由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)

123點(diǎn)評(píng)：（1）分析一中先猜測(cè)出前后兩項(xiàng)差的關(guān)系，再用累加法求出通項(xiàng)；這種用不完全歸納法求出前幾項(xiàng)再找規(guī)律的的方法，對(duì)所有求數(shù)列通項(xiàng)的題均適用，應(yīng)培養(yǎng)歸納能力；（2）分析二中構(gòu)造出新數(shù)列，由新數(shù)列求出an的通項(xiàng)；（3）分析三使用迭代法，這也是由遞推式求通項(xiàng)的基本方法。

二．基本概念：

遞推公式：如果已知數(shù)列的首項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），而且數(shù)列的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）之間的關(guān)系可用公式的形式，這個(gè)公式叫遞推公式。

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例1.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,而且an+1=an+1，求an。

56基本題型的歸納

78910111213例10.已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=5，an+2=an+1-an

，則a1994=

。

分析：可求得各項(xiàng)依次為1，5，4，-1，-5，-4，1，5，……，每6項(xiàng)是一個(gè)周期，而19946得商為332余2，即a1994=5.點(diǎn)評(píng)：求出前幾項(xiàng)，再歸納其規(guī)律從而求an。

14例11.（2002天津）已知數(shù)列{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿(mǎn)足a1=0，a2=3，an+1an=(an-1+2)(an-2+2)。

（1）求a3

；（2）證明an=an-2+2；（3）求an及前n項(xiàng)和Sn.分析：（1）求出a2后再求出a3；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明；（3）采用例3中04安徽題的解題方法。點(diǎn)評(píng)：（1）此題中(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明，這給我們提供了一種思路：當(dāng)“無(wú)路可走”時(shí)，可考慮多寫(xiě)幾項(xiàng)歸納規(guī)律后再用歸納法證明；（2）歸納是邏輯方法中最重要的方法之一，在數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用更為突出，要反復(fù)練習(xí)，達(dá)到運(yùn)用自如的程度。

15例12.已知數(shù)列{an}中，a1=0，a2=2，且an+1+an-1=2（an+1）（n≥2），求通項(xiàng)公式。

分析：由已知，an+1-an=an-an-1+2（n≥2），構(gòu)造新數(shù)列bn=an+1-an，則bn=bn-1+2，即數(shù)列{bn}為公差d=2,首項(xiàng)b1=2的等差數(shù)列。即bn=2n，從而an+1-an=2n。再用例3的累加法求出結(jié)果得an=n(n-1)。

16例13.數(shù)列{an}中，a1=a2=1，且an+2=2an+1-an+2n，求通項(xiàng)an。

分析：可設(shè)法轉(zhuǎn)化為一階遞推數(shù)列，將已知遞推關(guān)系變形為：an+2-an+1-2n+1=an+1-an-2n。這表明數(shù)列{an+2-an+1-2n+1}是常數(shù)列，遞推可得，an+1-an-2n=…=a2-a1-2=-2，即有an+1=an+2n-2，利用題型二方法解出an。

點(diǎn)評(píng)：此例的解題思路為降階。一般地，若數(shù)列滿(mǎn)足a1=a,a2=b，且an+2=pan+1+qan+f(n)，可轉(zhuǎn)化為一階遞推式。設(shè)常數(shù)α、β，使an+2-αan+1=β(an+1-αan)+f(n)與an+2=pan+1+qan+f(n)比較得：p=α+β,q=-α·β。令bn=an+1-αan，則bn+1=βbn+f(n)。

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在用遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)的以上所有例題中，使用了大量的數(shù)學(xué)思想方法，如邏輯方法中的歸納與演繹，類(lèi)比、分析與綜合，非邏輯方法中的