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文檔簡介

第七講

命題邏輯(下)第七講1目錄第一節(jié)命題公式與真值函項(xiàng)第二節(jié)命題公式之間的邏輯等值關(guān)系第三節(jié)基本的有效推理式第四節(jié)推理有效性的形式證明第五節(jié)無效推理的證明目錄第一節(jié)命題公式與真值函項(xiàng)2第一節(jié)命題公式與真值函項(xiàng)1.1命題公式1.2命題公式與真值函項(xiàng)第一節(jié)命題公式與真值函項(xiàng)31.1命題公式初始符號(hào)命題變?cè)簆,q,r,…命題聯(lián)結(jié)詞:∧,∨,→,,輔助符號(hào):(,)邏輯變?cè)壿嫵To助符號(hào)1.1命題公式初始符號(hào)邏輯變?cè)壿嫵To助符號(hào)4

第1類符號(hào)是邏輯變?cè)?,它們是抽象的命題代表,如果代表真命題,變?cè)≈禐檎?,如果代表假命題則取值為假。因此這類符號(hào)稱作以真值為定義域的變?cè)?。?類符號(hào)是邏輯常元,它們有確定的邏輯解釋因而能夠表達(dá)某種確定的真假聯(lián)系。第3類符號(hào)則是為避免歧義以構(gòu)造合式命題公式所需要的輔助符號(hào)。第1類符號(hào)是邏輯變?cè)?,它們是抽象的命題代表,如果代表真命5形成規(guī)則1、所有命題變?cè)敲}公式;2、如果是命題公式,那么是命題公式3、如果、是命題公式,那么(),(∧)、(Φ∨Ψ)和(ΦΨ)也是命題公式;4、只有符合以上3條的才是命題公式。1.1命題公式形成規(guī)則1.1命題公式6

pq∧r,pq,p∧→qr

這些都不是命題公式。

從邏輯的角度看,命題公式是構(gòu)造出來的,具體命題只是命題公式的例示,即命題公式的一個(gè)特例。如下具體命題都是命題公式“(p∧q)→r”的例示:如果加溫到了一定限度且加壓到一定限度,那么空氣可以液化。如果考試合格并且體檢合格,那么就可以上大學(xué)。(12007/13)pq∧r,pq,p∧→qr71.2命題公式與真值函項(xiàng)

命題公式就相當(dāng)于一個(gè)函數(shù)式,公式的值由變?cè)闹滴ㄒ淮_定。命題公式是一個(gè)以真假為定義域,并且也以真假為值域的特殊函數(shù)。真假是命題的邏輯值,簡稱真值。因此,命題公式被稱作真值函項(xiàng)。1.2命題公式與真值函項(xiàng)命題公式就相當(dāng)于一個(gè)函數(shù)式8我們可以看到,給定n個(gè)命題變?cè)?,則有2n種真假取值,然后構(gòu)成22n個(gè)真值函項(xiàng)。這些不同的真值函項(xiàng)分為三大類:①恒真式。不論其中的變?cè)∈裁礃拥闹?,函?xiàng)式的值恒為真。②恒假式。無論其中的變?cè)∈裁礃拥闹?,函?xiàng)式的值恒為假。③協(xié)調(diào)式。既不是恒真式也不是恒假式的函項(xiàng)式。顯然,協(xié)調(diào)式在其變?cè)哪承┤≈到M合下為真,在另一些取值組合下又為假。因此。協(xié)調(diào)式的真假由變?cè)恼婕贈(zèng)Q定。1.2命題公式與真值函項(xiàng)我們可以看到,給定n個(gè)命題變?cè)?,則有2n種真假取值,然后9第二節(jié)命題公式之間的邏輯等值關(guān)系2.1、命題公式之間的邏輯等值2.2、幾個(gè)重要的重言等值式2.3、命題聯(lián)結(jié)詞的相互定義第二節(jié)命題公式之間的邏輯等值關(guān)系10

邏輯等值的公式:表達(dá)同一真值函項(xiàng)的公式在任何情況下都具有相同的邏輯值,我們稱這些公式是邏輯等值的公式。真值表:判定兩個(gè)公式是否邏輯等值例1、判定命題公式“﹁p∨﹁q”與“﹁(p∧q)”是否邏輯等值。例2、判定命題公式“(p∧q)→r”與“p∨(q→r)”是否邏輯等值。2.1、命題公式之間的邏輯等值邏輯等值的公式:表達(dá)同一真值函項(xiàng)的公式在任何情況下都具有相11如果兩個(gè)公式是等值的,那么以這兩個(gè)公式為子公式構(gòu)造一個(gè)等值式:

(﹁p∨﹁q)(﹁(p∧q))。這個(gè)等值式是恒真的,由此可推知,一個(gè)等值式是重言式,那么它的兩個(gè)子公式邏輯等值。如果一個(gè)等值式是重言式,那么我們就用符號(hào)“”代替等值聯(lián)結(jié)“”。2.1、命題公式之間的邏輯等值如果兩個(gè)公式是等值的,那么以這兩個(gè)公式為子公式構(gòu)造一個(gè)等值式122.2、幾個(gè)重要的重言等值式1、交換律(p∧q)(q∧p)

(p∨q)(q∨

p)2、結(jié)合律((p∧q)∧r)(p

∧(q∧r))((p∨q)∨r)(p

∨(q∨r))3、德摩根律?(p∧q)?p∨?q;?(p∨q)?p∧?q。2.2、幾個(gè)重要的重言等值式1、交換律(p∧q)(q134、分配律p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r)

p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r)5、實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵(p→q)(p∨q)

理解:當(dāng)前件假(p)而后件真(q)時(shí)p→q恒真。6、假言易位(p→q)(q→p)

理解:充分條件假言命題的否定后件式推理2.2、幾個(gè)重要的重言等值式4、分配律p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r)147、移出律(p∧q)→rp→(q→r)

理解:假言前件可以分先后出現(xiàn)。8、實(shí)質(zhì)等值(pq)(p→q)∧(q→p)理解:等值式分解為蘊(yùn)涵和逆蘊(yùn)涵。9、雙否律pp

理解:二值邏輯。10、重言律pp∧p;pp∨p

理解:思維的重復(fù)反映2.2、幾個(gè)重要的重言等值式7、移出律(p∧q)→rp→(q→r152.3、命題聯(lián)結(jié)詞的相互定義“,∨”、“,∧”、“,→”例:證明用“,∨”構(gòu)造的命題公式可以定義所有五種基本命題公式。如:

(p∧q)

?(?p∨?q)(p→q)(?p∨q)

(pq)?2.3、命題聯(lián)結(jié)詞的相互定義“,∨”、“,∧”、“,→16

3.1、推理的有效性3.2、基本的有效推理式第三節(jié)基本的有效推理式3.1、推理的有效性第三節(jié)基本的有效推理式17

(1)“如果張珊是中國公民并且她有選舉權(quán),那么張珊年滿18歲。張珊是中國公民,但是她還沒滿18歲。所以,張珊沒有選舉權(quán)?!保?)“如果張珊是中國公民并且她有選舉權(quán),那么張珊年滿18歲。張珊是中國公民,但是她還沒滿18歲。張珊沒有選舉權(quán)?!?.1、推理的有效性(p∧q→r)∧(p∧?r)→?q

(1)“如果張珊是中國公民并且她有選舉權(quán),那么張珊年滿18第三節(jié)基本的有效推理式3.1推理的有效性推理是一個(gè)包含特殊詞項(xiàng)的命題集合,根據(jù)這樣的詞項(xiàng),我們可以區(qū)分出前提和結(jié)論。推理的有效性是由推理的形式?jīng)Q定的。它表現(xiàn)為作為前提的命題同作為結(jié)論的命題之間的一種邏輯關(guān)聯(lián)性,這種邏輯關(guān)聯(lián)取決于構(gòu)成推理的命題的形式結(jié)構(gòu)特征。(12005/14)第三節(jié)基本的有效推理式3.1推理的有效性19如果前提真時(shí)結(jié)論必然是真的,我們就稱前提和結(jié)論之間有必然的邏輯聯(lián)系。這種聯(lián)系保證了推理決不會(huì)出現(xiàn)前提真而結(jié)論假的情況。因此,可以由前提的真來保證結(jié)論真,由前提可靠有效地推演出結(jié)論的可靠。前提和結(jié)論之間具有必然邏輯聯(lián)系的推理就是有效推理。如果前提和結(jié)論之間不具有必然的邏輯聯(lián)系,那么前提真時(shí)結(jié)論是否為真不能確定,即不能由前提的真有效地推導(dǎo)出結(jié)論真,這樣的推理就是無效推理。3.1、推理的有效性如果前提真時(shí)結(jié)論必然是真的,我們就稱前提和結(jié)論之間有20推理:設(shè)命題序列Γ=<p1,p2….pn,q>是一個(gè)推理形式,其中p1,p2….pn是前提,q是結(jié)論。Γ是一個(gè)有效的推理式,當(dāng)且僅當(dāng),如果p1,p2….pn真那么q一定為真。Γ是無效推理式,如果至少有一個(gè)代換示例使得p1,p2….pn真但q假?!按鷵Q示例”這里指的是命題公式。推理:21根據(jù)合取式的邏輯特征:p∧q

∴p(q)合取消去簡記為∧-合取引入簡記為∧+Pq∴p∧q3.2基本的有效推理式小張喜愛音樂,小張喜愛體育,所以,小張不但喜愛音樂,也喜愛體育。小張既有優(yōu)點(diǎn),也有缺點(diǎn),所以,小張是有優(yōu)點(diǎn)的。根據(jù)合取式的邏輯特征:p∧q∴p(q)合取22根據(jù)析取式的邏輯特征:選言三段論簡記∨-pq?p

∴q附加規(guī)則簡記∨+

p∴pq或者李某是嫌疑犯,或者王某是嫌疑犯(或者二者都是);李某不是嫌疑犯;所以,王某是嫌疑犯。發(fā)燒可由肺炎引起;所以,發(fā)燒或者可由肺炎引起或者可由感冒引起。(13上/12)3.2基本的有效推理式

注意與∧-的區(qū)別:是間接的(有兩個(gè)前提)而不是直接的。根據(jù)析取式的邏輯特征:選言三段論pq∴q23根據(jù)蘊(yùn)涵式的邏輯特征:分離規(guī)則(蘊(yùn)涵消去)簡記MPp→q

p

∴q逆分離規(guī)則簡記MTp→q

?q∴?p假言三段論簡記HSp→q

p

∴qp→q

p∴?p注意:也是間接的(需要有前件真作條件才能消去→)

p→qq→r

p→r根據(jù)蘊(yùn)涵式的邏輯特征:分離規(guī)則(蘊(yùn)涵消去)p→q24根據(jù)蘊(yùn)涵式的邏輯特征:二難推理(CD)(p→q)∧(r→s)

p∨r

∴q∨s(p→q)∧(r→s)

q∨s

∴p∨r破壞式二難推理(DD)根據(jù)蘊(yùn)涵式的邏輯特征:二難推理(CD)(p→q)∧(r→s25第四節(jié)、推理有效性的形式證明4.1、推理有效性與命題演算4.2、有效推理的形式證明4.3、等值替換規(guī)則4.4、條件證明規(guī)則C.P4.5、間接證明規(guī)則RAA4.6、證明重言式第四節(jié)、推理有效性的形式證明4.1、推理有效性與命題演算264.1推理有效性與命題演算對(duì)于簡單的復(fù)合命題推理,我們可以直接根據(jù)這些基本有效式來判定推理是否有效。但是對(duì)于復(fù)雜的推理這樣就不夠了。例1:如果商品短缺日益嚴(yán)重(A),那么物價(jià)會(huì)上漲(B);如果存在生產(chǎn)過剩(C),那么物價(jià)不會(huì)上漲(B);如果存在通貨膨脹威脅(D),那么財(cái)政控制將繼續(xù)(E);如果政府改組(F),那么財(cái)政控制將取消(E);或者存在生產(chǎn)過剩(C),或者政府改組(F);因此,商品短缺不會(huì)日益嚴(yán)重(A),或者不再存在通貨膨脹威脅(D)。(A→B)∧(C→B)∧(D→E)∧(F→E)∧C∨F→(A∨D)4.1推理有效性與命題演算對(duì)于簡單的復(fù)合命題推27命題演算系統(tǒng)建立命題演算系統(tǒng)有兩種方法:一是公理化方法,一是自然演繹方法。公理化的命題演算系統(tǒng)是在形式語言基礎(chǔ)上增添公理和變形規(guī)則建構(gòu)起來的。自然演繹系統(tǒng),沒有公理,只有一系列推理規(guī)則。它是引入特定前提為假設(shè),根據(jù)推理規(guī)則推演出結(jié)論而建構(gòu)起來的演算系統(tǒng)。4.1推理有效性與命題演算命題演算系統(tǒng)4.1推理有效性與命題演算284.2有效推理的形式證明在命題演算系統(tǒng)中對(duì)推理有效性的證明稱作形式證明。現(xiàn)在給出自然演繹系統(tǒng)中形式證明的定義:形式證明的定義:一個(gè)形式證明是一個(gè)命題公式序列A1,A2,An。其中任一的Ai(1in)或者是前提,或者是由前面的公式根據(jù)推理規(guī)則得到的。序列的最后一個(gè)公式An恰好是結(jié)論。4.2有效推理的形式證明在命題演算系統(tǒng)中對(duì)推理有效29自然演繹系統(tǒng)形式證明是建立在推理規(guī)則基礎(chǔ)之上的。這些規(guī)則大約可分為四部分:一是基本推導(dǎo)規(guī)則;二是等值替換規(guī)則;三是條件證明規(guī)則;四是間接證明規(guī)則。4.2有效推理的形式證明自然演繹系統(tǒng)形式證明是建立在推理規(guī)則基礎(chǔ)之上的。4.2有30根據(jù)合取式的邏輯特征:p∧q∴p分解式簡記為∧-組合式簡記為∧+Pq∴p∧q根據(jù)析取式的邏輯特征:選言三段論簡記∨-P∨q?p

∴q附加式簡記∨+P∴P∨q一、基本推導(dǎo)規(guī)則:∴p根據(jù)合取式的邏輯特征:p∧q∴p分解式組合式P∴31根據(jù)蘊(yùn)涵式的邏輯特征:分離式簡記MP(→-)p→q

p

∴q逆分離式簡記MTp→q

?q

∴?p二難推理CD(p→q)∧(r→s)

p∨r

∴q∨s假言三段論簡記HSp→q

q→r

∴p→r一、基本推導(dǎo)規(guī)則:(p→q)∧(r→s)

q∨s

∴p∨r破壞式二難推理DD顯然,也有假言聯(lián)言的構(gòu)成式和破壞式推理。根據(jù)蘊(yùn)涵式的邏輯特征:分離式p→q∴q逆分離32例1如果商品短缺日益嚴(yán)重,那么物價(jià)會(huì)上漲。如果存在生產(chǎn)過剩,那么物價(jià)不會(huì)上漲。如果存在通貨膨脹威脅,那么財(cái)政控制將繼續(xù)。如果政府改組,那么財(cái)政控制將取消?;蛘叽嬖谏a(chǎn)過剩,或者政府改組。因此,商品短缺不會(huì)日益嚴(yán)重,或者不再存在通貨膨脹威脅。首先將該推理形式化,在此基礎(chǔ)上建立該推理有效性的形式證明。解:設(shè)“商品短缺日益嚴(yán)重”為A,“物價(jià)會(huì)上漲”為B,“存在生產(chǎn)過?!睘镃,“存在通貨膨脹威脅”為D,“財(cái)政控制將繼續(xù)”為E,“政府改組”為F。(A→B)∧(C→B)∧(D→E)∧(F→E)∧C∨F→(A∨D)例1如果商品短缺日益嚴(yán)重,那么物價(jià)會(huì)上漲。如果存在生33

(A→B)∧(C→B)∧(D→E)∧(F→E)∧(C∨F)→(A∨D)①A→BP②C→BP③D→EP④F→EP⑤C∨FP/∴A∨D⑥(C→B)∧(F→E)②④∧+⑦B∨E⑥⑤CD⑧(A→B)∧(D→E)①③∧+⑨A∨D⑦⑧DD要善于觀察,從結(jié)論去倒推:看到A和D可從對(duì)①和③的否定推出,而否定①和③必須有B和E,其又可從對(duì)②和④的肯定得出,再看到⑤C∨F剛好是②和④的前提,可以構(gòu)成二難推理CD,推出⑦又是對(duì)①和③的后件的否定,可以構(gòu)成破壞式二難推理DD,推出A∨D。(A→B)∧(C→B)∧(D→E)∧(34我們還看到,整個(gè)形式證明的內(nèi)容可分為三部分(三列):第一部分是序號(hào),它既標(biāo)示了命題公式出現(xiàn)的順序,這些序號(hào)同時(shí)又是在它后面出現(xiàn)的那個(gè)公式的代表。第二部分是若干個(gè)命題公式,它們或者是前提,或者是由前面的公式根據(jù)推理規(guī)則得到的。第三部分則是一些根據(jù),它說明每個(gè)命題公式在為什么在形式證明中出現(xiàn)。形式證明的這三個(gè)構(gòu)成部分缺一不可。我們還看到,整個(gè)形式證明的內(nèi)容可分為三部分(三列):354.3等值替換規(guī)則例:(A∨B)→C/A→C運(yùn)用八條基本規(guī)則不能建立有關(guān)這個(gè)推理的形式證明。等值替換規(guī)則實(shí)際上就是引入一些邏輯等值式作為推理規(guī)則,并規(guī)定在形式證明中,等值式兩邊的公式可以相互替換使用。4.3等值替換規(guī)則例:(A∨B)→C/A→C36二、置換規(guī)則交換律(Com):

結(jié)合律(Ass):

德·摩根律(Dem):

?(p∧q)(?p∨?q)?(p∨q)(?p∧?q)p∧qq∧pp∨q

q∨pp∧(q∧r)(p∧q)∧rp∨(q∨r)(p∨q)∨r二、置換規(guī)則交換律(Com):結(jié)合律(Ass):德·摩根律37分配律(Dist):實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵律(Impl):假言易位律(Tran):p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r);p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r)(p→q)

(p∨q)(p→q)

(q→p)分配律(Dist):實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵律(Impl):假言易位律38移出律(Exp):實(shí)質(zhì)等值(Eq):

(-,+)雙否律(DN):(?-)重言律(Taut):[p∧q]→rp→(q→r)pq(p→q)∧(q→p)p??pp(p∧p)p(p∨p)移出律(Exp):實(shí)質(zhì)等值(Eq):雙否律(DN):重言律(39(A∨B)→C\A→C證:①(A∨B)→CP\A→C②

(A∨B)∨C①Impl③(A∧B)∨C②DeM④(A∨C)∧(B∨C)③Dist⑤A∨C④∧-⑥A→C⑤Impl(A∨B)→C\A→C40課堂練習(xí)一、運(yùn)用真值表方法或命題演算形式證明方法,判定下列命題是不是等值命題。l.如果這匹馬兒不吃飽草,那么這匹馬兒不能跑。2.或者這匹馬兒吃飽草,或者這匹馬兒不能跑。3.既要這匹馬兒跑,又要這匹馬兒不吃飽草,這是辦不到的。(12007/14)課堂練習(xí)一、運(yùn)用真值表方法或命題演算形式證明方法,判定下列命414.4證明的方法一推理有效性的形式證明(一)條件證明規(guī)則有了基本推導(dǎo)規(guī)則和等值替換規(guī)則還不足以為所有有效的復(fù)雜推理建立形式證明,例如下列推理A→(B→C)\∴(A→B)→(A→C)

這個(gè)推理是有效的,但要證明其有效性還需要引入新的推理規(guī)則。因此我們引入條件證明規(guī)則C.P。引入這條規(guī)則還有一個(gè)作用,即可以簡化證明過程。4.4證明的方法一推理有效性的形式證明(一)條件證明42條件證明規(guī)則的根據(jù):有效推理的邏輯特征是:前提真時(shí)結(jié)論必真,不存在有使其前提真而結(jié)論假的例示。如果我們以有效推理的前提的合取為前件,結(jié)論為后件構(gòu)造一個(gè)蘊(yùn)涵式,那么這個(gè)蘊(yùn)涵式就不可能前件真而后件假。相反,如果推理式不是有效的,那么存在這樣的例示使得該推理式前提真而結(jié)論假。因此,與這個(gè)推理式相應(yīng)的蘊(yùn)涵式就不可能是重言式。4.4證明的方法條件證明規(guī)則的根據(jù):4.4證明的方法43

由此我們看到,如果用一個(gè)推理式前提的合取為前件,結(jié)論為后件構(gòu)造一個(gè)蘊(yùn)涵式,那么這個(gè)推理式與該蘊(yùn)涵式之間存在這樣一種等價(jià)關(guān)系:如果推理式是有效的,那么蘊(yùn)涵式是重言式;如果推理式不是有效的,那么蘊(yùn)涵式就不是重言式。

等值替換規(guī)則中的移出律(Exp)指出,如下兩個(gè)蘊(yùn)涵式是邏輯等值的:

((p∧q)→r)(p→(q→r))兩個(gè)蘊(yùn)涵式分別對(duì)應(yīng)于如下推理式:4.4證明的方法由此我們看到,如果用一個(gè)推理式前提的合取為前件,結(jié)44

(p∧q)→r對(duì)應(yīng)于

p→(q→r)對(duì)應(yīng)于

pp??????q∴q→r∴r這兩個(gè)推理式的區(qū)別在于:命題公式“q”在左邊的推理式中是前提,而在右邊的推理式中是結(jié)論的構(gòu)成部分。就是說,右邊的推理式比左邊的少了一個(gè)前提“q”,并且它們有不同的結(jié)論:左邊推理式的結(jié)論是“r”,右邊推理式的則是“q→r”,“q”從前提中消去而變成了結(jié)論的前件。4.4證明的方法(p∧q)→r對(duì)應(yīng)于45由于兩個(gè)蘊(yùn)涵式是邏輯等值的,即如果一個(gè)是重言式,另一個(gè)也必是;一個(gè)不是重言式,另一個(gè)也必不是。因此這兩個(gè)推理式是等價(jià)的:如果一個(gè)推理式有效,另一個(gè)必有效;一個(gè)是無效的,另一個(gè)也必?zé)o效。條件證明規(guī)則C.P(→+)p??q∴p→q4.4證明的方法由于兩個(gè)蘊(yùn)涵式是邏輯等值的,即如果一個(gè)是重言式,另46例1A→(B→C)\∴(A→B)→(A→C)證明:①A→(B→C)P②(A∧B)→C①Exp③(B∧A)→C②Com④B→(A→C)③Exp

⑤A→B⑥A→(A→C)④⑤HS⑦(A∧A)→C⑥Exp⑧A→C⑦Taut⑨(A→B)→(A→C)⑤-⑧C?P4.4證明的方法例1A→(B→C)\∴(A→B)→(A→C)4.47由上例中我們看到,第⑤步是將結(jié)論的前提作為一個(gè)附加前提引入了形式證明中,到第⑧步推出了結(jié)論的后件,于是就運(yùn)用C?P規(guī)則消去⑤這個(gè)附加前提,即以⑤為前件⑧為后件而得到⑨,⑨恰好是結(jié)論。我們?cè)谝敫郊忧疤幄莸耐瑫r(shí)就用線段標(biāo)明了這個(gè)附加前提的轄域。在轄域中出現(xiàn)的⑥、⑦和⑧這幾個(gè)公式依賴于①和⑤這兩個(gè)前提。而公式⑨出現(xiàn)在附加前提⑤的轄域之外,因?yàn)镃?P規(guī)則的運(yùn)用已經(jīng)將⑤從前提中消去,⑨就只依賴于前提①了。4.4證明的方法由上例中我們看到,第⑤步是將結(jié)論的前提作為一個(gè)附加前提引48因此,標(biāo)明轄域在條件證明規(guī)則C?P的運(yùn)用中有很重要的意義。我們規(guī)定,凡引入附加前提必須標(biāo)明該前提的轄域。而轄域沒有封閉,證明就不能結(jié)束,因?yàn)檫@時(shí)推演出的公式還依賴于附加前提,即依賴于給定前提之外的東西。如果轄域已經(jīng)封閉,那么在轄域中出現(xiàn)的公式不能再作為推演的根據(jù),因?yàn)槲覀儽仨毐WC推出的結(jié)論只依賴于給定的前提,不需要除前提外的其它東西。錯(cuò)誤地運(yùn)用條件證明規(guī)則舉例:4.4證明的方法因此,標(biāo)明轄域在條件證明規(guī)則C?P的運(yùn)用中有很重要的意義49

①V∨UP②U∨WP③(V∧X)→WP\∴V→X④V⑤U①④∨-⑥W②⑤∨-⑦(V∧X)③⑥MT⑧V∨X⑦DeM⑨V→X⑧Impl

注意:這個(gè)形式證明的錯(cuò)誤在于附加前提④的轄域沒有封閉。雖然公式⑨與結(jié)論有完全相同的形式,但它是出現(xiàn)在附加前提④的轄域內(nèi),除給定前提①②③外,它還依賴于④,而④是原前提中沒有的。(13上/13)

這個(gè)證明只是在形式上不完善。只要修改一下,再增加兩步,就可以使它成為正確的形式證明:①V∨U50

①V∨UP②U∨WP③(V∧X)→WP\∴V→X④V⑤U①④∨-⑥W②⑤∨-⑦(V∧X)③⑥MT⑧V∨X⑦DeM⑨V→(V∨X)④-⑧C.P⑩V→(V→X)⑨Impl⑾(V∧V)→X⑩Exp(12)V→X⑩Taut①V∨U51例2:證明A→(B∧D)B→((C→(C∨E))→F)/∴A→F例2:證明52例2A→(B∧D)B→((C→(C∨E))→F)/∴A→F證明:①A→(B∧D)P②B→((C→(C∨E))→F)P③A④B∧D①③MP⑤B④∧-⑥(C→(C∨E))→F②⑤MP⑦C⑧C∨E⑦∨+⑨C→(C∨E)⑦-⑧C?P⑩F⑥⑨MP⑾A→F③-⑩C?P

觀察到從A到F有一系列中間環(huán)節(jié),所以證明的方法就是考慮如何把這些中間環(huán)節(jié)去掉,最后推出A→F。(12005/15)例2A→(B∧D)53(二)間接證明規(guī)則RAA

間接證明又叫做歸謬證明或反證法。這是一種在數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的證明方法。當(dāng)我們要證明某一定理時(shí),先引入該定理的否定作為假設(shè),然后由這一假設(shè)推導(dǎo)出矛盾。由于矛盾是不可能的,假設(shè)一定錯(cuò)誤,即該定理的否定不成立。由此就間接地證明了該定理成立。4.4證明的方法(二)間接證明規(guī)則RAA4.4證明的方法54間接證明規(guī)則就是根據(jù)這一思路得到的。當(dāng)我們?yōu)橐挥行评斫⑿问阶C明時(shí),不是直接去證明由前提推演出結(jié)論,而是將結(jié)論的否定作為一個(gè)補(bǔ)充前提引入形式證明。然后由擴(kuò)充的前提集合推演出一個(gè)矛盾:即推演出一個(gè)形式為“p∧p”的命題公式。由這個(gè)矛盾我們實(shí)際上推演出對(duì)這個(gè)補(bǔ)充前提的否定,即對(duì)結(jié)論的否定的否定,再根據(jù)雙否律DN,就相當(dāng)于推演出結(jié)論。亦即反證法。4.4證明的方法間接證明規(guī)則就是根據(jù)這一思路得到的。當(dāng)我們?yōu)橐挥行评斫?5例3

A→(B∧C)(B∨D)→ED∨A/∴E證明:⑴A→(B∧C)P⑵(B∨D)→EP⑶D∨AP/∴E

⑷ERAA⑸(B∨D)⑵⑷MT⑹B∧D⑸DeM⑺D⑹∧-⑻A⑶⑺∨-⑼B∧C⑴⑻MP

⑽B⑼∧-⑾B⑹∧-

⑿B∧B⑽⑾∧+————————————————

∴E(

E)

例3A→(B∧C)56在這個(gè)形式證明中,公式⑷是結(jié)論“E”的否定,它是作為補(bǔ)充前提引入證明的。證明的最后一步是公式⑿,它是一個(gè)矛盾式,恒為假。如果推理是有效的,前提真時(shí)結(jié)論必真?,F(xiàn)在由于引入補(bǔ)充前提⑷而推出了假結(jié)論,因此公式⑷這個(gè)補(bǔ)充前提一定不成立。⑷不成立即結(jié)論的否定不成立,即“E”,根據(jù)雙否律推出“E”。“E”即結(jié)論,因此結(jié)論成立。4.4證明的方法在這個(gè)形式證明中,公式⑷是結(jié)論“E”的否定,它是作為補(bǔ)充57由例3可見,運(yùn)用間接證明規(guī)則就是將結(jié)論的否定作為補(bǔ)充前提引入證明,最后推出矛盾。由此間接地證明結(jié)論成立,推理有效。4.4證明的方法由例3可見,運(yùn)用間接證明規(guī)則就是將結(jié)論的否定作為補(bǔ)充前58(三)證明重言式

有一種命題的真是無條件的,不依賴于其它命題。這樣的命題就是重言式。形式證明同樣適用于證明重言式。可以證明重言式是不需要任何前提就可以推演出的命題。(通常的推理是協(xié)調(diào)式即可滿足式,即在一定前提下可以為真的復(fù)合命題)

雖然證明重言式不需要任何前提,但建立形式證明需要有出發(fā)點(diǎn)。這意味著我們只能用條件證明或者間接證明的方法來證明重言式,因?yàn)橹挥羞@兩種方法可以引入假設(shè)前提。我們以假設(shè)前提為出發(fā)點(diǎn)就能建立重言式的形式證明。4.4證明的方法(三)證明重言式有一種命題的真是無條件的,不59用條件證明方法證明重言式就是先引入假設(shè)前提,然后逐步消去所有假設(shè)前提而推演出一個(gè)公式,這個(gè)命題公式就是不依賴于任何前提的重言式。例4證明A→(B→A)是重言式。證明:①A

②A∨B①∨+③B∨A②Com

④B→A③Impl⑤A→(B→A)①-④C?P4.4證明的方法用條件證明方法證明重言式就是先引入假設(shè)前提,然后逐步消去所60例5證明((p→q)∧p)→q是重言式證明:①(p→q)∧p②p→q①∧-③p①∧-

④q②③MP⑤((p→q)∧p)→q①-④C?P例5證明((p→q)∧p)→q是重言式61

用間接證明方法證明重言式則是將所證公式的否定引入作為假設(shè)前提,然后推出矛盾。否定一個(gè)公式將導(dǎo)致邏輯矛盾,那么這個(gè)公式一定是重言式。

例6證明A→(A∨B)是重言式證明:①(A→(A∨B))②(A∨(A∨B))①Impl③A∧(A∨B)②DeM④A∧(A∧B)③DeM⑤(A∧A)∧B④Ass⑥A∧A⑤∧-用間接證明方法證明重言式則是62二無效推理的證明(一)用真值表證明推理的無效性一個(gè)推理是有效的,我們可以為其建立一個(gè)形式證明。形式證明運(yùn)用推理規(guī)則說明,結(jié)論是從前提推演出來的,因此前提真時(shí)結(jié)論不可能假,推理當(dāng)然就是有效的。二無效推理的證明(一)用真值表證明推理的無效性一個(gè)推63如果推理是無效的,那么運(yùn)用推理規(guī)則不可能從前提推演出結(jié)論。所謂不可能是指:無論怎樣推演都推不出結(jié)論形式的命題公式。形式證明并沒有規(guī)定推演到多少步就必須中止。因此,對(duì)于無效推理我們面臨的是一個(gè)無法窮盡的推演過程。這意味著形式證明方法不能證明推理是無效的。如果推理是無效的,那么運(yùn)用推理規(guī)則不可能從前提推演出結(jié)論64

我們的命題邏輯系統(tǒng)不僅要能證明有效推理,而且還應(yīng)該證明推理的無效性。因此,必須給出證明無效推理的方法。真值表是判定推理是否有效的可靠方法。一個(gè)推理是有效的,那么前提真時(shí)結(jié)論必真。在真值表上表現(xiàn)為無論變?cè)毁x予什么樣的值,作為前提的命題公式真時(shí),作為結(jié)論的命題公式一定是真的。如果一個(gè)推理是無效的,其前提真時(shí)結(jié)論可真可假。因此只要在真值表上找到一組變?cè)馁x值使得前提真而結(jié)論假,那么推理就是無效的。(12007/15)我們的命題邏輯系統(tǒng)不僅要能證明有效推理,而且還應(yīng)該65例7用真值表判定下列推理是否有效。C→(A∧B),A∨C/∴B→C證明:給出相應(yīng)的真值表:ABCA∧BC→(A∧B)A∨CB→CTTTTTTT

*TTFTTTFTFTFFTTTFFFTTTFTTFFTTFTFFTFFFFTFFTTFFFFFFT例7用真值表判定下列推理是否有效。66通過列舉使推理形式前提真而結(jié)論假的賦值情況,以證明推理無效,這種方法被稱作簡化真值表方法。例8判定如下推理是否有效:如果水稻長得好,那么水分充足并且肥料充足。只要風(fēng)調(diào)雨順,這塊地就水分充足。所以,只要風(fēng)調(diào)雨順,那么如果這塊地肥料充足水稻就長得好。通過列舉使推理形式前提真而結(jié)論假的賦值情況,以證明推理無67證明:首先將推理形式化:令“水稻長得好”為A,“水分充足”為B,“肥料充足”為C,“風(fēng)調(diào)雨順”為D,該推理的形式如下:

A→(B∧C)D→B∴D→(C→A)只要找到一組對(duì)變?cè)馁x值,使得推理的前提真而結(jié)論假,就足以證明該推理是無效的?,F(xiàn)將這組賦值列舉如下:ABCD(A→(B∧C))∧(D→B)→(D→(C→A))FTTTTTT

TFTFF證明:首先將推理形式化:68(二)用歸謬賦值法證明推理的有效或無效性歸謬賦值法的基本思路同間接證明方法類似。我們要證明一個(gè)推理是有效的,先假設(shè)它無效,這就是歸謬。然后根據(jù)假設(shè)對(duì)前提和結(jié)論進(jìn)行賦值,即給命題公式的變?cè)概纱_定的真值,以使得推理的前提真而結(jié)論假。如果找到這樣一組的賦值使得假設(shè)成立,那么就說明推理是無效的。我們可以運(yùn)用上述簡化真值表方法把這一組賦值列出來,以證明推理的無效性。(二)用歸謬賦值法證明推理的有效或無效性歸謬賦值法的基本69如果找不到使假設(shè)成立的賦值,那么就說明假設(shè)不成立,推理是有效的。所謂找不到使假設(shè)成立的賦值是指,根據(jù)假設(shè)對(duì)前提和結(jié)論賦值必將導(dǎo)致矛盾,即不可避免地要對(duì)同一個(gè)變?cè)荣x值T又賦值F。如果找不到使假設(shè)成立的賦值,那么就說明假設(shè)不成立,推理是70例9判定下列推理是否有效:

A→(B∧C)(C∨D)→E∴A→E證明:假定推理無效,然后根據(jù)假定對(duì)前提和結(jié)論賦值:(A→(B∧C))∧((C∨D)→E))→(A→E)(5)

T

T————F

F

(4)T

TFF(3)T

T

T

F

(2)

T

F

(1)F

即把所有前提合取與結(jié)論一起構(gòu)成一個(gè)蘊(yùn)涵式,然后對(duì)整個(gè)蘊(yùn)含式取假(即歸謬賦值),即前件真而后件假,然后倒推出各個(gè)支命題和変元的真值,看有無矛盾的情況:有矛盾即可證明賦值是錯(cuò)的,亦即原命題是有效推理;無矛盾則說明賦值是對(duì)的,推理無效。(13/14)例9判定下列推理是否有效:71例1:((p∨q)∧p)→q

F

TF

T

T

T

F

例2:((p∨q)∧?p)→q

F

TF

TT

T——x——F例1:((p∨q)∧p)→q72練習(xí):用歸謬賦值法判定下列公式是否為重言式:1.(p→q)∧(r→q)∧(p∨r)→q2.((p→q)∧(q→r))→(p→r)練習(xí):用歸謬賦值法判定下列公式是否為重言式:73附:簡單的模態(tài)推理一、模態(tài)命題1.1模態(tài)詞與模態(tài)命題“模態(tài)”一詞源自英文modal,有“形式的、情態(tài)的、語氣的或模式的”之意。字面上,模態(tài)詞是一些表示情態(tài)、語氣等的特殊語詞。如:

必然、可能“模態(tài)”可分為狹義和廣義。廣義的模態(tài)邏輯還包括知道邏輯、道義邏輯等等。附:簡單的模態(tài)推理一、模態(tài)命題741.1模態(tài)詞與模態(tài)命題模態(tài)命題是由一般命題加上模態(tài)詞構(gòu)成的。模態(tài)詞有兩個(gè):“必然”和“可能”。用“L”(□)和“M”(

)表示。于是,模態(tài)命題語言有如下基本符號(hào):(1)命題變?cè)簆,q,r,…(2)命題聯(lián)結(jié)詞:、、、、(3)模態(tài)詞:L(□),M(

)(4)輔助符號(hào):(,)其中,(2)、(3)為常元1.1模態(tài)詞與模態(tài)命題模態(tài)命題是由一般命題加上模態(tài)詞構(gòu)成751.1模態(tài)詞與模態(tài)命題模態(tài)公式的形成規(guī)則:(1)所有(1)類基本符號(hào)是模態(tài)命題公式;(2)若和是模態(tài)命題公式,則,,,,也是公式;(3)若是公式,則L和M也是公式;(4)只有符合上述3條的才是模態(tài)命題公式。1.1模態(tài)詞與模態(tài)命題模態(tài)公式的形成規(guī)則:761.1模態(tài)詞與模態(tài)命題不包含模態(tài)詞的公式也可稱為模態(tài)公式,是特殊的模態(tài)公式,即包含有0個(gè)模態(tài)詞的模態(tài)命題公式。模態(tài)詞也是邏輯算子,作用于命題將改變命題的邏輯值。如:

“太陽系有9顆行星”是真的,而“太陽系有9顆行星是必然的”卻是假的。1.1模態(tài)詞與模態(tài)命題不包含模態(tài)詞的公式也可稱為模態(tài)公式771.1模態(tài)詞與模態(tài)命題命題聯(lián)結(jié)詞是真值函項(xiàng)算子,其值由支命題的邏輯值惟一地決定。邏輯模態(tài)詞則不同。它作用于支命題得到模態(tài)命題,而模態(tài)命題的值不由支命題的值決定。所以,模態(tài)命題公式Lp和Mp的邏輯值不是由支命題p的邏輯值確定的。1.1模態(tài)詞與模態(tài)命題命題聯(lián)結(jié)詞是真值函項(xiàng)算子,其值781.2模態(tài)命題的邏輯性質(zhì)命題所描述的對(duì)象有事實(shí)和事態(tài)之分:事實(shí)是實(shí)際發(fā)生的情況;而事態(tài)只同可能情況相關(guān)。而世界是由事態(tài)決定的。世界是事態(tài)的總和。事態(tài)可以存在或不存在。存在的原子事態(tài)就是事實(shí)??赡苁澜缡怯墒聭B(tài)構(gòu)成。若事態(tài)都是事實(shí),其總和就是一個(gè)真實(shí)世界。于是,有若干可能世界,真實(shí)世界只是各種可能世界中的一部分。1.2模態(tài)命題的邏輯性質(zhì)命題所描述的對(duì)象有事實(shí)和事態(tài)之分791.2模態(tài)命題的邏輯性質(zhì)可及關(guān)系可用“想象”來理解:命題Lp在w真,iff我們?cè)趙所能想象的所有可能世界中p都真。若我們?cè)趙能想象一個(gè)世界w*,p在w*中為假,Lp在w中就是假的。1.2模態(tài)命題的邏輯性質(zhì)可及關(guān)系可用“想象”來理解:801.2模態(tài)命題的邏輯性質(zhì)用R表示可及關(guān)系,W表示所有可能世界的集合,w是W的任一元素,即w表示任一可能世界。用V(p,w)=T表示“p在w真”。于是,模態(tài)命題公式的邏輯性質(zhì)就可以嚴(yán)格地描述如下:1.2模態(tài)命題的邏輯性質(zhì)用R表示可及關(guān)系,W表示所有可能811.2模態(tài)命題的邏輯性質(zhì)命題Lp在w真,即V(Lp,w)=T,iff對(duì)于所有的w*W,如果wRw*,那么,V(p,w*)=T;命題Lp在w假,即V(Lp,w)=F,iff對(duì)于所有的w*W,使得wRw*,并且V(p,w*)=F;1.2模態(tài)命題的邏輯性質(zhì)命題Lp在w真,即V(Lp,w821.2模態(tài)命題的邏輯性質(zhì)命題Mp在w真,即V(Mp,w)=T,iff存在著w*W,使得wRw*,并且

V(p,w*)=T;命題Mp在w假,即V(Mp,w)=F,iff對(duì)于所有的w*W,如果wRw*,那么,V(p,w*)=F.1.2模態(tài)命題的邏輯性質(zhì)命題Mp在w真,即V(Mp,w831.2模態(tài)命題的邏輯性質(zhì)模態(tài)L和M之間有如下關(guān)系:

□p

p

p□p1.2模態(tài)命題的邏輯性質(zhì)模態(tài)L和M之間有如下關(guān)系:843.1模態(tài)命題的對(duì)當(dāng)關(guān)系推理上反對(duì)

□p□p差矛矛差

p————————————p

盾盾

等等

p

p下反對(duì)3.1模態(tài)命題的對(duì)當(dāng)關(guān)系推理853.1模態(tài)命題的對(duì)當(dāng)關(guān)系推理根據(jù)上面的對(duì)當(dāng)關(guān)系圖,有如下有效推理式:(1)□p□p(上反對(duì)關(guān)系:一個(gè)真另一必假)(2)□p□p(上反對(duì)關(guān)系:一個(gè)真另一必假)(3)□pp

p(差等:上位真下位必真)3.1模態(tài)命題的對(duì)當(dāng)關(guān)系推理根據(jù)上面的對(duì)當(dāng)關(guān)系圖,有如下863.1模態(tài)命題的對(duì)當(dāng)關(guān)系推理(4)□pp

p(差等:上位真下位必真)(5)

pp□p(差等:下位假上位必假)(6)

pp(p)□p(差等:下位假上位必假)3.1模態(tài)命題的對(duì)當(dāng)關(guān)系推理(4)□pp873.1模態(tài)命題的對(duì)當(dāng)關(guān)系推理(7)

p

p(下反對(duì):一個(gè)假另一必真)(8)

p

p(下反對(duì):一個(gè)假另一必真)(9)□p

p(矛盾關(guān)系:一個(gè)真iff另一假)3.1模態(tài)命題的對(duì)當(dāng)關(guān)系推理(7)

p

883.1模態(tài)命題的對(duì)當(dāng)關(guān)系推理(10)

p

□p(矛盾關(guān)系:一個(gè)真iff另一假)(11)□p

p(矛盾關(guān)系:一個(gè)真iff另一假)(12)

p□p(矛盾關(guān)系:一個(gè)真iff另一假)3.1模態(tài)命題的對(duì)當(dāng)關(guān)系推理(10)

p89第七講

命題邏輯(下)第七講90目錄第一節(jié)命題公式與真值函項(xiàng)第二節(jié)命題公式之間的邏輯等值關(guān)系第三節(jié)基本的有效推理式第四節(jié)推理有效性的形式證明第五節(jié)無效推理的證明目錄第一節(jié)命題公式與真值函項(xiàng)91第一節(jié)命題公式與真值函項(xiàng)1.1命題公式1.2命題公式與真值函項(xiàng)第一節(jié)命題公式與真值函項(xiàng)921.1命題公式初始符號(hào)命題變?cè)簆,q,r,…命題聯(lián)結(jié)詞:∧,∨,→,,輔助符號(hào):(,)邏輯變?cè)壿嫵To助符號(hào)1.1命題公式初始符號(hào)邏輯變?cè)壿嫵To助符號(hào)93

第1類符號(hào)是邏輯變?cè)?,它們是抽象的命題代表,如果代表真命題,變?cè)≈禐檎?,如果代表假命題則取值為假。因此這類符號(hào)稱作以真值為定義域的變?cè)?。?類符號(hào)是邏輯常元,它們有確定的邏輯解釋因而能夠表達(dá)某種確定的真假聯(lián)系。第3類符號(hào)則是為避免歧義以構(gòu)造合式命題公式所需要的輔助符號(hào)。第1類符號(hào)是邏輯變?cè)?,它們是抽象的命題代表,如果代表真命94形成規(guī)則1、所有命題變?cè)敲}公式;2、如果是命題公式,那么是命題公式3、如果、是命題公式,那么(),(∧)、(Φ∨Ψ)和(ΦΨ)也是命題公式;4、只有符合以上3條的才是命題公式。1.1命題公式形成規(guī)則1.1命題公式95

pq∧r,pq,p∧→qr

這些都不是命題公式。

從邏輯的角度看,命題公式是構(gòu)造出來的,具體命題只是命題公式的例示,即命題公式的一個(gè)特例。如下具體命題都是命題公式“(p∧q)→r”的例示:如果加溫到了一定限度且加壓到一定限度,那么空氣可以液化。如果考試合格并且體檢合格,那么就可以上大學(xué)。(12007/13)pq∧r,pq,p∧→qr961.2命題公式與真值函項(xiàng)

命題公式就相當(dāng)于一個(gè)函數(shù)式,公式的值由變?cè)闹滴ㄒ淮_定。命題公式是一個(gè)以真假為定義域,并且也以真假為值域的特殊函數(shù)。真假是命題的邏輯值,簡稱真值。因此,命題公式被稱作真值函項(xiàng)。1.2命題公式與真值函項(xiàng)命題公式就相當(dāng)于一個(gè)函數(shù)式97我們可以看到,給定n個(gè)命題變?cè)?,則有2n種真假取值,然后構(gòu)成22n個(gè)真值函項(xiàng)。這些不同的真值函項(xiàng)分為三大類:①恒真式。不論其中的變?cè)∈裁礃拥闹?,函?xiàng)式的值恒為真。②恒假式。無論其中的變?cè)∈裁礃拥闹?,函?xiàng)式的值恒為假。③協(xié)調(diào)式。既不是恒真式也不是恒假式的函項(xiàng)式。顯然,協(xié)調(diào)式在其變?cè)哪承┤≈到M合下為真,在另一些取值組合下又為假。因此。協(xié)調(diào)式的真假由變?cè)恼婕贈(zèng)Q定。1.2命題公式與真值函項(xiàng)我們可以看到,給定n個(gè)命題變?cè)?,則有2n種真假取值,然后98第二節(jié)命題公式之間的邏輯等值關(guān)系2.1、命題公式之間的邏輯等值2.2、幾個(gè)重要的重言等值式2.3、命題聯(lián)結(jié)詞的相互定義第二節(jié)命題公式之間的邏輯等值關(guān)系99

邏輯等值的公式:表達(dá)同一真值函項(xiàng)的公式在任何情況下都具有相同的邏輯值,我們稱這些公式是邏輯等值的公式。真值表:判定兩個(gè)公式是否邏輯等值例1、判定命題公式“﹁p∨﹁q”與“﹁(p∧q)”是否邏輯等值。例2、判定命題公式“(p∧q)→r”與“p∨(q→r)”是否邏輯等值。2.1、命題公式之間的邏輯等值邏輯等值的公式:表達(dá)同一真值函項(xiàng)的公式在任何情況下都具有相100如果兩個(gè)公式是等值的,那么以這兩個(gè)公式為子公式構(gòu)造一個(gè)等值式:

(﹁p∨﹁q)(﹁(p∧q))。這個(gè)等值式是恒真的,由此可推知,一個(gè)等值式是重言式,那么它的兩個(gè)子公式邏輯等值。如果一個(gè)等值式是重言式,那么我們就用符號(hào)“”代替等值聯(lián)結(jié)“”。2.1、命題公式之間的邏輯等值如果兩個(gè)公式是等值的,那么以這兩個(gè)公式為子公式構(gòu)造一個(gè)等值式1012.2、幾個(gè)重要的重言等值式1、交換律(p∧q)(q∧p)

(p∨q)(q∨

p)2、結(jié)合律((p∧q)∧r)(p

∧(q∧r))((p∨q)∨r)(p

∨(q∨r))3、德摩根律?(p∧q)?p∨?q;?(p∨q)?p∧?q。2.2、幾個(gè)重要的重言等值式1、交換律(p∧q)(q1024、分配律p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r)

p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r)5、實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵(p→q)(p∨q)

理解:當(dāng)前件假(p)而后件真(q)時(shí)p→q恒真。6、假言易位(p→q)(q→p)

理解:充分條件假言命題的否定后件式推理2.2、幾個(gè)重要的重言等值式4、分配律p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r)1037、移出律(p∧q)→rp→(q→r)

理解:假言前件可以分先后出現(xiàn)。8、實(shí)質(zhì)等值(pq)(p→q)∧(q→p)理解:等值式分解為蘊(yùn)涵和逆蘊(yùn)涵。9、雙否律pp

理解:二值邏輯。10、重言律pp∧p;pp∨p

理解:思維的重復(fù)反映2.2、幾個(gè)重要的重言等值式7、移出律(p∧q)→rp→(q→r1042.3、命題聯(lián)結(jié)詞的相互定義“,∨”、“,∧”、“,→”例:證明用“,∨”構(gòu)造的命題公式可以定義所有五種基本命題公式。如:

(p∧q)

?(?p∨?q)(p→q)(?p∨q)

(pq)?2.3、命題聯(lián)結(jié)詞的相互定義“,∨”、“,∧”、“,→105

3.1、推理的有效性3.2、基本的有效推理式第三節(jié)基本的有效推理式3.1、推理的有效性第三節(jié)基本的有效推理式106

(1)“如果張珊是中國公民并且她有選舉權(quán),那么張珊年滿18歲。張珊是中國公民,但是她還沒滿18歲。所以,張珊沒有選舉權(quán)?!保?)“如果張珊是中國公民并且她有選舉權(quán),那么張珊年滿18歲。張珊是中國公民,但是她還沒滿18歲。張珊沒有選舉權(quán)?!?.1、推理的有效性(p∧q→r)∧(p∧?r)→?q

(1)“如果張珊是中國公民并且她有選舉權(quán),那么張珊年滿107第三節(jié)基本的有效推理式3.1推理的有效性推理是一個(gè)包含特殊詞項(xiàng)的命題集合,根據(jù)這樣的詞項(xiàng),我們可以區(qū)分出前提和結(jié)論。推理的有效性是由推理的形式?jīng)Q定的。它表現(xiàn)為作為前提的命題同作為結(jié)論的命題之間的一種邏輯關(guān)聯(lián)性,這種邏輯關(guān)聯(lián)取決于構(gòu)成推理的命題的形式結(jié)構(gòu)特征。(12005/14)第三節(jié)基本的有效推理式3.1推理的有效性108如果前提真時(shí)結(jié)論必然是真的,我們就稱前提和結(jié)論之間有必然的邏輯聯(lián)系。這種聯(lián)系保證了推理決不會(huì)出現(xiàn)前提真而結(jié)論假的情況。因此,可以由前提的真來保證結(jié)論真,由前提可靠有效地推演出結(jié)論的可靠。前提和結(jié)論之間具有必然邏輯聯(lián)系的推理就是有效推理。如果前提和結(jié)論之間不具有必然的邏輯聯(lián)系,那么前提真時(shí)結(jié)論是否為真不能確定,即不能由前提的真有效地推導(dǎo)出結(jié)論真,這樣的推理就是無效推理。3.1、推理的有效性如果前提真時(shí)結(jié)論必然是真的,我們就稱前提和結(jié)論之間有109推理:設(shè)命題序列Γ=<p1,p2….pn,q>是一個(gè)推理形式,其中p1,p2….pn是前提,q是結(jié)論。Γ是一個(gè)有效的推理式,當(dāng)且僅當(dāng),如果p1,p2….pn真那么q一定為真。Γ是無效推理式,如果至少有一個(gè)代換示例使得p1,p2….pn真但q假?!按鷵Q示例”這里指的是命題公式。推理:110根據(jù)合取式的邏輯特征:p∧q

∴p(q)合取消去簡記為∧-合取引入簡記為∧+Pq∴p∧q3.2基本的有效推理式小張喜愛音樂,小張喜愛體育,所以,小張不但喜愛音樂,也喜愛體育。小張既有優(yōu)點(diǎn),也有缺點(diǎn),所以,小張是有優(yōu)點(diǎn)的。根據(jù)合取式的邏輯特征:p∧q∴p(q)合取111根據(jù)析取式的邏輯特征:選言三段論簡記∨-pq?p

∴q附加規(guī)則簡記∨+

p∴pq或者李某是嫌疑犯,或者王某是嫌疑犯(或者二者都是);李某不是嫌疑犯;所以,王某是嫌疑犯。發(fā)燒可由肺炎引起;所以,發(fā)燒或者可由肺炎引起或者可由感冒引起。(13上/12)3.2基本的有效推理式

注意與∧-的區(qū)別:是間接的(有兩個(gè)前提)而不是直接的。根據(jù)析取式的邏輯特征:選言三段論pq∴q112根據(jù)蘊(yùn)涵式的邏輯特征:分離規(guī)則(蘊(yùn)涵消去)簡記MPp→q

p

∴q逆分離規(guī)則簡記MTp→q

?q∴?p假言三段論簡記HSp→q

p

∴qp→q

p∴?p注意:也是間接的(需要有前件真作條件才能消去→)

p→qq→r

p→r根據(jù)蘊(yùn)涵式的邏輯特征:分離規(guī)則(蘊(yùn)涵消去)p→q113根據(jù)蘊(yùn)涵式的邏輯特征:二難推理(CD)(p→q)∧(r→s)

p∨r

∴q∨s(p→q)∧(r→s)

q∨s

∴p∨r破壞式二難推理(DD)根據(jù)蘊(yùn)涵式的邏輯特征:二難推理(CD)(p→q)∧(r→s114第四節(jié)、推理有效性的形式證明4.1、推理有效性與命題演算4.2、有效推理的形式證明4.3、等值替換規(guī)則4.4、條件證明規(guī)則C.P4.5、間接證明規(guī)則RAA4.6、證明重言式第四節(jié)、推理有效性的形式證明4.1、推理有效性與命題演算1154.1推理有效性與命題演算對(duì)于簡單的復(fù)合命題推理,我們可以直接根據(jù)這些基本有效式來判定推理是否有效。但是對(duì)于復(fù)雜的推理這樣就不夠了。例1:如果商品短缺日益嚴(yán)重(A),那么物價(jià)會(huì)上漲(B);如果存在生產(chǎn)過剩(C),那么物價(jià)不會(huì)上漲(B);如果存在通貨膨脹威脅(D),那么財(cái)政控制將繼續(xù)(E);如果政府改組(F),那么財(cái)政控制將取消(E);或者存在生產(chǎn)過剩(C),或者政府改組(F);因此,商品短缺不會(huì)日益嚴(yán)重(A),或者不再存在通貨膨脹威脅(D)。(A→B)∧(C→B)∧(D→E)∧(F→E)∧C∨F→(A∨D)4.1推理有效性與命題演算對(duì)于簡單的復(fù)合命題推116命題演算系統(tǒng)建立命題演算系統(tǒng)有兩種方法:一是公理化方法,一是自然演繹方法。公理化的命題演算系統(tǒng)是在形式語言基礎(chǔ)上增添公理和變形規(guī)則建構(gòu)起來的。自然演繹系統(tǒng),沒有公理,只有一系列推理規(guī)則。它是引入特定前提為假設(shè),根據(jù)推理規(guī)則推演出結(jié)論而建構(gòu)起來的演算系統(tǒng)。4.1推理有效性與命題演算命題演算系統(tǒng)4.1推理有效性與命題演算1174.2有效推理的形式證明在命題演算系統(tǒng)中對(duì)推理有效性的證明稱作形式證明?,F(xiàn)在給出自然演繹系統(tǒng)中形式證明的定義:形式證明的定義:一個(gè)形式證明是一個(gè)命題公式序列A1,A2,An。其中任一的Ai(1in)或者是前提,或者是由前面的

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