相交線與平行線提高題

..[例題]如圖,直線AB與CD相交于點(diǎn)O,OM⊥AB,且OM平分∠NOC．若∠BOC=4∠NOB,求∠MON的度數(shù)．[分析]遇到類似"∠BOC=4∠NOB"這樣條件,常設(shè)∠NOB=2x,∠BOC=8x〔目的為了計(jì)算和書(shū)寫方便,也為了更好理解,是常法——強(qiáng)烈建議,則有∠CON＝6x,再根據(jù)"垂直的定義、角平分線的定義"可得到∠MON=0.5∠CON=3x,∠BOM=∠MON+∠NOB=3x+2x=90°,求出x的值,進(jìn)一步即可得∠MON的度數(shù)．[解]設(shè)∠NOB=2x,∠BOC=8x,則∠CON=∠COB﹣∠BON=8x﹣2x=6x.∵OM平分∠CON,∴∠MON=0.5∠CON=3x,∵OM⊥AB,∴∠AOM=90°,∴∠BOM=∠MON+∠NOB=3x+2x=90°,解得x=180,∴∠MON=3x=3×18°=54°,即∠MON的度數(shù)為54°．[點(diǎn)評(píng)]本題涉及到對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的概念和性質(zhì),熟練掌握對(duì)頂角相等、垂直的定義、角平分線的定義是解題的關(guān)鍵,同時(shí)務(wù)必要注意解題規(guī)范,幾何書(shū)寫入門必須嚴(yán)格掌握[練習(xí)]如圖,已知AB、CD相交于點(diǎn)O,OB平分∠COE,OF⊥AB于O,〔1若∠EOF=120°,求∠AOD的度數(shù)；〔2若∠BOE=1/4∠EOF,求∠DOE的度數(shù)[解]〔1∵OF⊥AB,∴∠BOF=90°又∵∠EOF=120°∴∠BOE=∠EOF﹣∠BOF=30°∵OB平分∠COE∴∠BOC=∠BOE=30°∵∠AOD=∠BOC∴∠BOC=30°；〔2設(shè)∠BOE＝x,則∠EOF=4x∵∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=4x－x=3x.∵∠BOF=90°,∴3x=90°,解得:x=30°∵OB平分∠COE,∴∠COE=2∠BOE=2x=60°∴∠DOE=180°﹣∠COE=120°．[例題]如圖,直線EF,CD相交于點(diǎn)O,OA⊥OB,且OC平分∠AOF,<1>若∠AOE=40°,求∠BOD的度數(shù)；<2>若∠AOE=α,求∠BOD的度數(shù)<用含α的式子表示>；<3>從<1><2>的結(jié)果中能看出∠AOE和∠BOD有何關(guān)系？〔1∵∠AOE+∠AOF=180°〔鄰補(bǔ)角的定義,∴∠AOF=180°－∠AOE,＝1800－400＝140°；又∵OC平分∠AOF,∴∠FOC=0.5∠AOF=70°,∴∠EOD=∠FOC=70°〔對(duì)頂角相等；而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°,∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°；〔2∵∠AOE+∠AOF=180°,〔鄰補(bǔ)角的定義∴∠AOF=180°－∠AOE=180°﹣α；又∵OC平分∠AOF,

∴∠FOC=0.5∠AOF=90°﹣0.5α,

∴∠EOD=∠FOC=90°﹣0.5α〔對(duì)頂角相等；而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α,

∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=0.5α；〔3從〔1〔2的結(jié)果中不難觀察出：∠AOE=2∠BOD．[反思]利用對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的概念和性質(zhì),熟練掌握對(duì)頂角相等、垂直的定義、角平分線的定義是解題的關(guān)鍵,注意領(lǐng)會(huì)解題思路和解題過(guò)程和格式.幾何入門書(shū)寫必須嚴(yán)格規(guī)范.[練習(xí)]O為直線DA上一點(diǎn),OB⊥OF,EO是∠AOB的平分線．〔1如圖〔1,若∠AOB=130°,求∠EOF的度數(shù)；〔2若∠AOB=α,90°＜α＜180°,求∠EOF的度數(shù)；〔3若∠AOB=α,0°＜α＜90°,請(qǐng)?jiān)趫D〔2中畫出射線OF,使得〔2中∠EOF的結(jié)果仍然成立．[解答過(guò)程]〔1∵EO是∠AOB的平分線,∠AOB=130°,∴∠AOE＝0.5∠AOB＝650.∵OB⊥OF,∴∠BOF=90°,∴∠AOF=∠AOB﹣∠BOF=130°﹣90°=40°,∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=65°﹣40°=25°；〔2∵∠AOB=α,90°＜α＜180°,EO是∠AOB的平分線,∴∠AOE=0.5∠AOB＝0.5α,∵∠BOF=90°,∴∠AOF=α﹣90°,∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=0.5α﹣〔α﹣90°=900－0.5α；〔3如下圖示,∵∠AOB=α,0°＜α＜90°,∴∠BOE=∠AOE=0.5α,∵∠BOF=90°,∴∠EOF=∠BOF﹣∠BOE=900－0.5α．[試題]如圖,AB∥CD,AE平分∠BAD,CD與AE相交于F,∠CFE=∠E．求證：AD∥BC．[分析]可利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得到滿足關(guān)于AD∥BC的條件：內(nèi)錯(cuò)角∠2和∠E相等.證明：∵AE平分∠BAD,

∴∠1=∠2,

∵AB∥CD,

∴∠1=∠CFE

∵∠CFE=∠E,

∴∠2=∠E,

∴AD∥BC．[點(diǎn)評(píng)]本題是角平分線的性質(zhì)以及平行線的判定定理的綜合運(yùn)用．[拓展]如圖,AB∥CD,AE平分∠BAD,CD與AE相交于F,∠CEF=∠F．求證：AD∥BC．[分析]可利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得到滿足關(guān)于AD∥BC的條件：內(nèi)錯(cuò)角∠2和∠E相等.證明：∵AE平分∠BAD,

∴∠1=∠2,

∵AB∥CD,

∴∠1=∠CFE

∵∠CEF=∠F,

∴∠2=∠E,

∴AD∥BC．[反思]注意體會(huì)拓展與原題<試題內(nèi)容和解答過(guò)程>的區(qū)別與聯(lián)系,再結(jié)合圖形思考,展開(kāi)想象,探尋動(dòng)與靜的規(guī)律與聯(lián)系.[例題]已知：如圖,點(diǎn)B在直線AC上,BE和AD交于F點(diǎn),∠A=∠ADE,∠C=∠E．〔1若∠EDC=3∠C,求∠C的度數(shù)．〔2求證：BE∥CD．〔1∵∠A=∠ADE,

∴AC∥DE,

∴∠EDC+∠C=180°,又∵∠EDC=3∠C,

∴4∠C=180°,即∠C=45°；〔2∵AC∥DE,

∴∠E=∠ABE,又∵∠C=∠E,

∴∠C=∠ABE,

∴BE∥CD．[反思]<1>要能回答出上面每一步推理的根據(jù),特別要注意邏輯順序.<2>本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及判定的運(yùn)用,解題時(shí)應(yīng)注意判定與性質(zhì)的區(qū)別,不可用錯(cuò)．[拓展]已知：如圖,點(diǎn)B在直線AC上,BE和AD交于F點(diǎn),∠A=∠ADE,∠DCB=∠DEB．〔1若∠DCB=3∠EDC,求∠DCB的度數(shù)．〔2求證：BE∥CD．[例題]如圖,D、E在△ABC的邊AB上,F點(diǎn)在邊BC上,已知∠AGD=∠ACB,∠1=∠2．求證：CD∥EF．[拓展1]如圖,D、E在△ABC的邊AB所在的直線上,F點(diǎn)在邊BC所在直線上,已知∠AGD=∠ACB,∠1=∠2．求證：CD∥EF．[拓展2]如圖,D、E在△ABC的邊AB所在的直線上,F點(diǎn)在邊BC所在直線上,已知∠AGD=∠ACB,∠1=∠2．求證：CD∥EF．[拓展3]如圖,D、E在△ABC的邊AB所在的直線上,F點(diǎn)在邊BC所在直線上,已知∠AGD=∠ACB,∠1=∠2．求證：CD∥EF[例題]如圖,A、B、C三點(diǎn)在同一直線上,D、E、F也在同一直線上,已知∠A=∠F,∠C=∠D,求證BD∥CE．[拓展1]如圖,A、B、C三點(diǎn)在同一直線上,D、E、F也在同一直線上,已知∠A=∠AFD,∠C=∠D,求證BD∥CE．[拓展2]如圖,A、B、C三點(diǎn)在同一直線上,D、E、F也在同一直線上,已知∠CAF=∠F,∠C=∠D,求證BD∥CE．[拓展2]如圖,A、B、C三點(diǎn)在同一直線上,D、E、F也在同一直線上,已知∠CAF=∠AFD,∠C=∠D,求證BD∥CE．[例題]如圖,直線a∥b,AC⊥BC,∠2=55°,求∠1的度數(shù)．[分析]∠1與∠2均不是"三線八角"的角,因此通過(guò)a∥b,想方設(shè)法構(gòu)造"三線八角",建立∠1、∠2及∠ACB之間的聯(lián)系,從而求出∠2的度數(shù).法一：如下圖示,法二：〔圖解如下圖示,[反思與拓展][拓展1]如圖,直線a∥b,AC⊥BC,∠2=55°,求∠1的度數(shù)．〔不可用"三角形內(nèi)角和定理"[拓展2]如圖,直線a∥b,AC⊥BC,∠2=55°,求∠1的度數(shù)．8.[例題]已知,如圖,DE⊥AC于E,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°,試判斷BF與AC的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由．理由：∵∠AGF=∠ABC,

∴BC∥GF

∴∠1=∠3；又∵∠1+∠2=180°,

∴∠2+∠3=180°,

∴BF∥DE；

∴∠AFB＝∠AED

∵DE⊥AC,

∴∠AED＝90°

∴∠AFB＝90°

∴BF⊥AC．[點(diǎn)評(píng)]本題考查平行線的判定與性質(zhì),正確識(shí)別"三線八角"中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角,并正確運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)是正確答題的關(guān)鍵．解題時(shí)要注意幾何語(yǔ)言書(shū)寫格式與過(guò)程,同時(shí)要注意思路與正確解答之間的關(guān)系.[拓展1]已知,如圖,DE⊥AC于E,∠AGF=∠ABC,∠1＝∠2,試判斷BF與AC的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由．[拓展2]已知,如圖,DE⊥AC于E,∠AGF=∠ABC,∠1＝∠2,試判斷BF與AC的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由．[拓展3]已知,如圖,DE⊥AC于E,∠AGF=∠ABC,∠BDE＝∠BFC,試判斷BF與AC的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由．[例題]如圖,CD∥AB,∠DCB=70°,∠CBF=20°,∠EFB=130°,〔1問(wèn)直線EF與AB有怎樣的位置關(guān)系？并加以證明；〔2若∠CEF=70°,求∠ACB的度數(shù)．[拓展1]如圖,CD∥AB,∠DCB=30°,∠CBF=20°,∠EFB=130°,〔1問(wèn)直線EF與AB有怎樣的位置關(guān)系？并加以證明；〔2若∠CEF=110°,求∠ACB的度數(shù)．[拓展2]如圖,CD∥AB,∠DCB=80°,∠CBF=20°,∠EFB=80°,〔1問(wèn)直線EF與AB有怎樣的位置關(guān)系？并加以證明；〔2若∠CEF=70°,求∠ACB的度數(shù)．[試題]如圖,已知∠1+∠2=180°,∠B=∠3,求證：DE∥BC．[拓展1]如圖,已知∠1＝∠2,∠DBF=∠DEF,求證：DE∥BC．[拓展2]如圖,已知∠1＝∠2,∠4+∠DEF＝1800,求證：DE∥BC．[例題]如圖,AB∥CD,∠ABE=70°,∠DCE=144°,求∠BEC的度數(shù)．[分析]圖中雖有AB∥CD,但無(wú)法直接得到"三線八角",因此必須添加"輔助線",將已知和所求的角進(jìn)行聯(lián)系,想方設(shè)法構(gòu)造出"三線八角"的基本圖形,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行轉(zhuǎn)化.方法有多種：分別說(shuō)明如下：法一：過(guò)E點(diǎn)往右側(cè)作EF∥CD,如下圖示：法二：過(guò)E點(diǎn)往左側(cè)作EF∥CD,如下圖示：法三：過(guò)B點(diǎn)作BF∥CD,交DC的延長(zhǎng)線于F,如下圖示：法四：過(guò)C點(diǎn)作CF∥BE交AB的延長(zhǎng)線于F,如下圖示：[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定,利用已有的平行線,再構(gòu)造"三線八角"是解題的關(guān)鍵,當(dāng)然如果學(xué)了三角形〔或多邊形的內(nèi)角和,則解法就更多了：只要能得到"三線八角"均可得解．[拓展1]如圖,AB∥CD,∠ABE=70°,∠DCE=54°,求∠BEC的度數(shù)[拓展2]如圖,AB∥CD,∠ABE=35°,∠DCE=110°,求∠BEC的度數(shù)．[拓展3]如圖,AB∥CD,∠ABE=40°,∠DCE=20°,求∠BEC的度數(shù)．[試題]已知AB∥CD,∠ABE與∠CDE兩個(gè)角的角平分線相交于點(diǎn)F．〔1如圖1,若∠E=80°,求∠BFD的度數(shù)．〔2如圖2中,∠ABM=1/3∠ABF,∠CDM=1/3∠CDF,寫出∠M與∠E之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．〔3若∠ABM=1/n∠ABF,∠CDM=1/n∠CDF,設(shè)∠E=m°,直接用含有n,m°的代數(shù)式表示寫出∠M=．[解析]〔1首先先求出∠ABE+∠CDE的度數(shù),方法均有4種,下面僅提供一種解法：如下圖示,過(guò)E點(diǎn)作EG∥CD,因AB∥CD,所以AB∥EG∥CD,得到∠ABE+∠2＝1800,∠CDE+∠1＝1800,從而∠ABE+<∠1+∠2>+∠CDE＝3600,而∠BED＝∠1+∠2＝800,所以∠ABE+∠CDE＝2800.再求∠3+∠4的度數(shù),因BF和DF分別平分∠ABE和∠CDE,所以有∠3+∠4＝0.5∠ABE+0.5∠CDE＝0.5〔∠ABE+∠CDE＝1400.類似上述思路,可求得∠BFD＝∠5+∠6＝∠3+∠4＝1400.如下圖示：〔2如下圖示：類似前面分析,可得到：∠ABE+∠CDE＝3600－∠E,∠ABF+∠CDF＝0.5∠ABE+0.5∠CDE＝0.5〔∠ABE+∠CDE＝…＝1800－0.5∠E,進(jìn)一步,得到：∠3+∠4＝1/3∠ABF+1/3∠CDF＝1/3<∠ABF+∠CDF>＝1/3〔1800－0.5∠E＝600－1/6∠E.得到∠BMD＝∠7+∠8＝600－1/6∠E.即6∠BMD+∠E＝3600.〔3與〔2題類似,如下圖示：類似前面分析,可得到：∠ABE+∠CDE＝3600－∠E,∠ABF+∠CDF＝0.5∠ABE+0.5∠CDE＝0.5〔∠ABE+∠CDE＝…＝1800－0.5∠E,進(jìn)一步,得到：∠3+∠4＝1/n∠ABF+1/n∠CDF＝1/n<∠ABF+∠CDF>＝1/n〔1800－0.5m0＝1800/n－m0/<2n>.得到∠BMD＝∠7+∠8＝1800/n－m0/<2n>.即∠BMD+∠E＝<3600－m0>/<2n>.[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用,關(guān)鍵在于"如何構(gòu)造"三線八角"．[拓展]已知AB∥CD,∠ABE與∠CDE兩個(gè)角的角平分線相交于點(diǎn)F．若∠