2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修四人教A版全國通用版講義：第二章 平行向量疑難規(guī)律方法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1向量和差作圖全攻略兩個(gè)非零向量的和差作圖，對(duì)同學(xué)們是一個(gè)難點(diǎn),這里對(duì)其作圖方法作出細(xì)致分析，以求盡快掌握．一、向量a，b共線例1如圖，已知共線向量a，b,求作a＋b。（1）a，b同向；（2)a,b反向，且|a｜＞｜b｜；(3)a,b反向，且|a｜＜｜b|.作法在與a平行的同一條直線上作出三個(gè)向量eq\o(OA，\s\up6（→)）＝a,eq\o(AB，\s\up6(→)）＝b，eq\o（OB,\s\up6(→）)＝a＋b，具體作法是：當(dāng)a與b方向相同時(shí)，a＋b與a，b的方向相同，長度為｜a|＋｜b｜;當(dāng)a與b方向相反時(shí)，a＋b與a，b中長度長的向量方向相同，長度為|｜a|－|b｜｜。為了直觀，將三個(gè)向量中絕對(duì)值最大的向量沿與a垂直的方向稍加平移，然后分別標(biāo)上a，b,a＋b。作圖如下：例2如圖，已知共線向量a,b，求作a－b.(1)a,b同向，且|a|＞｜b|;(2)a，b同向，且｜a|＜｜b|;（3）a,b反向．作法在平面上任取一點(diǎn)O，作eq\o（OA,\s\up6（→））＝a,eq\o（OB,\s\up6（→））＝b,則eq\o（BA，\s\up6(→)）＝a－b.事實(shí)上a－b可看作是a＋（－b），按照這個(gè)理解和a＋b的作圖方法不難作出a－b，作圖如下:二、向量a,b不共線如果向量不共線，可以應(yīng)用三角形法則或平行四邊形法則作圖．例3如圖，已知向量a，b.求作:（1）a＋b；(2)a－b.作法1（應(yīng)用三角形法則)（1）一般情況下，應(yīng)在兩已知向量所在的位置之外任取一點(diǎn)O.第一步：作eq\o(OA，\s\up6(→））＝a，方法是將一個(gè)三角板的直角邊與a重合,再將直尺一邊與三角板的另一直角邊重合,最后將三角板拿開，放到一直角邊過點(diǎn)O，一直角邊與直尺的一邊重合的位置，在此基礎(chǔ)上取|eq\o（OA,\s\up6（→））|＝|a｜,并使eq\o（OA，\s\up6（→))與a同向．第二步：同第一步方法作出eq\o(AB，\s\up6(→))＝b,一定要保證方向相同且長度相等．（此處最易錯(cuò)的是把eq\o(AB,\s\up6（→））作成與b的方向相反．）第三步：作eq\o（OB，\s\up6(→））,即連接OB，在B處打上箭頭,eq\o(OB，\s\up6（→))即為a＋b。作圖如下：(2）第一步:在平面上a，b位置之外任取一點(diǎn)O；第二步：依照前面方法過O作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o（OB，\s\up6(→）)＝b；第三步：連接AB，在A處加上箭頭，向量eq\o（BA，\s\up6（→))即為a－b.作圖如下：點(diǎn)評(píng)向量加法作圖的特點(diǎn)是“首尾相接，首尾連”;向量減法作圖的特點(diǎn)是“共起點(diǎn)，連終點(diǎn),箭頭指被減”．作法2（應(yīng)用平行四邊形法則)在平面上任取一點(diǎn)A,以點(diǎn)A為起點(diǎn)作eq\o（AB,\s\up6（→））＝a,eq\o（AD，\s\up6（→）)＝b，以AB,AD為鄰邊作?ABCD，則eq\o(AC,\s\up6(→））＝a＋b，eq\o（DB，\s\up6（→）)＝a－b。作圖如下：點(diǎn)評(píng)向量的平行四邊形法則和三角法則在本質(zhì)上是一樣的,但在解決某些問題時(shí)平行四邊形法則有一定的優(yōu)越性，因此兩種法則都應(yīng)熟練掌握．向量和差作圖，要注意的是保證所作向量與目標(biāo)向量“方向相同，長度相等”,最忌諱的是“作法不一”，比如作法中要求的是作eq\o（AB,\s\up6(→))＝b，可實(shí)際上作的是eq\o(AB，\s\up6（→））＝－b。只要作圖的過程與作法的每一步相對(duì)應(yīng)，一定能作出正確的圖形。2向量線性運(yùn)算的應(yīng)用平面向量的線性運(yùn)算包括加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算，在解題中具有廣泛的應(yīng)用．在對(duì)向量實(shí)施線性運(yùn)算時(shí)，要準(zhǔn)確利用對(duì)應(yīng)的運(yùn)算法則、運(yùn)算律，注意向量的大小和方向兩個(gè)方面．一、化簡例1化簡下列各式：(1)（2eq\o(AB,\s\up6(→）)－eq\o（CD,\s\up6(→）))－（eq\o（AC，\s\up6(→）)－2eq\o(BD，\s\up6（→）)）；(2)eq\f(1，24)［3（2a＋8b)－6(4a－2b)]．解（1）(2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o（CD，\s\up6(→）））－（eq\o（AC，\s\up6（→)）－2eq\o（BD,\s\up6(→））)＝2eq\o（AB,\s\up6（→））－eq\o（CD，\s\up6(→))－eq\o(AC，\s\up6（→)）＋2eq\o(BD，\s\up6（→)）＝2eq\o（AB,\s\up6（→））＋eq\o(DC，\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6（→））＋2eq\o（BD，\s\up6（→)）＝2(eq\o(AB，\s\up6(→)）＋eq\o(BD，\s\up6(→))）＋（eq\o（DC,\s\up6(→））＋eq\o（CA,\s\up6(→）)）＝2eq\o(AD，\s\up6（→))＋eq\o(DA,\s\up6（→)）＝eq\o（AD，\s\up6（→））.（2)eq\f(1,24)[3(2a＋8b)－6（4a－2b）]＝eq\f(1,24)（6a＋24b－24a＋12b)＝eq\f（1,24）（－18a＋36b)＝－eq\f(3，4）a＋eq\f（3,2)b.點(diǎn)評(píng)向量的基本運(yùn)算主要有兩個(gè)途徑：一是基于“形",通過作出向量，運(yùn)用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行化簡；二是基于“數(shù)",滿足“首尾相接且相加”或“起點(diǎn)相同且相減"的兩個(gè)向量進(jìn)行化簡,解題時(shí)要注意觀察是否有這兩種形式出現(xiàn)，同時(shí)注意向量加法法則、減法法則的逆向應(yīng)用．?dāng)?shù)乘運(yùn)算，可類比實(shí)數(shù)積的運(yùn)算方法進(jìn)行，將向量a,b，c等看成一般字母符號(hào)，其中向量數(shù)乘之間的和差運(yùn)算,相當(dāng)于合并同類項(xiàng)或提取公因式，這里的“同類項(xiàng)”與“公因式”指的是向量．二、求參數(shù)例2如圖,已知△ABC和點(diǎn)M滿足eq\o（MA,\s\up6（→））＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC，\s\up6（→）)＝0，若存在實(shí)數(shù)m使得eq\o(AB，\s\up6(→)）＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o（AM,\s\up6（→)）成立，則m＝________.解析如圖，因?yàn)閑q\o（MA,\s\up6(→）)＋eq\o（MB,\s\up6（→)）＋eq\o(MC，\s\up6（→）)＝0，即eq\o(MA,\s\up6（→）)＝－（eq\o（MB，\s\up6(→)）＋eq\o(MC,\s\up6(→））），即eq\o（AM,\s\up6（→））＝eq\o(MB，\s\up6(→)）＋eq\o(MC,\s\up6(→))，延長AM，交BC于D點(diǎn)，所以D是BC邊的中點(diǎn),所以eq\o（AM,\s\up6(→）)＝2eq\o(MD,\s\up6（→））,所以eq\o（AD,\s\up6（→)）＝eq\f（3,2）eq\o(AM,\s\up6(→）)，所以eq\o（AB,\s\up6（→)）＋eq\o(AC,\s\up6（→））＝2eq\o（AD，\s\up6（→）)＝3eq\o(AM，\s\up6(→））,所以m＝3.答案3點(diǎn)評(píng)求解含參數(shù)的向量線性運(yùn)算問題，只需把參數(shù)當(dāng)作已知條件，根據(jù)向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算將問題中所涉及的向量用兩個(gè)不共線的向量表示,列出向量方程，對(duì)比系數(shù)求參數(shù)的值．三、表示向量例3如圖所示，在△ABC中，eq\o（AD，\s\up6(→))＝eq\f（2,3）eq\o（AB,\s\up6(→））,DE∥BC交AC于E，BC邊上的中線AM交DE于點(diǎn)N,設(shè)eq\o(AB，\s\up6（→)）＝a,eq\o(AC,\s\up6(→））＝b，用向量a，b表示eq\o(AE,\s\up6(→）)，eq\o(BC,\s\up6（→）），eq\o(DE,\s\up6(→）），eq\o(DN，\s\up6(→）),eq\o(AM,\s\up6(→)).解因?yàn)镈E∥BC,eq\o（AD,\s\up6(→))＝eq\f（2,3）eq\o（AB，\s\up6(→)）,所以eq\o(AE，\s\up6（→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)）＝eq\f(2,3)b,eq\o(BC，\s\up6(→））＝eq\o(AC，\s\up6（→)）－eq\o（AB,\s\up6(→）)＝b－a，由△ADE∽△ABC，得eq\o(DE,\s\up6（→)）＝eq\f（2,3)eq\o(BC,\s\up6（→))＝eq\f(2,3）(b－a)，又M是△ABC底邊BC的中點(diǎn)，DE∥BC,所以eq\o(DN，\s\up6(→))＝eq\f(1,2）eq\o（DE，\s\up6(→)）＝eq\f（1,3)（b－a），eq\o（AM,\s\up6(→)）＝eq\o（AB，\s\up6(→))＋eq\o(BM，\s\up6（→))＝a＋eq\f（1,2)eq\o(BC，\s\up6（→))＝a＋eq\f（1,2)(b－a）＝eq\f（1，2)（a＋b)．點(diǎn)評(píng)用已知向量表示另外一些向量，應(yīng)盡量將所求向量轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中,利用向量共線條件和平面幾何知識(shí)的一些定理、性質(zhì),如三角形中位線性質(zhì)，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等，再利用向量加法、減法法則，即可用已知向量表示所求向量．3平面向量的基本定理應(yīng)用三技巧技巧一構(gòu)造某一向量在同一基底下的兩種不同的表達(dá)形式,用“若e1，e2為基底，且a＝x1e1＋y1e2＝x2e1＋y2e2，則用eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x1＝x2，y1＝y(tǒng)2）)來求解．例1在△OAB的邊OA，OB上分別取點(diǎn)M，N，使｜eq\o(OM，\s\up6（→))｜∶|eq\o（OA，\s\up6(→)）|＝1∶3，｜eq\o（ON，\s\up6（→））|∶|eq\o（OB，\s\up6(→)）｜＝1∶4，設(shè)線段AN與BM交于點(diǎn)P，記eq\o(OA，\s\up6(→)）＝a，eq\o（OB，\s\up6（→)）＝b,用a，b表示向量eq\o（OP,\s\up6(→)).解∵B,P，M共線，∴存在常數(shù)s，使eq\o(BP,\s\up6（→))＝seq\o(PM，\s\up6（→）），則eq\o（OP,\s\up6(→))＝eq\f（1，1＋s)eq\o（OB，\s\up6（→))＋eq\f（s，1＋s）eq\o（OM,\s\up6（→))。即eq\o(OP,\s\up6(→）)＝eq\f(1，1＋s)eq\o（OB，\s\up6(→)）＋eq\f（s,31＋s)eq\o(OA,\s\up6(→）)＝eq\f(s，31＋s）a＋eq\f（1,1＋s）b.①同理，存在常數(shù)t，使eq\o（AP,\s\up6(→））＝teq\o(PN，\s\up6(→)），則eq\o(OP，\s\up6（→）)＝eq\f（1，1＋t）a＋eq\f（t,41＋t)b.②∵a，b不共線,∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（1，1＋t)＝\f(s，31＋s),\f(1,1＋s）＝\f(t,41＋t）)）,解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（s＝\f（9,2),t＝\f(8，3)）)，∴eq\o(OP,\s\up6（→））＝eq\f(3，11）a＋eq\f(2,11)b.點(diǎn)評(píng)這里選取eq\o（OA,\s\up6(→))，eq\o(OB，\s\up6(→)）作為基底，構(gòu)造eq\o（OP，\s\up6(→)）在此基底下的兩種不同的表達(dá)形式，再根據(jù)相同基底的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等得到實(shí)數(shù)方程組，最后進(jìn)行求解．技巧二構(gòu)造兩個(gè)共線向量在同一基底下的表達(dá)形式，用“若e1，e2為基底，a＝x1e1＋y1e2,b＝x2e1＋y2e2，且a∥b，則x1y2－x2y1＝0”來求解．例2如圖，在△OAB中，eq\o（OC,\s\up6(→））＝eq\f(1，4）eq\o（OA，\s\up6(→)）,eq\o(OD,\s\up6（→））＝eq\f（1,2)eq\o(OB，\s\up6(→))，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)eq\o（OA,\s\up6（→））＝a,eq\o（OB，\s\up6(→)）＝b。(1)用a，b表示eq\o（OM,\s\up6（→））;(2)已知在線段AC上取一點(diǎn)E,在線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過M點(diǎn),設(shè)eq\o（OE,\s\up6(→）)＝peq\o（OA,\s\up6(→）），eq\o(OF,\s\up6（→)）＝qeq\o（OB，\s\up6（→))，求證：eq\f(1，7p)＋eq\f(3，7q）＝1。(1）解設(shè)eq\o（OM，\s\up6(→)）＝ma＋nb,則eq\o（AM，\s\up6（→)）＝（m－1)a＋nb，eq\o（AD,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1，2）b?！唿c(diǎn)A，M，D共線，∴eq\o(AM，\s\up6（→）)與eq\o（AD,\s\up6(→））共線，∴eq\f(1,2）（m－1）－(－1）×n＝0，∴m＋2n＝1.①而eq\o(CM,\s\up6（→)）＝eq\o（OM,\s\up6(→））－eq\o(OC,\s\up6（→）)＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（m－\f(1，4）））a＋nb,eq\o（CB,\s\up6（→)）＝－eq\f(1，4)a＋b?！逤,M，B共線，∴eq\o(CM，\s\up6(→））與eq\o(CB，\s\up6（→))共線,∴－eq\f(1，4）n－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4））)＝0?！?m＋n＝1。②聯(lián)立①②可得m＝eq\f（1，7)，n＝eq\f（3,7),∴eq\o（OM，\s\up6（→））＝eq\f（1,7)a＋eq\f（3，7)b。（2）證明eq\o(EM,\s\up6（→)）＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,7)－p)）a＋eq\f（3,7）b,eq\o（EF,\s\up6(→))＝－pa＋qb，∵eq\o（EF，\s\up6（→））與eq\o（EM,\s\up6（→）)共線,∴eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,7）－p)）q－eq\f（3,7）×(－p)＝0.∴eq\f(1,7)q＋eq\f(3，7)p＝pq，即eq\f(1,7p）＋eq\f(3，7q）＝1。點(diǎn)評(píng)這里多次運(yùn)用構(gòu)造一組共線向量的表達(dá)形式，再根據(jù)共線向量基底的系數(shù)關(guān)系建立方程組求解．技巧三將題目中的已知條件轉(zhuǎn)化成λ1e1＋λ2e2＝0的形式（e1，e2不共線），根據(jù)λ1＝λ2＝0來求解．例3如圖，已知P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足條件eq\o（AP，\s\up6（→）)＋2eq\o(BP，\s\up6(→））＋3eq\o(CP，\s\up6(→））＝0，設(shè)Q為CP的延長線與AB的交點(diǎn)，令eq\o（CP,\s\up6（→）)＝p，試用向量p表示eq\o(CQ，\s\up6(→））.解∵eq\o(AP，\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP，\s\up6(→）），eq\o(BP,\s\up6（→))＝eq\o(BQ,\s\up6(→）)＋eq\o(QP，\s\up6（→）)，∴（eq\o（AQ,\s\up6（→)）＋eq\o（QP，\s\up6（→)）)＋2（eq\o（BQ，\s\up6（→）)＋eq\o(QP，\s\up6（→))）＋3eq\o(CP，\s\up6（→))＝0,∴eq\o（AQ，\s\up6（→))＋3eq\o(QP,\s\up6（→））＋2eq\o(BQ,\s\up6（→)）＋3eq\o(CP,\s\up6(→））＝0，又∵A，B，Q三點(diǎn)共線,C,P，Q三點(diǎn)共線,∴eq\o（AQ,\s\up6(→)）＝λeq\o（BQ,\s\up6（→）)，eq\o（CP,\s\up6(→)）＝μeq\o(QP，\s\up6（→）),∴λeq\o(BQ,\s\up6（→））＋3eq\o(QP,\s\up6（→）)＋2eq\o（BQ，\s\up6（→))＋3μeq\o(QP,\s\up6(→）)＝0，∴（λ＋2)eq\o(BQ，\s\up6(→)）＋（3＋3μ）eq\o(QP,\s\up6（→)）＝0。而eq\o（BQ，\s\up6（→）），eq\o（QP,\s\up6（→））為不共線向量，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＋2＝0，，3＋3μ＝0。))∴λ＝－2，μ＝－1?！鄀q\o（CP,\s\up6(→）)＝－eq\o(QP，\s\up6(→）)＝eq\o（PQ,\s\up6（→））。故eq\o(CQ,\s\up6（→）)＝eq\o（CP，\s\up6(→））＋eq\o(PQ，\s\up6（→))＝2eq\o(CP,\s\up6(→）)＝2p.點(diǎn)評(píng)這里選取eq\o(BQ，\s\up6（→)),eq\o（QP，\s\up6（→))兩個(gè)不共線的向量作為基底，運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想,最終變成λ1e1＋λ2e2＝0的形式來求解．4直線的方向向量和法向量的應(yīng)用直線的方向向量和法向量是處理直線問題的有力工具．由于直線和平面向量的學(xué)習(xí)分散在必修2和必修4先后進(jìn)行，學(xué)習(xí)中對(duì)它們的認(rèn)識(shí)還不到位，重視程度還不夠,下面對(duì)直線的方向向量和法向量的靈活應(yīng)用結(jié)合例子加以剖析．一、直線的方向向量1．定義設(shè)P1，P2是直線l：Ax＋By＋C＝0上的不同兩點(diǎn)，那么向量eq\o(P1P2，\s\up6（→)）以及與它平行的非零向量都稱為直線l的方向向量，若P1(x1,y1），P2（x2,y2），則eq\o(P1P2，\s\up6（→))的坐標(biāo)為(x2－x1，y2－y1）；特別當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),即x2－x1≠0，直線的斜率k存在時(shí)，那么(1，k)是它的一個(gè)方向向量；當(dāng)直線l與x軸平行時(shí)，方向向量可為(1,0)；而無論斜率存在與否，其方向向量均可表示為（－B，A)．2．應(yīng)用（1）求直線方程例1已知三角形三頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，－3）,B（－7，9),C（18,9)，求AB邊上的中線、高線方程以及∠C的內(nèi)角平分線方程．解①求中線方程由于eq\o（CB，\s\up6（→）)＝(－25，0)，eq\o(CA，\s\up6（→）)＝(－16，－12），那么AB邊上的中線CD的方向向量為eq\o(CB,\s\up6(→））＋eq\o(CA,\s\up6（→）)＝（－41，－12)，也就是eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1，\f（12,41）)），因而直線CD的斜率為eq\f（12,41），那么直線CD的方程為y－9＝eq\f（12,41）（x－18），整理得12x－41y＋153＝0.②求高線方程由于kAB＝eq\f(9＋3，－7－2)＝－eq\f(4,3），因而AB的方向向量為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f（4，3)））,而AB邊上的高CE⊥AB,則直線CE的方向向量為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1，\f(3,4））)，那么高線CE的方程為y－9＝eq\f(3,4）(x－18)，整理得3x－4y－18＝0。③求∠C的內(nèi)角平分線方程eq\f(\o(CB,\s\up6（→）),|\o(CB,\s\up6（→)）｜）＝(－1，0),eq\f(\o(CA，\s\up6（→））,|\o（CA,\s\up6（→））|)＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(4,5），－\f（3，5)))，則∠C的內(nèi)角平分線的方向向量為eq\f（\o（CB，\s\up6(→))，｜\o（CB,\s\up6（→)）|)＋eq\f(\o(CA，\s\up6(→)),|\o（CA，\s\up6（→)）|)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(9，5)，－\f(3,5)））,也就是eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f（1,3））)，因而內(nèi)角平分線CF的方程為y－9＝eq\f(1,3)(x－18），整理得x－3y＋9＝0.點(diǎn)評(píng)一般地，經(jīng)過點(diǎn)(x0，y0），與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程是A（x－x0）＋B（y－y0）＝0；與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程是B（x－x0）－A(y－y0）＝0.(2)求直線夾角例2已知l1：x＋3y－15＝0與l2:y－3mx＋6＝0的夾角為eq\f(π,4),求m的值．解直線l1的方向向量為v1＝（－3,1），直線l2的方向向量為v2＝（1,3m)，∵l1與l2的夾角為eq\f(π,4),∴|cos<v1，v2〉｜＝eq\f（|v1·v2｜,|v1｜|v2|)＝eq\f(|3m－3｜,\r(9＋1）·\r(1＋9m2))＝eq\f（\r(2)，2），化簡得18m2＋9m－2＝0.解得m＝－eq\f（2,3）或m＝eq\f(1,6).點(diǎn)評(píng)一般地，設(shè)直線l1:y＝k1x＋b1,其方向向量為v1＝（1，k1)，直線l2：y＝k2x＋b2，其方向向量為v2＝(1,k2），當(dāng)1＋k1k2＝0時(shí)，兩直線的夾角為90°；當(dāng)1＋k1k2≠0時(shí)，設(shè)夾角為θ，則cosθ＝eq\f（｜v1·v2|，｜v1｜·｜v2｜）＝eq\f（|1＋k1k2｜，\r（1＋k\o\al（2，1)）·\r（1＋k\o\al(2,2)）);若設(shè)直線l1:A1x＋B1y＋C1＝0，其方向向量為(－B1，A1），直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，其方向向量為（－B2，A2)，那么cosθ＝eq\f(|A1A2＋B1B2|，\r（A\o\al(2，1)＋B\o\al(2,1）)·\r(A\o\al(2,2)＋B\o\al（2，2)））。二、直線的法向量1．定義直線Ax＋By＋C＝0的法向量：如果向量n與直線l垂直,則稱向量n為直線l的法向量．因此若直線的方向向量為v，則n·v＝0，從而對(duì)于直線Ax＋By＋C＝0而言，其方向向量為v＝（B，－A），則由于n·v＝0，于是可取n＝(A，B）．2．應(yīng)用(1)判斷直線的位置關(guān)系例3已知直線l1：ax－y＋2a＝0與直線l2:(2a－1)x＋ay＋a＝0.（1）若l1⊥l2，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若l1∥l2，求實(shí)數(shù)a的值．解直線l1，l2的法向量分別為n1＝(a，－1)，n2＝(2a－1，a），（1）若l1⊥l2，則n1·n2＝a(2a－1）＋（－1)×a＝0，解得a＝0或a＝1?！郺＝0或1時(shí)，l1⊥l2。（2）若l1∥l2，則n1∥n2,∴a2－（2a－1)×(－1)＝0.解得a＝－1±eq\r（2），且eq\f(a，2a－1）＝－eq\f（1,a)≠2.∴a＝－1±eq\r（2)時(shí)，l1∥l2。點(diǎn)評(píng)一般地，設(shè)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2:A2x＋B2y＋C2＝0，它們的法向量分別為n1＝（A1,B1），n2＝(A2，B2)，當(dāng)n1⊥n2，即A1A2＋B1B2＝0時(shí)，l1⊥l2,反之亦然；當(dāng)n1∥n2，即A1B2－A2B1＝0時(shí)，l1∥l2或l1與l2重合．(2)求點(diǎn)到直線的距離例4已知點(diǎn)M（x0，y0)為直線l：Ax＋By＋C＝0外一點(diǎn)．求證：點(diǎn)M(x0，y0）到直線l的距離d＝eq\f（|Ax0＋By0＋C｜，\r(A2＋B2)).證明設(shè)P（x1，y1)是直線Ax＋By＋C＝0上任一點(diǎn)，n是直線l的一個(gè)法向量，不妨取n＝（A，B）．則M(x0,y0）到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d等于向量eq\o(PM，\s\up6(→）)在n方向上投影的長度，如圖所示．d＝|eq\o(PM，\s\up6(→）)|·|cos〈eq\o(PM,\s\up6(→）)，n〉|＝eq\f（|\o(PM,\s\up6(→））·n|,｜n|)＝eq\f(｜x0－x1,y0－y1·A，B｜,\r(A2＋B2）)＝eq\f(|Ax0－x1＋By0－y1｜,\r（A2＋B2）)＝eq\f(|Ax0＋By0－Ax1＋By1|，\r(A2＋B2））.∵點(diǎn)P（x1，y1)在直線l上，∴Ax1＋By1＋C＝0，∴Ax1＋By1＝－C，∴d＝eq\f（｜Ax0＋By0＋C|，\r(A2＋B2))。點(diǎn)評(píng)同理應(yīng)用直線的法向量可以證明平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與直線l2:Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0且C1≠C2）的距離為d＝eq\f(｜C2－C1|,\r（A2＋B2))。證明過程如下:設(shè)P1（x1，y1)，P2（x2，y2)分別為直線l1:Ax＋By＋C1＝0，直線l2：Ax＋By＋C2＝0上任意兩點(diǎn)，取直線l1,l2的一個(gè)法向量n＝（A,B）,則eq\o(P1P2,\s\up6(→）)＝(x2－x1，y2－y1）在向量n上的投影的長度，就是兩平行線l1，l2的距離．d＝｜eq\o(P1P2，\s\up6(→））｜｜c(diǎn)os〈eq\o(P1P2，\s\up6（→）），n〉｜＝eq\f（｜\o(P1P2,\s\up6(→))·n|，｜n｜)＝eq\f（|x2－x1，y2－y1·A,B｜,\r（A2＋B2））＝eq\f(｜Ax2－x1＋By2－y1|，\r（A2＋B2))＝eq\f(｜Ax2＋By2－Ax1＋By1｜，\r(A2＋B2）)＝eq\f（｜C2－C1|,\r(A2＋B2)).5向量法證明三點(diǎn)共線平面向量既具有數(shù)量特征，又具有圖形特征,學(xué)習(xí)向量的應(yīng)用,可以啟發(fā)同學(xué)們從新的視角去分析、解決問題,有益于培養(yǎng)創(chuàng)新能力．下面就一道習(xí)題的應(yīng)用探究為例進(jìn)行說明．典例已知eq\o(OB,\s\up6(→）)＝λeq\o(OA,\s\up6（→））＋μeq\o（OC，\s\up6(→））,其中λ＋μ＝1。求證：A，B,C三點(diǎn)共線．思路通過向量共線(如eq\o(AB,\s\up6（→）)＝keq\o（AC,\s\up6（→)）)得三點(diǎn)共線．證明如圖，由λ＋μ＝1得λ＝1－μ,則eq\o（OB，\s\up6(→））＝λeq\o（OA，\s\up6（→)）＋μeq\o(OC,\s\up6(→)）＝(1－μ)eq\o（OA,\s\up6（→))＋μeq\o（OC，\s\up6(→)）。∴eq\o(OB，\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6（→)）＝μ(eq\o（OC，\s\up6(→））－eq\o(OA，\s\up6(→））），∴eq\o（AB,\s\up6(→)）＝μeq\o（AC，\s\up6(→)），∴A，B，C三點(diǎn)共線．思考1。此題揭示了證明三點(diǎn)共線的又一向量方法，點(diǎn)O具有靈活性；2．反之也成立(證明略)：若A，B，C三點(diǎn)共線，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)λ,μ,滿足eq\o（OB,\s\up6（→))＝λeq\o(OA，\s\up6(→）)＋μeq\o（OC,\s\up6（→))，且λ＋μ＝1。揭示了三點(diǎn)共線的又一個(gè)性質(zhì)；3．特別地,當(dāng)λ＝μ＝eq\f（1，2)時(shí)，eq\o(OB,\s\up6（→)）＝eq\f(1,2)（eq\o(OA,\s\up6（→）)＋eq\o(OC,\s\up6（→)）），點(diǎn)B為eq\o(AC，\s\up6(→))的中點(diǎn),揭示了△OAC中線OB的一個(gè)向量公式,應(yīng)用廣泛．應(yīng)用舉例例1如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上,且BN＝eq\f(1,3）BD.利用向量法證明：M，N,C三點(diǎn)共線．思路分析選擇點(diǎn)B，只須證明eq\o(BN，\s\up6(→))＝λeq\o(BM，\s\up6（→))＋μeq\o(BC,\s\up6（→）），且λ＋μ＝1.證明由已知eq\o（BD，\s\up6（→)）＝eq\o（BA，\s\up6（→)）＋eq\o（BC,\s\up6（→)）,又點(diǎn)N在BD上，且BN＝eq\f(1，3)BD，得eq\o(BN，\s\up6(→））＝eq\f（1,3)eq\o(BD，\s\up6（→）)＝eq\f（1，3)（eq\o（BA,\s\up6(→)）＋eq\o（BC,\s\up6(→))）＝eq\f（1，3）eq\o(BA,\s\up6（→）)＋eq\f（1，3）eq\o（BC，\s\up6(→））。又點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴eq\o（BM，\s\up6(→））＝eq\f(1，2)eq\o（BA,\s\up6（→）)，即eq\o（BA,\s\up6(→）)＝2eq\o(BM，\s\up6(→）).∴eq\o（BN，\s\up6（→)）＝eq\f(2，3）eq\o(BM，\s\up6（→))＋eq\f（1,3)eq\o（BC，\s\up6(→）).而eq\f（2,3）＋eq\f（1,3）＝1.∴M，N，C三點(diǎn)共線．點(diǎn)評(píng)證明過程比證明eq\o(MN，\s\up6(→)）＝meq\o（MC，\s\up6(→)）簡潔．例2如圖，平行四邊形OACB中，BD＝eq\f（1,3）BC，OD與AB相交于E,求證:BE＝eq\f（1，4)BA。思路分析可以借助向量知識(shí),只需證明：eq\o（BE,\s\up6(→)）＝eq\f（1，4)eq\o(BA，\s\up6（→)），而eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o（BO,\s\up6（→))＋eq\o（BC，\s\up6（→）)，又O，D,E三點(diǎn)共線，存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)λ，μ，且λ＋μ＝1，使eq\o(BE，\s\up6（→)）＝λeq\o（BO，\s\up6（→))＋μeq\o（BD,\s\up6（→)），從而得到eq\o（BE,\s\up6(→)）與eq\o（BA，\s\up6(→)）的關(guān)系．證明由已知條件，eq\o（BA，\s\up6（→））＝eq\o(BO,\s\up6（→)）＋eq\o(BC，\s\up6(→)）,又B，E，A三點(diǎn)共線，可設(shè)eq\o（BE，\s\up6（→))＝keq\o(BA，\s\up6（→）),則eq\o（BE,\s\up6（→））＝keq\o（BO,\s\up6(→）)＋keq\o(BC，\s\up6（→))，①又O，E，D三點(diǎn)共線，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)λ，μ，使eq\o(BE，\s\up6（→))＝λeq\o（BO,\s\up6（→))＋μeq\o(BD，\s\up6(→)），且λ＋μ＝1.又eq\o(BD,\s\up6（→))＝eq\f（1，3)eq\o（BC,\s\up6(→)),∴eq\o(BE，\s\up6(→))＝λeq\o（BO,\s\up6（→））＋eq\f（1,3)μeq\o(BC，\s\up6（→）)，②根據(jù)①②得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(k＝λ,,k＝\f(1，3)μ,,λ＋μ＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（k＝\f(1,4），，λ＝\f(1，4）,，μ＝\f（3，4）.)）∴eq\o(BE，\s\up6（→））＝eq\f(1，4）eq\o（BA,\s\up6(→)），∴BE＝eq\f(1，4)BA.點(diǎn)評(píng)借助向量知識(shí)，充分運(yùn)用三點(diǎn)共線的向量性質(zhì)解決問題，巧妙、簡潔．6平面向量中的三角形“四心”問題在三角形中，“四心”是一組特殊的點(diǎn)，它們的向量表達(dá)形式具有許多重要的性質(zhì)，在近年高考試題中，總會(huì)出現(xiàn)一些新穎別致的問題，不僅考查了向量等知識(shí)點(diǎn)，還培養(yǎng)了考生分析問題、解決問題的能力．現(xiàn)就“四心”作如下介紹：1．重心三角形三條中線的交點(diǎn)叫重心，它到三角形頂點(diǎn)距離與該點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)距離之比為2∶1.在向量表達(dá)形式中，設(shè)點(diǎn)G是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),則當(dāng)點(diǎn)G是△ABC的重心時(shí)，有eq\o（GA,\s\up6（→）)＋eq\o（GB,\s\up6(→))＋eq\o（GC，\s\up6(→））＝0或eq\o（PG,\s\up6（→)）＝eq\f（1,3）(eq\o（PA，\s\up6（→）)＋eq\o（PB,\s\up6(→)）＋eq\o(PC，\s\up6（→）））(其中P為平面任意一點(diǎn))．反之，若eq\o(GA,\s\up6（→））＋eq\o（GB，\s\up6（→）)＋eq\o（GC，\s\up6（→))＝0，則點(diǎn)G是△ABC的重心．在向量的坐標(biāo)表示中，若G，A，B，C分別是三角形的重心和三個(gè)頂點(diǎn)，且坐標(biāo)分別為G(x，y)，A（x1，y1)，B(x2,y2),C（x3，y3)，則有x＝eq\f（x1＋x2＋x3,3)，y＝eq\f(y1＋y2＋y3，3）。例已知△ABC內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系eq\o(OA,\s\up6（→）)＋2eq\o(OB,\s\up6(→)）＋3eq\o(OC,\s\up6(→））＝0，試求S△BOC∶S△COA∶S△AOB的值．解如圖，延長OB至B1，使BB1＝OB,延長OC至C1,使CC1＝2OC，連接AB1,AC1，B1C1。則eq\o(OB1，\s\up6(→)）＝2eq\o（OB,\s\up6（→))，eq\o（OC1,\s\up6(→))＝3eq\o（OC,\s\up6（→)）.由條件,得eq\o(OA，\s\up6（→)）＋eq\o（OB1，\s\up6(→)）＋eq\o（OC1，\s\up6(→））＝0，∴點(diǎn)O是△AB1C1的重心．從而S△B1OC1＝S△C1OA＝S△AOB1＝eq\f（1,3)S，其中S表示△AB1C1的面積．∴S△COA＝eq\f（1，3）S△ADC1＝eq\f(1,9)S,S△AOB＝eq\f（1,2)S△AOB1＝eq\f（1，6）S，S△BOC＝eq\f（1,2)S△B1OC＝eq\f（1，2）×eq\f（1，3)S△B1OC1＝eq\f（1，18）S.于是S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝eq\f（1，18）∶eq\f(1，9）∶eq\f(1，6)＝1