通信原理-信號

第2章信號與噪聲分析

2.1通信常用信號和系統(tǒng)響應(yīng)2.2信號頻譜分析概述2.3隨機變量的統(tǒng)計特性2.4隨機過程

返回主目錄通信過程是有用信號通過通信系統(tǒng)的過程，且在通信系統(tǒng)各點常常伴隨有噪聲的加入及此加入噪聲在系統(tǒng)中的傳輸。由此看來，分析與研究通信系統(tǒng)，總離不開對信號和噪聲的分析。實際的信號通常是隨機的，加之通信系統(tǒng)中普遍存在的噪聲都是隨機的，所以對隨機信號的分析是非常重要的。從統(tǒng)計數(shù)學(xué)的觀點看，隨機信號和噪聲統(tǒng)稱為隨機過程。因此，統(tǒng)計數(shù)學(xué)中有關(guān)隨機過程的理論可以運用到隨機信號和噪聲的分析中來。本章將在先修課程的基礎(chǔ)上，首先介紹通信系統(tǒng)常用信號并對確知信號的分析作必要的復(fù)習(xí)鞏固，然后在復(fù)習(xí)概率論基本概念的基礎(chǔ)上，討論隨機信號和噪聲的數(shù)學(xué)模型——隨機過程。2.1通信常用信號和系統(tǒng)響應(yīng)2.1.1常用信號由語音、圖像、數(shù)碼等形成的電信號，其形式可以是多種多樣的，從不同的角度進行分類可以得出各種不同的名稱。但是從信號數(shù)學(xué)分析的角度來說，通常采用下面的幾種分類。⑴數(shù)字信號與模擬信號⑵確知信號與隨機信號⑶周期信號與非周期信號⑷能量信號與功率信號在通信過程中，信號的變換和傳輸是由系統(tǒng)完成的。系統(tǒng)是指包括有若干元件或若干部件的設(shè)備。系統(tǒng)有大有小，大到由很多部件組成的完整系統(tǒng)，小到由具體幾個電路組成的部件。信號在系統(tǒng)中的變換和傳輸可用圖2.1表示，圖中假設(shè)輸入信號為x(t)，通過系統(tǒng)后得到的輸出響應(yīng)為y(t)。從數(shù)學(xué)的觀點來看，和之間存在著如下的函數(shù)關(guān)系：

y(t)=f[x(t)]圖2.1系統(tǒng)示意圖

2.1.2系統(tǒng)響應(yīng)⑴線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)

一個系統(tǒng)如果是線性的，那么疊加原理一定適用。對于線性系統(tǒng)而言，一個激勵的存在并不影響另一個激勵的響應(yīng)。

⑵時不變與時變系統(tǒng)

時不變系統(tǒng)也稱恒參系統(tǒng)，時變系統(tǒng)也稱變參（隨參）系統(tǒng)。2.2信號頻譜分析概述我們知道，信號可以分為確知信號和隨機信號。對于確知信號，頻譜分析是研究它的有效工具；對于隨機信號，則要用統(tǒng)計的方法來分析。本節(jié)將主要介紹確知信號的頻譜分析方法。

2.2.1周期信號

⑴基本表示式任意一個周期為的周期函數(shù)可以展開為傅立葉級數(shù)：

⑵余弦函數(shù)表示式

⑶指數(shù)函數(shù)表示式

2.2.2信號的傅立葉變換f(t)的傅立葉（Fourier）變換式它把一個時間域內(nèi)的函數(shù)變換為頻率域內(nèi)的函數(shù)。為F(ω)的傅立葉逆變換式本課程中常用的信號有矩形脈沖、升余弦脈沖、三角形脈沖、沖擊函數(shù)等

2.2.3信號的能量譜與功率譜

1.功率和能量的一般計算公式前面討論了周期信號和非周期信號的時域和頻域的關(guān)系。時間信號的另一個重要特性是能量或功率隨頻率分布的關(guān)系，即能量譜密度或功率譜密度。

2.帕塞瓦爾定理

⑴對于能量信號

⑵對于周期性功率信號

帕塞瓦爾定理不但把一個信號能量或功率的計算和頻譜函數(shù)或頻譜聯(lián)系起來，而且給出一個很重要的概念，即能量信號的總能量等于頻域內(nèi)各個頻率分量單獨貢獻出來的能量的積分，而周期性功率信號的平均功率等于各個頻率分量單獨貢獻出來的平均功率的和。

3.能量譜密度和功率譜密度

設(shè)能量以E表示，功率以P表示，如果在頻域內(nèi)有:式中，則稱為能量譜密度函數(shù)，而稱為功率譜密度函數(shù)。

4.信號帶寬

幾乎所有實際的信號，其能量或功率的主要部分往往集中在一定的頻率范圍之內(nèi)，超出此范圍的成分將大大減小。這個頻率范圍通常用信號的帶寬來描述。信號帶寬是由信號能量譜密度或功率譜密度在頻域的分布規(guī)律確定的，信號帶寬的符號用B表示，單位為Hz。

從理論上講，除了極個別的信號外，信號的頻譜都是分布得無窮寬的。實際上，一般信號雖然頻譜很寬，但絕大部分使用信號的主要能量或功率都是集中在某一個不太寬的頻率范圍以內(nèi)的，因此通常根據(jù)信號能量或功率集中的情況，恰當(dāng)?shù)亩x信號的帶寬。常用的定義有以下三種：

⑴根據(jù)占總能量或總功率的百分比定義帶寬

⑵根據(jù)能量譜或功率譜從最大值下降3dB處所對應(yīng)的頻率間隔定義帶寬

⑶等效矩形帶寬

2.2.4波形的相關(guān)

波形的相關(guān)是研究波形間的相關(guān)程度，包括互相關(guān)和自相關(guān)，波形間相關(guān)的程度用相關(guān)函數(shù)、歸一化相關(guān)函數(shù)和相關(guān)系數(shù)來表示。而波形間相關(guān)程度的相關(guān)函數(shù)又與功率譜密度或能量譜密度有聯(lián)系。1.互相關(guān)函數(shù)

2.自相關(guān)函數(shù)

如果兩個信號的信號完全相同，此時互相關(guān)函數(shù)就變成自相關(guān)函數(shù)3.歸一化相關(guān)函數(shù)和相關(guān)系數(shù)

歸一化自相關(guān)函數(shù)定義為

歸一化互相關(guān)函數(shù)定義為互相關(guān)系數(shù)定義為

4.相關(guān)函數(shù)與譜密度的關(guān)系

相關(guān)函數(shù)的物理概念，雖然建立在信號的時間波形之間，但相關(guān)函數(shù)與能量譜密度或功率譜密度之間卻有著確定的關(guān)系，因而可以由其中一個求出另一個。信號的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度互為傅立葉變換關(guān)系

通常稱為維納－辛欽（Wiener-Khintchine）關(guān)系。

2.3隨機變量的統(tǒng)計特性

實際通信系統(tǒng)中由信源發(fā)出的信息是隨機的，或者說是不可預(yù)知的，因而攜帶信息的信號也都是隨機的，例如語音信號、數(shù)字信號等，這種信號稱為隨機信號。由于隨機信號和噪聲在波形上的隨機性，不可能用一個或幾個時間函數(shù)準(zhǔn)確的描述。但這也不是說隨機波形就毫無規(guī)律。人們經(jīng)過大量實踐發(fā)現(xiàn)單個隨機信號的確存在隨意性，但同類大量的隨機信號卻存在著某種完全確定的規(guī)律性，這種規(guī)律性通常稱為統(tǒng)計規(guī)律性，可以用概率統(tǒng)計的方法來研究。

2.3.1隨機事件與概率

事件和概率自然界和人類社會中有一類現(xiàn)象，我們可以預(yù)言它在一定條件下是否會出現(xiàn)。例如，重物讓它自由下落必然是垂直下落。純水在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下加熱到100℃必然會沸騰。這種在一定條件下必然會發(fā)生的事件稱為必然時間。反之，在一定條件下必然不會發(fā)生的事件稱為不可能事件。

但是，自然界中還存在著與決定性現(xiàn)象有著本質(zhì)區(qū)別的現(xiàn)象。例如，拋一枚硬幣，假定其不能直立，則可能正面朝上，也可能反面朝上；某地區(qū)在將來某一時刻可能下雨，也可能不下雨；向一目標(biāo)進行射擊可能擊中，也可能擊不中目標(biāo)等等。這些在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象

隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗表現(xiàn)出來的。我們稱一個試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件為該試驗的隨機事件，以下簡稱為事件，通常用字母、B、C…來表示，稱該試驗可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果為試驗的基本事件。

基本事件的全體組成的集合稱為該試驗的樣本空間。一個隨機試驗可能出現(xiàn)各種各樣的隨機事件，但是僅僅知道它可能發(fā)生那些事件并沒有多大意義，重要的是要掌握這些事件發(fā)生的可能性有多大，描述事件出現(xiàn)可能性大小的量稱為概率。

2.3.2隨機變量與概率分布

隨機變量在許多實際問題中，隨機試驗的結(jié)果常常是一些數(shù)，例如，試驗“記錄某電話交換臺在1分鐘內(nèi)所接到電話呼叫次數(shù)”，該試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果是一整數(shù)；又如，試驗“記錄某工廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命”，該試驗可能出現(xiàn)的每個結(jié)果是一非負(fù)實數(shù)。有些隨機試驗，其試驗的結(jié)果雖然不是數(shù)，但總可以設(shè)法使其與唯一的實數(shù)對應(yīng)起來，例如，擲一硬幣出現(xiàn)正面反面的隨機試驗，規(guī)定數(shù)值1表示出現(xiàn)反面，數(shù)值0表示出現(xiàn)正面。

這樣，不管隨機試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果是否為實數(shù)，我們總可以在試驗的樣本空間上定義一個映射，使試驗可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果與唯一的實數(shù)對應(yīng)起來，為此給出如下定義：一個隨機試驗，設(shè)是其樣本空間，如果對每一個，有唯一的實數(shù)與之對應(yīng)，我們就得到了一個定義在上的實值函數(shù)，稱為此試驗的一個隨機變量。

2.隨機變量的分布函數(shù)對于隨機試驗僅知道它可能出現(xiàn)什么樣的隨機事件并不重要，重要的是知道這些事件出現(xiàn)的可能性有多大。引入隨機變量后，我們不僅關(guān)心取什么數(shù)為值，更重要的是知道它取某些數(shù)值的可能性大小，也就是說，要關(guān)心它以多大的概率取某些數(shù)為值。

設(shè)X是一個隨機變量，x是任一實數(shù)。定義隨機變量的分布函數(shù)F(x)是X的取值小于或等于x的概率，即

（2.3-11）從定義可知，隨機變量X的分布函數(shù)F(x)是在整個實數(shù)軸上定義的。F(x)在x處的函數(shù)值表示隨機變量X在(-∞,x]上取值的概率。

連續(xù)型和離散型隨機變量常見的隨機變量有兩種類型：連續(xù)型隨機變量和離散型隨機變量。如果隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)的，則稱是連續(xù)型隨機變量。連續(xù)型隨機變量的值可能充滿實數(shù)軸上的某個空間，甚至于整個實數(shù)軸。

2.3.3隨機變量的數(shù)字特征

如果要完整的表述一個隨機變量的統(tǒng)計特性，就必須知道這個隨機變量的分布函數(shù)或概率密度函數(shù)。但是，在許多實際問題中，往往并不關(guān)心隨機變量的概率分布，而只關(guān)心它的某些特征。例如，隨機變量的數(shù)學(xué)期望（或簡稱均值），它能夠反映隨機變量取值的集中位置；隨機變量的方差，它能夠反映隨機變量取值的集中程度；兩個隨機變量的相關(guān)系數(shù)，它能夠反映這兩個隨機變量之間的相關(guān)程度等等。這些表述隨機變量“某些特征”的數(shù)，就稱之為隨機變量的數(shù)字特征。

1.數(shù)學(xué)期望隨機變量所有可能的取值和它對應(yīng)概率之積的和（或連續(xù)和）稱為該隨機變量的數(shù)學(xué)期望，記為EX、EY等。數(shù)學(xué)期望表示隨機變量的統(tǒng)計平均值。設(shè)P(xi)(i=1，2，…n）是離散型隨機變量X取值xi的概率，則其數(shù)學(xué)期望

（2.3-42）它實際上就是對隨機變量的加權(quán)求和，加權(quán)值就是各個可能值出現(xiàn)的概率。對于連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望可以用