2022年高中數(shù)學(xué)解題模型之?dāng)?shù)列-裂項相消法

第19頁（共19頁）高中數(shù)學(xué)解題模型之?dāng)?shù)列求和（裂項相消法）一．選擇題（共8小題）1．（2021秋?卡若區(qū)校級月考）已知數(shù)列{an}的通項公式，則它的前n項和是（）A． B． C． D．2．（2021秋?愛民區(qū)校級期末）已知等差數(shù)列{an}，a1＝1，d＝1，則數(shù)列的前100項和（）A． B． C． D．3．（2021?八模擬）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an+1+an＝2n+1（n∈N+），則數(shù)列{}的前2020項的和為（）A． B． C． D．4．（2021春?成都期末）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n．令數(shù)列的前n項和為Sn，則S2021＝（）A． B． C． D．5．（2021?5月份模擬）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＝，則S99＝（）A．7 B．8 C．9 D．106．（2021?新鄉(xiāng)三模）數(shù)列{}的前20項和為（）A． B． C． D．7．（2021春?昌江區(qū)校級期末）對于實數(shù)x，[x]表示不超過x的最大整數(shù)．已知數(shù)列{an}的通項公式，前n項和為Sn，則[S1]+[S2]+?+[S50]＝（）A．223 B．218 C．173 D．1688．（2021?讓胡路區(qū)校級一模）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，前n項積為Tn，且，．若bn＝﹣log2Tn，則數(shù)列的前n項和An為（）A． B． C． D．二．填空題（共2小題）9．（2014春?睢寧縣期中）數(shù)列1，的前n項和為，則正整數(shù)n的值為．10．（2021?香坊區(qū)校級三模）已知數(shù)列{an}與{bn}前n項和分別為Sn，Tn，且an＞0，2Sn＝an2+an，n∈N*，bn＝，則Tn的取值范圍是．三．解答題（共5小題）11．（2021秋?香坊區(qū)校級期末）已知數(shù)列{an}中，an+1﹣an＝2且a1+a2+a3＝9．（1）求{an}的通項公式；（2）求的前n項和Sn．12．（2021秋?龍鳳區(qū)校級期末）已知數(shù)列{an}的前n項和，n∈N*．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn＝log3a2n﹣1，n∈N*，求數(shù)列的前n項和Tn．13．（2021秋?定州市期末）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且．（1）求{an}的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和Tn．14．（2021秋?讓胡路區(qū)校級期末）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an＞0，a1＜2，6Sn＝（an+1）（an+2）．（1）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）令，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：．15．（2021秋?唐山期末）已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，2Sn＝（n+1）an，且a1＝1．（1）證明：為常數(shù)列；（2）若，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

高中數(shù)學(xué)解題模型之?dāng)?shù)列求和（裂項相消法）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2021秋?卡若區(qū)校級月考）已知數(shù)列{an}的通項公式，則它的前n項和是（）A． B． C． D．【考點】數(shù)列的求和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【分析】直接利用數(shù)列的通項公式和裂項相消法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．【解答】解：數(shù)列{an}的通項公式＝，故＝1﹣．故選：B．【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式，裂項相消法在求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（2021秋?愛民區(qū)校級期末）已知等差數(shù)列{an}，a1＝1，d＝1，則數(shù)列的前100項和（）A． B． C． D．【考點】數(shù)列的求和．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【分析】首先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的通項公式，進一步利用裂項相消法求出數(shù)列的和．【解答】解：a1＝d＝1，所以：an＝1+（n﹣1）＝n．所以：＝＝數(shù)列的前100項和：S100＝1+???+＝1＝．故選：A．【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用，裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．3．（2021?八模擬）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an+1+an＝2n+1（n∈N+），則數(shù)列{}的前2020項的和為（）A． B． C． D．【考點】數(shù)列的求和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【分析】首先求出數(shù)列的通項公式，進一步利用裂項相消法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．【解答】解：數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an+1+an＝2n+1，所以an+2+an+1＝2n+3，兩式相減得：an+2﹣an＝2，且a1＝1，a2＝2，所以an＝n，所以，故，所以Tn＝＝＝，則故選：B．【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的求和，裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（2021春?成都期末）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n．令數(shù)列的前n項和為Sn，則S2021＝（）A． B． C． D．【考點】數(shù)列的求和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【分析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式，進一步利用裂項相消法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．【解答】解：數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+???+（2n﹣1）an＝2n，①當(dāng)n＝1時，解得a1＝2，當(dāng)n≥2時，a1+2a2+3a3+???+（2n﹣3）an﹣1＝2（n﹣1），②①﹣②得：（2n﹣1）an＝2，故（首項符合通項），故，所以，則＝．．故選：D．【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的求和，裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（2021?5月份模擬）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＝，則S99＝（）A．7 B．8 C．9 D．10【考點】數(shù)列的求和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【分析】直接利用裂項相消法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．【解答】解：若an＝＝，所以．故選：C．【點評】本題考查的知識要點：裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（2021?新鄉(xiāng)三模）數(shù)列{}的前20項和為（）A． B． C． D．【考點】數(shù)列的求和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【分析】直接利用裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：由，所以數(shù)列的前20項和為＝．故選：B．【點評】本題考查的知識要點：裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2021春?昌江區(qū)校級期末）對于實數(shù)x，[x]表示不超過x的最大整數(shù)．已知數(shù)列{an}的通項公式，前n項和為Sn，則[S1]+[S2]+?+[S50]＝（）A．223 B．218 C．173 D．168【考點】數(shù)列的求和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運算．【分析】推得an＝﹣，由數(shù)列的裂項相消求和可得Sn，再由[x]的定義，計算可得所求和．【解答】解：由＝﹣，可得Sn＝﹣1+﹣+...+﹣＝﹣1，所以[S1]+[S2]+?+[S50]＝（0+0）+（1+...+1）+（2+...+2）+（3+...+3）+（4+...4）+（5+...+5）+（6+6+6）＝2×0+5×1+7×2+9×3+11×4+13×5+3×6＝173．故選：C．【點評】本題考查數(shù)列的裂項相消求和，以及[x]的理解和運用，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題．8．（2021?讓胡路區(qū)校級一模）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，前n項積為Tn，且，．若bn＝﹣log2Tn，則數(shù)列的前n項和An為（）A． B． C． D．【考點】數(shù)列的求和．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運算．【分析】由遞推關(guān)系式可得數(shù)列{an}是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而可求得an，進而求得bn，由裂項求和公式即可求得An．【解答】解：因為，所以＝，即，所以S1＝2a2，所以．所以，整理得．又因為，，所以數(shù)列{an}是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以＝，所以．所以．故選：A．【點評】本題主要考查遞推關(guān)系式，數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題．二．填空題（共2小題）9．（2014春?睢寧縣期中）數(shù)列1，的前n項和為，則正整數(shù)n的值為9．【考點】等差數(shù)列的前n項和；數(shù)列的求和．【專題】計算題．【分析】可先求數(shù)列的通項＝＝＝，利用裂項可求數(shù)列的和，代入可求n【解答】解：由題意可知，數(shù)列的通項＝＝＝∴Sn＝＝＝＝＝∴n＝9故答案為9【點評】本題主要考查了數(shù)列求和中的裂項求和方法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題10．（2021?香坊區(qū)校級三模）已知數(shù)列{an}與{bn}前n項和分別為Sn，Tn，且an＞0，2Sn＝an2+an，n∈N*，bn＝，則Tn的取值范圍是[，）．【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【分析】首先利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式，進一步利用裂項相消法和數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：數(shù)列{an}前n項和分別為Sn，且an＞0，2Sn＝an2+an，①，當(dāng)n＝1時，解得a1＝1（0舍去），當(dāng)n≥2時，2Sn﹣1＝an﹣12+an﹣1，②，①﹣②得：（an﹣an﹣1﹣1）（an+an﹣1）＝0，故an﹣an﹣1＝1（常數(shù)），所以：數(shù)列{an}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列；則an＝n．故＝＝，所以：＝,由于，所以，故數(shù)列{bn}單調(diào)遞增；所以．故Tn的取值范圍是：[．故答案為：[．【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的通項公式的求法，數(shù)列的求和，裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．三．解答題（共5小題）11．（2021秋?香坊區(qū)校級期末）已知數(shù)列{an}中，an+1﹣an＝2且a1+a2+a3＝9．（1）求{an}的通項公式；（2）求的前n項和Sn．【考點】數(shù)列的求和．【專題】應(yīng)用題；方程思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【分析】（1）由an+1﹣an＝2可得{an}是以d＝2為公差的等差數(shù)列，又a1+a2+a3＝9，得a1+a1+2+a1+4＝9，解得a1＝1，從而利用an＝a1+（n﹣1）d即可求出{an}的通項公式；（2）由（1）可知＝＝（﹣），從而利用裂項相消求和法即可求出Sn．【解答】解：（1）由an+1﹣an＝2，得{an}是以d＝2為公差的等差數(shù)列，又a1+a2+a3＝9，得a1+a1+2+a1+4＝9，解得a1＝1，所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1（n∈N*）；（2）由（1）可知＝＝（﹣），所以Sn＝[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝（1﹣）＝，所以的前n項和為Sn＝．【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式，裂項相消求和法，考查學(xué)生的邏輯推理及運算求解的能力，屬于中檔題．12．（2021秋?龍鳳區(qū)校級期末）已知數(shù)列{an}的前n項和，n∈N*．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn＝log3a2n﹣1，n∈N*，求數(shù)列的前n項和Tn．【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運算．【分析】（1）求出首項，推出{an}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，然后求解通項公式．（2）化簡數(shù)列的通項公式，利用裂項消項法求解數(shù)列的和即可．【解答】解：（1）當(dāng)n＝1時，由，得a1＝3；當(dāng)n≥2時，由得，∴{an}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，∴，當(dāng)n＝1，a1＝3滿足此式，所以，n∈N*．（2）由（1）可知∴，∴，∴＝，n∈N*【點評】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，考查計算能力，是中檔題．13．（2021秋?定州市期末）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且．（1）求{an}的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和Tn．【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運算．【分析】（1）由an與Sn的關(guān)系，可得通項公式，（2）利用裂項相消法求數(shù)列的和即可．【解答】解：（1）當(dāng)n＝1時，．當(dāng)n?2時，，因為當(dāng)n＝1時，3×1+1＝4，所以an＝3n+1．（2）因為．所以．【點評】本題考查數(shù)列求和，屬于中檔題．14．（2021秋?讓胡路區(qū)校級期末）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an＞0，a1＜2，6Sn＝（an+1）（an+2）．（1）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）令，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：．【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】整體思想；綜合法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運算．【分析】（1）構(gòu)造新等式，作差整理得到（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）＝3（an+an﹣1），進而求解結(jié)論，（2）求出數(shù)列{an}的通項公式，再代入裂項求和即可．【解答】證明（1）：因為6Sn＝（an+1）（an+2），所以當(dāng)n≥2時，6Sn﹣1＝（an﹣1+1）（an﹣1+2），兩式相減，得到，……（1分）整理得（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）＝3（an+an﹣1），又因為an＞0，所以an﹣an﹣1＝3，……（4分）所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為3；……（5分）（2）：當(dāng)n＝1時，6S1＝（a1+1）（a1+2），解得a1＝1或a1＝2，因為a1＜2，所以a1＝1，……（6分）由（1）可知an﹣an﹣1＝3，即公差d＝3，所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2，……（8分）所以，……（10分）所以＝……（12分）【點評】本題主要考查數(shù)列通項公式和前n項和的求解、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．15．（2021秋?唐山期末）已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，2Sn＝（n+1）an，且a1＝1．（1）證明：為常數(shù)列；（2）若，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運算．【分析】（1）由2Sn＝（n+1）an，且a1＝1，可得n≥2時，2Sn﹣1＝nan﹣1，相減化簡整理即可證明結(jié)論．（2）由（1）可得：an＝n，可得bn＝＝﹣，進而得出數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【解答】解：（1）證明：2Sn＝（n+1）an，且a1＝1．n≥2時，2Sn﹣1＝nan﹣1，相減可得：2an＝（n+1）an﹣nan﹣1，化為：＝，∴＝＝……＝＝＝1，∴數(shù)列為常數(shù)列；（2）由（1）可得：an＝n，＝＝﹣，∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝（﹣）+（﹣）+……+（﹣）＝﹣1．【點評】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

考點卡片1．等差數(shù)列的前n項和【知識點的認識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【例題解析】eg1：設(shè)等差數(shù)列的前n項和為Sn，若公差d＝1，S5＝15，則S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，則S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案為：55點評：此題考查了等差數(shù)列的前n項和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出首項a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝4n2﹣25n．求數(shù)列{|an|}的前n項的和Tn．解：∵等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，該等差數(shù)列為﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3項為負，其和為S3＝﹣39．∴n≤3時，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．點評：本題考查等差數(shù)列的前n項的絕對值的和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．其實方法都是一樣的，要么求出首項和公差，要么求出首項和第n項的值．【考點點評】等差數(shù)列比較常見，單獨考察等差數(shù)列的題也比較簡單，一般單獨考察是以小題出現(xiàn)，大題一般要考察的話會結(jié)合等比數(shù)列的相關(guān)知識考察，特別是錯位相減法的運用．2．?dāng)?shù)列的求和【知識點的知識】就是求出這個數(shù)列所有項的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比數(shù)列前n項和公式：③幾個常用數(shù)列的求和公式：（2）錯位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項相消法：適用于求數(shù)列{}的前n項和，其中{an}為各項不為0的等差數(shù)列，即＝（）．（4）倒序相加法：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【典型例題分析】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．分析：形如的求和，可使用裂項相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝．點評：該題的第二問用的關(guān)鍵方法就是裂項求和法，這也是數(shù)列求和當(dāng)中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個等差數(shù)列