第8章 微專(zhuān)題進(jìn)階課 8 拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦的四個(gè)結(jié)論- 新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) Word教參

PAGEPAGE5拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦的四個(gè)結(jié)論設(shè)AB是過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2.(2)|AF|＝eq\f(p,1－cosθ)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosθ).(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直線(xiàn)AB的傾斜角)．(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值(F是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn))．過(guò)拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于()A．4 B．eq\f(9,2)C．5 D．6【一般解法】易知直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)為k，則其方程為y＝k(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1.①因?yàn)閨AF|＝2|BF|，由拋物線(xiàn)的定義得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②由①②解得xA＝2，xB＝eq\f(1,2)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝eq\f(9,2).【應(yīng)用結(jié)論】(方法一)由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸的上方，如圖．設(shè)A，B在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別為D，C，作BE⊥AD于E.設(shè)|BF|＝m，|AF|＝2m，直線(xiàn)l的傾斜角為θ，則|AB|＝3m.由拋物線(xiàn)的定義知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cosθ＝eq\f(|AE|,|AB|)＝eq\f(1,3)，所以sin2θ＝eq\f(8,9).又y2＝4x，所以2p＝4，利用弦長(zhǎng)公式|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)＝eq\f(9,2).(方法二)因?yàn)閨AF|＝2|BF|，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,2|BF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(3,2|BF|)＝eq\f(2,p)＝1，解得|BF|＝eq\f(3,2)，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq\f(9,2).設(shè)F為拋物線(xiàn)C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線(xiàn)交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32) D.eq\f(9,4)【一般解法】由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，因此直線(xiàn)AB的方程為y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，即4x－4eq\r(3)y－3＝0.與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)得4y2－12eq\r(3)y－9＝0，所以yA＋yB＝3eq\r(3)，yAyB＝－eq\f(9,4).故|yA－yB|＝eq\r(yA＋yB2－4yAyB)＝6.因此S△OAB＝eq\f(1,2)|OF||yA－yB|＝eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×6＝eq\f(9,4).【應(yīng)用結(jié)論】由2p＝3，及|AB|＝eq\f(2p,sin2α)，得|AB|＝eq\f(2p,sin2α)＝eq\f(3,sin230°)＝12.原點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離d＝|OF|·sin30°＝eq\f(3,8)，故S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×12×eq\f(3,8)＝eq\f(9,4).如圖，過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線(xiàn)l于點(diǎn)C.若F是AC的中點(diǎn)，且|AF|＝4，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為()A．5 B．6C．eq\f(16,3) D．eq\f(20,3)【一般解法】如圖，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l交l于點(diǎn)D.由拋物線(xiàn)的定義知，|AD|＝|AF|＝4.因?yàn)镕是AC的中點(diǎn)，所以|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為y2＝4x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2eq\r(3)，所以A(3,2eq\r(3))．又F(1,0)，所以直線(xiàn)AF的斜率k＝eq\f(2\r(3),3－1)＝eq\r(3)，所以直線(xiàn)AF的方程為y＝eq\r(3)(x－1)．代入拋物線(xiàn)方程y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝eq\f(10,3)，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(16,3).【應(yīng)用結(jié)論】前面同一般解法，求得拋物線(xiàn)的方程為y2＝4x.(方法一)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3.又x1x2＝eq\f(p2,4)＝1，所以x2＝eq\f(1,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋eq\f(1,3)＋2＝eq\f(16,3).