高中數(shù)學(xué)高考 2021屆高三大題優(yōu)練5 立體幾何（理） 教師版

立體幾何立體幾何大題優(yōu)練5優(yōu)優(yōu)選例題例1．如圖，該多面體由底面為正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的邊長為4，H是線段上（不含端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，．（1）若H為EF的中點(diǎn)，證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)樵摱嗝骟w由底面為正方形的直四棱柱被截面所截而成，所以截面是平行四邊形，則．因?yàn)椋?，且，所以四邊形是平行四邊形，所以．因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．?）解：如圖，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，令，得，因?yàn)椋灾本€與平面所成角的正弦值為．例2．如圖，四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)在線段上，且，平面．（1）求證：平面平面；（2）若，求平面和平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）如圖，連接交于點(diǎn)，連接，∵平面，平面，平面平面，∴，由，知，又，即，在中，，由余弦定理，得，即，故，則，∵平面，平面，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）由（1）知，，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，有，，，，，∴，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，則；設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，則，設(shè)平面和平面所成二面角的大小為，則，∴由平面和平面所成銳二面角，故其余弦值為．例3．如圖，在平行四邊形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的位置；（2）在（1）的條件下，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）為的中點(diǎn)，理由見解析；（2）．【解析】（1），，，由余弦定理可得，所以，，四邊形為矩形，，平面平面，平面平面，平面，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)，則，，，，，解得，，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，．（2）由（1）知，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，易知平面的一個(gè)法向量為，，因此，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．例4．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，．【解析】（1）證明：連接，在中，因?yàn)?，，，所以．因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以．在中，，，，由余弦定理，有，所以，所以．在中，，，，滿足，所以，又，所以平面．（2）如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，在中，，而，得，所以．平面的一個(gè)法向量為，直線與平面所成角為，因?yàn)?，，所以，所以．因?yàn)?，所以，得，所以?舍)，所以．

模擬模擬優(yōu)練1．如圖，四棱錐中，底面是菱形，，是棱上的點(diǎn)，是中點(diǎn)，且底面，．（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】證明：在菱形中，，為等邊三角形．又為的中點(diǎn)，，，，底面，平面，．，平面，平面．是棱上的點(diǎn)，平面，．（2）解：底面，，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則．，，，，，．由，得．設(shè)是平面的法向量，由，得，令，則，，則，又平面的法向量為，．由題知，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．2．點(diǎn)，分別是正方形的邊，的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，沿圖中的虛線、、將、、折起使、、三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為點(diǎn)，如圖．（1）證明：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以折起后有，．又，所以平面，又平面，所以．?）解：如圖，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長，則，所以，則有、、，平面的一個(gè)法向量是；設(shè)平面的法向量是，又有，，且，令，則，，得，則，由圖可知該二面角為銳角，故二面角的余弦值為．3．如圖，在四棱錐中，已知，，，，，，為上的動(dòng)點(diǎn)．（1）探究：當(dāng)為何值時(shí)，平面？（2）在（1）的條件下，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，平面，理由見解析；（2）．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，平面．理由如下：如圖，連接，與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，，?dāng)，即時(shí)，有，又平面，平面，所以平面．（2）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，，，所以，所以，所以．因?yàn)?，，所以，，，，所以．又，所以，所以．因?yàn)椋云矫妫字?，，兩兩垂直，故可以以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，．由（1）可知，故，所以，易知平面的一個(gè)法向量為．設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．4．如圖，在五面體中，四邊形為正方形，平面平面，，，．（1）若，求二面角的正弦值；（2）若平面平面，求的長．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，所以，，又四邊形為正方形，則，所以，以為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．則，，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，所以，即，不妨取，則，所以；又，，，所以，，所以，，又，平面，平面，所以為平面的一個(gè)法向量，所以，所以二面角的正弦值為．（2）設(shè)，則，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，所以，即，不妨令，則，所以；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，，得，即，不妨取，則，得，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，即，得，即?．如圖所示，已知直棱柱的底面四邊形是菱形，點(diǎn)，，，分別在棱，，，上運(yùn)動(dòng)，且滿足：，．（1）求證：平面；（2）是否存在點(diǎn)使得二面角的正弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，．【解析】（1）設(shè)，則，，故，因?yàn)榈酌嫠倪呅问橇庑危?，設(shè)，則為的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，由直棱柱可得平面，故平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，故為共線向量，不共線，故，而平面，平面，故平面．（2）設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，，，則，取，則，故；又，取，則，，故，二面角的正弦值為，故二面角的余弦值的絕對值為，故，解得或(舍)，故存在使得二面角的正弦值為，且．6．如圖所示的五面體中，四邊形是正方形，平面平面，，．（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接．因?yàn)?，，所以是等邊三角形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，所以平面，所以．因?yàn)?，，所以平面．又平面，所以平面平面．?）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，．由（1）可知，平面，易知，，，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，．從而，，．因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以，所以．易知，所以．設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨取，則，，所以．設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為．7．如圖所示，已知平行四邊形和矩形所在平面互相垂直，，，，，是線段的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的余弦值；（3）設(shè)點(diǎn)為一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)從出發(fā)，沿棱按照的路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，求這一過程中形成的三棱錐的體積的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】（1）在平行四邊形中，，，，由余弦定理可得，，，，，，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則，，平面，平面，所以．（2）在中，，，，由余弦定理可得，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，則，，，平面，