專題26 動態(tài)幾何之面動形成的函數(shù)關(guān)系問題

一、選擇題1.〔2022年湖南衡陽3分〕如下圖，半徑為1的圓和邊長為3的正方形在同一水平線上，圓沿該水平線從左向右勻速穿過正方形，設(shè)穿過時間為t，正方形除去圓局部的面積為S〔陰影局部〕，那么S與t的大致圖象為【】A．B．C．8D．2.〔2022年青海西寧3分〕如圖，矩形的長和寬分別是4和3，等腰三角形的底和高分別是3和4，如果此三角形的底和矩形的寬重合，并且沿矩形兩條寬的中點所在的直線自右向左勻速運(yùn)動至等腰三角形的底與另一寬重合．設(shè)矩形與等腰三角形重疊局部〔陰影局部〕的面積為y，重疊局部圖形的高為x，那么y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致應(yīng)為【】A．B．C．D．【答案】B。3.〔2022年遼寧盤錦3分〕如圖，將邊長為4的正方形ABCD的一邊BC與直角邊分別是2和4的Rt△GEF的一邊GF重合．正方形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿GE向右勻速運(yùn)動，當(dāng)點A和點E重合時正方形停止運(yùn)動．設(shè)正方形的運(yùn)動時間為t秒，正方形ABCD與Rt△GEF重疊局部面積為s，那么s關(guān)于t的函數(shù)圖象為【】【答案】B?！究键c】面動問題的函數(shù)圖象，正方形和直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用?！痉治觥糠诸愑懻摚?.〔2022年遼寧鐵嶺3分〕如圖，點G、E、A、B在一條直線上，Rt△EFG從如下圖是位置出發(fā)，沿直線AB向右勻速運(yùn)動，當(dāng)點G與B重合時停止運(yùn)動．設(shè)△EFG與矩形ABCD重合局部的面積為S，運(yùn)動時間為t，那么S與t的圖象大致是【】 A． B． C． D．【答案】D?！究键c】面動問題的函數(shù)圖象，相似三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想和分類思想的應(yīng)用?！痉治觥吭O(shè)GE=a，EF=b，AE=m，AB=c，Rt△EFG向右勻速運(yùn)動的速度為1，當(dāng)E點在點A左側(cè)時，S=0。5.〔2022年湖南岳陽3分〕如圖，邊長都是1的正方形和正三角形，其一邊在同一水平線上，三角形沿該水平線自左向右勻速穿過正方形．設(shè)穿過的時間為t，正方形與三角形重合局部的面積為S〔空白局部〕，那么S關(guān)于t的函數(shù)大致圖象應(yīng)為【】【答案】D。二、填空題三、解答題1.〔2022年重慶市B12分〕：在矩形ABCD中，E為邊BC上的一點，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F(xiàn)為線段BE上一點，EF=7，連接AF。如圖1，現(xiàn)有一張硬紙片△GMN，∠NGM=900，NG=6，MG=8，斜邊MN與邊BC在同一直線上，點N與點E重合，點G在線段DE上。如圖2，△GMN從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿EB向點B勻速移動，同時，點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿AD向點D勻速移動，點Q為直線GN與線段AE的交點，連接PQ。當(dāng)點N到達(dá)終點B時，△GMNP和點同時停止運(yùn)動。設(shè)運(yùn)動時間為t秒，解答問題：〔1〕在整個運(yùn)動過程中，當(dāng)點G在線段AE上時，求t的值；〔2〕在整個運(yùn)動過程中，是否存在點P，使△APQ是等腰三角形，假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，說明理由；〔3〕在整個運(yùn)動過程中，設(shè)△GMN與△AEF重疊局部的面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍?！?。假設(shè)AP=AQ，那么，解得，不存在；假設(shè)AP=PQ，那么，△＜0，無解，不存在；假設(shè)AQ=PQ，那么，無正數(shù)解，不存在?！?。假設(shè)AP=AQ，那么，解得。假設(shè)AP=PQ，那么，△＜0，無解，不存在；假設(shè)AQ=PQ，那么，無正數(shù)解，不存在。綜上所述，存在，使△APQ是等腰三角形?！?〕S與t的函數(shù)關(guān)系式為。二式相加，得?！唷?。當(dāng)10＜t≤時，如圖，△GMN與△AEF重疊局部的面積等于四邊形GIFM的面積，它等于△GMN的面積減去△INF的面積。過點I作IH⊥BC于點H，∵EF=7，EN=t，∴。2.〔2022年重慶市A12分〕，如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD。以AD為斜邊在平行四邊形ABCD的內(nèi)部作Rt△AED，∠EAD=300，∠AED=900?！?〕求△AED的周長；〔2〕假設(shè)△AED以每秒2個長度單位的速度沿DC向右平行移動，得到△A0E0D0，當(dāng)A0D0與BC重合時停止移動。設(shè)移動時間為t秒，△A0E0D0與△BDC重疊局部的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；〔3〕如圖②，在〔2〕中，當(dāng)△AED停止移動后得到△BEC，將△BEC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，B的對應(yīng)點為B1，E的對應(yīng)點為E1，設(shè)直線B1E1與直線BE交于點P、與直線CB交于點Q。是否存在這樣的，使△BPQ為等腰三角形？假設(shè)存在，求出的度數(shù)；假設(shè)不存在，請說明理由。②假設(shè)PQ=BQ，如圖，那么∵∠PBQ=300，∴∠BQP=1200?！唷螧1QC=∠BQP=1200?！唷螧1CQ=1800－1200－300=300。∴。③假設(shè)PQ=BP，如圖，那么∵∠CBE=300，∴∠PBQ=300?！唷螧QP=∠PBQ=300。當(dāng)時，如圖，，過點D0作在D0H⊥BC于點H，過點N作NG⊥AB于點G，那么DD0=2t，D0C=A0B=BN=，∴?！?。當(dāng)時，0，滿足上式。綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為?！?〕分BP=BQ，PQ=BQ，PQ=BP三種情況討論即可。3.〔2022年湖南婁底10分〕如圖，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點H．〔1〕求證：；〔2〕設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積；〔3〕當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線DA勻速向上運(yùn)動〔當(dāng)矩形的邊PQ到達(dá)A點時停止運(yùn)動〕，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊局部的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．【答案】解：〔1〕證明：∵矩形EFPQ，∴EF∥BC?！唷鰽HF∽△ADC，∴?！逧F∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴.∴?！?〕∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1?！逧F∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴。∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴?！?，即，∴EH=4HF。EF=x，那么EH=?！摺螧=45°，∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣。，∴當(dāng)x=時，矩形EFPQ的面積最大，最大面積為5。綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：。4.〔2022年湖北咸寧12分〕如圖，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD．〔1〕點C的坐標(biāo)是▲，線段AD的長等于▲；〔2〕點M在CD上，且CM=OM，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點G，M，求拋物線的解析式；〔3〕如果點E在y軸上，且位于點C的下方，點F在直線AC上，那么在〔2〕中的拋物線上是否存在點P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點的四邊形是菱形？假設(shè)存在，請求出該菱形的周長l；假設(shè)不存在，請說明理由．【答案】解：〔1〕〔0，3〕；4?！?〕∵CM=OM，∴∠OCM=∠COM?！摺螼CM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，∴∠ODM=∠MOD?！郞M=MD=CM?！帱cM是CD的中點，∴點M的坐標(biāo)為〔，〕?！邟佄锞€y=x2+bx+c經(jīng)過點C，M，∴，解得：?！鄴佄锞€y=x2+bx+c的解析式為：?！?〕拋物線上存在點P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點的四邊形是菱形。情形1：如圖1，當(dāng)點F在點C的左邊時，四邊形CFEP為菱形，情形2：如圖2，當(dāng)點F在點C的右邊時，四邊形CFPE為菱形，∴CF=PF，CE∥FP?！咧本€AC過點A〔﹣3，0〕，點C〔0，3〕，∴直線AC的解析式為：y=x+3。5.〔2022年湖北宜昌12分〕如圖1，平面之間坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動，點C的坐標(biāo)為〔t，0〕，直角邊AC=4，經(jīng)過O，C兩點做拋物線〔a為常數(shù)，a＞0〕，該拋物線與斜邊AB交于點E，直線OA：y2=kx〔k為常數(shù)，k＞0〕〔1〕填空：用含t的代數(shù)式表示點A的坐標(biāo)及k的值：A▲，k=▲；〔2〕隨著三角板的滑動，當(dāng)a=時：①請你驗證：拋物線的頂點在函數(shù)的圖象上；②當(dāng)三角板滑至點E為AB的中點時，求t的值；〔3〕直線OA與拋物線的另一個交點為點D，當(dāng)t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值隨x的增大而減小，當(dāng)x≥t+4時，|y2﹣y1|的值隨x的增大而增大，求a與t的關(guān)系式及t的取值范圍．∴EK是△ACB的中位線。∴EK=AC=2，CK=BC=2?！郋〔t+2，2〕?！唿cE在拋物線上，∴，解得t=2?！喈?dāng)三角板滑至點E為AB的中點時，t=2?！?〕如圖2，由得，解得，或x=0〔不合題意，舍去〕?！帱cD的橫坐標(biāo)是?！究键c】二次函數(shù)綜合題，面動問題，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行的判定，三角形中位線的性質(zhì)。【分析】〔1〕根據(jù)題意易得點A的橫坐標(biāo)與點C的相同，點A的縱坐標(biāo)即是線段AC的長度；把點A的坐標(biāo)代入直線OA的解析式來求k的值：∵點C的坐標(biāo)為〔t，0〕，直角邊AC=4，∴點A的坐標(biāo)是〔t，4〕?！咧本€OA：y2=kx〔k為常數(shù)，k＞0〕，∴4=kt，那么〔k＞0〕。6.〔2022年浙江義烏10分〕小明合作學(xué)習(xí)小組在探究旋轉(zhuǎn)、平移變換．如圖△ABC，△DEF均為等腰直角三角形，各頂點坐標(biāo)分別為A〔1，1〕，B〔2，2〕，C〔2，1〕，D〔，0〕，E〔，0〕，F(xiàn)〔，〕．〔1〕他們將△ABC繞C點按順時針方向旋轉(zhuǎn)450得到△A1B1C．請你寫出點A1，B1的坐標(biāo)，并判斷A1C和DF〔2〕他們將△ABC繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)450，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線上．請你求出符合條件的拋物線解析式；〔3〕他們繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)將△ABC繞某個點旋轉(zhuǎn)45，假設(shè)旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線上，那么可求出旋轉(zhuǎn)后三角形的直角頂點P的坐標(biāo)．請你直接寫出點P的所有坐標(biāo)．【答案】解：〔1〕。A1C和DF的位置關(guān)系是平行〔2〕∵△ABC繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°后的三角形即為△DEF，∵點C′的橫坐標(biāo)較小，∴。當(dāng)時，?！郟〔，〕。④逆時針旋轉(zhuǎn)45°，點A、B落在拋物線上．因為逆時針旋轉(zhuǎn)45°后，直線A′B′與y軸平行，因為與拋物線最多只能有一個交點，故此種情形不存在。⑤逆時針旋轉(zhuǎn)45°，點B、C落在拋物線上，如答圖4所示，與③同理，可求得：P〔，〕。⑥逆時針旋轉(zhuǎn)45°，點C、A落在拋物線上，如答圖5所示，與②同理，可求得：P〔，〕。綜上所述，點P的坐標(biāo)為：〔0，〕，〔，〕，P〔，，〔，〕。7.〔2022年江蘇南通13分〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=，BC=3，△DEF是邊長為a〔a為小于3的常數(shù)〕的等邊三角形，將△DEF沿AC方向平移，使點D在線段AC上，DE∥AB，設(shè)△DEF與△ABC重疊局部的周長為T?！?〕求證：點E到AC的距離為一常數(shù)；〔2〕假設(shè)AD=，當(dāng)a=2時，求T的值；〔3〕假設(shè)點D運(yùn)動到AC的中點處，請用含a的代數(shù)式表示T。【答案】解：〔1〕證明：如圖，過點E作EH⊥AC于點H，那么EH即為點E到AC的距離?！咴赗t△ABC中，∠ACB=900，AC=，BC=3，∴?！唷螦=600?！逥E∥AB，∴∠EDH=∠A=600?！逥E=a〔a為小于3的常數(shù)〕，∴〔常數(shù)〕?！帱cE到AC的距離為一常數(shù)?！?〕當(dāng)a=2時，?！逜D=，∴AH=?！啻藭r，點H在在線段AC上?！啻藭r，△DEF與△ABC重疊局部就是△DEF?！??！?〕當(dāng)點D運(yùn)動到AC的中點處時，，由得，，解得?！喾謨煞N情況：①當(dāng)時，點H在線段AC上，此時，△DEF與△ABC重疊局部就是△DEF?！?。②當(dāng)時，點H在線段AC的延長線上，如圖，此時，△DEF與△ABC重疊局部就是△DCG。根據(jù)三角形中位線定理，點G是BC的中點，∴CD=，CG=,DG=?！?。綜上所述，?！究键c】平移問題上，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，平行的性質(zhì)，三角形中位線定理，分類思想的應(yīng)用?！痉治觥俊?〕由銳角三角函數(shù)和平行的性質(zhì)可證得?！?〕應(yīng)用銳角三角函數(shù)求得三邊長即可?！?〕分點H在線段AC上和點H在線段AC的延長線上兩種情況討論即可。8.〔2022年廣東深圳9分〕如圖1，直線AB過點A〔m，0〕，B〔0，n〕，且m+n=20〔其中m＞0，n＞0〕?！?〕m為何值時，△OAB面積最大？最大值是多少？〔2〕如圖2，在〔1〕的條件下，函數(shù)的圖像與直線AB相交于C、D兩點，假設(shè)，求k的值?！?〕在〔2〕的條件下，將△OCD以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向平移，如圖3，設(shè)它與△OAB的重疊局部面積為S，請求出S與運(yùn)動時間t〔秒〕的函數(shù)關(guān)系式〔0<t<10〕?！??！??！唿cC在直線AB上，∴?！?。9.〔2022年廣東省9分〕有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=。將這副直角三角板按如圖〔1〕所示位置擺放，點B與點F重合，直角邊BA與FD在同一條直線上，現(xiàn)固定三角板ABC，將三角板DEF沿射線BA方向平行移動，當(dāng)點F運(yùn)動到點A時停止運(yùn)動?！?〕如圖〔2〕，當(dāng)三角板DEF運(yùn)動到點D與點A重合時，設(shè)EF與BC交于點M，那么∠EMC=▲度；〔2〕如圖〔3〕，在三角板DEF運(yùn)動過程中，當(dāng)EF經(jīng)過點C時，求FC的長；〔3〕在三角板DEF運(yùn)動過程中，設(shè)BF=x，兩塊三角板重疊局部面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并求出對應(yīng)的x取值范圍。③當(dāng)＜x≤6時，如答圖3所示，〔3〕認(rèn)真分析三角板的運(yùn)動過程，明確不同時段重疊圖形的變化情況，分0≤x≤2，2＜x≤，＜x≤6三時段討論：當(dāng)0≤x≤2，即開始到DE與AC重合之前時，；當(dāng)2＜x≤，即DE與AC重合之后到EF經(jīng)過點C之前時，；當(dāng)＜x≤6，即EF經(jīng)過點C之后到停止之前時，。10.〔2022年河北省14分〕一透明的敞口正方體容器ABCD-A′B′C′D′裝有一些液體，棱AB始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為α〔∠CBE=α，如圖1所示〕．探究如圖1，液面剛好過棱CD，并與棱BB′交于點Q，此時液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如圖2所示．解決問題：〔1〕CQ與BE的位置關(guān)系是▲，BQ的長是▲dm；〔2〕求液體的體積；〔參考算法：直棱柱體積V液=底面積SBCQ×高AB〕〔3〕求α的度數(shù).(注：sin49°＝cos41°＝，tan37°＝)拓展在圖1的根底上，以棱AB為軸將容器向左或向右旋轉(zhuǎn)，但不能使液體溢出，圖3或圖4是其正面示意圖.假設(shè)液面與棱C′C或CB交于點P，設(shè)PC=x，BQ=y.分別就圖3和圖4求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的α的范圍.延伸在圖4的根底上，于容器底部正中間位置，嵌入一平行于側(cè)面的長方形隔板〔厚度忽略不計〕，得到圖5，隔板高NM=1dm，BM=CM，NM⊥BC.繼續(xù)向右緩慢旋轉(zhuǎn)，當(dāng)α=60°時，通過計算，判斷溢出容器的液體能否到達(dá)4dm3.【答案】解：探究：〔1〕CQ∥BE，3?！?〕?！?〕在Rt△BCQ中，，∴α=∠BCQ=37°。拓展：當(dāng)容器向左旋轉(zhuǎn)時，如圖3，0°≤α≤37°，∵液體體積不變，∴?！鄖=-x+3．當(dāng)容器向右旋轉(zhuǎn)時，如圖4，同理可得：。當(dāng)液面恰好到達(dá)容器口沿，即點Q與點B′重合時，如圖5，由BB′=4，且，得PB=3，∴由tan∠PB′B=，得∠PB′B=37°?！唳?∠B′PB=53°。此時37°≤α≤53°?！究键c】四邊形綜合題，解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)定義，分類思想的應(yīng)用?！痉治觥刻骄浚骸?〕根據(jù)水面與水平面平行可以得到CQ與BE平行，利用勾股定理即可求得BD的長：?！?〕液體正好是一個以△BCQ是底面的直棱柱，據(jù)此即可求得液體的體積；?！?〕根據(jù)液體體積不變，據(jù)此即可列方程求解。拓展：分容器向左旋轉(zhuǎn)和容器向右旋轉(zhuǎn)兩種情況討論。延伸：當(dāng)α=60°時，如圖6所示，設(shè)FN∥EB，GB′∥EB，過點G作GH⊥BB′于點H，此時容器內(nèi)液體形成兩層液面，液體的形狀分別是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G為底面的直棱柱，求得棱柱的體積，即可求得溢出的水的體積，據(jù)此即可作出判斷。11.〔2022年廣西玉林、防城港12分〕如圖，拋物線y=﹣〔x﹣1〕2+c與x軸交于A，B〔A，B分別在y軸的左右兩側(cè)〕兩點，與y軸的正半軸交于點C，頂點為D，A〔﹣1，0〕．〔1〕求點B，C的坐標(biāo)；〔2〕判斷△CDB的形狀并說明理由；〔3〕將△COB沿x軸向右平移t個單位長度〔0＜t＜3〕得到△QPE．△QPE與△CDB重疊局部〔如圖中陰影局部〕面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．在Rt△OBC中，由勾股定理得：；在Rt△CND中，由勾股定理得：；在Rt△BMD中，由勾股定理得：?！連C2+CD2=BD2，∴根據(jù)勾股定理的逆定理，得△CDB為直角三角形。設(shè)PQ與BC交于點K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t．設(shè)QE與BD的交點為F，那么：，解得，∴F〔3﹣t，2t〕?！郤=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE=PE?PQ﹣PB?PK﹣BE?yF=×3×3﹣〔3﹣t〕2﹣t?2t=。②當(dāng)＜t＜3時，如答圖3所示，12.〔2022年甘肅天水12分〕如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB是等邊三角形，點A的坐標(biāo)是〔0，4〕，點B在第一象限，點P是x軸上的一個動點，連接AP，并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AO與AB重合，得到△ABD．〔1〕求直線AB的解析式；〔2〕當(dāng)點P運(yùn)動到點〔，0〕時，求此時DP的長及點D的坐標(biāo)；〔3〕是否存在點P，使△OPD的面積等于？假設(shè)存在，請求出符合條件的點P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．〔3〕存在。假設(shè)存在點P，在它的運(yùn)動過程中，使△OPD的面積等于。設(shè)點P為〔t，0〕，下面分三種情況討論：①當(dāng)t＞0時，如答圖2，BD=OP=t，DG=t，∴DH=2+t?！摺鱋PD的面積等于，∴，解得〔舍去〕?！帱cP1的坐標(biāo)為〔，0〕。②∵當(dāng)D在x軸上時，如答圖3，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD=OP=，∴當(dāng)＜t≤0時，如答圖1，BD=OP=﹣t，DG=t，∴GH=BF=2﹣〔t〕=2+t?！摺鱋PD的面積等于，∴，解得?！帱cP2的坐標(biāo)為〔，0〕，點P3的坐標(biāo)為〔，0〕?！究键c】一次函數(shù)綜合題，單動點和旋轉(zhuǎn)問題，勾股定理，待定系數(shù)法的應(yīng)用，直線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，三角形的面積，解一元二次方程，分類思想的應(yīng)用。13.〔2022年內(nèi)蒙古赤峰12分〕如圖，△OAB的頂點A〔﹣6，0〕，B〔0，2〕，O是坐標(biāo)原點，將△OAB繞點O按順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ODC．〔1〕寫出C，D兩點的坐標(biāo)；〔2〕求過A，D，C三點的拋物線的解析式，并求此拋物線頂點E的坐標(biāo)；〔3〕證明AB⊥BE．【答案】解：〔1〕C〔2，0〕，D〔0，6〕?！?〕∵拋物線過點A〔﹣6，0〕，C〔2，0〕，∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a〔x+6〕〔x﹣2〕〔a≠0〕，∵D〔0，6〕在拋物線上，∴6=﹣12a，解得a=?！鄴佄锞€的解析式為y=〔x+6〕〔x﹣2〕，即y=x2﹣2x+6?！遹=x2﹣2x+6=〔x+2〕2+8，∴頂點E的坐標(biāo)為〔﹣2，8〕。14.〔2022重慶市12分〕：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E為BC邊上一點，以BE為邊作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同側(cè)．〔1〕當(dāng)正方形的頂點F恰好落在對角線AC上時，求BE的長；〔2〕將〔1〕問中的正方形BEFG沿BC向右平移，記平移中的正方形BEFC為正方形B′EFG，當(dāng)點E與點C重合時停止平移．設(shè)平移的距離為t，正方形B′EFG的邊EF與AC交于點M，連接B′D，B′M，DM，是否存在這樣的t，使△B′DM是直角三角形？假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，請說明理由；〔3〕在〔2〕問的平移過程中，設(shè)正方形B′EFG與△ADC重疊局部的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍．過點M作MN⊥DH于N，那么MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣〔2﹣t〕=t+1。在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=〔t+1〕2+t2=t2+t+1?！并瘛臣僭O(shè)∠DB′M=90°，那么DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=〔t2﹣2t+8〕+〔t2﹣4t+13〕，解得：t=。〔Ⅱ〕假設(shè)∠B′MD=90°，那么B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=〔t2﹣2t+8〕+〔t2+t+1〕，解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣〔舍去〕?！鄑=﹣3+?！并蟆臣僭O(shè)∠B′DM=90°，那么B′M2=B′D2+DM2，即t2﹣2t+8=〔t2﹣4t+13〕+〔t2+t+1〕，此方程無解。綜上所述，當(dāng)t=或﹣3+時，△B′DM是直角三角形；〔3〕?！究键c】相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理和逆定理，正方形的性質(zhì)，直角梯形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)。③如圖⑤，當(dāng)G在CD上時，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=，∴EC=4﹣t=B′C﹣2=。∴t=?！連′N=B′C=〔6﹣t〕=3﹣t，∴GN=GB′﹣B′N=t﹣1。15.〔2022江蘇蘇州9分〕如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合.在移動過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點A作CG的平行線交線段GH于點P，連接PD.正方形ABCD的邊長為1cm，矩形EFGH的邊FG、GH的長分別為4cm、3cm.設(shè)正方形移動時間為x〔s〕，線段GP的長為y〔cm〕，其中0≤x≤.⑴試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y=3時相應(yīng)x的值；⑵記△DGP的面積為S1，△CDG的面積為S2．試說明S1－S2是常數(shù)；⑶當(dāng)線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長.【考點】正方形的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥俊?〕根據(jù)題意表示出AG、GD的長度，再由可解出x的值?！?〕利用〔1〕得出的y與x的關(guān)系式表示出S1、S2，然后作差即可?！?〕延長PD交AC于點Q，然后判斷△DGP是等腰直角三角形，從而結(jié)合x的范圍得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的長度。16.〔2022江蘇宿遷12分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l1:y=x與直線l2：y=－x+6相交于點M，直線l2與x軸相較于點N.求M，N的坐標(biāo)；在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，邊AB在x軸上，矩形ABCD沿x軸自左向右以每秒1個單位長度的速度移動.設(shè)矩形ABCD與△OMN的重疊局部的面積為S.移動的時間為t〔從點B與點O重合時開始計時，到點A與點N重合時計時結(jié)束〕。直接寫出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式〔不需要給出解答過程〕；在〔2〕的條件下，當(dāng)t為何值時，S的值最大？并求出最大值.②當(dāng)1＜t≤4時，矩形ABCD與△OMN的重疊局部的面積為一梯形面積，梯形的上底為，下底為，高為1。∴。17.〔2022四川廣安10分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB⊥x軸于點B，AB=3，tan∠AOB=，將△OAB繞著原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA1B1；再將△OA1B1繞著線段OB1的中點旋轉(zhuǎn)180°，得到△OA2B1，拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0〕經(jīng)過點B、B1、A2．〔1〕求拋物線的解析式．〔2〕在第三象限內(nèi)，拋物線上的點P在什么位置時，△PBB1的面積最大？求出這時點P的坐標(biāo)．〔3〕在第三象限內(nèi)，拋物線上是否存在點Q，使點Q到線段BB1的距離為？假設(shè)存在，求出點Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．【答案】解：〔1〕∵AB⊥x軸，AB=3，tan∠AOB=，∴OB=4?！郆〔﹣4，0〕，B1〔0，﹣4〕，A2〔3，0〕?！邟佄锞€y=ax2+bx+c〔a≠0〕經(jīng)過點B、B1、A2，∴，解得?！鄴佄锞€的解析式為：?！?〕存在。假設(shè)在第三象限的拋物線上存在點Q〔x0，y0〕，使點Q到線段BB1的距離為。如圖，過點Q作QD⊥BB1于點D，設(shè)Q〔xQ，yQ〕，由〔2〕可知，此時△QBB1的面積可以表示為：，在Rt△OBB1中，?！?，∴，解得xQ=﹣1或xQ=﹣3。當(dāng)xQ=﹣1時，yQ=﹣4；當(dāng)xQ=﹣3時，yQ=﹣2。因此，在第三象限內(nèi)，拋物線上存在點Q，使點Q到線段BB1的距離為，這樣的點Q的坐標(biāo)是〔﹣1，﹣4〕或〔﹣3，﹣2〕。18.〔2022遼寧鞍山12分〕如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點B坐標(biāo)〔3，3〕，將正方形ABCO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角度α〔0°＜α＜90°〕，得到正方形ADEF，ED交線段OC于點G，ED的延長線交線段BC于點P，連AP、AG．〔1〕求證：△AOG≌△ADG；〔2〕求∠PAG的度數(shù)；并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由；〔3〕當(dāng)∠1=∠2時，求直線PE的解析式．∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，∴DG=OG，DP=BP。∴PG=DG+DP=OG+BP。19.〔2022遼寧丹東14分〕拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，點A的坐標(biāo)是〔－1，0〕，O是坐標(biāo)原點，且．〔1〕求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2〕直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；〔3〕如圖1，D為y軸的負(fù)半軸上的一點，且OD=2，以O(shè)D為邊作正方形ODEF.將正方形ODEF以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向移動，在運(yùn)動過程中，設(shè)正方形ODEF與△OBC重疊局部的面積為s，運(yùn)動的時間為t秒〔0＜t≤2〕.求：①s與t之間的函數(shù)關(guān)系式；②在運(yùn)動過程中，s是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個最大值；如果不存在，請說明理由．〔4〕如圖2，點P〔1，k〕在直線BC上，點M在x軸上，點N在拋物線上，是否存在以A、M、N、P為頂點的平行四邊形？假設(shè)存在，請直接寫出M點坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.∴GD1=t－1，HD1=t－1?！郤=?！鄐與t之間的函數(shù)關(guān)系式為②在運(yùn)動過程中，s是存在最大值：當(dāng)t=2秒時，S有最大值，最大值為?！?〕存在。M1〔－，0〕M2〔，0〕，M3〔，0〕，M4〔，0〕。假設(shè)AP是邊，那么M1的橫坐標(biāo)為－PN1加點A的橫坐標(biāo)：－；M2的橫坐標(biāo)為PN2加點A的橫坐標(biāo)：；M3的橫坐標(biāo)為N3的縱坐標(biāo)加N3的橫坐標(biāo)：；M4的橫坐標(biāo)為N4的縱坐標(biāo)加N4的的橫坐標(biāo)：。假設(shè)AP是對角線，符合條件的點M與上述M1〔－，0〕和M2〔，0〕重合。綜上所述，M1〔－，0〕，M2〔，0〕，M3〔，0〕，M4〔，0〕。20.〔2022山東德州12分〕如下圖，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點〔不與點A、點D重合〕將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．〔1〕求證：∠APB=∠BPH；〔2〕當(dāng)點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；〔3〕設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？假設(shè)存在，求出這個最小值；假設(shè)不存在，請說明理由．【答案】解：〔1〕如圖1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC?！唷螦PB=∠BPH?！?〕△PHD的周長不變?yōu)槎ㄖ?。證明如下：如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q。由〔1〕知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，∴△ABP≌△QBP〔AAS〕?！郃P=QP，AB=BQ。又∵AB=BC，∴BC=BQ。又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH〔HL〕?！郈H=QH?！唷鱌HD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。21.〔2022廣西北海12分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A〔－2，0〕、B〔0，1〕、C〔d，2〕?！?〕求d的值；〔2〕將△ABC沿x軸的正方向平移，在第一象限內(nèi)B、C兩點的對應(yīng)點B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖像上。請求出這個反比例函數(shù)和此時的直線B′C′的解析式；〔3〕在〔2〕的條件下，直線B′C′交y軸于點G。問是否存在x軸上的點M和反比例函數(shù)圖像上的點P，使得四邊形PGMC′是平行四邊形。如果存在，請求出點M和點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由?！?〕設(shè)Q是GC′的中點，由G〔0，3〕，C′〔3，2〕，得點Q的橫坐標(biāo)為，點Q的縱坐標(biāo)為2＋?！郠〔，〕。過點Q作直線l與x軸交于M′點，與的22.〔2022廣西貴港11分〕如圖，Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F，且∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3。點P在射線AC上運(yùn)動，過點P作PH⊥AB，垂足為H?！?〕直接寫出線段AC、AD以及⊙O半徑的長；〔2〕設(shè)PH＝x，PC＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕當(dāng)PH與⊙O相切時，求相應(yīng)的y值?！究键c】圓的綜合題，圓的切線性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥俊?〕連接AO、DO，EO，F(xiàn)O，設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=，23.〔天津市2022年10分〕在平面直角坐標(biāo)系中．O坐標(biāo)原點．點A(3．0)，B(0，4)．以點A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABO順時針旋轉(zhuǎn)，得△ACD．記旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角為α．∠ABO為β．(I)如圖①，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點D恰好落在AB邊上時．求點D的坐標(biāo)；(Ⅱ)如圖②，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足BC∥軸時．求α與β之聞的數(shù)量關(guān)系；(Ⅲ)當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足∠AOD=β時．求直線CD的解析式(直接寫出即如果即可)，【答案】解：(I)∵點A(3，0)，B(0，4)，∴0A=3，OB=4?！嘣赗t△ABO中．由勾股定理．得AB=。根據(jù)題意，有DA=OA=3。如圖①．過點D作DM⊥軸于點M，那么MD∥OB?！唷鰽DM∽△ABO。有，得，。又OM=OA-AM，得OM=。∴點D的坐標(biāo)為〔〕。(Ⅱ)如圖②．由己知，得∠CAB=α，AC=AB，∴∠ABC=∠ACB?！嘣凇鰽BC中，由∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，得α=180°—2∠ABC。又∵BC∥軸，得∠OBC=90°，有∠ABC=90°—∠ABO=90°—β?！唳?180°—2〔90°—β〕=2β。〔Ⅲ〕直線CD的解析式為，或。代入直線CD方程=k+4，得k=?！嘀本€CD的解析式為。同樣考慮∠AOD在軸下方的情況，如圖2，可得直線CD的解析式。24.〔2022年浙江金華、麗水10分〕在平面直角坐標(biāo)系中，如圖1，將n個邊長為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA和OC分別落在軸和軸的正半軸上，設(shè)拋物線過矩形頂點B、C．〔1〕當(dāng)n=1時，如果=﹣1，試求的值；〔2〕當(dāng)n=2時，如圖2，在矩形OABC上方作一邊長為1的正方形EFMN，使EF在線段CB上，如果M，N兩點也在拋物線上，求出此時拋物線的解析式；〔3〕將矩形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使得點B落到軸的正半軸上，如果該拋物線同時經(jīng)過原點O．①試求當(dāng)n=3時的值；②直接寫出關(guān)于n的關(guān)系式．〔3〕解：①當(dāng)n=3時，OC=1，BC=3，設(shè)所求拋物線解析式為，過C作CD⊥OB于點D，那么Rt△OCD∽Rt△CBD?！?。25.〔2022年甘肅天水12分〕在梯形OABC中