全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題及天津

2010年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘，第Ⅰ卷1至3頁(yè)，第Ⅱ卷4至11頁(yè)?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項(xiàng)：1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必定自己的姓名和準(zhǔn)考據(jù)號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定地點(diǎn)粘貼考試用條形碼。2．每題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需變動(dòng)，用橡皮擦潔凈后，再選涂其余答案標(biāo)號(hào)，答在試卷上的無(wú)效。3．本卷共10小題，每題5分，共50分。參照公式：·假如事件A、B互斥，那么·假如事件A、B互相獨(dú)立，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B)·棱柱的體積公式V=Sh,1棱錐的體積公式V=sh,3此中S標(biāo)示棱柱的底面積。此中S標(biāo)示棱錐的底面積。h表示棱柱的高。h示棱錐的高。一．選擇題：在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。（1）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)

13i12i(A)1＋i(B)5＋5i(C)-5-5i(D)-1－i2）函數(shù)f(x)=2x3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）3）命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(-x)是奇函數(shù)”的否命題是(A)若f(x)是偶函數(shù)，則f(-x)是偶函數(shù)B）若f(x)不是奇函數(shù)，則f(-x)不是奇函數(shù)C）若f(-x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)1（D）若f(-x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)（4）閱讀右側(cè)的程序框圖，若輸出s的值為-7，則判斷框內(nèi)可填寫(xiě)(A)i＜3?（B）i＜4?（C）i＜5?（D）i＜6?(5)已知雙曲線(xiàn)x2y21(a0,b0)的一條漸近a2b2線(xiàn)方程是y=3x,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線(xiàn)y224x的準(zhǔn)線(xiàn)上，則雙曲線(xiàn)的方程為（A）x2y21（B）x2y2136108927（C）x2y21（D）x2y2110836279（6）已知an是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，sn是an的前n項(xiàng)和，且9s3s6，則數(shù)列1an的前5項(xiàng)和為（A）15或5（B）31或5（C）31（D）15816168（7）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，若a2b23bc，sinC23sinB，則A=（A）300（B）600（C）1200（D）1500（8）若函數(shù)f(x)=log2x,x0,0,若f(a)>f(-a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是log1(x),x2（A）（-1，0）∪（0，1）（B）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C）（-1，0）∪（1,+∞）（D）（-∞，-1）∪（0,1）(9)設(shè)會(huì)合A=x||xa|1,xR,Bx||xb|2,xR.若AB,則實(shí)數(shù)a,b必知足2（A）|ab|3（B）|ab|3（C）|ab|3（D）|ab|3(10)如圖，用四種不一樣樣顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不一樣樣的涂色方法用（A）288種（B）264種（C）240種（D）168種2010年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1．答卷前將密封線(xiàn)內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚。2．用鋼筆或圓珠筆挺接答在試卷上。3．本卷共12小題，共100分。二．填空題：本大題共6小題，每題4分，共24分，把答案天災(zāi)題中橫線(xiàn)上。（11）甲、乙兩人在10天中每日加工部件的個(gè)數(shù)用莖葉圖表示以以下列圖，中間一列的數(shù)字表示部件個(gè)數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示部件個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)，則這10天甲、乙兩人日加工部件的均勻數(shù)分別為和。12）一個(gè)幾何體的三視圖以以下列圖，則這個(gè)幾何體的體積為3（13）已知圓C的圓心是直線(xiàn)x1,(t為參數(shù)）C與直線(xiàn)x+y+3=0與x軸的交點(diǎn)，且圓y1t相切，則圓C的方程為（14）如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延伸AB和DC訂交于點(diǎn)P，若PB=1,PC=1,則BC的PA2PD3AD值為（15）如圖，在A(yíng)BC中，ADAB,BC3BD,AD1,則ACAD.（16）設(shè)函數(shù)f(x)x21，對(duì)隨意x2,，fx4m2f(x)f(x1)4f(m)3m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.三、解答題：本大題共6小題，共76分。解答題寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。（17）（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)f(x)23sinxcosx2cos2x1(xR)（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間0,上的最大值和最小值；26,，求cos2x0（Ⅱ）若f(x0),x0的值。5424（18）.（本小題滿(mǎn)分12分）某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是2，且各次射擊的結(jié)果互不影響。3（Ⅰ）假定這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率（Ⅱ）假定這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)。其余2次未擊中目標(biāo)的概率；（Ⅲ）假定這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，在3次射擊中，如有2次連續(xù)擊中，而其余1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分，記為射手射擊3次后的總的分?jǐn)?shù)，求的散布列。（19）（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCDABCD中，E、F分別是棱BC,CC11111上的點(diǎn)，CFAB2CE,AB:AD:AA11:2:4（1）求異面直線(xiàn)EF與A1D所成角的余弦值；（2）證明AF平面A1ED（3）求二面角A1EDF的正弦值。5（20）（本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓x2y21(ab0）的離心率e3，連結(jié)橢圓的四個(gè)極點(diǎn)獲得的菱形的面積a2b22為4。1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)l與橢圓訂交于不一樣樣的兩點(diǎn)A,B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a,0），點(diǎn)Q(0,y0)在線(xiàn)段AB的垂直均分線(xiàn)上，且QAQB4，求y0的值（21）（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)f(x)xcx(xR)（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單一區(qū)間和極值；（Ⅱ）已知函數(shù)yg(x)的圖象與函數(shù)yf(x)的圖象對(duì)于直線(xiàn)x1對(duì)稱(chēng)，證明當(dāng)x1時(shí)，f(x)g(x)（Ⅲ）假如x1x2，且f(x1)f(x2)，證明x1x226（22）（本小題滿(mǎn)分14分）在數(shù)列an中，a10，且對(duì)隨意kN*.a2k1，a2k，a2k1成等差數(shù)列，其公差為dk。（Ⅰ）若dk=2k，證明a2k，a2k1，a2k2成等比數(shù)列（kN*）（Ⅱ）若對(duì)隨意kN*，a2k，a2k1，a2k2成等比數(shù)列，其公比為qk。72010年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）參照解答一、選擇題：此題觀(guān)察基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每題5分，滿(mǎn)分50分。（1）A（2）B（3）B（4）D（5）B（6）C（7）A（8）C（9）D（10）B二填空題：此題觀(guān)察基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每題4分，滿(mǎn)分24分。（11）24:23（12）10（13）(x1)2y223（14）6（15）3(16),33,622三、解答題（17）本小題主要觀(guān)察二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦等基礎(chǔ)知識(shí)，觀(guān)察基本運(yùn)算能力，滿(mǎn)分12分。（1）解：由f(x)23sinxcosx2cos2x1，得f(x)3(2sinxcosx)(2cos2x1)3sin2xcos2x2sin(2x)6所以函數(shù)f(x)的最小正周期為因?yàn)閒(x)2sin2x在區(qū)間0,上為增函數(shù)，在區(qū)間6,上為減函數(shù)，又662f(0)1,f2,f1，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0,上的最大值為2，最小值622為-1（Ⅱ）解：由（1）可知f(x0)2sin2x06又因?yàn)閒(x0)63，所以sin2x0556由x0,，得2x02,7426368進(jìn)而cos2x01sin22x04665所以cos2x0cos2x0cos2x0cossin2x034366sin106666本小題主要觀(guān)察二項(xiàng)散布及其概率計(jì)算公式、失散型隨機(jī)變量的散布列、互斥事件和相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識(shí)，觀(guān)察運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)詰問(wèn)題的能力，滿(mǎn)分12分。（1）解：設(shè)X為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X~B5,2.在5次射擊中，恰3有2次擊中目標(biāo)的概率22P(X2)C522124033243（Ⅱ）解：設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件Ai(i1,2,3,4,5)；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，其余2次未擊中目標(biāo)”為事件A,則P(A)P(A1A2A3A4A5)P(A1A2A3A4A5)P(A1A2A3A4A5)232131231212=33333338=81（Ⅲ）解：由題意可知，的全部可能取值為0,1,2,3,631P(0)P(A1A2A3)1327P(1)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)22121122=1233333339P(2)2124P(A1A2A3)3327322112P(3)P(A1A2A3)P(A1A2A3(86)P(A1A2A3)273所以的散布列是19）本小題主要觀(guān)察異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，觀(guān)察用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，觀(guān)察空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，滿(mǎn)分12分。方法一：以以下列圖，成立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)AB1,依題意得D(0,2,0),3F(1,2,1),A1(0,0,4),E1,,0（1）EF1,A1D(0,2,4)解：易得0,,12EFA1D3于是cosEF,A1D5EFA1D所以異面直線(xiàn)EF與A1D所成角的余弦值為35（2）證明：已知AF(1,2,1),EA11,3,ED1,1,4,022于是AF·EA1=0，AF·ED=0.所以，AFEA1,AFED,又EA1EDE所以AF平面A1EDuEF01yz0(3)解：設(shè)平面EFD的法向量u(x,y,z)，則2,即1uED0x0y2不如令X=1,可得u(1,21）。由（2）可知，AF為平面A1ED的一個(gè)法向量。10于是cosu,AF=uAF=253，進(jìn)而sinu,AF=3|u|AF|所以二面角A1-ED-F的正弦值為53方法二：（1）解：設(shè)AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=12鏈接B1C,BC1，設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1D∥B1C，由CE=CF=1,可知EF∥BC1.故CBCC14BMC是異面直線(xiàn)EF與A1D所成的角，易知1,所以BM=CM=52B1C=cBMCoBM2CMBC23s52BMCM

2,所以異面直線(xiàn)FE與A1D所成角的余弦值為35（2）證明：連結(jié)AC，設(shè)AC與DE交點(diǎn)N因?yàn)镃DEC1，BCAB2所以RtDCERtCBA，進(jìn)而CDEBCA，又因?yàn)镃DECED90,所以BCACED90，故AC⊥DE,又因?yàn)镃C⊥DE且CC1ACC，所以DE⊥平面ACF，1進(jìn)而AF⊥DE.連結(jié)BF，同理可證B1C⊥平面ABF,進(jìn)而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因?yàn)镈EA1DD，所以AF⊥平面A1ED(3)解：連結(jié)A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DENF,DE⊥A1N,故A1NF為二面角A1-ED-F的平面角易知RtCNERtC，B所以CNEC，又AC5所以CN5，在BCAC5RtNCF中，NFCF2CN230在RtA1AN中NA1A1A2AN243055111AC112C1F214連結(jié)AC,AF在RtAC11F中，A1F11在中，A1N2FN2A1F22。所以sinANF5RtA1NFcosA1NF2A1NFN313所以二面角A1-DE-F正弦值為

53（20）本小題主要觀(guān)察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線(xiàn)的方程，平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)及數(shù)形聯(lián)合的思想，觀(guān)察運(yùn)算和推理能力，滿(mǎn)分12分（1）解：由ec3，得3a24c2，再由c2a2b2，得a2ba2由題意可知，12b4,即ab22a2a2b解方程組得a=2,b=1ab22所以橢圓的方程為xy214(2)解：由（1）可知A（-2,0）。設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1,,y1）,直線(xiàn)l的斜率為k，則直線(xiàn)l的方程為y=k(x+2),yk(x2)于是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)知足方程組x21y24由方程組消去Y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0由2x116k224,得14k28k2,進(jìn)而y14k2,x14k24k11設(shè)線(xiàn)段AB是中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為(8k22,2k2)14k14k以下分兩種狀況：（1）當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）。線(xiàn)段AB的垂直均分線(xiàn)為y軸，于是QA(2,y0),QB(2,y0）由QAQB=4，得y0=2212（2）當(dāng)K0時(shí)，線(xiàn)段AB的垂直均分線(xiàn)方程為Y2k21(x8k22)14kk14k令x=0，解得y06k4k21由QA(2,y0),QB(x1,y1y0）QAQB2x1y0(y1y0）=2(28k2)6k(4k6k2)14k214k24k214k1=4(16k415k21)4(14k2)2整理得7k22,故k14所以y0=21475綜上y=22或y=214005（21）本小題主要觀(guān)察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單一性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，觀(guān)察運(yùn)算能力及用函數(shù)思想分析解決問(wèn)題的能力，滿(mǎn)分14分（Ⅰ）解：f’(x)(1x)ex令f’(x)=0,解得x=1當(dāng)x變化時(shí)，f’(x)，f(x)的變化狀況以下表X(,1)1(1,)f’(x)+0-f(x)極大值所以f(x)在(,1)內(nèi)是增函數(shù)，在(1,)內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)f(x)在x=1處獲得極大值f(1)且f(1)=1e（Ⅱ）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)ex2令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)xex(x2)ex2于是F'(x)(x1)(e2x21)ex13當(dāng)x>1時(shí)，2x-2>0,進(jìn)而e2x-210,又ex0,所以F’(x)>0,進(jìn)而函數(shù)F（x）在[1,+∞)是增函數(shù)。又F(1)=e-1e-10，所以x>1時(shí)，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).Ⅲ)證明：（1）若(x11)(x21)0,由（）及f(x1)f(x2),則x1x21.與x1x2矛盾。（2）若(x11)(x21)0,由（）及f(x1)f(x2),得x1x2.與x1x2矛盾。依據(jù)（1）（2）得(x1)(x21)0,不如設(shè)x1,x21.11由（Ⅱ）可知，f(x2)>g(x2),則g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)>f(2-x2),進(jìn)而f(x1)>f(2-x2).因?yàn)閤21，所以2x21，又由（Ⅰ）可知函數(shù)f(x)在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)事增函數(shù)，所以x1>2x2,即x1x2>2.(22)本小題主要觀(guān)察等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，觀(guān)察運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力及分類(lèi)討論的思想方法。滿(mǎn)分14分。（Ⅰ）證明：由題設(shè)，可得a1a4k,kN*。2k2k1所以a2k1a1(a2k1a2k1)(a2k1a2k3)...(a3a1)=4k4(k1)...41=2k(k+1)由a=0，得a2k(k1),進(jìn)而aa2k2k2,a2(k1)2.12k12k2k12k2于是a2k1k1,a2k2k1,所以a2k2a2k1。a2kka2k1ka2k1a2k所以dk2k時(shí)，對(duì)隨意kN*,a,a,a成等比數(shù)列。2k2k12k2（Ⅱ）證法一：（i）證明：由a2k1,a2k,a2k1成等差數(shù)列，及a2k,a2k1,a2k2成等比數(shù)列，得2aaa2k,2a2k1a2k11qk2k2k11a2ka2kqk1當(dāng)q1≠1時(shí)，可知qk≠1，kN*14進(jìn)而111即111(k2)qk1211qk11qk1qk11qk1所以1是等差數(shù)列，公差為1。qk1（Ⅱ）證明：a10，a22，可得a34，進(jìn)而q141=1.由（Ⅰ）有2,q12111k1k,得qkk1,kN*qk1k所以a2k2a2k1k1,進(jìn)而a2k2（2）,kN*k1a1aka2kk22k2k所以，aaak2(k2222*a2k2k.2k2....4.a1)...2k.aa.k12k(k1),kN2.22.22ka2k2a2k42(k1)(k2)12k1ka2以下分兩種狀況進(jìn)行討論：（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m(mN*)若m