中T是仿真的運(yùn)行長度，稱為X(t)在〔0，T〕上的時(shí)間加權(quán)均值。例如：制造系統(tǒng)仿真中的在制品、理發(fā)店系統(tǒng)仿真中的隊(duì)長等。根據(jù)中心極限定理，當(dāng)n足夠大時(shí)，樣本均值統(tǒng)計(jì)量則μ的置信度為1－的置信區(qū)間為例：考慮銀行排隊(duì)系統(tǒng)，假設(shè)銀行從早上9點(diǎn)至下午5點(diǎn)營業(yè)，顧客以泊松分布到達(dá)，到達(dá)率為每小時(shí)12位；只有一個(gè)服務(wù)窗口，服務(wù)時(shí)間也是獨(dú)立同分布的指數(shù)隨機(jī)變量，均值為4分鐘/位?？蛻粢訤IFO規(guī)則排隊(duì)。下表給出了10次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的運(yùn)行輸出結(jié)果數(shù)據(jù)。重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)12345678910平均排隊(duì)時(shí)間（分鐘）1.0516.4382.6460.8051.5050.5462.2812.8220.4141.307根據(jù)表中數(shù)字，可以計(jì)算得到

因此，均值90%置信區(qū)間為即在90%的置信程度上相信平均等待時(shí)間落在區(qū)間[0.95，3.014]分鐘內(nèi)。2、誤差分析（誤差控制）置信區(qū)間的半寬，稱為的誤差。對于固定的n，半寬的大小取決于Xj的總體方差，n越大，則半寬越小。誤差分析將討論在給定的誤差水平下，如何確定進(jìn)行重復(fù)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)絕對誤差vs.相對誤差絕對誤差如果對于估計(jì)值則稱的絕對誤差為。如果有，則稱為置信水平下的絕對誤差。如果限定絕對誤差的大小，如何確定實(shí)驗(yàn)次數(shù)？令半寬，即

當(dāng)n足夠大時(shí)，S2(n)不會(huì)隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加而明顯變化，于是給定絕對誤差閥值，可以估算出要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的次數(shù)為：由于

所以，

可以作為i的粗略估計(jì)值

例：對銀行排隊(duì)系統(tǒng)的例子而言，如果希望在置信水平90%的條件下期望平均排隊(duì)時(shí)間的絕對誤差閥值為0.5分鐘，則根據(jù)已有的10次重復(fù)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，確定還要進(jìn)行多少次重復(fù)實(shí)驗(yàn)才能滿足該誤差水平。解：即i至少為35，以此為基礎(chǔ)尋找滿足條件的i。即當(dāng)i=35時(shí)，

當(dāng)i=36時(shí)，當(dāng)i=37時(shí)，

因此i取37，還需實(shí)驗(yàn)27次。相對誤差如果對于估計(jì)值則稱的相對誤差為。假設(shè)是1-置信水平下的調(diào)整相對誤差，即：

相對誤差則有：寬令則所以當(dāng)n足夠大且實(shí)驗(yàn)穩(wěn)定時(shí)，總體均值和方差不會(huì)隨著重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加而明顯變化，則給定相對誤差閥值，可以估算出需要進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)次數(shù)為：

由于因此，可以作為一個(gè)粗略的估計(jì)值。例：對于銀行排隊(duì)系統(tǒng)的例子而言，如果希望在置信水平90%的條件下期望平均排隊(duì)時(shí)間的相對誤差閥值為0.18，則根據(jù)10次重復(fù)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，確定還要進(jìn)行多少次重復(fù)實(shí)驗(yàn)才能滿足該誤差水平。解：

即i至少為98，以此為基礎(chǔ)尋找滿足條件的i。即尋找當(dāng)i=99時(shí)，因此i取99，即還需要重復(fù)實(shí)驗(yàn)89次。序貫法以上兩種基于誤差的方法都假設(shè)：在n足夠大的時(shí)候，方差基本不隨著重復(fù)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)增加而變化。事實(shí)上，重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，樣本方差越小。因此，如果真正地重復(fù)運(yùn)行實(shí)驗(yàn)，則達(dá)到相同誤差水平所需的重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)會(huì)更少，這就是序貫法的基本思路。所謂序貫法就是真正地一次次地進(jìn)行實(shí)際仿真重復(fù)實(shí)驗(yàn)，來計(jì)算得到所需的誤差水平的重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)。序貫法不要求每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果服從正態(tài)分布。序貫法步驟給定相對誤差以及置信水平，首先選定一個(gè)初始重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)，并令半寬

(1)進(jìn)行n0次仿真重復(fù)實(shí)驗(yàn)，并設(shè)n=n0；

(2)基于計(jì)算以及；

(3)如果則此時(shí)的置信區(qū)間半寬達(dá)到了所要求的誤差水平，使用作為的估計(jì)值，停止；否則，令n=n+1，返回(2)。

例：對于前面的銀行排隊(duì)系統(tǒng)而言，設(shè)置信水平為90%，初始重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)n0為10次，則采用序貫法確定的所需進(jìn)行的重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)為68次。此時(shí)，與前一種方法相比，所需實(shí)驗(yàn)次數(shù)68次少于99次。注意事項(xiàng)如果對置信區(qū)間的精度要求不高，可以采用固定樣本規(guī)模的方法；在對精度要求比較高的時(shí)候，建議采用序貫法。對任何一個(gè)模型，建議至少運(yùn)行5次。當(dāng)重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)n>50時(shí)，根據(jù)中心極限定理，可以認(rèn)為近似滿足正態(tài)分布。初始條件設(shè)定假設(shè)銀行早上9點(diǎn)開門，且系統(tǒng)中沒有客戶，如果希望對從中午12點(diǎn)到下午1點(diǎn)之間到達(dá)并排完隊(duì)的客戶的平均排隊(duì)時(shí)間期望值進(jìn)行估計(jì)，那么應(yīng)該如何設(shè)定中午12點(diǎn)時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)？方法1：系統(tǒng)從早上9點(diǎn)開始運(yùn)行，仿真4個(gè)小時(shí)，在輸出