廣東省陽(yáng)江市東平中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)八上期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年八上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，在等腰中，，是斜邊的中點(diǎn)，交邊、于點(diǎn)、，連結(jié)，且，若，，則的面積是()A．2 B．2.5 C．3 D．3.52．如果下列各組數(shù)是三角形的三邊，那么不能組成直角三角形的一組數(shù)是（）A．9，40，41 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．8，24，253．已知?jiǎng)ta、b、c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4．將點(diǎn)M（-5，y）向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱，則y的值是（）A．-6 B．6 C．-3 D．35．人體一根頭發(fā)的直徑約為米，這個(gè)數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（）A． B． C． D．6．計(jì)算的結(jié)果為（）A． B． C． D．7．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于0.0000025米的顆粒物，將0.0000025用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.25×10-5B．2.5×10-5 B．2.5×10-6 C．2.5×10-78．我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代數(shù)恒等式．例如圖①可以用來解釋(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通過圖②中陰影部分面積的計(jì)算驗(yàn)證了一個(gè)恒等式，此等式是()A．a(chǎn)2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b29．甲、乙兩船從相距300km的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲船從A地順流航行180km時(shí)與從B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度為6km/h，若甲、乙兩船在靜水中的速度均為xkm/h，則求兩船在靜水中的速度可列方程為（）A．= B．=C．= D．=10．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．11．的值是（）A．0 B．1 C． D．以上都不是12．下列語(yǔ)句正確的是（）A．的立方根是2 B．－3是27的立方根C．的立方根是 D．的立方根是－1二、填空題（每題4分，共24分）13．因式分解：．14．如圖，已知點(diǎn)、分別是的邊、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折，翻折后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接測(cè)得，.則__________.15．如圖，在△ABC中，DE是AB的垂直平分線，且分別交AB、AC于點(diǎn)D和E，∠A＝50°，∠C＝60°，則∠EBC等于_____度．16．已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為______．17．一次函數(shù)與的部分自變量和對(duì)應(yīng)函數(shù)值如下表：0123210123-3-113則關(guān)于的不等式的解集是______．18．如圖，中，平分，，，，，則__________．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，∠B=∠E=Rt∠，AB=AE，∠1=∠2，請(qǐng)證明∠3=∠420．（8分）如圖，已知直線，直線，與相交于點(diǎn)，，分別與軸相交于點(diǎn).(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo).(2)若，求x的取值范圍.(3)點(diǎn)為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作x軸的垂線分別交和于點(diǎn)，當(dāng)EF=3時(shí)，求m的值.21．（8分）我們定義:如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且項(xiàng)角的頂點(diǎn)互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”.因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，形象的可以看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”.例如，如（1），與都是等腰三角形，其中，則△ABD≌△ACE(SAS).（1）熟悉模型：如（2），已知與都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且，求證:；（2）運(yùn)用模型：如（3），為等邊內(nèi)一點(diǎn)，且，求的度數(shù).小明在解決此問題時(shí)，根據(jù)前面的“手拉手全等模型”，以為邊構(gòu)造等邊，這樣就有兩個(gè)等邊三角形共頂點(diǎn)，然后連結(jié)，通過轉(zhuǎn)化的思想求出了的度數(shù)，則的度數(shù)為度；（3）深化模型:如（4），在四邊形中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求的長(zhǎng).22．（10分）如圖，在中，是邊上的一點(diǎn)，，平分，交邊于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）若，，求的度數(shù)．23．（10分）觀察下列等式：根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：①；②；③；④；……(1)完成第⑤個(gè)等式；(2)寫出你猜想的第個(gè)等式(用含的式子表示)并證明其正確性．24．（10分）觀察下列等式：22﹣2×1＝12+1①32﹣2×2＝22+1②42﹣2×3＝32+1③…（1）第④個(gè)等式為；（2）根據(jù)上面等式的規(guī)律，猜想第n個(gè)等式（用含n的式子表示，n是正整數(shù)），并說明你猜想的等式正確性．25．（12分）已知，點(diǎn)P是等邊三角形△ABC中一點(diǎn)，線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接PQ、QC．（1）求證：PB＝QC；（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的長(zhǎng)度．26．對(duì)于任意一個(gè)三位數(shù)，將它任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后得到一個(gè)首位不為0的新的三位數(shù)（可以與相同），記，在所有可能的情況中，當(dāng)最小時(shí)，我們稱此時(shí)的是的“平安快樂數(shù)”，并規(guī)定.例如：318按上述方法可得新數(shù)381、813、138，因?yàn)椋?，，而，所?38是318的“平安快樂數(shù)”，此時(shí).（1）168的“平安快樂數(shù)”為_______________，______________；（2）若（，都是正整數(shù)），交換其十位與百位上的數(shù)字得到新數(shù)，當(dāng)是13的倍數(shù)時(shí)，求的最大值.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可證明△BPE≌△CPD，可得PE=PD，于是所求的的面積即為，故只要求出PE2的值即可，可過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，如圖，根據(jù)題意可依次求出BE、BF、BP、PF的長(zhǎng)，即可根據(jù)勾股定理求出PE2的值，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：在中，∵，AC=BC，是斜邊的中點(diǎn)，∴AP=BP=CP，CP⊥AB，∠B=∠BCP=∠DCP=45°，∵∠DPC+∠EPC=90°，∠BPE+∠EPC=90°，∴∠DPC=∠BPE，在△BPE和△CPD中，∵∠B=∠DCP，BP=CP，∠BPE=∠DPC，∴△BPE≌△CPD（ASA），∴PE=PD，∵，，∴CE=1，BE=3，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，如圖，則EF=BF=，又∵BP=，∴，在直角△PEF中，，∴的面積=．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理和三角形的面積等知識(shí)，屬于常考題型，熟練掌握上述基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2、D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，就是直角三角形，沒有這種關(guān)系，就不是直角三角形，分析得出即可．【詳解】A、92+402=412，

∴此三角形是直角三角形，不合題意；

B、∵52+122=132，

∴此三角形是直角三角形，不合題意；

C、∵0.32+0.42=0.52，

∴此三角形是直角三角形，不合題意；

D、82+242≠252，

∴此三角形不是直角三角形，符合題意；

故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的逆定理，解題關(guān)鍵在于在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．3、B【解析】試題解析：a=2-2=，b=（22-1）0=1，c=（-1）3=-1，1＞＞?1，即：b＞a＞c.故選B．4、C【分析】直接利用平移的性質(zhì)得出平移后點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案．【詳解】∵點(diǎn)M（-5，y）向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，∴平移后的點(diǎn)為：（-5，y+6），∵點(diǎn)M（-5，y）向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后所得到的點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱，∴y+y+6=0，解得：y=-1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，正確表示出平移后點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．5、D【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法解答即可．【詳解】解：用科學(xué)記數(shù)法表示為．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．6、B【分析】根據(jù)分式乘除運(yùn)算法則對(duì)原式變形后，約分即可得到結(jié)果．【詳解】解：==.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查分式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．7、C【解析】試題分析：絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．所以：0.0000025=2.5×10-6；故選C．【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)．8、B【解析】圖（4）中，∵S正方形=a1-1b（a-b）-b1=a1-1ab+b1=（a-b）1，∴（a-b）1=a1-1ab+b1．故選B9、A【解析】分析：直接利用兩船的行駛距離除以速度=時(shí)間，得出等式求出答案．詳解：設(shè)甲、乙兩船在靜水中的速度均為xkm/h，則求兩船在靜水中的速度可列方程為：=．故選A．點(diǎn)睛：此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，正確表示出行駛的時(shí)間和速度是解題關(guān)鍵．10、B【解析】根據(jù)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)相反確定點(diǎn)B的坐標(biāo).【詳解】解：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為,故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱與坐標(biāo)的關(guān)系，理解兩點(diǎn)關(guān)于x或y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.11、B【解析】由零指數(shù)冪的定義可知=1.【詳解】由零指數(shù)冪的定義可知=1，故選B.【點(diǎn)睛】此題主要考察零指數(shù)冪.12、A【詳解】解：A.的立方根是2，選項(xiàng)A符合題意.B.3是27的立方根，選項(xiàng)B不符合題意.C.的立方根是，選項(xiàng)C不符合題意.D.，1的立方根是1，選項(xiàng)D不符合題意.故選A.二、填空題（每題4分，共24分）13、【詳解】解：=；故答案為14、1【分析】連接CC'．根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：∠DCE=∠DC'E．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠ECC'+∠EC'C=∠AEC'=10°．在△BCC'中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】連接CC'．根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：∠DCE=∠DC'E．∵∠ECC'+∠EC'C=∠AEC'=10°，∴∠BC'D=180°－(∠C'BC+2∠DCE+∠ECC'+∠EC'C)=180°-(∠C'BC+2∠DCE+10°)=180°-(92°+10°)=1°．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理．連接CC'把∠AEC'轉(zhuǎn)化為∠ECC'+∠EC'C的度數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．15、1【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB，得到∠EBA=∠A=50°，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵A=50°，∠C=60°，∴∠ABC=180°-50°-60°=70°，∵DE是AB的垂直平分線，∴EA=EB，∴∠EBA=∠A=50°，∴∠EBC=∠ABC-∠EBA=70°-50°=1°，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．16、和【解析】試題分析：首先知有兩種情況（頂角是40°和底角是40°時(shí)），由等邊對(duì)等角求出底角的度數(shù)，用三角形的內(nèi)角和定理即可求出頂角的度數(shù)．解：△ABC，AB=AC．有兩種情況：（1）頂角∠A=40°，（2）當(dāng)?shù)捉鞘?0°時(shí)，∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°﹣40°﹣40°=100°，∴這個(gè)等腰三角形的頂角為40°和100°．故答案為40°或100°．考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．17、【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)表確定兩個(gè)函數(shù)的增減性以及函數(shù)的交點(diǎn)，然后根據(jù)增減性判斷．【詳解】根據(jù)表可得y1=kx+b中y隨x的增大而減?。?/p>

y1=mx+n中y隨x的增大而增大．且兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1）．

則當(dāng)x＜1時(shí)，kx+b＞mx+n，

故答案為：x＜1．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，函數(shù)的性質(zhì)，正確確定增減性以及交點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．18、【分析】根據(jù)題意延長(zhǎng)CE交AB于K，由，平分，由等腰三角形的性質(zhì)，三線合一得，利用角平分線性質(zhì)定理，分對(duì)邊的比等于鄰邊的比，結(jié)合外角平分性質(zhì)和二倍角關(guān)系可得．【詳解】如圖，延長(zhǎng)CE交AB于K，，平分，等腰三角形三線合一的判定得，，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】考查了三線合一判定等腰三角形，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線定理，外角的性質(zhì)，以及二倍角的角度關(guān)系代換，熟記幾何圖形的性質(zhì)，定理，判定是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、詳見解析【分析】由∠1=∠2，得AC=AD，進(jìn)而由HL判定Rt△ABC≌Rt△AED，即可得出結(jié)論【詳解】∵∠1=∠2∴AC=AD∵∠B=∠E=Rt∠，AB=AE∴△ABC≌△AED(HL)∴∠3=∠4考點(diǎn)：全等三角形的判定及性質(zhì)20、(1)P(-2，1)；(2)-3<x<-2；(3)m=-3或m=-1.【分析】（1）由點(diǎn)P是兩直線的交點(diǎn)，則由兩方程的函數(shù)值相等，解出x，即可得到點(diǎn)P坐標(biāo)；（2）由，聯(lián)立成不等式組，解不等式組即可得到x的取值范圍；（3）由點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，結(jié)合EF=3，可分為兩種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)D在點(diǎn)P的左邊；點(diǎn)D在點(diǎn)P的右邊，分別計(jì)算，即可得到m的值.【詳解】解：(1)P點(diǎn)是直線l1與直線l2的交點(diǎn)，可得：2x3=x+3，解得：x=2，∴y=1；∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：(2，1)；(3)，，解得：；；(3)∵點(diǎn)D為(m，0)，根據(jù)題意可知，則E(m，2m3)；F(m，m+3)，第一種情況：點(diǎn)D在點(diǎn)P的左邊時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E在點(diǎn)F的上方；∴，；第二種情況：點(diǎn)D在點(diǎn)P的右邊時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E在點(diǎn)F的下方；∴，；∴m的值為：或.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及一次函數(shù)與一元一次不等式的聯(lián)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，第三問要注意利用分類討論的思想進(jìn)行解題.21、（1）見解析；（2）150°；（3）【分析】（1）根據(jù)“SAS”證明△ABD≌△ACE即可；（2）根據(jù)小明的構(gòu)造方法，通過證明△BAP≌△BMC，可證∠BPA=∠BMC，AP=CM，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠PMC=90°，于是得到結(jié)論；（3）根據(jù)已知可得△ABC是等腰直角三角形，所以將△ADB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACE，則BD=CE，證明△DCE是直角三角形，再利用勾股定理可求CE值．【詳解】（1）∵，∴，在△ABD和△ACE中，∵，，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴；（2）由小明的構(gòu)造方法可得，BP=BM=PM，∠PBM=∠PMB=60°，∴∠ABP=∠CBM，又∵AB=BC，∴△BAP≌△BMC，∴∠BPA=∠BMC，AP=CM，∵，∴，設(shè)CM=3x，PM=4x，PC=5x，∵(5x)2=(3x)2+(4x)2，∴PC2=CM2+PM2，∴△PCM是直角三角形，∴∠PMC=90°，∴∠BPA=∠BMC=60°+90°=150°；（3）∵∠ACB=∠ABC=45°，∴∠BAC=90°，且AC=AB．將△ADB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACE，∴AD=AE，∠DAE=90°，BD=CE．∴∠EDA=45°，DE=AD=4．∵∠ADC=45°，∴∠EDC=45°+45°=90°．在Rt△DCE中，利用勾股定理可得，CE=，∴BD=CE=．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段分別相等，圖形的大小、形狀都不變．22、(1)見解析；（2）【分析】（1）由角平分線定義得出，由證明即可；（2）由三角形內(nèi)角和定理得出，由角平分線定義得出，在中，由三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．【詳解】（1）證明：平分，，在和中，，；（2），，，平分，，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．23、（1）；（2），詳見解析【分析】(1)根據(jù)已知的等式即可寫出第⑤個(gè)等式；（2）發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可得到第個(gè)等式，根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求解．【詳解】解：（1）第5個(gè)等式為：（2）猜想：第n個(gè)等式為：證明：∵左邊右邊∴左邊=右邊∴原式成立．【點(diǎn)睛】此題主要考查分式運(yùn)算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知的等式找到規(guī)律．24、（1）52﹣2×4＝42+1；（2）（n+1）2﹣2n＝n2+1，證明詳見解析．【解析】（1）根據(jù)①②③的規(guī)律即可得出第④個(gè)等式；（2）第n個(gè)等式為（n+1）2﹣2n＝n2+1，把等式左邊的完全平方公式展開后再合并同類項(xiàng)即可得出右邊．【詳解】（1）∵22﹣2×1＝12+1①32﹣2×2＝22+1②42﹣2×3＝32+1③∴第④個(gè)等式為52﹣2×4＝42+1，故答案為：52﹣2×4＝42+1，（2）第n個(gè)等式為（n+1）2﹣2n＝n2+1．（n+1）2﹣2n＝n2+2n+1﹣2n＝n2+1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．25、（1）證明見解析；（2）1.【分析】（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AQ，∠PAQ=60°，然后根據(jù)“SAS”證明△BAP≌△CAQ，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)得出答案；（2）由△APQ是等邊三角形可得AP=PQ=3，∠AQP=60°，由全等的性質(zhì)可得∠AQC=∠APB=110°,從而可求∠PQC=90°，然后根據(jù)勾股定理求PC的長(zhǎng)即可.直接利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，∴AP=AQ，∠PAQ=60°，∴△APQ是等邊三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，