宏觀交通流模型

宏觀交通流模型采礦03-2班張立明8號一.問題提出各種交通工具沿公路行駛所形成的交通流,猶如血液在血管中流動,維護越來越擁擠的交通大動脈的安全和暢通已成為世人關注的焦點問題.

最新成果如采用計算機監(jiān)控公路情況,以及使用衛(wèi)星定位系統(tǒng)“導航”公交汽車等.二.模型分析微積分知識是求解此模型的基礎,將它作為此模型求解的工具.三.模型假設1.基本量假設:

如圖:第i輛汽車用xi表示,其位置,速度和加速度為xi(t),xi’(t),xi”(t)2.連續(xù)性假設:

此假設是把交通流作為連續(xù)流處理的最基本的假設,即所研究對象是在無窮長公路上單向運動的一條車流.無中途暫停流入,流出等情況,xi1x不容許超車從而排除了在某些坐標點有兩個不同速度的出現(xiàn).3.函數(shù)假設:

對此模型總體特征的三個重要函數(shù):(1).流量q(x,t)為t時刻點x處單位時間內(nèi)所通過的汽車數(shù).(2).速度v(x,t)為t時刻通過點x出的車流速度.(3).密度ρ(x,t)為t時刻內(nèi)單位長度內(nèi)的車輛數(shù).四.構(gòu)模與求解由于x處t時刻的交通流量為每單位時間q輛,因而在?t內(nèi)通過的汽車數(shù)量為q*?t,而相同時間段內(nèi)速度v的車經(jīng)過的距離為v*?t,這樣,根據(jù)密度概念可知通過此段距離內(nèi)的車輛數(shù)恰好是ρ*?t,根據(jù)連續(xù)性假設,必有:

q(x,t)*?t=ρ(x,t)*v(x,t)?t

即得交通流方程:

q(x,t)=ρ(x,t)*v(x,t)-----------<1>它表示x處單位時間內(nèi)通過的車輛數(shù)(流量).等于單位長度內(nèi)的車輛數(shù)(密度)與車流速度的乘積.

通過研究ρ,v的關系來得出q的大小.

研究ρ-v關系要利用守恒律,即汽車進出某段路的數(shù)量保持不變.令t時區(qū)間[a,b]內(nèi)的汽車數(shù)為N(t),并由于t時單位時間經(jīng)過a,b處的流量為q(a,t)和q(b,t),從而有

N’(t)=q(a,t)-q(b,t)=-∫?q/?x

dx

ab同時又有:

N(t)=∫ρ(x,t)

dx兩邊求導得;

N’(t)=d∫ρ(x,t)dx/dt=∫?ρ/?tdx由守恒可得:

?ρ(x,t)/?t+?q(x,t)/?x=0-----<2>

這一結(jié)果表明:q=q(ρ),

令dq/dρ=K(ρ)

則由<2>式可得:aababb?ρ/?t+K(ρ)?ρ/?x=0

ρ(x,0)=g(x)

其中g(x)為初始密度.此情況下確定的ρ(x,t)可刻畫出任意時刻公路上各處的車流狀況.t>0,-∞<x<+∞以上分析也不難看出有v=v(ρ),實際上汽車駕駛員隨時需對周圍擁擠情況,即交通密度的變化所引起的外界刺激作出反應.根據(jù)常識,行駛中車流速度總是伴隨著密度的增加而減少.在確定ρ-v關系時,首先想到兩個極端情況:當公路無車或極稀少時,可視作ρ=0,此時汽車自然可以最大速度v

=v

m行駛,而當車流密度最大ρm時,則會發(fā)生堵塞.上述分析可以概括為:

V’(ρ)≤0

ρ(0)=vm

v(ρm)=0

q(0)=q(ρ

m)=0

q(ρ)>0,當o<ρ<ρm時．最大流量qm又稱為公路容量．據(jù)此，所作的ρ–v曲線如圖上曲線：pm0pvmv=v(ρ)若設v(ρ)=vm*

(1-ρ/ρm)(