2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修二浙江專用版講義：第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系2.2.2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.2。2平面與平面平行的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1。通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出平面與平面平行的判定定理.2.掌握平面與平面平行的判定定理，并能初步利用定理解決問題．知識點平面與平面平行的判定定理思考1三角板的兩條邊所在直線分別與平面α平行，這個三角板所在平面與平面α平行嗎？答案平行．思考2如圖,平面BCC1B1內(nèi)有多少條直線與平面ABCD平行？這兩個平面平行嗎？答案無數(shù)條．不平行．梳理面面平行的判定定理表示定理圖形文字符號平面與平面平行的判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1(a?β，b?β,a∩b＝P，a∥α，b∥α））?β∥α1．若一個平面內(nèi)的兩條直線都與另一個平面平行,則這兩個平面平行．（×）2．若一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面平行．（√）類型一面面平行判定定理的理解例1α,β是兩個不重合的平面，在下列條件下,可判定α∥β的是（)A．α，β都平行于直線l，mB．α內(nèi)有三個不共線的點到β的距離相等C．l，m是α內(nèi)的兩條直線且l∥β，m∥βD．l,m是異面直線且l∥α，m∥α,l∥β，m∥β考點平面與平面平行的判定題點平面與平面平行的判定答案D解析對A,當(dāng)α∩β＝a，l∥m∥a時，不能推出α∥β;對B，當(dāng)α∩β＝a，且在平面α內(nèi)同側(cè)有兩點，另一側(cè)有一個點,三點到平面β的距離相等時，不能推出α∥β；對C，當(dāng)l∥m時，不能推出α∥β；對D，∵l，m是兩條異面直線，且l∥α,m∥α，l∥β，m∥β，∴α內(nèi)存在兩條相交直線與平面β平行，故可得α∥β。反思與感悟（1）在判定兩個平面是否平行時，一定要強調(diào)一個平面內(nèi)的“兩條相交直線”這個條件,線不在多,相交就行．(2)借助于常見幾何體（如正方體）進行分析．跟蹤訓(xùn)練1如果一個銳角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，下列結(jié)論一定成立的是（)A．這兩個角相等B．這兩個角互補C．這兩個角所在的兩個平面平行D．這兩個角所在的兩個平面平行或重合考點平面與平面平行的判定題點平面與平面平行的判定答案D類型二平面與平面平行的證明例2如圖，在多面體ABCDEF中,底面ABCD是平行四邊形，點G和點H分別是CE和CF的中點．求證：平面BDGH∥平面AEF?？键c平面與平面平行的判定題點平面與平面平行的證明證明在△CEF中，因為G，H分別是CE，CF的中點，所以GH∥EF，又因為GH?平面AEF，EF?平面AEF，所以GH∥平面AEF。設(shè)AC∩BD＝O，連接OH，在△ACF中，因為OA＝OC，CH＝HF，所以O(shè)H∥AF，又因為OH?平面AEF，AF?平面AEF,所以O(shè)H∥平面AEF。又因為OH∩GH＝H，OH,GH?平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF。反思與感悟平面與平面平行的判定方法（1)定義法:兩個平面沒有公共點．(2)判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面．（3)轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β.(4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β,β∥γ，則α∥γ.跟蹤訓(xùn)練2如圖，在四棱錐P－ABCD中，點E為PA的中點，點F為BC的中點，底面ABCD是平行四邊形,對角線AC,BD交于點O.求證：平面EFO∥平面PCD?？键c平面與平面平行的判定題點平面與平面平行的證明證明因為四邊形ABCD是平行四邊形,AC∩BD＝O,所以點O為BD的中點．又因為點F為BC的中點，所以O(shè)F∥CD.又OF?平面PCD,CD?平面PCD,所以O(shè)F∥平面PCD，因為點O，E分別是AC，PA的中點，所以O(shè)E∥PC,又OE?平面PCD，PC?平面PCD,所以O(shè)E∥平面PCD.又OE?平面EFO，OF?平面EFO，且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD.類型三線面平行與面面平行的綜合應(yīng)用例3如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點S是B1D1的中點，點E,F，G分別是BC，DC和SC的中點,求證：(1)直線EG∥平面BDD1B1；（2)平面EFG∥平面BDD1B1?？键c直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的證明證明（1)如圖,連接SB。∵點E，G分別是BC，SC的中點，∴EG∥SB。又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，∴EG∥平面BDD1B1.（2)連接SD.∵點F，G分別是DC，SC的中點，∴FG∥SD。又∵SD?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1,且EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1。反思與感悟解決線面平行與面面平行的綜合問題的策略（1）立體幾何中常見的平行關(guān)系是線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的．（2)eq\x（線線平行)eq\o（→,\s\up7(判定））eq\x（線面平行）eq\o(→,\s\up7(判定))eq\x(面面平行）所以平行關(guān)系的綜合問題的解決必須靈活運用三種平行關(guān)系的判定定理．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，P是△ABC所在平面外的一點，點A′，B′，C′分別是△PBC，△PCA，△PAB的重心．(1）求證：平面ABC∥平面A′B′C′；(2）求△A′B′C′與△ABC的面積之比．考點平面與平面平行的判定題點平面與平面平行的證明(1）證明分別連接PA′，PB′，PC′并延長交BC,AC，AB于點D，E，F(xiàn),連接DE，EF,DF.∵點A′,C′分別是△PBC，△PAB的重心，∴PA′＝eq\f(2,3)PD，PC′＝eq\f（2,3)PF，∴A′C′∥DF?！逜′C′?平面ABC，DF?平面ABC，∴A′C′∥平面ABC。同理，A′B′∥平面ABC.又A′C′∩A′B′＝A′，A′C′,A′B′?平面A′B′C′,∴平面ABC∥平面A′B′C′。(2)解由(1)知A′C′∥DF且A′C′＝eq\f(2,3)DF，又DF∥AC且DF＝eq\f(1，2）AC，∴A′C′∥AC且A′C′＝eq\f(1,3)AC。同理，A′B′∥AB且A′B′＝eq\f(1,3)AB，B′C′∥BC且B′C′＝eq\f(1，3）BC，∴△A′B′C′∽△ABC,∴S△A′B′C′∶S△ABC＝1∶9。1．下列敘述正確的是（）A．若平面α中有一條直線平行于另一個平面β，則α∥βB．若平面α中有兩條直線平行于另一個平面β，則α∥βC．若平面α中有無數(shù)條直線平行于另一個平面β,則α∥βD．若平面α中有兩條相交直線都與另一個平面β無公共點，則α∥β考點平面與平面平行的判定題點平面與平面平行的判定答案D2．在正方體中,相互平行的面不會是(）A．前后相對側(cè)面 B．上下相對底面C．左右相對側(cè)面 D．相鄰的側(cè)面考點平面與平面平行的判定題點平面與平面平行的判定答案D解析由正方體的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故選D.3．在正方體EFGH－E1F1G1H1中,下列四對截面彼此平行的一對是（）A．平面E1FG1與平面EGH1B．平面FHG1與平面F1H1GC．平面F1H1H與平面FHE1D．平面E1HG1與平面EH1G考點平面與平面平行的判定題點平面與平面平行的判定答案A解析如圖，∵EG∥E1G1，EG?平面E1FG1,E1G1?平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1.又G1F∥H1E，同理可證H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E,H1E,EG?平面EGH1，∴平面E1FG1∥EGH1.4．如圖，已知在三棱錐P－ABC中,D,E，F(xiàn)分別是棱PA,PB，PC的中點，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是________．考點平面與平面平行的判定題點平面與平面平行的判定答案平行解析在△PAB中，因為D，E分別是PA,PB的中點，所以DE∥AB.又DE?平面ABC，AB?平面ABC，所以DE∥平面ABC.同理可證EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，DE，EF?平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.5．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為DD1中點．能否同時過D1，B兩點作平面α,使平面α∥平面PAC？證明你的結(jié)論．考點平面與平面平行的判定題點平面與平面平行的證明解能作出滿足條件的平面α，其作法如下:如圖，連接BD1，取AA1的中點M，連接D1M,則BD1與D1M所確定的平面即為滿足條件的平面α。證明如下：連接BD交AC于O,連接PO,則PO∥D1B，又D1B?平面PAC,OP?平面PAC,故D1B∥平面PAC。又因為M為AA1的中點，所以D1M∥PA，又D1M?平面PAC，PA?平面PAC，所以D1M∥平面PAC.又因為D1M∩D1B＝D1，D1M?平面α,D1B?平面α，所以平面α∥平面PAC。證明面面平行的方法(1）面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理:如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．(3)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行．一、選擇題1．下列四個說法中正確的是(）A．平面α內(nèi)有無數(shù)個點到平面β的距離相等,則α∥βB．α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b（α，β，γ分別表示平面，a，b表示直線),則γ∥βC．平面α內(nèi)一個三角形三邊分別平行于平面β內(nèi)的一個三角形的三條邊，則α∥βD．平面α內(nèi)的一個平行四邊形的兩邊與平面β內(nèi)的一個平行四邊形的兩邊對應(yīng)平行，則α∥β考點平面與平面平行的判定題點平面與平面平行的判定答案C解析由面面平行的判定定理知C正確．2．如圖所示，設(shè)E，F(xiàn),E1,F1分別是長方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中點，則平面EFD1A1與平面BCF1E1的位置關(guān)系是(）A．平行B．相交C．異面D．不確定考點平面與平面平行的判定題點平面與平面平行的判定答案A解析∵A1E∥BE1，A1E?平面BCF1E1，BE1?平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.同理，A1D1∥平面BCF1E1.又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1?平面EFD1A1,∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.3．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，則此六棱柱的面中互相平行的有(）A．1對B．2對C．3對D．4對考點平面與平面平行的判定題點平面與平面平行的判定答案D解析由圖知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4對．4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為棱A1D1的動點，O為底面ABCD的中心,點E，F(xiàn)分別是A1B1，C1D1的中點，下列平面中與OM掃過的平面平行的是(）A．平面ABB1A1 B．平面BCC1B1C．平面BCFE D．平面DCC1D1考點平面與平面平行的判定題點平面與平面平行的判定答案C解析取AB,DC的中點分別為點E1和點F1，連接E1F1，則E1F1過點O，OM掃過的平面即為平面A1E1F1D1（如圖),故平面A1E1F1D1∥平面BCFE.5．經(jīng)過平面α外兩點，作與α平行的平面，則這樣的平面可以作（）A．1個或2個 B．0個或1個C．1個 D．0個考點平面與平面平行的判定題點平面與平面平行的判定答案B解析①當(dāng)經(jīng)過兩點的直線與平面α平行時，可作出一個平面β使β∥α.②當(dāng)經(jīng)過兩點的直線與平面α相交時,由于作出的平面與平面α至少有一個公共點,故經(jīng)過兩點的平面都與平面α相交,不能作出與平面α平行的平面．故滿足條件的平面有0個或1個．6．已知立方體ABCD－A′B′C′D′,點E，F(xiàn)，G，H分別是棱AD,BB′，B′C′，DD′的中點，從中任取兩點確定的直線中，與平面AB′D′平行的條數(shù)是(）A．0 B．2C．4 D．6考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案D解析連接EG,EH,EF，F(xiàn)G，GH，∵EH∥FG且EH＝FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形,∴E，F(xiàn)，G，H四點共面．由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，EG，EH?平面EFGH，AB′，AD′?平面AB′D′，可得平面EFGH∥平面AB′D′.故平面EFGH內(nèi)的每條直線都符合條件．故選D。7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)，G分別是棱A1B1，B1C1,BB1的中點，給出下列四個推斷：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1。其中推斷正確的序號是（)A．①③B．①④C．②③D．②④考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案A解析∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中,點E，F(xiàn)，G分別是棱A1B1，B1C1,BB1的中點，∴FG∥BC1。∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，又∵FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正確；∵EF∥A1C1,A1C1與平面BC1D1相交，∴EF與平面BC1D1相交，故②錯誤;∵FG∥BC1，F(xiàn)G?平面BC1D1,BC1?平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故③正確；∵EF與平面BC1D1相交，∴平面EFG與平面BC1D1相交,故④錯誤．故選A。8．如圖是四棱錐的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，點E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點，在此幾何體中,給出下面四個結(jié)論：①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD；③AB∥平面PCD；④平面PAD∥平面PAB。其中正確的有()A．①③B．①④C．①②③D．②③考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案C解析把平面展開圖還原為四棱錐如圖所示，則EH∥AB,又EH?平面ABCD，AB?平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.同理可證EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF,EH?平面EFGH,所以平面EFGH∥平面ABCD;平面PAD，平面PBC，平面PAB,平面PDC均是四棱錐的四個側(cè)面,則它們兩兩相交．∵AB∥CD,AB?平面PCD,CD?平面PCD，∴AB∥平面PCD.同理BC∥平面PAD。二、填空題9．已知平面α，β和直線a，b，c，且a∥b∥c，a?α，b，c?β,則α與β的關(guān)系是________．考點平面與平面平行的判定題點平面與平面平行的判定答案相交或平行解析b，c?β,a?α,a∥b∥c，若α∥β,滿足要求；若α與β相交，交線為l，b∥c∥l，a∥l,滿足要求，故答案為相交或平行．10．已知平面α和β，在平面α內(nèi)任取一條直線a，在β內(nèi)總存在直線b∥a，則α與β的位置關(guān)系是________．（填“平行”或“相交”）考點平面與平面平行的判定題點平面與平面平行的判定答案平行解析若α∩β＝l，則在平面α內(nèi)，與l相交的直線a，設(shè)a∩l＝A,對于β內(nèi)的任意直線b，若b過點A,則a與b相交，若b不過點A，則a與b異面，即β內(nèi)不存在直線b∥a,矛盾．故α∥β。11．如圖是正方體的平面展開圖．在這個正方體中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF。以上四個命題中，正確命題的序號是________．考點直線與平面平行的判定題點直線與平面平行的判定答案①②③④解析以ABCD為下底面還原正方體，如圖：則易判定四個命題都是正確的．三、解答題12。如圖，已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD。求證：平面MNQ∥平面PBC。考點平面與平面平行的判定題點平面與平面平行的證明解∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP?平面PBC，NQ?平面PBC,∴NQ∥平面PBC.又∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴BC∥AD，∴MQ∥BC，而BC?平面PBC,MQ?平面PBC，∴MQ∥平面PBC。又MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ?平面MNQ,∴平面MNQ∥平面PBC。13．如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB,AC,A1B1，A1C1的中點,求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.考點平面與平面平行的判定題點平面與平面平行的證明證明(1)∵G，H分別是A1B1,A1C1的中點，∴GH是△A1B1C1的中位線,∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面．（2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，∴EF∥BC?！逧F?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG?！逜1G∥EB,且A1G＝EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形,∴A1E∥GB。又∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG,∴A1E∥平面BCH