2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修二浙江專用版講義：第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§2。1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2。1。1平面學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平面的表示法，點(diǎn)、直線與平面的位置關(guān)系.2.掌握關(guān)于平面基本性質(zhì)的三個(gè)公理。3.會(huì)用符號(hào)表示圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)一平面思考幾何里的“平面”有邊界嗎？用什么圖形表示平面?答案沒有．平行四邊形．梳理（1）平面的概念①平面是最基本的幾何概念,對(duì)它加以描述而不定義．②幾何中的平面的特征：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（絕對(duì)的平，無限延展,不計(jì)大小,不計(jì)厚?。?2）平面的畫法常常把水平的平面畫成一個(gè)平行四邊形，并且其銳角畫成45°,且橫邊長(zhǎng)等于鄰邊長(zhǎng)的2倍一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)立體感，被遮擋部分用虛線畫出來（3）平面的表示方法①用希臘字母表示，如平面α，平面β，平面γ。②用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母表示，如平面ABCD.③用表示平面的平行四邊形的相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)表示,如平面AC，平面BD。知識(shí)點(diǎn)二點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系思考直線和平面都是由點(diǎn)組成的,聯(lián)系集合的觀點(diǎn)，點(diǎn)和直線、平面的位置關(guān)系,如何用符號(hào)來表示?直線和平面呢？答案點(diǎn)和直線、平面的位置關(guān)系可用數(shù)字符號(hào)“∈”或“?”表示，直線和平面的位置關(guān)系，可用數(shù)學(xué)符號(hào)“?”或“?”表示．梳理點(diǎn)、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及語言表達(dá)文字語言符號(hào)語言圖形語言A在l上A∈lA在l外A?lA在α內(nèi)A∈αA在α外A?αl在α內(nèi)l?αl在α外l?αl，m相交于Al∩m＝Al，α相交于Al∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l知識(shí)點(diǎn)三平面的基本性質(zhì)思考1直線l與平面α有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P。直線l是否在平面α內(nèi)？有兩個(gè)公共點(diǎn)呢?答案前者不在，后者在．思考2觀察圖中的三腳架，你能得出什么結(jié)論？答案不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面．梳理關(guān)于平面基本性質(zhì)的三個(gè)公理公理文字語言圖形語言符號(hào)語言作用公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)A∈l,B∈l，且A∈α，B∈α?l?α①確定直線在平面內(nèi)的依據(jù)②判定點(diǎn)在平面內(nèi)公理2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α①確定平面的依據(jù)②判定點(diǎn)線共面公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l①判定兩平面相交的依據(jù)②判定點(diǎn)在直線上1．8個(gè)平面重疊起來要比6個(gè)平面重疊起來厚．（×）2．空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面．（×）3．一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面．(×）類型一圖形語言、文字語言、符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)換例1用符號(hào)表示下列語句，并畫出圖形．（1)平面α與β相交于直線l，直線a與α,β分別相交于點(diǎn)A，B.（2)點(diǎn)A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點(diǎn)C,點(diǎn)C不在直線AB上．考點(diǎn)平面的概念、畫法及表示題點(diǎn)自然語言、符號(hào)語言與圖形語言的互化解（1)用符號(hào)表示：α∩β＝l,a∩α＝A，a∩β＝B，如圖．（2）用符號(hào)表示：A∈α,B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖．反思與感悟（1）用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí),首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何,試著用文字語言表示，再用符號(hào)語言表示．(2）根據(jù)符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．跟蹤訓(xùn)練1(1)用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線l上，l在平面α外”，正確的是()A．A∈l，l?αB．A∈l，l?αC．A?l，l?αD．A?l，l?α（2）如圖所示，用符號(hào)語言可表述為（）A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝AB．α∩β＝m,n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m,n?α，A?m，A?nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m,A∈n考點(diǎn)平面的概念、畫法及表示題點(diǎn)自然語言、符號(hào)語言與圖形語言的互化答案（1）B(2)A類型二共面問題例2如圖，已知a?α,b?α,a∩b＝A，P∈b,PQ∥a，求證:PQ?α。考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)線共面問題證明因?yàn)镻Q∥a，所以PQ與a確定一個(gè)平面β,所以直線a?β，點(diǎn)P∈β。因?yàn)镻∈b，b?α，所以P∈α。又因?yàn)閍?α，P?a，所以α與β重合，所以PQ?α.引申探究將本例中的兩條平行線改為三條,即求證:和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)．證明已知:a∥b∥c,l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C。求證:a,b,c和l共面．證明：如圖，∵a∥b，∴a與b確定一個(gè)平面α?！遧∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α,B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α?！遙∥c，∴b與c確定一個(gè)平面β，同理l?β.∵平面α與β都包含l和b,且b∩l＝B，由公理2的推論知:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面，∴平面α與平面β重合，∴a，b，c和l共面．反思與感悟(1）公理2的推論推論1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．(2)點(diǎn)線共面問題是指證明一些點(diǎn)或直線在同一平面內(nèi)的問題，主要依據(jù)是公理1、公理2及其推論．解決該類問題通常有三種方法①納入平面法：先由部分元素確定一個(gè)平面，再證其他元素也在該平面內(nèi)．②輔助平面法（平面重合法)：先由有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再由其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．③反證法．通常情況下采用第一種方法．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C。求證：直線l1，l2,l3在同一平面內(nèi)．考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)線共面問題證明方法一（納入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2。又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α。∵B∈l3,C∈l3，∴l(xiāng)3?α?！嘀本€l1,l2，l3在同一平面內(nèi)．方法二(輔助平面法）∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B,∴l(xiāng)2,l3確定一個(gè)平面β.∵A∈l2，l2?α,∴A∈α.∵A∈l2，l2?β,∴A∈β。同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β。∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A,B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi),∴平面α和β重合，即直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi)．類型三證明共點(diǎn)、共線問題eq\x（命題角度1線共點(diǎn)問題)例3如圖所示，已知E,F，G，H分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中點(diǎn)．求證：FE，HG，DC三線共點(diǎn)．考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)在線上問題證明如圖所示,連接C1B，GF，HE，由題意知HC1∥EB，且HC1＝EB,∴四邊形HC1BE是平行四邊形，∴HE∥C1B。又C1G＝GC，CF＝BF，∴GF∥C1B，且GF＝eq\f（1,2)C1B?！郍F∥HE，且GF≠HE,∴HG與EF相交．設(shè)交點(diǎn)為K，∴K∈HG，HG?平面D1C1CD,∴K∈平面D1C1CD.∵K∈EF,EF?平面ABCD,∴K∈平面ABCD，∴K∈（平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC），∴EF，HG,DC三線共點(diǎn)．反思與感悟證明三線共點(diǎn)問題的基本方法先確定待證的三線中的兩條相交于一點(diǎn),再證明第三條直線也過該點(diǎn)．常結(jié)合公理3，證出該點(diǎn)在不重合的兩個(gè)平面內(nèi)，故該點(diǎn)在它們的交線(第三條直線）上,從而證明三線共點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示,A，B,C，D為不共面的四點(diǎn),E，F(xiàn),G,H分別在線段AB，BC，CD，DA上．（1)如果EH∩FG＝P,那么點(diǎn)P在直線________上;(2)如果EF∩GH＝Q，那么點(diǎn)Q在直線________上．考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)在線上問題答案（1）BD(2）AC解析（1）若EH∩FG＝P,則點(diǎn)P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD,∴P∈BD.(2)若EF∩GH＝Q，則Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC,∴Q∈AC.eq\x(命題角度2點(diǎn)共線問題)例4如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點(diǎn)Q，求證：B,Q，D1三點(diǎn)共線．考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)在線上問題證明如圖,連接A1B，CD1，顯然B∈平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1，∴BD1?平面A1BCD1.同理，BD1?平面ABC1D1，∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1。又∵A1C?平面A1BCD1,∴Q∈平面A1BCD1?！郠在平面A1BCD1與平面ABC1D1的交線上,即Q∈BD1，∴B，Q，D1三點(diǎn)共線．反思與感悟點(diǎn)共線問題是證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同一條直線上，主要依據(jù)是公理3，解決此類問題常用的方法(1)首先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3知，這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上．（2）選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在這條直線上．跟蹤訓(xùn)練4如圖所示，平面α∩β＝l,A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過()A．點(diǎn)A B．點(diǎn)BC．點(diǎn)C但不過點(diǎn)M D．點(diǎn)C和點(diǎn)M考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)在線上問題答案D解析∵AB?γ,M∈AB，∴M∈γ。又α∩β＝l,M∈l，∴M∈β.根據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線上．同理可知，點(diǎn)C也在γ與β的交線上。1．有以下結(jié)論:①平面是處處平的面；②平面是無限延展的;③平面的形狀是平行四邊形；④一個(gè)平面的厚度可以是0.001cm。其中正確的個(gè)數(shù)為（)A．1B．2C．3D．4考點(diǎn)平面的概念、面法及表示題點(diǎn)平面概念的應(yīng)用答案B解析平面是無限延展的，但是沒有大小、形狀、厚薄，①②兩種說法是正確的；③④兩種說法是錯(cuò)誤的．故選B。2．若一直線a在平面α內(nèi),則正確的作圖是(）考點(diǎn)平面的概念、畫法及表示題點(diǎn)自然語言、符號(hào)語言與圖形語言的互化答案A解析B中直線a不應(yīng)超出平面α；C中直線a不在平面α內(nèi)；D中直線a與平面α相交．3．如果點(diǎn)A在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)B在平面α內(nèi)，則可以表示為（）A．A?a，a?α，B∈α B．A∈a，a?α，B∈αC．A?a,a∈α，B?α D．A∈a，a∈α，B∈α考點(diǎn)平面的概念、畫法及表示題點(diǎn)自然語言、符號(hào)語言與圖形語言的互化答案B解析點(diǎn)A在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)B在平面α內(nèi),表示為A∈a,a?α，B∈α。4．下面四個(gè)條件中，能確定一個(gè)平面的條件是()A．空間中任意三點(diǎn) B．空間中兩條直線C．一條直線和一個(gè)點(diǎn) D．兩條平行直線考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)確定平面問題答案D5．設(shè)平面α與平面β交于直線l，A∈α,B∈α，且直線AB∩l＝C,則直線AB∩β＝_____?？键c(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)在線上問題答案C1.解決立體幾何問題首先應(yīng)過好三大語言關(guān)，即實(shí)現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換,正確理解集合符號(hào)所表示的幾何圖形的實(shí)際意義,恰當(dāng)?shù)赜梅?hào)語言描述圖形語言,將圖形語言用文字語言描述出來，再轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言．文字語言和符號(hào)語言在轉(zhuǎn)換的時(shí)候,要注意符號(hào)語言所代表的含義，作直觀圖時(shí),要注意線的實(shí)虛．2．在處理點(diǎn)線共面、三點(diǎn)共線及三線共點(diǎn)問題時(shí)初步體會(huì)三個(gè)公理的作用,突出先部分再整體的思想．一、選擇題1．下列四個(gè)選項(xiàng)中的圖形表示兩個(gè)相交平面,其中畫法正確的是（)考點(diǎn)平面的概念、畫法及表示題點(diǎn)自然語言、符號(hào)語言與圖形語言的互化答案D解析畫兩個(gè)相交平面時(shí)，被遮住的部分用虛線表示．2．下列說法中正確的是（)A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．四邊形一定是平面圖形C．梯形一定是平面圖形D．兩個(gè)不同平面α和β有不在同一條直線上的三個(gè)公共點(diǎn)考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)確定平面問題答案C解析不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A不正確；四邊形有時(shí)指空間四邊形，故B不正確；梯形的上底和下底平行，可以確定一個(gè)平面,故C正確；兩個(gè)平面如果相交,一定有一條交線，所有這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)都在這條交線上，故D不正確．故選C。3．如果空間四點(diǎn)A，B,C，D不共面，那么下列判斷中正確的是（)A．A，B，C，D四點(diǎn)中必有三點(diǎn)共線B．A,B，C,D四點(diǎn)中不存在三點(diǎn)共線C．直線AB與CD相交D．直線AB與CD平行考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)在線上問題答案B解析兩條平行直線、兩條相交直線、直線及直線外一點(diǎn)都分別確定一個(gè)平面．4．如果直線a?平面α，直線b?平面α，M∈a，N∈b,M∈l,N∈l,則(）A．l?α B．l?αC．l∩α＝M D．l∩α＝N考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)線共面問題答案A解析∵M(jìn)∈a，a?α，∴M∈α，同理,N∈α，又M∈l，N∈l，故l?α。5．三條兩兩相交的直線最多可確定的平面的個(gè)數(shù)為（)A．1B．2C．3D．無數(shù)考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)確定平面問題答案C解析在空間中，兩兩相交的三條直線最多可以確定3個(gè)平面，如圖所示：PA，PB，PC相交于一點(diǎn)P，則PA，PB，PC不共面,則PA，PB確定一個(gè)平面PAB，PB,PC確定一個(gè)平面PBC，PA,PC確定一個(gè)平面PAC.故選C.6．設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a，b表示兩條直線，α，β表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是（）①P∈a，P∈α?a?α；②a∩b＝P，b?β?a?β；③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b.A．①② B．②③C．①④ D．③④考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)確定平面問題答案D7．一條直線和直線外的三點(diǎn)所確定的平面有（）A．1個(gè)或3個(gè) B．1個(gè)或4個(gè)C．1個(gè)，3個(gè)或4個(gè) D．1個(gè)，2個(gè)或4個(gè)答案C解析若三點(diǎn)在同一直線上，且與已知直線平行或相交，或該直線在由該三點(diǎn)確定的平面內(nèi),則均確定1個(gè)平面；若三點(diǎn)有兩點(diǎn)連線和已知直線平行時(shí)可確定3個(gè)平面；若三點(diǎn)不共線，且該直線在由該三點(diǎn)確定的平面外，則可確定4個(gè)平面．8．空間中有五個(gè)點(diǎn)，其中有四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi),但沒有任何三點(diǎn)共線，這樣的五個(gè)點(diǎn)確定平面的個(gè)數(shù)最多可以是（）A．4B．5C．6D．7考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)確定平面問題答案D解析可以想象四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)，它們總共確定7個(gè)平面．二、填空題9．若直線l上有兩個(gè)點(diǎn)在平面α內(nèi),則下列說法中正確的序號(hào)為________．①直線l上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面α外;②直線l上有無窮多個(gè)點(diǎn)在平面α外；③直線l上所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)；④直線l上至多有兩個(gè)點(diǎn)在平面α內(nèi)考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)線共面問題答案③10．三條平行直線最多能確定的平面的個(gè)數(shù)為________．考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)確定平面問題答案3解析當(dāng)三條平行直線在一個(gè)平面內(nèi)時(shí)，可以確定1個(gè)平面;當(dāng)三條平行直線不在同一平面上時(shí),可以確定3個(gè)平面．綜上最多可確定3個(gè)平面．11．已知空間四點(diǎn)中無任何三點(diǎn)共線,那么這四點(diǎn)可以確定平面的個(gè)數(shù)是________．考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)確定平面問題答案1或4解析其中三個(gè)點(diǎn)可確定唯一的平面,當(dāng)?shù)谒膫€(gè)點(diǎn)在此平面內(nèi)時(shí)，可確定1個(gè)平面,當(dāng)?shù)谒膫€(gè)點(diǎn)不在此平面內(nèi)時(shí)，則可確定4個(gè)平面．12．若直線l與平面α相交于點(diǎn)O,A，B∈l，C，D∈α,且AC∥BD，則O，C,D三點(diǎn)的位置關(guān)系是________．考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)在線上問題答案三點(diǎn)共線解析∵AC∥BD,∴AC與BD確定一個(gè)平面，記作平面β，則α∩β＝直線CD?！遧∩α＝O,∴O∈α.又∵O∈AB?β,∴O∈直線CD，∴O,C，D三點(diǎn)共線．三、解答題13。如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2。（1)求證：E，F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P,A,C三點(diǎn)共線．考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)題點(diǎn)點(diǎn)