空間中直線與直線之間的位置關系

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系學習目標:1、熟練掌握異面直線定義；2、理解掌握空間兩直線的位置關系;3、熟練掌握平行公理4，并會簡單應用;4、理解掌握等角定理及其推論;5、熟練掌握異面直線所成角定義；6、掌握求兩異面直線所成角的方法。重點：1、異面直線的概念；2、公理4及等角定理的應用。難點：異面直線所成角的計算。相交平行相交（有一個公共點）平行（無公共點）aboab一、復習與準備：平面內兩條直線的位置關系

那空間中兩直線還有沒有其他的位置關系呢？思考看一下生活中的例子：立交橋中,兩條路線AB,CDABCD思考一

2.平移a,b兩條直線，它們能完全重合嗎？找不到一個平面使得直線a,b在同一共面內！結論ab1.直線a,b相交嗎？不相交不平行3.能否找到一個平面,

使得a,b兩條直線都在這個平面內？不同在

一個平面內的兩條直線叫做異面直線。1.異面直線的定義:定義中是指“任何”一個平面，是指找不到一個平面，使這兩條直線在這個平面上,這樣的兩條直線才是異面直線。注1例子：如圖,在長方體中，與AE異面的直線有？判斷AB與HG是不是異面直線？ABGFHEDCAB與HG不是異面直線。任何二、合作探究2.異面直線的畫法αab圖1αβba圖2αab圖3判斷題1平面內的一條直線和平面外的一條直線是異面直線。ba答：錯。a與b是相交直線a與b是平行直線a與b是異面直線abM答：不一定：它們可能異面，可能相交，也可能平行。

分別在兩個平面內的兩條直線一定異面。abab判斷題2注2在不同平面內的兩條直線不一定異面。①從有無公共點的角度：有且僅有一個公共點---------相交直線在同一平面內--------相交直線②從是否共面的角度沒有公共點---------平行直線異面直線不同在任何一個平面內---------異面直線平行直線若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線異面或平行

3.空間兩條直線的位置關系及其分類4、平行直線公理４平行同一條直線的兩條直線互相平行.符號表示：設a，b，c為直線a∥bc∥ba∥cabc(空間、平面平行線的傳遞性)公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。思考：在平面內我們知道平行于同一直線的兩條直線相互平行。那么在空間中成立嗎？例題示范例1：在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。分析：欲證EFGH是一個平行四邊形只需證EH∥FG且EH＝FGE，F(xiàn)，G，H分別是各邊中點連結BD,只需證：EH∥BD且EH＝BDFG∥BD且FG＝BDAB

DEFGHC證明：∵EH是△ABD的中位線

∴EH∥BD且EH=BD同理，F(xiàn)G∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一個平行四邊形連結BD思考:在平面上,我們容易證明“如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補”。在空間中,結論是否仍然成立呢?5.

等角定理定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。推論:如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個角相等.如圖所示，a，b是兩條異面直線，在空間中任選一點O，過O點分別作a，b的平行線a′和b′，abPa′b′O

則這兩條線所成的銳角θ（或直角），θ稱為異面直線a，b所成的角。？任選Oa′異面直線所成角θ的取值范圍：

平移6.

異面直線所成的角若兩條異面直線所成角為90°，則稱它們互相垂直。例2:

如圖表示一個正方體:(1)求直線BA1與CC1的夾角的度數(shù).(3)哪些棱所在的直線與直線AA1垂直？BACDA1B1C1D1典例剖析(2)求直線BA1與B1C的夾角的度數(shù).解：(1)由BB1//CC1可知，∠B1BA1為異面直線BA1與CC1的夾角，∠B1BA1=45度，所以直線BA1與CC1的夾角的度數(shù)為45度。

如圖,已知長方體ABCD-EFGH中,

AB=,AD=,AE=2

(1)求BC和EG所成的角是多少度?

(2)求AE和BG所成的角是多少度?(1)∵GF∥BC∴∠EGF為所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG為所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60o例3:ABGFHEDC2NEXTBACK求異面直線所成的角的步驟是:

一作(找)：作（或找）平行線二證：證明所作的角為所求的異面直線所成的角。三求：在一恰當?shù)娜切沃星蟪鼋亲?異面直線所成角的求法：1．正方體ABCD－A1B1C1D1中，與對角線AC1異面的棱有(

)A．3條

B．4條C．6條

D．8條解析：

在正方體中與AC1異面的棱有BC、CD、BB1、DD1、C1D1、A1D1共6條．答案：

C2．如果兩條直線a和b沒有公共點，則a和b(

)A．共面

B．平行C．異面

D．平行或異面答案：

DABC1B1A1DCD1三、鞏固練習：ABCDA1B1C1D1MN3、在空間四邊形ABCD中，已知E,F分別是AB,CD的中點，且EF=5,AD=6，BC=8，求AD與BC所成的角。4已知棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中M,N分別是棱CD,AD的中點。（1）求證：四邊形MNA1C1是梯形。（2）求證：∠DNM=∠D1A1C1==ABCDA1B1C1D1MN[解題過程]

證明：(1)(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因為ND∥A1D1，∴∠DNM與∠D1A1C1相等或互補．而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的銳角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線。異面直線的定義:相交直線

平行直線異面直線空間兩直線的位置關系四、課堂小結公理４：在空間平行于同一條直線的兩條直線互相平行