橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

?橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程?教案西吉中學(xué)王學(xué)玲一、教學(xué)目標(biāo)1．理解并掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程，并能進行簡單應(yīng)用．2．通過數(shù)形結(jié)合，教學(xué)生猜測，培養(yǎng)學(xué)生的探索發(fā)現(xiàn)能力．3．幫助學(xué)生樹立運動變化的觀點，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和進取精神．二、教學(xué)重點與難點橢圓的定義的理解及其標(biāo)準(zhǔn)方程記憶是本節(jié)重點，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)是難點．三、教學(xué)過程1、復(fù)習(xí)、引入問1：求曲線方程的步驟是什么？問2：我們剛剛觀察到的那幾個星球的運行軌跡是什么？2、新授問：滿足什么條件的點的軌跡是橢圓？圓是在平面上，到定點的距離等于定長的點的軌跡，那么，在平面上,到兩定點的距離和等于定長的點的軌跡是什么？問：是否到兩個定點距離之和等于定值的點的軌跡就一定是橢圓呢？說明：觀察計算機演示“通過兩焦點位置的改變而引起橢圓形狀變化的課件〞，首先從一個點分裂為兩個點，曲線從圓變成橢圓；隨著兩點間距離的增大，橢圓越來越扁，直到動點到此兩點距離之和恰好等于兩點間距離時，動點的運動曲線變成了線段，然后隨著兩點間距離的縮小，曲線再變成橢圓；當(dāng)兩點重合時，曲線又變成了圓，如此反復(fù)……從而啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓定義中的條件，然后師生共同小結(jié)?！?〕橢圓：把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2距離之和等于定值2a的點的軌跡叫做橢圓，其中2a＞|F1F2|．兩個定點叫做焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距，用2c(c＞0)表示．注：橢圓2a＞|F1F2|線段2a=|F1F2|無軌跡2a<|F1F2|〔2〕橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．問：此題應(yīng)如何建立坐標(biāo)系？建立直角坐標(biāo)系一般應(yīng)符合簡單和諧化的原那么，如使關(guān)鍵點的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線的斜率等)的表達式簡單化，注意要充分利用圖形的特殊性．大體上有如下三個方案：①取一個定點為原點，以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系；②以F1，F(xiàn)2所在直線為y軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標(biāo)系；③以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標(biāo)系。解

1)建系：以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)橢圓上任意一點的坐標(biāo)為M(x，y)，設(shè)兩定點坐標(biāo)為：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，2)那么M滿足：|MF1|+|MF2|=2a，4)化簡．a(chǎn)4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．點撥：到此我們已經(jīng)推導(dǎo)出了橢圓的方程，但此形式還不夠簡潔，且x，y的系數(shù)形式不一致，為了使方程形式和諧且便于記憶和使用，我們應(yīng)該如何將方程進行變形呢？(這里，數(shù)學(xué)審美成為研究發(fā)現(xiàn)的動力．)那我們不妨令b2=a2-c2，那么方程就變形為b2x2+a2y2=a2b2，如果再化簡，你會得到什么形式的方程呢？說明：1)方程中條件a＞b＞0不可缺少(結(jié)合圖形)，當(dāng)a=b＞0時，就化成圓心在原點的圓的方程，從而進一步說明圓是橢圓的特例；(這實際上是一種極限情況．)2)b的選取雖然是為了方程形式簡潔與和諧，但也有實際的幾何意義，即：b2=a2-c2；3)請學(xué)生猜測：假設(shè)用方案③(即焦點在y軸上)，得到的方程形式又如何呢？(啟發(fā)學(xué)生根據(jù)對稱性進行猜測)3、穩(wěn)固與練習(xí)練習(xí)：寫出適合以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)a=4，b-1，焦點在x軸上；(2)兩焦點分別是〔0,-2〕、〔0,2〕，且經(jīng)過點P(3)平面內(nèi)兩個定點間的距離為8，寫出到這兩個定點距離之和為10的點的軌跡方程例題:：△ABC的一邊長BC=6，周長為16，求頂點A的軌跡方程．4、小結(jié)(由師生共同完成)〔1〕．知識方面：橢圓的定義(要注意定義中的條件)以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程要注意焦點的位置與方程形式的關(guān)系；〔2〕能力方面：穩(wěn)固了求曲線方程的步驟與方法，要學(xué)會