全國(guó)中考數(shù)學(xué)圓的綜合的綜合中考真題分類匯總及詳細(xì)答案

一、圓的綜合真題與模擬題分類匯編(難題易錯(cuò)題)1.如圖1,直角梯形OABC中，BCIIOA,OA=6,BC=2,ZBAO=45°.(1)OC的長(zhǎng)為.D是OA上一點(diǎn)，以BD為直徑作OM,OM交AB于點(diǎn)Q.當(dāng)OM與y軸相切時(shí)，sinZBOQ=；如圖2,動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)O沿線段OA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)D以相同的速度，從點(diǎn)B沿折線B-C-O向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)P作直線PEIIOC,與折線O-B-A交于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒).求當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).3510【答案】(1)4；(2)5；(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,2)、(3，~)、(4,2).【解析】分析：(1)過點(diǎn)B作BH丄04于H,如圖1(1)，易證四邊形OCBH是矩形，從而有OC=BH,只需在△AHB中運(yùn)用三角函數(shù)求出BH即可.過點(diǎn)B作BH丄0A于H,過點(diǎn)G作GF丄0A于F,過點(diǎn)B作BR丄0G于尺，連接MN、DG,如圖1(2)，則有0H=2,BH=4,MN丄0C.設(shè)圓的半徑為r,貝MN=MB=MD=r.在RtABHD中運(yùn)用勾股定理可求出r=2，從而得到點(diǎn)D與點(diǎn)H重合.易證△AFG~△ADB，從而可求出AF、GF、0F、0G、0B、AB、BG.設(shè)0R=x，利用BR2=0B2-0R2=BG2-RG2可求出X,進(jìn)而可求出BR.在RtA0RB中運(yùn)用三角函數(shù)就可解決問題.由于△BDE的直角不確定，故需分情況討論，可分三種情況(①ZBDE=90°,②ZBED=90°,③ZDBE=90°)討論，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)等知識(shí)建立關(guān)于t的方程就可解決問題.詳解：(1)過點(diǎn)B作BH丄0A于H,如圖1(1)，則有ZBHA=90°=ZC0A,A0CIBH.TBCI0A,A四邊形0CBH是矩形，A0C=BH,BC=0H.0A=6,BC=2,AAH=0A-0H=0A-BC=6-2=4.TZBHA=90°,ZBA0=45°,BHAtanZBAH==1,ABH=HA=4,A0C=BH=4.HA故答案為4.(2)過點(diǎn)B作BH丄0A于H,過點(diǎn)G作GF丄0A于F,過點(diǎn)B作BR丄0G于R,連接MN、DG,如圖1(2).

由(1)得：0H=2,BH=4.v0C與OM相切于N,?.MN丄OC.設(shè)圓的半徑為r,則MN=MB=MD=r.vBC±OC,OA丄OC,???BCIIMNIIOA.1vBM=DM,CN=ON,AMN=—(BC+OD),AOD=2r-2,2adh=|OD-OH|=|2r-4.即點(diǎn)D與點(diǎn)H重合，ABD丄OA,BD=AD.解得：r=2,ADH=0vBD是OM的直徑,在RtABHD中，vzBHD=90°,A即點(diǎn)D與點(diǎn)H重合，ABD丄OA,BD=AD.解得：r=2,ADH=0vBD是OM的直徑,AZBGD=90°,即卩DG±AB,ABG=AG.vGF丄OA,BD丄vGF丄OA,BD丄OA,AGFIBD,A△AFG~△ADB,AFGFAG1ADBDAB21,AAF=2AD=2'1GF=2BD=2'A°F=4'AAOG=\OF2+GF2=弋42+22=2”5.同理可得：OB=2同理可得：OB=2、虧,AB=4邁,ABG=2AB=2^'2.設(shè)OR=x設(shè)OR=x，則RG=2弱-x.vBR丄OG,AzBRO=zBRG=9O°，ABR2=OB2-OR2=BG2-RG2，(2^2)2-(2j5-x)2.解得：x=855,ABR2=OB2-OR2=解得：x=855,ABR2=OB2-OR2=(2J5)22=36,ABR=蟲555BR^53在RtAORB中，sinZBOR==5=—OB不5故答案為5.(3)①當(dāng)ZBDE=90。時(shí)，點(diǎn)D在直線PE上,

此時(shí)DP=OC=4，BD+OP=BD+CD=BC=2，BD=t，如圖2.OP=t.則有2t=2.解得：t=1.則OP=CD=DB=1.DEBDvDEIIOC,A△BDE~△BCO,/1OCBC2，ADE=2，AEP=2,A點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，2）.②當(dāng)ZBED=90°時(shí)，如圖3.vZDBE=OBC,ZDEB=ZBCO=9O°,A△DBE-△OBC,BEDB?匹去,aBE擔(dān)t.BCOB22、】55vPEIOC,AZOEP=ZBOC.vZOPE=ZBCO=9O°,A△OPE-△BCO,OEOP,OEt~OB=BC'OEOP,OEt~OB=BC'*2七5=2???OE=、q5t.OE+BE=OB=2昂"5t+￥t=2\：5.解得：t=3,aop=3aPE=OE2—OP2=￥，510A點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5,上）.33③當(dāng)/DBE=90°時(shí)，如圖4.此時(shí)PE=PA=6-t,OD=OC+BC-t=6-t.則有OD=PE,EA=^PeTTpa2=邁（6-t）=6邁-<'2?t,ABE=BA-EA=4邁-（6邁-邁t）=邁t-2邁.TPEIIOD,OD=PE,ZDOP=90°,A四邊形ODEP是矩形，ADE=OP=t,DEIOP,AZBED=ZBAO=45°.BEADE=41be,在rzbe中,coszADE=41be,Ar=K21-2邁）=2t-4.解得：t=4,AOP=4,PE=6-4=2,A點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4,2）.綜上所述：當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,2）、5104,25104,2）.點(diǎn)睛：本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、平行線分線段成比例、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),還考查了分類討論的數(shù)(3)在(1(3)在(1)的條件下，記AB=a，圉E備用圖答用圖學(xué)思想，有一定的綜合性．2．定義：有一個(gè)角是其鄰角一半的圓內(nèi)接四邊形叫做圓內(nèi)倍角四邊形．(1)如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于OO,ZDCB-ZADC=ZA,求證：四邊形ABCD為圓內(nèi)接倍角四邊形；(2)在(1)的條件下,OO半徑為5．若AD為直徑，且sinA=5，求BC的長(zhǎng)；若四邊形ABCD中有一個(gè)角為60°,且BC=CD，則四邊形ABCD的面積；BC=b，CD=c，AD=d，求證：d2-b2二ab+cd?75/375【答案】(1)見解析；(2)①BC=6,②或—；(3)見解析44【解析】【分析】先判斷出ZADC=180°-2ZA?進(jìn)而判斷出ZABC=2ZA,即可得出結(jié)論；①先用銳角三角函數(shù)求出BD,進(jìn)而得出AB,由(1)得出ZADB=ZBDC,即可得出結(jié)論；②分兩種情況：利用面積和差即可得出結(jié)論；先得出BE=BC=b,DE=DA=b，進(jìn)而得出CE=d-c，再判斷出△EBC-△EDA,即可得出結(jié)論?【詳解】設(shè)ZA=a，則ZDCB=180°-a.ZDCB-ZADC=ZA,二ZADC=ZDCB-ZA=180°-a-a=180°-2a,二ZABC=180°-ZADC=2a=2ZA,A四邊形ABCD是OO內(nèi)接倍角四邊形；①連接BD.4TAD是OO的直徑，AZABD=90°.在RtAABD中，AD=2x5=10,sinZA=_,BD=8，根據(jù)勾股定理得：AB=6，設(shè)ZA=a,AZADB=90°-a.由(1)知,ZADC=180°-2a,AZBDC=90°-a,AZADB=ZBDC,ABC=AB=6

②若/ADC=60。時(shí).T四邊形ABCD是圓內(nèi)接倍角四邊形，二ZBCD=120或BAD=30°.I、當(dāng)/BCD=120°時(shí)，如圖3,連接OA,OB,OC,OD.1TBC=CD,???ZBOC=ZCOD,二ZOCD=ZOCB=ZBCD=60°,AZCDO=60°,AAD是OO2的直徑，（為了說明AD是直徑，點(diǎn)O沒有畫在AD上）AZADC+ZBCD=180°,ABCIIAD,AAB=CD.TBC=CD,AAB=BC=CD,A△OAB,△BOC,△COD是全等的等邊三角形,AS四邊形375朽abcd=3S^aob=3x-^x52=4.口、當(dāng)ZBAD=30°時(shí)，如圖4,連接OA,OB,OC,OD.T四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，AZBCD=180°-ZBAD=150°.1TBC=CD,AZBOC=ZCOD,AZBCO=ZDCO=-ZBCD=75°,AZBOC=ZDOC=30°,2AZOBA=45°,AZAOB=90°．連接AC,AZDAC=2ZBAD=15°.TZADO=ZOAB-ZBAD=15°，AZDAC=ZADO,AODIAC，A'OAD呎OCD過點(diǎn)C作CH丄OB于H.15在RtAOCH中,CH=~OC=~，aS四邊形abcd=Sacod±S△boc+S^aobSaao$SSaao$S“boc+S、aob=5175x5+x5x5=-224故答案為：互3或罟;44延長(zhǎng)DC,AB交于點(diǎn)E.1T四邊形ABCD是OO的內(nèi)接四邊形，二ZBCE=ZA=-ZABC.2TZABC=ZBCE+ZA,ZE=ZBCE=ZA,BE=BC=b,DE=DA=b,CE=d-c.CEBCd—cbTZBCE=ZA,ZE=ZE,.△EBC~△EDA,.—,-——,-d2-AEAD…a+bd…b2=ab+cd.備用圖【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，新定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.3.如圖，3.如圖，AB是半圓O的直徑,C是；；?■的中點(diǎn)，D是「的中點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)E.（1）求證：BD平分ZABC；2）求證：BE=2AD；3)DE3)DE求~BE的值.答案】（1）答案見解析（2）BE=AF=2AD（3）【解析】試題分析：（1）根據(jù)中點(diǎn)弧的性質(zhì)，可得弦AD=CD，然后根據(jù)弦、弧、圓周角、圓心角的性質(zhì)求解即可；（2）延長(zhǎng)BC與AD相交于點(diǎn)F,證明△BCE竺△ACF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BE=AF=2AD；（3）連接OD,交AC于H.簡(jiǎn)要思路如下：設(shè)OH為1,則BC為2,OB=OD=^2,DH=—1,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求解.試題解析：（1）TD是i「的中點(diǎn)

AD=DCZCBD=ZABDBD平分ZABC(2)提示：延長(zhǎng)BC與AD相交于點(diǎn)F,證明△BCE竺△ACF,BE=AF=2AD(3)連接OD,交AC于H.簡(jiǎn)要思路如下:設(shè)OH為1,貝yBC為2，OB=OD=j2，DH=、：'DH=、：'2-1,DEDH~BE=~BCDE邁-1~BE=24.如圖，在AABC中，ZBAC二90。，AB=AC=邁,AD丄BC，垂足為D，過A,D的O0分別與AB,AC交于點(diǎn)E,F，連接EF,DE,DF.求證：AADE竺ACDF；當(dāng)BC當(dāng)BC與OO相切時(shí)，求OO的面積.、兀2【答案】⑴見解析；(2).4【解析】分析：(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)知AD=CD、Z1=ZC=45°,由ZEAF=90°知EF是OO的直徑，據(jù)此知Z2+Z4=Z3+Z4=90°，得Z2=Z3,利用"ASA”證明即可得；(2)當(dāng)BC與OO相切時(shí)，AD是直徑，根據(jù)ZC=45°、AC=脣'2可得AD=1，利用圓的面積公式可得答案.詳解：(1)如圖，TAB=AC，ZBAC=90°,.ZC=45°.1又：AD丄BC,AB=AC，.Z1=ZBAC=45°，BD=CD，ZADC=90°.又：ZBAC=90°,BD=CD,.AD=CD.

又：乙EAF=90°,???EF是OO的直徑,AZEDF=90°,二Z2+Z4=90°.又：乙3+Z4=90°,AZ2=Z3.在△ADE和厶CDF中.^Z1=ZC<AD=CD,A△ADE竺△CDF(ASA).Z2=Z3(2)當(dāng)BC與O(2)當(dāng)BC與OO相切時(shí)，AD是直徑.在RtAADC中，ZC=45°,AC=込，AsinZC=ACAAD=ACsinZC=1，aOO的半徑為2,n2AOO的面積為4點(diǎn)睛：本題主要考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn).5.等腰RtAABC和OO如圖放置，已知AB=BC=1,ZABC=90°,OO的半徑為1,圓心0與直線AB的距離為5.若厶ABC以每秒2個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，OO不動(dòng)，則經(jīng)過多少時(shí)間△ABC的邊與圓第一次相切？若兩個(gè)圖形同時(shí)向右移動(dòng)，△ABC的速度為每秒2個(gè)單位，OO的速度為每秒1個(gè)單位，則經(jīng)過多少時(shí)間△ABC的邊與圓第一次相切？若兩個(gè)圖形同時(shí)向右移動(dòng)，△ABC的速度為每秒2個(gè)單位，OO的速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)△ABC的邊長(zhǎng)AB、BC都以每秒0.5個(gè)單位沿BA、BC方向增大.△ABC的邊與圓器案】⑴字;(器案】⑴字;(2)5-邁;⑶20于2【解析】分析：(1)分析易得，第一次相切時(shí)，與斜邊相切，假設(shè)此時(shí)，△ABC移至△AZBZC'處，A'C'與OO切于點(diǎn)E,連0E并延長(zhǎng)，交BC于F.由切線長(zhǎng)定理易得CU的長(zhǎng)，進(jìn)而由三角形運(yùn)動(dòng)的速度可得答案；(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，根據(jù)題意得：CC'=2t,DD'=t，則C'D'=CD+DD'-CC'=4+t-2t=4-t,由第(1)的結(jié)論列式得出結(jié)果；（3）求出相切的時(shí)間,進(jìn)而得出B點(diǎn)移動(dòng)的距離．詳解：（1）假設(shè)第一次相切時(shí)，△ABC移至△A'B'C'處,設(shè)OO與直線丨切于點(diǎn)D,連接OD,則OE丄AC,OD丄直線1,由切線長(zhǎng)定理可知C'E=C'D,設(shè)C'D=x,則CzE=x,T△ABC是等腰直角三角形，ZA=ZACB=45°,ZA'C'B'=ZACB=45°,.△EFC'是等腰直角三角形，.C'F=f2x,ZOFD=45°,.△OFD也是等腰直角三角形，.OD=DF,.x+x=1,則x=J2-1,.CC'=BD-BC-C'D=5-1-（邁-1）=5^/2,.點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為572；2則經(jīng)過秒，△ABC的邊與圓第一次相切；2（2）如圖2,設(shè)經(jīng)過t秒厶ABC的邊與圓第一次相切，△ABC移至△ABC'處，OO與BC所在直線的切點(diǎn)D移至D'處，44BCDF0Dr圖2AC與OO切于點(diǎn)E,連OE并延長(zhǎng)，交BC于F,???CC'=2t,DD'=t,C'D'=CD+DD'-CC'=4+t-2t=4-t,由切線長(zhǎng)定理得C,E=C,D,=4-t,由(1)得：4-t=、；2-1,解得：t=5-力'2,答：經(jīng)過5_、［2秒厶ABC的邊與圓第一次相切；(3)由(2)得CC'=(2+0.5)t=2.5t,DD'=t,則C'D'=CD+DD'-CC'=4+t-2.5t=4-1.5t,由切線長(zhǎng)定理得C'E=C'D'=4-1.5t,由(1)得：4-1.5t=、；2-1,解得：t=102空,3???點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的距離為2xI0-2巨=20-°邁.點(diǎn)睛：本題要求學(xué)生熟練掌握?qǐng)A與直線的位置關(guān)系，并結(jié)合動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行綜合分析，比較復(fù)雜，難度較大，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的分析能力．6.如圖，RtAABC內(nèi)接于OO,AC=BC,ZBAC的平分線AD與OO交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BD，與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接CD,G是CD的中點(diǎn)，連接OG.⑴判斷OG與CD的位置關(guān)系，寫出你的結(jié)論并證明；(2)求證:AE=BF;⑶若OGDE=3(2-42)，求OO的面積.【答案】(1)OG丄CD(2)證明見解析(3)6n【解析】試題分析：(1)根據(jù)G是CD的中點(diǎn)，利用垂徑定理證明即可；(2)先證明△ACE與厶BCF全等，再利用全等三角形的性質(zhì)即可證明;構(gòu)造等弦的弦心距，運(yùn)用相似三角形以及勾股定理進(jìn)行求解．試題解析：(1)解：猜想0G丄CD.證明如下：如圖1,連接OC、OD.■:OC=OD,G是CD的中點(diǎn)，二由等腰三角形的性質(zhì)，有0G丄CD.證明：TAB是OO的直徑，???/ACB=90°，而/CAE=ZCBF(同弧所對(duì)的圓周角相等).在RtAACE和RtABCF中，TZACE=ZBCF=90°,AC=BC，ZCAE=ACBF，RtAACE^RtABCF(ASA)，?AE=BF.1解：如圖2,過點(diǎn)O作BD的垂線，垂足為H,則H為BD的中點(diǎn),?OH=亍AD,即AD=2OH，又ZCAD=ZBAD^￡D=BD,?OH=OG.在RtABDE和RtAADB中，BDDETZDBE=ZDAC=ZBAD,?RtABDE~RtAADB,?=，即BD2=AD?DE,ADDBBD2二AD-DE二2OG-DE=6(2—72).又BD=FD,?BF=2BD,BF2=4BD2=24(2—J2)①，設(shè)AC=x，則BC=x,AB=j2x.tAD是ZBAC的平分線，?ZFAD=ZBAD.在RtAABD和RtAAFD中，，:ZADB=ZADF=90°,AD=AD,ZFAD=ZBAD,?RtAABD=RtAAFD(ASA),?AF=AB=x,BD=FD,?CF=AF-AC=、遼x—x=(J2—1)x.在RtABCF中，由勾股定理，得：BF2=BC2+CF2=x2+(-;2—1)x]2=2(2-邁)x2②，由①、②，得2(2-邁)x2=24(2—J2),?X2=12，解得：x=2怎或-2忑(舍去)，AB=J2x=邁-2AB=J2x=邁-2運(yùn)=2、拓，?OO的半徑長(zhǎng)為<6,?SOO=n?(西)2=6n.GDAA0圖圖2點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題.解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì).7.如圖，AB是半圓O的直徑，半徑OC丄AB,OB=4,D是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是弧BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE,DE.當(dāng)點(diǎn)E是弧BC的中點(diǎn)時(shí)，求△ADE的面積；3若tanZAED=-，求ae的長(zhǎng)；(3)點(diǎn)F是半徑OC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E到直線OC的距離為口，當(dāng)厶DEF是等腰直角三角形時(shí)，求m的值.16【答案】(1)S=6、：2；(2)AE—5；(3)m=2\:3,m=2*2,ADE5m=\7—1.【解析】【分析】作EH丄AB,連接OE,EB,設(shè)DH=a，貝卩HB=2-a,0H=2+a，貝卩EH=0H=2+a,根據(jù)RtAAEB中，EH2=AH?BH,即可求出a的值，即可求出S“DE的值；AFAD作DF丄AE，垂足為F,連接BE,設(shè)EF=2x,DF=3x，根據(jù)DFIIBE故—詬,EFBD得出AF=6x，再利用RtAAFD中，AF2+DF2=AD2，即可求出x,進(jìn)而求出AE的長(zhǎng)；根據(jù)等腰直角三角形的不同頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論，分別求出m的值.【詳解】解：(1)如圖，作EH丄AB,連接OE,EB,設(shè)DH=a，貝卩HB=2-a,0H=2+a,T點(diǎn)E是弧BC中點(diǎn)，ZCOE=ZEOH=45°,EH=OH=2+a,在RtAAEB中，EH2=AH?BH,(2+a)2=(6+a)(2-a),解得a=±2p2—2,.a=2*2—2,EH=2邁,SADE=-ADEH—6邁;△ADE2(2)如圖，作DF丄AE,垂足為F,連接BE

設(shè)EF=2x,DF=3xTDFIIBE.AF_AD~E^~~BD.AF6…二廳=32x2.AF=6x在Rt△AFD中,AF2+DF2=AD2(6x)2+(3x)2=(6)2解得x=|<516(3)當(dāng)點(diǎn)D為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖J,AA~QDHB設(shè)DH=a由DF=DE,ZDOF=ZEHD=90°,ZFDO+ZDFO=ZFDO+ZEDH,ZDFO=ZEDH△ODF竺△HED.OD=EH=2在RtAABE中，EH2=AH?BH(2)2=(6+a)?(2-a)解得a=±2話3-2m=2^3當(dāng)點(diǎn)E為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖daDHB同理得△EFG竺△DEH

設(shè)DH=a，貝9GE=a,EH=FG=2+a在RtAABE中，EH2=AH?BH(2+a)2=(6+a)(2-a)解得a=±2\；'2-2m=2邁當(dāng)點(diǎn)F當(dāng)點(diǎn)F為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖同理得△EFM竺△FDO設(shè)OF=a,貝9ME=a,MF=OD=2EH=a+2在RtAABE中，EH2=AH?BH(a+2)2=(4+a)?(4-a)解得a=±j7-1m=J7-1【點(diǎn)睛】此題主要考查圓內(nèi)綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定與性質(zhì).8．定義：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三角形為“智慧三角形”.理解：⑴如圖］，已知二是OC上兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫A上找出滿足條件的點(diǎn)「，使丄二「為"智慧三角形"(畫出點(diǎn)「的位置，保留作圖痕跡)；⑵如圖在正方形上乂二中，三是三匚的中點(diǎn)，「是『二上一點(diǎn)，且二二二二二：；，試4判斷二三是否為"智慧三角形”，并說明理由；運(yùn)用：

⑶如圖5■，在平面直角坐標(biāo)系二?二中，的半徑為1,點(diǎn)€是直線「二匚上的一點(diǎn)，若在上存在一點(diǎn)戸，使得匕匚m?為“智慧三角形”，當(dāng)其面積取得最小值時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)-二的坐標(biāo).答案】（1）詳見解析；（答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；3）P的坐標(biāo)（（空3【解析】試題分析：（1）連結(jié)AO并且延長(zhǎng)交圓于C1,連結(jié)BO并且延長(zhǎng)交圓于C2,即可求解；（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a,表示出DF=CF以及EC、BE的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根據(jù)勾股定理逆定理判定厶AEF是直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得△AEF為"智慧三角形”；（3）根據(jù)"智慧三角形"的定義可得△OPQ為直角三角形，根據(jù)題意可得一條直角邊為1，當(dāng)斜邊最短時(shí)，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，由垂線段最短可得斜邊最短為3，根據(jù)勾股定理可求另一條直角邊，再根據(jù)三角形面積可求斜邊的高，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理可求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，從而求解．試題解析：（2）△AEF是否為“智慧三角形”，理由如下：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a,TE是DC的中點(diǎn)，DE=CE=2a,TBC：FC=4：1,FC=a,BF=4a-a=3a,在RtAADE中，AE2=(4a)2+(2a)2=20a2,在RtAECF中，EF2=(2a)2+a2=5a2,在RtAABF中，AF2=(4a)2+(3a)2=25a2,.AE2+EF2=AF2,.△AEF是直角三角形,T斜邊AF上的中線等于AF的一半,.△AEF為“智慧三角形”；(3)如圖3所示：由"智慧三角形"的定義可得△OPQ為直角三角形，根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時(shí),另一條直角邊最短,則面積取得最小值由垂線段最短可得斜邊最短為3,由勾股定理可得PQ=J“-丁=-忑,PM=1x2^3=3=4^,故點(diǎn)P的坐標(biāo)(-,〒)，(,T)?3333考點(diǎn)：圓的綜合題．AB是00直徑，在AB的異側(cè)分別有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，如圖所示，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)(不與A、B重合)，過C作CP的垂線CD，交PB的延長(zhǎng)線于D，已知AB=5,BC:CA=4:3.求證：AC?CD=PC?BC；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB弧的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，APCD的面積最大？請(qǐng)直接寫出這個(gè)最大面積.

答案】(1)證明見解析；2)(3)當(dāng)答案】(1)證明見解析；2)(3)當(dāng)PC為OO直徑時(shí)，△PCD的最大面積350：T■解析】分析】ACBC(1)由圓周角定理可得/PCD=ZACB=90°,可證△ABC-△PCD，可得=而,即可得證．由題意可求BC=4，AC=3，由勾股定理可求CE的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求PE的長(zhǎng)，即可得PC的長(zhǎng)，由AC?CD=PC?BC可求CD的值；14當(dāng)點(diǎn)P在ab上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S—xPCxCD，由(1)可得：CD=—PC，可得-—D23142aSPCyPC=-PC2，當(dāng)pc最大時(shí)，△pcd的面積最大，而pc為直徑時(shí)最PCD233大，故可求解.【詳解】/AB為直徑,證明：(1/AB為直徑,?.ZACB=90°/PC丄CD,?.ZPCD=90°?.ZPCD=ZACB,且ZCAB=ZCPB?.△ABC-△PCD.AC_BC~CP