2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修二人教A版全國通用版講義：第三章 直線與方程3.3.1~3.3.2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§3。3直線的交點坐標(biāo)與距離公式3。3.1兩條直線的交點坐標(biāo)3.3。2兩點間的距離學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo).2.會根據(jù)方程解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系。3.掌握兩點間距離公式并會應(yīng)用。知識點一兩條直線的交點思考由兩直線的方程組成的方程組解的情況與兩條直線的位置關(guān)系有何對應(yīng)關(guān)系?答案(1）若方程組無解,則l1∥l2;(2）若方程組有且只有一個解,則l1與l2相交;(3）若方程組有無數(shù)解，則l1與l2重合。梳理（1)兩直線的交點幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示點AA(a，b）直線l1，l2l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0點A在直線l1上A1a＋B1b＋C1＝0直線l1與l2的交點是Aeq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0))(2）兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，，A2x＋B2y＋C2＝0)）的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行知識點二兩點間的距離（1）公式：點P1（x1，y1），P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r（x2－x12＋y2－y12).根.特別提醒：(1)此公式與兩點的先后順序無關(guān).（2)當(dāng)直線P1P2平行于x軸時，｜P1P2｜＝|x2－x1｜。當(dāng)直線P1P2平行于y軸時，|P1P2｜＝|y2－y1｜。當(dāng)點P1，P2中有一個是原點時,|P1P2|＝eq\r(x2＋y2）.1.若兩直線相交,則交點坐標(biāo)一定是兩直線方程所組成的二元一次方程組的解.（√)2。點P1(0，a）,點P2（b，0）之間的距離為a－b。（×）3。無論m為何值,x－y＋1＝0與x－2my＋3＝0必相交。（×）類型一兩直線的交點問題eq\x（命題角度1由交點求參數(shù)值或范圍）例1(1）若方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－6y＝0，，y＝\f(1,3）x＋\f(1，2))）有且只有一組解，則k的取值范圍是________?？键c兩條直線的交點題點已知相交關(guān)系，求參數(shù)的值答案{k|k≠2}解析當(dāng)直線kx－6y＝0與y＝eq\f（1,3)x＋eq\f(1,2）平行時，k＝2,此時方程組無解，又兩直線不重合,故當(dāng)方程組有且只有一組解時，k≠2。(2）若兩直線2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交點在y軸上,則k＝________?？键c兩條直線的交點題點已知相交關(guān)系，求參數(shù)的值答案±6解析在2x＋3y－k＝0中，令x＝0，得y＝eq\f(k，3),將eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,\f（k，3））)代入x－ky＋12＝0中，解得k＝±6.反思與感悟兩條直線相交的判定方法方法一聯(lián)立直線方程解方程組,若有一解,則兩直線相交方法二兩直線斜率都存在且斜率不相等方法三兩直線的斜率一個存在，另一個不存在跟蹤訓(xùn)練1已知直線5x＋4y＝2a＋1與直線2x＋3y＝a的交點位于第四象限，則a的取值范圍是________?？键c兩條直線的交點題點兩直線交點的綜合應(yīng)用答案eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（3,2），2）)解析由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（5x＋4y＝2a＋1，,2x＋3y＝a，））得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（2a＋3,7），，y＝\f（a－2,7）,)）由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(2a＋3，7）>0,,\f(a－2,7)〈0,）)得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a>－\f(3,2），，a<2。))∴－eq\f(3,2）〈a〈2。eq\x(命題角度2求過兩直線交點的直線方程）程。考點過兩條直線交點的直線方程題點應(yīng)用直線系方程求過兩條直線交點的直線方程解方法一解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2x－3y－3＝0，，x＋y＋2＝0，））得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－\f(3,5),,y＝－\f(7,5）,）)所以兩直線的交點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（3，5)，－\f(7,5）)）.又所求直線與直線3x＋y－1＝0平行，所以所求直線的斜率為－3.故所求直線方程為y＋eq\f（7,5）＝－3eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f（3,5））），即15x＋5y＋16＝0。方法二設(shè)所求直線方程為（2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即（2＋λ)x＋（λ－3)y＋（2λ－3）＝0。（＊）由于所求直線與直線3x＋y－1＝0平行,所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2＋λ×1－λ－3×3＝0，，2＋λ×－1－2λ－3×3≠0，）)得λ＝eq\f(11,2）.代入（*)式,得eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2＋\f(11，2)))x＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(11,2）－3）)y＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2×\f（11,2）－3)）＝0，即15x＋5y＋16＝0。引申探究本例中若將“平行”改為“垂直”，又如何求解。解設(shè)所求直線方程為(2x－3y－3）＋λ(x＋y＋2）＝0,即（2＋λ）x＋（λ－3)y＋（2λ－3)＝0，由所求直線與直線3x＋y－1＝0垂直，得3(2＋λ)＋(λ－3）×1＝0，得λ＝－eq\f(3,4)，所以所求直線方程為5x－15y－18＝0。反思與感悟求過兩條直線交點的直線方程,一般是先解方程組求出交點坐標(biāo),再結(jié)合其他條件寫出直線方程。也可用過兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（不包括l2的方程)，再根據(jù)其他條件求出待定系數(shù),寫出直線方程.跟蹤訓(xùn)練2直線l經(jīng)過原點，且經(jīng)過另兩條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交點，則直線l的方程為(）A。2x＋y＝0 B.2x－y＝0C.x＋2y＝0 D.x－2y＝0考點過兩條直線交點的直線方程題點應(yīng)用直線系方程求過兩條直線交點的直線方程答案B解析設(shè)所求直線方程為2x＋3y＋8＋λ(x－y－1）＝0，即(2＋λ)x＋（3－λ）y＋8－λ＝0，因為l過原點，所以λ＝8。則所求直線l的方程為2x－y＝0.類型二兩點間的距離公式及其應(yīng)用例3如圖,已知△ABC的三頂點A(－3，1)，B（3，－3），C(1，7）,(1）判斷△ABC的形狀；（2）求△ABC的面積?？键c兩點間的距離公式題點兩點間距離公式的綜合應(yīng)用解(1）方法一∵|AB｜＝eq\r（3＋32＋－3－12)＝eq\r(52）＝2eq\r(13)，｜AC｜＝eq\r(1＋32＋7－12)＝eq\r(52）＝2eq\r(13)，又｜BC|＝eq\r(1－32＋7＋32）＝eq\r（104）＝2eq\r（26)，∴|AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC|2,且｜AB|＝|AC｜，∴△ABC是等腰直角三角形。方法二∵kAC＝eq\f(7－1,1－－3)＝eq\f(3，2)，kAB＝eq\f（－3－1，3－－3)＝－eq\f(2,3)，∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB。又|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12）＝eq\r（52）＝2eq\r(13），|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52）＝2eq\r(13)，∴｜AC｜＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形.(2)S△ABC＝eq\f（1，2）|AC|·｜AB｜＝eq\f(1,2）(eq\r（52））2＝26，∴△ABC的面積為26。反思與感悟(1)判斷三角形的形狀，要采用數(shù)形結(jié)合的方法，大致明確三角形的形狀，以確定證明的方向.（2)在分析三角形的形狀時，要從兩方面考慮：一是要考慮角的特征，主要考察是否為直角或等角；二是要考慮三角形的長度特征,主要考察邊是否相等或是否滿足勾股定理.跟蹤訓(xùn)練3已知點A(－1,2），B（2，eq\r(7）)，在x軸上求一點P，使|PA|＝|PB｜，并求|PA|的值.考點兩點間的距離公式題點已知兩點間的距離求參數(shù)的值解設(shè)P（x,0）,｜PA|＝eq\r（x＋12＋－22)，|PB|＝eq\r(x－22＋－\r(7）2），∵｜PA|＝｜PB｜,∴eq\r（x＋12＋4)＝eq\r(x－22＋7），解得x＝1，∴P（1，0),∴｜PA｜＝eq\r（1＋12＋4）＝2eq\r（2).1。已知直線l1:3x＋4y－5＝0與l2：3x＋5y－6＝0相交，則它們的交點是()A。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－1,\f（1，3))） B。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1，\f(1，3))） D.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))考點兩條直線的交點題點求兩條直線的交點坐標(biāo)答案B解析由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0，,3x＋5y－6＝0，））得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1，3)，，y＝1.)）故交點坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,3），1））.2．以點A(－3,0），B(3，－2），C(－1,2)為頂點的三角形是()A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．以上都不是考點兩點間的距離公式題點求兩點間的距離答案C解析｜AB|＝eq\r（－3－32＋22）＝eq\r（36＋4）＝eq\r（40）＝2eq\r（10），|BC|＝eq\r(－1－32＋2＋22)＝eq\r(16＋16)＝eq\r(32)＝4eq\r(2），｜AC｜＝eq\r(－1＋32＋22）＝eq\r（8)＝2eq\r(2）,∵｜AC|2＋｜BC|2＝｜AB|2，∴△ABC為直角三角形．故選C.3。已知△ABC的頂點坐標(biāo)為A（－1，5），B（－2，－1）,C(2，3)，則BC邊上的中線長為________.考點兩點間的距離公式題點兩點間距離公式的綜合應(yīng)用答案eq\r（17）解析BC的中點坐標(biāo)為(0,1），則BC的中線長為eq\r(－1－02＋5－12)＝eq\r（17）。4.斜率為－2，且過兩條直線3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交點的直線方程為______________.考點過兩條直線交點的直線方程題點直接求過兩直線交點的直線方程答案2x＋y－4＝0解析設(shè)所求直線方程為3x－y＋4＋λ（x＋y－4)＝0,即（3＋λ)x＋（λ－1)y＋4－4λ＝0,∴k＝eq\f（3＋λ,1－λ）＝－2，解得λ＝5.∴所求直線方程為2x＋y－4＝0.5。點A在第四象限，若點A到x軸的距離為3,到原點的距離為5，求點A的坐標(biāo).考點兩點間的距離公式題點兩點間距離公式的綜合應(yīng)用解由題意得點A的縱坐標(biāo)為－3，設(shè)A(x,－3）,則eq\r(x－02＋－3－02)＝5，解得x＝±4。又點A在第四象限，∴x＝4，∴A(4，－3)。1。方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的等價條件是A1B2－A2B1≠0，亦即兩條直線相交的等價條件是A1B2－A2B1≠0,直線A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R）是過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2:A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線(不含l2)。2.兩點P1（x1，y1)，P2（x2,y2）間的距離公式|P1P2｜＝eq\r（x1－x22＋y1－y22)與兩點的先后順序無關(guān),其反映了把幾何問題代數(shù)化的思想.一、選擇題1.直線x＝1和直線y＝2的交點坐標(biāo)是(）A.(2，2) B。（1，1)C.(1，2） D.(2，1)考點兩條直線的交點題點求兩條直線的交點坐標(biāo)答案C解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，，y＝2，））得交點坐標(biāo)為(1，2)，故選C。2.若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y＝1和x＋ky＝0相交于一點，則k的值為()A。－eq\f(1，2）B。eq\f（1，2）C.2D.－2考點兩條直線的交點題點已知相交關(guān)系，求參數(shù)的值答案A解析由方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x＋3y＋8＝0，，x－y－1＝0，))得直線2x＋3y＋8＝0與x－y－1＝0的交點坐標(biāo)為（－1，－2)，代入直線x＋ky＝0，得k＝－eq\f（1，2)。3。已知直角坐標(biāo)平面上連接點(－2,5)和點M的線段的中點是（1，0）,那么點M到原點的距離為()A。41B.eq\r(41)C.eq\r（39)D.39考點兩點間的距離公式題點求兩點間的距離答案B解析設(shè)M（x，y），由題意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(1＝\f(－2＋x，2)，,0＝\f(5＋y，2)，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－5，）)∴M（4，－5)。則點M到原點的距離為eq\r（4－02＋－5－02)＝eq\r（41）。4。過點A（4，a)和點B(5，b）的直線與y＝x＋m平行，則|AB｜的值為(）A.6B.2C。eq\r(2）D.不能確定考點兩點間的距離公式題點求兩點的距離答案C解析由kAB＝1，得eq\f(b－a,1)＝1，∴b－a＝1.∴|AB｜＝eq\r(5－42＋b－a2）＝eq\r（1＋1）＝eq\r(2).5.過兩直線3x＋y－1＝0與x＋2y－7＝0的交點，并且與第一條直線垂直的直線方程是(）A。x－3y＋7＝0 B。x－3y＋13＝0C.x－3y＋6＝0 D。x－3y＋5＝0考點過兩條直線交點的直線方程題點求過兩直線交點的直線方程答案B解析直線3x＋y－1＝0與x＋2y－7＝0的交點為（－1，4）.又所求直線與3x＋y－1＝0垂直，得所求直線的斜率為eq\f(1，3)，由點斜式，得y－4＝eq\f（1，3)（x＋1），即x－3y＋13＝0，故選B.6。已知直線mx＋4y－2＝0與2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足坐標(biāo)為(1，p)，則m－n＋p為（）A.24B。－20C.0D。20考點直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系題點根據(jù)垂直求參數(shù)的值答案D解析由兩直線互相垂直，得－eq\f(m，4）×eq\f（2,5)＝－1，解得m＝10，又垂足坐標(biāo)為（1,p），代入直線10x＋4y－2＝0,得p＝－2。將（1，－2)代入直線2x－5y＋n＝0，得n＝－12,所以m－n＋p＝20，故選D。7。到A(1,3),B（－5,1）的距離相等的動點P滿足的方程是()A。3x－y－8＝0 B.3x＋y＋4＝0C。3x－y＋6＝0 D.3x＋y＋2＝0考點兩點間的距離公式題點兩點間距離公式的綜合應(yīng)用答案B解析設(shè)P(x，y)，則eq\r（x－12＋y－32)＝eq\r(x＋52＋y－12），即3x＋y＋4＝0。8.直線x＋y－1＝0上與點P(－2,3）的距離等于eq\r（2)的點的坐標(biāo)是（)A。（－4,5） B。（－3，4)C.(－3，4)或（－1，2) D.（－4，5)或(0，1）考點兩點間的距離公式題點兩點間距離公式的綜合應(yīng)用答案C解析設(shè)所求點的坐標(biāo)為(x0,y0），有x0＋y0－1＝0，且eq\r(x0＋22＋y0－32）＝eq\r(2)，兩式聯(lián)立解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x0＝－3，，y0＝4）)或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x0＝－1，,y0＝2.）)故選C.二、填空題9。設(shè)點A在x軸上，點B在y軸上，AB的中點是P（2,－1）,則|AB|＝________?？键c兩點間的距離公式題點求兩點間的距離答案2eq\r(5)解析設(shè)A（a，0）,B（0，b)，由中點坐標(biāo)公式，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(a＋0,2)＝2,,\f(b＋0,2）＝－1，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－2，))∴|AB|＝eq\r(4－02＋0＋22)＝2eq\r（5）.10。若集合{(x，y)｜x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0｝｛（x，y）｜y＝3x＋b｝,則b＝________。考點兩條直線的交點題點已知相交關(guān)系,求參數(shù)的值答案2解析解方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0,，x－2y＋4＝0,）)得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,,y＝2，)）代入直線y＝3x＋b，得b＝2.11。等腰△ABC的頂點是A(3,0），底邊長｜BC｜＝4，BC邊的中點是D（5,4），則此三角形的腰長為________.考點兩點間的距離公式題點求兩點間的距離答案2eq\r（6)解析｜BD｜＝eq\f（1,2）｜BC|＝2，|AD|＝eq\r（5－32＋4－02)＝2eq\r（5）。在Rt△ADB中，由勾股定理得腰長｜AB｜＝eq\r(22＋2\r(5)2)＝2eq\r(6).12.若直線l：y＝kx－eq\r（3）與直線l1：2x＋3y－6＝0的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角α的取值范圍是________?？键c兩條直線的交點題點兩直線交點的綜合應(yīng)用答案(30°,90°）解析直線l1：2x＋3y－6＝0過A(3,0)，B（0,2），而l過定點C(0，－eq\r（3)），由圖象可知eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(k>kAC，,k>0,）)∴l(xiāng)傾斜角α的取值范圍是（30°,90°).三、解答題標(biāo).考點兩點間的距離公式題點兩點間距離公式的綜合應(yīng)用（2）求過兩直線l1:x＝－2與l2：2x＋y＝－3的交點P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程.考點過兩條直線交點的直線方程題點直線求過兩直線交點的直線方程解(1）設(shè)P（t，t），則|PA|2＋|PB｜2＝(t－1）2＋(t＋1）2＋（t－2）2＋(t－2)2＝4t2－8t＋10＝4(t－1)2＋6,∴當(dāng)t＝1時,|PA|2＋|PB｜2取得最小值，此時P(1，1)，∴|PA|2＋|PB｜2取得最小值時點P的坐標(biāo)為（1，1）.（2）由方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－2,,2x＋y＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1,））即點P的坐標(biāo)為（－2,1).根據(jù)題意知,當(dāng)截距為0時，所求直線的方程為y＝－eq\f(1,2)x，即x＋2y＝0。當(dāng)截距不為0時，設(shè)所求直線l的方程為eq\f（x，a）＋eq\f(y,b）＝1，根據(jù)題意可得eq\b\lc\{\rc\（\a\v