函數(shù)的基本性質(zhì)

第三節(jié)函數(shù)的基本性質(zhì)一、有界性二、單調(diào)性三、奇偶性四、周期性一、有界性設(shè)函數(shù)y=f(x)的在集合Ｄ內(nèi)有定義，如果存在正數(shù)M，使得對(duì)于任意的，都有成立，則稱f(x)在Ｄ內(nèi)有界，或稱f(x)為Ｄ內(nèi)的有界函數(shù)，如果這樣的M不存在，就稱函數(shù)f(x)在Ｄ內(nèi)無(wú)界.如果M為f(x)的一個(gè)界，易知比M大的任何一個(gè)正數(shù)都是f(x)的界.如果f(x)在Ｄ內(nèi)無(wú)界，那么對(duì)于任意一個(gè)給定的正數(shù)M，Ｄ中總有相應(yīng)的點(diǎn)，使得.當(dāng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有界時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖形恰好位于直線y=M和y=–Ｍ之間.這里?。?1.函數(shù)y=sinx的圖形位于直線y=1與y=–1之間.例如，函數(shù)f(x)=sinx在內(nèi)是有界的.

這是因?yàn)閷?duì)于任意的，都有成立，應(yīng)該注意，函數(shù)的有界性，不僅僅要注意函數(shù)的特點(diǎn)，還要注意自變量的變化范圍Ｄ.例如，函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)是有界的.事實(shí)上，若?。?1，則對(duì)于任何而在區(qū)間(0,1)內(nèi)是無(wú)界的.二、單調(diào)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義(即Ｉ是函數(shù)y=f(x)的定義域或者是定義域的一部分).如果對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，均有則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ｉ上單調(diào)增加(或單調(diào)減少).則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ｉ上嚴(yán)格單調(diào)增加(或嚴(yán)格單調(diào)減少).如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)，當(dāng)均有嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)的圖形是沿x

軸正向上升的；嚴(yán)格單調(diào)減少的函數(shù)的圖形是沿x

軸正向下降的；例如，函數(shù)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)增加的.函數(shù)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)減少的，在區(qū)間上是嚴(yán)格單調(diào)增加的,而在區(qū)間內(nèi)則不是單調(diào)函數(shù).三、奇偶性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，即當(dāng)時(shí)，有.則稱f(x)為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱；如果對(duì)于任意的，均有如果對(duì)任意的,均有就稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.例1

討論下列函數(shù)的奇偶性:解設(shè)函數(shù)y=f(x)在Ｄ內(nèi)有定義,如果存在正常數(shù)

T,使得對(duì)于Ｄ內(nèi)的任何x，恒有

f(x+T)=f(x)四、周期性

顯然，若T是f(x)的周期，則kT也是f(x)的周期(k=1,2,3)，通常我們說(shuō)的周期就是指最小正周期.成立，則稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，T為f(x)的周期.例如，函數(shù)y=sinx及y=cos

x