2018-2019數學新學案同步必修二人教A版全國通用版講義：第四章 圓與方程4.3

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精§4。3空間直角坐標系學習目標1.了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標系刻畫點的位置.2.掌握空間兩點間的距離公式．知識點一空間直角坐標系思考空間直角坐標系需要幾個坐標軸，它們之間有什么關系？答案空間直角坐標系需要三個坐標軸，它們之間兩兩相互垂直．梳理（1)空間直角坐標系及相關概念①空間直角坐標系：從空間某一定點引三條兩兩垂直,且有相同單位長度的數軸:x軸、y軸、z軸，這時我們說建立了一個空間直角坐標系Oxyz.②相關概念：點O叫做坐標原點,x軸、y軸、z軸叫做坐標軸，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面．（2）右手直角坐標系在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向,如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．（3)空間一點的坐標空間一點M的坐標可以用有序實數組(x，y，z）來表示，有序實數組(x，y，z）叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標,記作M(x,y,z），其中x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標．知識點二空間兩點間的距離1．空間兩點間的距離公式（1)在空間中，點P(x，y，z）到坐標原點O的距離｜OP｜＝eq\r（x2＋y2＋z2）。（2)在空間中，P1（x1，y1,z1)與P2（x2，y2,z2）的距離｜P1P2|＝eq\r（x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).2．空間中的中點坐標公式在空間直角坐標系中，若A（x1，y1，z1）,B(x2，y2，z2),則線段AB的中點坐標是eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2，2)，\f(y1＋y2，2)，\f(z1＋z2,2）)）。

1．空間直角坐標系中，在x軸上的點的坐標一定是(0,b，c)的形式．（×）2．空間直角坐標系中，在xOz平面內的點的坐標一定是(a，0，c)的形式．(√）3．關于坐標平面yOz對稱的點其縱坐標、豎坐標保持不變,橫坐標相反．(√）類型一求空間中點的坐標例1如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M在線段BC1上，且|BM|＝2｜MC1｜，N是線段D1M的中點,求點M,N的坐標．考點空間直角坐標系題點空間中點的坐標解如圖,過點M作MM1⊥BC于點M1，連接DM1，取DM1的中點N1，連接NN1.由|BM｜＝2｜MC1｜，知｜MM1|＝eq\f（2,3)|CC1|＝eq\f(2,3），|M1C|＝eq\f（1,3)|BC｜＝eq\f（1，3）。因為M1M∥DD1，所以M1M與z軸平行，點M1與點M的橫坐標、縱坐標相同，點M的豎坐標為eq\f（2,3),所以Meq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，3），1，\f（2,3)))。由N1為DM1的中點,知N1eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，6)，\f(1，2），0））.因為N1N與z軸平行，且|N1N｜＝eq\f(|M1M｜＋｜DD1｜,2)＝eq\f(5,6）,所以Neq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，6），\f(1,2），\f(5,6))）.反思與感悟1.建立空間直角坐標系時,應遵循的兩個原則(1）讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面上．(2）充分利用幾何圖形的對稱性．2．求某點M的坐標的方法作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的橫坐標x，縱坐標y，即點M的橫坐標x，縱坐標y，再求M點在z軸上射影的豎坐標z，即為M點的豎坐標z，于是得到M點的坐標（x，y，z）．3．坐標平面上的點的坐標特征xOy平面上的點的豎坐標為0，即（x,y，0）．yOz平面上的點的橫坐標為0,即(0，y，z）．xOz平面上的點的縱坐標為0，即(x，0，z）．4．坐標軸上的點的坐標特征x軸上的點的縱坐標、豎坐標都為0，即(x，0，0)．y軸上的點的橫坐標、豎坐標都為0，即(0，y，0)．z軸上的點的橫坐標、縱坐標都為0,即（0,0，z）．跟蹤訓練1已知正四棱錐P－ABCD的底面邊長為5eq\r（2)，側棱長為13，建立的空間直角坐標系如圖，寫出各頂點的坐標．考點空間直角坐標系題點空間中點的坐標解因為|PO|＝eq\r(|PB|2－|OB｜2）＝eq\r（169－25)＝12，所以各頂點的坐標分別為P(0，0，12）,Aeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(5\r（2)，2），－\f（5\r(2）,2)，0）），Beq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(5\r（2），2)，\f(5\r(2),2)，0)），Ceq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(5\r(2）,2)，\f（5\r(2）,2），0）），Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(2）,2)，－\f(5\r(2)，2），0）)。類型二空間中點的對稱問題例2在空間直角坐標系中,已知點P（－2,1，4）．(1）求點P關于x軸對稱的點的坐標;（2）求點P關于xOy平面對稱的點的坐標；(3）求點P關于點M(2,－1，－4)對稱的點的坐標．考點空間中點的對稱問題題點關于對稱的綜合問題解（1）由于點P關于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸,z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?所以對稱點坐標為P1(－2,－1，－4）．(2）由點P關于xOy平面對稱后，它在x軸，y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?所以對稱點坐標為P2（－2，1，－4)．(3)設對稱點為P3(x，y，z）,則點M為線段PP3的中點，由中點坐標公式，可得x＝2×2－（－2）＝6,y＝2×（－1）－1＝－3，z＝2×（－4）－4＝－12,所以P3的坐標為（6，－3，－12)．反思與感悟(1）空間中點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準確求解．（2）對稱點的問題常常采用“關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結論．跟蹤訓練2已知點P（2,3，－1)關于坐標平面xOy的對稱點為P1，點P1關于坐標平面yOz的對稱點為P2，點P2關于z軸的對稱點為P3，則點P3的坐標為________．考點空間中點的對稱問題題點關于對稱的綜合問題答案(2，－3，1)解析點P(2，3，－1)關于坐標平面xOy的對稱點P1的坐標為（2，3,1），點P1關于坐標平面yOz的對稱點P2的坐標為(－2，3，1)，點P2關于z軸的對稱點P3的坐標是(2,－3，1）．類型三空間中兩點間的距離問題eq\x(命題角度1求空間兩點間的距離）例3已知△ABC的三個頂點A(1,5,2），B(2，3，4)，C(3,1，5)．(1）求△ABC中最短邊的邊長；(2）求AC邊上中線的長度．考點空間兩點間的距離公式及應用題點空間兩點間的距離公式的綜合應用解（1）由空間兩點間距離公式得|AB｜＝eq\r(1－22＋5－32＋2－42)＝3，｜BC|＝eq\r（2－32＋3－12＋4－52）＝eq\r（6）,|AC|＝eq\r（1－32＋5－12＋2－52)＝eq\r(29），∴△ABC中最短邊是|BC|，其長度為eq\r(6)。(2)由中點坐標公式得，AC的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2，3，\f（7，2）)).∴AC邊上中線的長度為eq\r（2－22＋3－32＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（4－\f(7，2)）)2）＝eq\f（1，2）。反思與感悟求空間兩點間的距離的方法求空間兩點間的距離時，一般使用空間兩點間的距離公式，應用公式的關鍵在于建立合適的坐標系，確定兩點的坐標．確定點的坐標的方法視具體題目而定．一般來說，要轉化到平面中求解，有時也利用幾何圖形的特征，結合平面直角坐標系的知識確定．跟蹤訓練3已知三點A(－1,0，1)，B（2，4，3），C(5，8，5）,則（）A．三點構成等腰三角形B．三點構成直角三角形C．三點構成等腰直角三角形D．三點構不成三角形考點空間兩點間的距離公式及應用題點空間兩點間的距離公式的綜合應用答案D解析由｜AB|＝eq\r（29)，｜BC｜＝eq\r（29）,｜AC｜＝eq\r(116)，｜AB｜＋｜BC|＝|AC|。故選D.eq\x（命題角度2空間兩點間距離公式的應用）例4(1)已知點A(1－t，1－t，t），B（2，t，t)，則｜AB|的最小值為________．考點空間兩點間的距離公式題點已知空間兩點間的距離，求參數的值答案eq\f(3\r(5)，5）解析由空間中兩點的距離公式，得｜AB|＝eq\r（2－1＋t2＋t－1＋t2＋t－t2）＝eq\r（5t2－2t＋2）＝eq\r（5\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（t－\f(1,5)）)2＋\f(9,5）).當t＝eq\f（1,5）時，｜AB|取最小值,最小值為eq\f（3\r(5)，5)。（2）已知點A（0，1，0），B(－1，0，－1),C(2，1，1），若點P（x，0，z)滿足PA⊥AB，PA⊥AC，試求點P的坐標．考點求空間中點的坐標題點求空間中點的坐標解∵PA⊥AB,∴△PAB為直角三角形，∴|PB|2＝｜PA｜2＋|AB｜2，即(x＋1）2＋（z＋1)2＝x2＋1＋z2＋1＋1＋1,即x＋z＝1, ①又∵PA⊥AC，∴△PAC為直角三角形，∴｜PC|2＝|PA｜2＋｜AC｜2，即（x－2)2＋1＋（z－1）2＝x2＋1＋z2＋4＋0＋1，即2x＋z＝0， ②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－1，,z＝2,))∴點P的坐標為（－1，0，2)．反思與感悟利用空間兩點間的距離公式,將空間距離問題轉化為二次函數的最值問題，體現了數學上的轉化思想和函數思想，此類題目的解題方法是直接設出點的坐標，利用距離公式就可以將幾何問題代數化，分析函數即可．跟蹤訓練4已知點A（4，5，6），B（－5，0，10),在z軸上有一點P,使|PA｜＝|PB｜，則點P的坐標為________．考點求空間中點的坐標題點求空間中點的坐標答案（0,0,6）解析設P（0，0,z)，由|PA|＝｜PB|，得eq\r（4－02＋5－02＋6－z2）＝eq\r(－5－02＋0－02＋10－z2)，解得z＝6?！帱cP的坐標為（0,0，6）．1．在空間直角坐標系中，點P(－1，－2，－3)到平面yOz的距離是（）A．1B．2C．3D。eq\r(14）考點空間中點的對稱問題題點關于坐標平面的對稱問題答案A2．以棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系,如圖所示,則正方形AA1B1B的對角線的交點坐標為()A。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f（1,2），\f（1,2））) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）,0，\f(1，2）)）C.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2），\f（1,2)，0）) D。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)，\f（1，2），\f(1，2））)考點求空間中點的坐標題點求空間中點的坐標答案B解析由題圖得A（0，0，0），B1（1，0，1），所以對角線的交點即為AB1的中點，由中點坐標公式，可得對角線的交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）,0，\f（1，2）))。3．設點P在x軸上，它到點P1（0，eq\r(2），3)的距離為到點P2(0，1，－1)的距離的兩倍，則點P的坐標為(）A．（1，0，0） B．(－1，0，0）C．（1,0，0）或（0，－1，0) D．(1，0，0）或(－1，0，0)考點求空間中點的坐標題點求空間中點的坐標答案D解析因為點P在x軸上,所以設點P的坐標為(x，0，0)．由題意，知|PP1|＝2｜PP2|，所以eq\r(x－02＋0－\r（2)2＋0－32）＝2eq\r(x－02＋0－12＋0＋12).解得x＝±1.所以點P的坐標為（1，0，0）或（－1，0，0)．4。如圖,在空間直角坐標系中，有一棱長為a的正方體ABCD－A′B′C′D′，A′C的中點E與AB的中點F的距離為()A。eq\r（2)a B.eq\f（\r(2),2)aC．a D.eq\f（1,2)a考點空間兩點間的距離公式題點空間兩點間的距離的計算答案B解析∵A′（a，0,a)，C(0,a，0），A(a，0，0）,B（a，a，0)，∴E點坐標為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（a,2），\f（a，2），\f（a,2)））,F點坐標為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(a，\f(a，2),0)），∴｜EF|＝eq\r(\f（a2,4）＋02＋\f(a2,4）)＝eq\f（\r（2），2)a.5．點P(1,1,1)關于xOy平面的對稱點P1的坐標為______；點P關于z軸的對稱點P2的坐標為________．考點空間中點的對稱問題題點關于對稱的綜合問題答案（1,1,－1)（－1,－1，1）解析點P(1,1，1）關于xOy平面的對稱點P1的坐標為(1,1,－1)，點P關于z軸的對稱點P2的坐標為（－1，－1，1)．1．結合長方體的長寬高理解點的坐標（x,y，z),培養(yǎng)立體思維,增強空間想象力．2．學會用類比聯想的方法理解空間直角坐標系的建系原則,切實體會空間中點的坐標及兩點間的距離公式同平面內點的坐標及兩點間的距離公式的區(qū)別和聯系．3．在導出空間兩點間的距離公式的過程中體會轉化與化歸思想的應用,突出化空間為平面的解題思想．一、選擇題1。如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1,則點B1的坐標是（）A．(1，0，0）B．(1,0，1)C．(1，1，1)D．（1，1,0）考點空間直角坐標系題點空間中點的坐標答案C解析點B1到三個坐標平面的距離都為1，易知其坐標為(1，1，1)，故選C。2．點A(0，－2，3)在空間直角坐標系中的位置是（)A．在x軸上 B．在xOy平面內C．在yOz平面內 D．在xOz平面內考點已知坐標系中點的坐標確定位置題點已知坐標系中點的坐標確定位置答案C解析∵點A的橫坐標為0，∴點A（0，－2,3）在yOz平面內．3．設點B是點A（2，－3,5）關于xOy平面的對稱點，則A，B兩點的距離為（)A．10B。eq\r(10)C。eq\r(38）D．38考點空間中點的對稱問題題點關于坐標平面的對稱問題答案A解析∵點B是A（2，－3，5）關于xOy平面的對稱點，∴點B的橫坐標和縱坐標與點A相同,豎坐標相反，∴B（2，－3，－5），∴AB的長度是5－（－5)＝10.故選A。4．在空間直角坐標系中，P(2，3，4），Q(－2，－3，－4）兩點的位置關系是()A．關于x軸對稱B．關于yOz平面對稱C．關于坐標原點對稱D．以上都不對考點空間中點的對稱問題題點關于原點的對稱問題答案C解析當三個坐標均相反時，兩點關于原點對稱．5．在空間直角坐標系中，已知點P(1，eq\r(2），eq\r（3)），過點P作平面yOz的垂線PQ，則垂足Q的坐標為()A．（0，eq\r(2),0） B．（0,eq\r（2），eq\r(3)）C．(1,0,eq\r(3）) D．（1，eq\r(2），0)考點已知坐標系中點的坐標確定位置題點已知坐標系中點的坐標確定位置答案B6．在空間直角坐標系中，若以點A（4,1，9），B(10，－1，6),C(x，4，3)為頂點的△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，則實數x的值是（)A．－2 B．2C．6 D．2或6考點空間兩點間的距離公式及應用題點空間兩點間的距離公式的綜合應用答案D解析依題意有｜AB｜＝|AC｜，即eq\r（10－42＋－1－12＋6－92）＝eq\r(x－42＋4－12＋3－92），即x2－8x＋12＝0，解得x＝2或x＝6。7．一束光線自點P（1，1，1)發(fā)出，遇到平面xOy被反射,到達點Q（3，3,6）被吸收，那么光所走的路程是（)A.eq\r（37）B.eq\r(47)C。eq\r（33）D。eq\r（57)考點空間中點的對稱問題題點關于對稱的綜合問題答案D解析點P(1，1，1）關于平面xOy的對稱點M的坐標為(1，1，－1)．一束光線自點P（1,1，1)發(fā)出，遇到平面xOy被反射，到達點Q(3，3，6)被吸收，那么光所走的路程是eq\r(3－12＋3－12＋6＋12)＝eq\r(57).二、填空題8．已知平行四邊形ABCD的兩個頂點的坐標分別為A(2,－3，－5），B(－1，3，2)，對角線的交點是E(4，－1，7），則C，D的坐標分別為________________．考點空間中點的對稱問題題點中點坐標公式及其應用答案（6，1,19），（9,－5，12）解析由題意知，E為AC與BD的中點，利用中點坐標公式,可得C(6，1，19），D（9，－5，12)．9．如果點P在z軸上，且滿足｜PO|＝1(O是坐標原點)，則點P到點A(1,1，1)的距離是________．考點求空間中點的坐標題點求空間中點的坐標答案eq\r（2)或eq\r(6）解析設P(0，0，z)，由|PO|＝eq\r（0－02＋0－02＋z－02）＝1,得z＝±1，∴P(0,0，1)或P(0,0，－1），則｜PA|＝eq\r(2)或eq\r(6).10．如圖所示的是棱長為3a的正方體OABC－O′A′B′C′,點M在B′C′上,且｜C′M|＝2|MB′｜,以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，則點M的坐標為________．考點空間中點的對稱問題題點中點坐標公式及其應用答案（2a，3a,3a)解析∵|C′M|＝2｜MB′|,∴|C′M|＝eq\f（2,3）｜B′C′|＝2a，∴點M的坐標為(2a,3a，3a)．11．已知正方體的六個面中,不在同一平面的兩點的坐標分別為A(－1，2，－1)，B（3，－2，3），則正方體的體積是________．考點空間兩點間的距離公式及應用題點空間兩點間的距離公式的綜合應用答案64解析｜AB|＝eq\r(－1－32＋2＋22＋－1－32)＝4eq\r（3)。又因為A(－1，2,－1),B（3，－2，3）不在同一平面上,所以A，B兩點間的距離即為正方體的體對角線長．設正方體的邊長為a,則eq\r(3)a＝4eq\r(3），即a＝4,所以正方體的體積為64.三、解答題12．在yOz平面上求與點A(3，1,2），B(4，－2，－2）,C(0，5，1）等距離的點P的坐標．考點求空間中點的坐標題點求空間中點的坐標解設P(0，y，z),由題意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(|PA|＝｜PC｜，,｜PB|＝｜PC|，）)所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\r(0－32＋y－12＋z－22），＝\r（0－02＋y－52＋z－12，),\r(0－42＋y＋22＋z＋22)，＝\r（0－02＋y－52＋z－12，）））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（4y－z－6＝0，，7y＋3z－1＝0，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝1,,z＝－2，）)所以點P的坐標為（0，1，－2)．13．如圖所示,正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為a,P,Q分別是D′B，B′C的中點，求｜PQ｜.考點空間兩點間的距離公式及應用題點空間兩點間的距離公式的綜合應用解以D為坐標原點，DA，DC，DD′所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Dxyz，由題意得B(a，a，0)，D′（0，0，a），所以Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f（a，2），\f（a，2))）.又C(0，a，0)，B′(a，a，a），所以Qeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(a，2），a，\f(a,2))）。所以|PQ|＝eq\r(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（a，2)－\f(a,2）))2＋\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co