結(jié)構(gòu)力學(xué)第八章-影-響-線課件

結(jié)構(gòu)力學(xué)簡明教程結(jié)構(gòu)力學(xué)簡明教程1第八章影響線第八章影響線2第八章影響線第一節(jié)影響線的概念

第二節(jié)用靜力法作簡支梁的影響線

★第三節(jié)結(jié)點荷載作用下梁的影響線

第四節(jié)用機動法作影響線

第五節(jié)影響線的應(yīng)用

第六節(jié)簡支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖與絕對最大彎矩

★第七節(jié)連續(xù)梁的內(nèi)力包絡(luò)圖第八章影響線第一節(jié)影響線的概念

第二節(jié)用靜力法作簡3第一節(jié)影響線的概念圖8-1荷載，其大小、方向和作用點都是固定不變的，稱為固定荷載。第一節(jié)影響線的概念圖8-1荷載，其大小、方向和作用點都是4第二節(jié)用靜力法作簡支梁的影響線作靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力或支座反力的影響線有兩種基本作法，一靜力法，二機動法。靜力法是先把單位移動荷載F＝1放在任意位置，以x表示單位移動荷載到所選坐標(biāo)原點的距離，將單位移動荷載視為固定荷載，通過平衡方程，從而確定所求支座反力和內(nèi)力的影響函數(shù)，作此函數(shù)的圖像，即為影響線。1.支座反力的影響線

2.剪力影響線作法

3.彎矩影響線作法第二節(jié)用靜力法作簡支梁的影響線作靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力或支座反力的51.支座反力的影響線(1)支座反力FRB影響線作法如圖8-2a所示簡支梁，將FP=1放在任意位置，距A點為x。

(2)支座反力FRA影響線作法將FP=1放在任意位置，距A點為x。1.支座反力的影響線(1)支座反力FRB影響線作法如圖86(1)支座反力FRB影響線作法如圖8-2a所示簡支梁，將FP=1放在任意位置，距A點為x。由平衡條件∑MA=0,FRB/（l-1x）=0解得FRB=xl

(0≤x≤l)這就是FRB的影響線方程。由此方程知，F(xiàn)RB的影響線是一條直線。在A點，x=0，F(xiàn)RA=0。在B點，x=1，F(xiàn)RB=1。利用這兩個豎距便可以畫出FRB的影響線，如圖8-2b所示。(1)支座反力FRB影響線作法如圖8-2a所示簡支梁，將7(2)支座反力FRA影響線作法將FP=1放在任意位置，距A點為x。由平衡條件解得這就是FRA的影響線方程。由此方程知，F(xiàn)RA的影響線也是一條直線。在A點，x=0，F(xiàn)RA=1。在B點，x=1，F(xiàn)RB=0。利用這兩個豎距便可以畫出FRA的影響線，如圖8-2c所示。(2)支座反力FRA影響線作法將FP=1放在任意位置，距8圖8-2(2)支座反力FRA影響線作法圖8-2(2)支座反力FRA影響線作法92.剪力影響線作法簡支梁剪力影響線的簡單作法是：在一個簡支梁上同時作出FA和-FB的影響線，在所求剪力FQ截面處作一豎線，所截取的兩個三角形，即為剪力FQ在此截面的影響線，如圖8-2d所示。其他任意截面剪力影響線作法更簡便了，將豎線推到什么截面就生成什么截面的剪力影響線。剪力影響線系數(shù)為無量綱量。2.剪力影響線作法簡支梁剪力影響線的簡單作法是：在一個簡支梁103.彎矩影響線作法由此得簡支梁作彎矩影響線簡易作法：先作一基線，在基線對應(yīng)所作彎矩影響線截面處作一豎線，其值為ab/l，連接A、B兩端，即為此截面彎矩的影響線，如圖8-2e所示。彎矩影響系數(shù)其量綱為L，單位為m3.彎矩影響線作法由此得簡支梁作彎矩影響線簡易作法：先作一基113.彎矩影響線作法【例8-1】試用靜力法繪制圖8-3所示外伸梁的FAy、FBy、FQC、MC、FQD、MD的影響線。【解】(1)繪制反力FAy、FBy的影響線。取A點為坐標(biāo)原點，橫坐標(biāo)x向右為正。當(dāng)荷載F＝1作用于梁上任一點x時，分別求得反力FAy、FBy的影響線方程為以上兩個方程與相應(yīng)的簡支梁的反力影響線方程完全相同，只是x的取值范圍有所擴大而已，因此，只需將相應(yīng)簡支梁的反力影響線向兩個伸臂部分延長，即可繪出整個外伸梁的反力FAy和FBy的影響線，分別如圖8-3b、c所示。3.彎矩影響線作法【例8-1】試用靜力法繪制圖8-3所示外伸123.彎矩影響線作法(2)繪制剪力FQC、彎矩MC的影響線當(dāng)F＝1作用于截面C以左時，取截面C右邊為隔離體，求得影響線方程為當(dāng)F＝1作用于截面以右時，取截面C左邊為隔離體，求得影響線方程為由上可知，F(xiàn)QC和MC的影響線方程也與簡支梁的相同。因而與繪制反力影響線一樣，只需將相應(yīng)簡支梁的FQC和MC的影響線向兩外伸臂部分延長，即可得到外伸梁的FQC和MC的影響線，分別如圖8-3d、e圖所示。3.彎矩影響線作法(2)繪制剪力FQC、彎矩MC的影響線133.彎矩影響線作法(3)繪制剪力FQD、彎矩MD的影響線。當(dāng)F＝1作用于截面D以左時，取截面D右邊為隔離體，求得影響線方程為當(dāng)F＝1作用于截面D以右時，仍取截面D右邊為隔離體，求得影響線方程為

若取坐標(biāo)原點為D，x向右為正，則MD彎矩方程為由上繪出FQD和MD的影響線分別如圖8-3f、g所示。

3.彎矩影響線作法(3)繪制剪力FQD、彎矩MD的影響線。143.彎矩影響線作法圖8-33.彎矩影響線作法圖8-315圖8-43.彎矩影響線作法圖8-43.彎矩影響線作法163.彎矩影響線作法(1)荷載類型不同繪彎矩的影響線時，所受的荷載是單位移動荷載FP＝1；而繪彎矩圖時，所受的荷載則是固定荷載F。

(2)自變量x表示的含義不同彎矩影響線方程的自變量x表示單位移動荷載F＝1的作用位置，而彎矩方程中的自變量x表示的則是截面位置。(3)豎距表示的意義不同MC的影響線中任一點D的豎距表示單位移動荷載F＝1作用于點D時，截面C上彎矩的大小，即MC的影響線只表示C截面上的彎矩MC在單位荷載移動時的變化規(guī)律，與其他截面上的彎矩?zé)o關(guān)。

(4)繪制規(guī)定不同MC的影響線中的正彎矩畫在基線的上方，負(fù)彎矩畫在基線的下方，標(biāo)明正負(fù)號。3.彎矩影響線作法(1)荷載類型不同繪彎矩的影響線時，17★第三節(jié)結(jié)點荷載作用下梁的影響線(1)支座反力FRA和FRB的影響線

(2)MC的影響線C點正好是結(jié)點。

(3)MD的影響線MD的影響線如圖8-5c所示。

(4)FQCE的影響線在結(jié)點荷載作用下，主梁在C、E兩點之間沒有外力，因此CE一段各截面的剪力都相等，通常稱為結(jié)間剪力，以FQCE表示?！锏谌?jié)結(jié)點荷載作用下梁的影響線(1)支座反力FRA和FR18★第三節(jié)結(jié)點荷載作用下梁的影響線圖8-5★第三節(jié)結(jié)點荷載作用下梁的影響線圖8-519(1)支座反力FRA和FRB的影響線支座反力FRA和FRB的影響線，與圖8-2b、c完全相同，在圖8-5中沒有畫出。(1)支座反力FRA和FRB的影響線支座反力FRA和FRB的20(2)MC的影響線FP=1在C點以右時，利用FRA求MC；FP=1在C點以左時，利用FRB求MC。由此可知，MC的影響線作法與圖8-2e完全相同，如圖8-5b所示。C點的豎距為(2)MC的影響線FP=1在C點以右時，利用FRA求MC；21(3)MD的影響線先假設(shè)FP=1直接加于主梁AB，則MD的影響線為一三角形(其中CE段為虛線)。D點的豎距為由比例可知，C、E兩點的豎距為將C、E兩點的豎距連一直線，就得到結(jié)點荷載作用下MD的影響線，如圖中實線所示。(3)MD的影響線先假設(shè)FP=1直接加于主梁AB，則MD22(3)MD的影響線為了證明上述作法的正確性，只需注意以下兩點：1)如果單位荷載加在C點或E點，則結(jié)點荷載與直接荷載完全相同，所以在結(jié)點荷載作用下MD影響線在C點的豎距yC和E點的豎距yE與直接荷載作用下相應(yīng)的豎距相等。

2)如單位荷載作用在C、E兩點之間，其到C點的距離以x表示，則縱梁CE的反力如圖8-5d所示。由此可得結(jié)論如下：

1)在結(jié)點荷載作用下，結(jié)構(gòu)任何影響線在相鄰兩結(jié)點之間為一直線。

2)先作直接荷載作用下的影響線，用直線連接相鄰兩結(jié)點的豎距，就得到結(jié)點荷載作用下的影響線。(3)MD的影響線為了證明上述作法的正確性，只需注意以下23(4)FQCE的影響線在結(jié)點荷載作用下，主梁在C、E兩點之間沒有外力，因此CE一段各截面的剪力都相等，通常稱為結(jié)間剪力，以FQCE表示。FQCE的影響線如圖8-5e所示，是按照上述結(jié)論1作出的。

(4)FQCE的影響線在結(jié)點荷載作用下，主梁在C、E兩24第四節(jié)用機動法作影響線機動法是以虛功原理為基礎(chǔ)，把作內(nèi)力或支座反力影響線的靜力問題轉(zhuǎn)化為作位移圖的幾何問題。機動法有一個優(yōu)點：不需經(jīng)過計算就能很快地繪出影響線的輪廓。因此，對于某些問題，用機動法處理特別方便，例如在確定荷載最不利位置時，往往只需知道影響線的輪廓，而無需求出其數(shù)值。另外，用靜力法作出的影響線也可用機動法來校核。第四節(jié)用機動法作影響線機動法是以虛功原理為基礎(chǔ)，把作內(nèi)力或25第四節(jié)用機動法作影響線機動法作靜定內(nèi)力或支座反力的影響線的步驟如下：1)撤去與Z相應(yīng)的約束，代以未知力Z。

2)使體系沿Z的正方向發(fā)生位移，作出荷載作用點的豎向位移圖(δP圖)，由此可定出Z的影響線的輪廓。

3)令δZ=1，可進一步定出影響線各豎距的數(shù)值。

4)橫坐標(biāo)以上的圖形，影響系數(shù)取正號；橫坐標(biāo)以下的圖形，影響系數(shù)取負(fù)號。第四節(jié)用機動法作影響線機動法作靜定內(nèi)力或支座反力的影響線的26第四節(jié)用機動法作影響線圖8-6第四節(jié)用機動法作影響線圖8-627圖8-7第四節(jié)用機動法作影響線圖8-7第四節(jié)用機動法作影響線28【例8-2】試用機動法作圖8-7a所示簡支梁彎矩和剪力的影響線。【解】(1)彎矩MC的影響線撤去與彎矩MC相應(yīng)的約束(即在截面C處改為鉸接)，代以一對等值反向力偶MC。這時，鉸C的兩側(cè)的剛體可以相對轉(zhuǎn)動。給體系以虛位移，如圖8-7b所示。這里，與MC相應(yīng)的位移δZ就是鉸C兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角。利用δZ可以確定位移圖中的豎矩。由于δZ是微小轉(zhuǎn)角，可先求得BB1=δZb。按幾何關(guān)系，可求出C點豎向位移為ab/lδZ。這樣，得到的位移圖即代表MC的影響線的輪廓。第四節(jié)用機動法作影響線【例8-2】試用機動法作圖8-7a所示簡支梁彎矩和剪力的影響29為了求得影響系數(shù)的數(shù)值，再將圖8-7b中的位移圖除以δZ，即得到MC影響線如圖8-7c所示，其中C點的影響系數(shù)為ab/l。應(yīng)當(dāng)指出，由于虛位移δZ是微小值，因此這里只說將δP，而不說令相對轉(zhuǎn)角δZ=1rad。換句話說，如果仍采用“令δZ=1”的說法，則應(yīng)理解為令豎向位移中的參數(shù)δZ等于1，而不是直接令相對轉(zhuǎn)角δZ等于1rad。(2)剪力FQC的影響線撤去截面C處相應(yīng)于剪力的約束，代以剪力FQC，得圖8-7d所示的機構(gòu)。此時，在截面C處能發(fā)生相對的豎向位移，但不能發(fā)生相對的轉(zhuǎn)動和水平移動。因此，切口兩邊的梁在發(fā)生位移后保持平行，切口的相對豎向位移即為δZ。令δZ=1，由三角形幾何關(guān)系即可確定影響線的各控制點數(shù)值(圖8-7e)。第四節(jié)用機動法作影響線為了求得影響系數(shù)的數(shù)值，再將圖8-7b中的位移圖除以δZ，即30第五節(jié)影響線的應(yīng)用影響線是處理移動荷載效應(yīng)的工具，在此只研究利用影響線求支反力和內(nèi)力值，確定荷載的最不利位置及最不利荷載等。第五節(jié)影響線的應(yīng)用影響線是處理移動荷載效應(yīng)的工具，在此只研31第五節(jié)影響線的應(yīng)用一、求各荷載作用下的影響

二、求荷載的最不利位置

三、臨界位置的判定第五節(jié)影響線的應(yīng)用一、求各荷載作用下的影響

二、求荷載的最32一、求各荷載作用下的影響設(shè)有一組集中荷載FP1、FP2、FP3加于簡支梁，位置已知如圖8-8a所示。如FQC的影響線在各荷載作用點的豎距為y1、y2、y3，則由FP1產(chǎn)生的FQC等于FP1y1，F(xiàn)P2產(chǎn)生的FQC等于FP2y2，F(xiàn)P3產(chǎn)生的FQC等于FP3y3。根據(jù)疊加原理，可知，在這組荷載作用FQC的數(shù)值為一般說來，設(shè)有一組集中荷載FP1，F(xiàn)P2,…，F(xiàn)Pn加于結(jié)構(gòu)，而結(jié)構(gòu)某量Z的影響線在各荷載作用處的豎距為y1，y2，…，yn,則一、求各荷載作用下的影響設(shè)有一組集中荷載FP1、FP2、FP33一、求各荷載作用下的影響如果結(jié)構(gòu)在AB段承均布荷載q(圖8-8b)作用,則微段dx上的荷載qdx可看做集中荷載,它所引起的Z值為y·qdx。因此，在AB段均布荷載作用下的Z值為這里，A0表示影響線圖形在受載段AB上的面積。上式表示，均布荷載引起的Z值等于荷載集度乘以受載段的影響線面積。應(yīng)用此式時，要注意面積A0的正負(fù)號。一、求各荷載作用下的影響如果結(jié)構(gòu)在AB段承均布荷載q(圖8-34一、求各荷載作用下的影響圖8-8一、求各荷載作用下的影響圖8-835第五節(jié)影響線的應(yīng)用【例8-3】圖8-9所示為一簡支梁，全跨受均布荷載作用。試?yán)媒孛鍯的剪力FQC影響線計算FQC的數(shù)值?！窘狻縁QC的影響線正號部分的面積以A1表示，負(fù)號部分的面積以A2表示，則由式(8-5)得第五節(jié)影響線的應(yīng)用【例8-3】圖8-9所示為一簡支梁，全跨36一、求各荷載作用下的影響圖8-9一、求各荷載作用下的影響圖8-937第五節(jié)影響線的應(yīng)用【例8-4】利用影響線求圖8-10a所示簡支梁在圖示荷載作用下截面C上剪力FQC的數(shù)值?！窘狻坷L出剪力FQC的影響線，如圖8-10b所示。設(shè)影響線正號部分的面積為A1，負(fù)號部分的面積為A2，則有剪力FQC的影響線在力F作用點處的豎標(biāo)y=12。由式(8-4)和式(8-5)，截面C上剪力FQC的數(shù)值為第五節(jié)影響線的應(yīng)用【例8-4】利用影響線求圖8-10a所示38一、求各荷載作用下的影響圖8-10一、求各荷載作用下的影響圖8-1039第五節(jié)影響線的應(yīng)用如果荷載移動到某個位置，使某量Z達到最大值，則此荷載位置稱為最不利位置。影響線的一個重要作用，就是用來確定荷載的最不利位置。對于以下簡單情況，只需對影響線和荷載特性加以分析和判斷，就可定出荷載的最不利位置。其判斷的原則是：(1)應(yīng)當(dāng)把數(shù)量大、排列最密的荷載放在影響線豎距較大的部位；(2)如果移動荷載是單個集中荷載，則最不利位置就是這個集中荷載作用在影響線的豎距最大處；(3)如果移動荷載是一組集中荷載，則在最不利位置時，必有一個集中荷載作用在影響線的頂點，如圖8-11示；(4)如果移動荷載是均布荷載，而且可以按任意方式分布，則其最不利位置是在影響線正號部分布滿荷載(求最大正號值)，或者在負(fù)號部分布滿荷載(求最大負(fù)號值)，如圖8-12示。第五節(jié)影響線的應(yīng)用如果荷載移動到某個位置，使某量Z達到最大40二、求荷載的最不利位置圖8-11二、求荷載的最不利位置圖8-1141二、求荷載的最不利位置圖8-12二、求荷載的最不利位置圖8-1242第五節(jié)影響線的應(yīng)用【例8-5】圖8-13a所示為兩臺吊車的輪壓和輪距，試求吊車梁AB在截面C的最大正剪力。【解】先作出FQC的影響線，并標(biāo)出荷載對應(yīng)的系數(shù)(圖8-13c)。要使FQC為最大正號剪力，首先，荷載應(yīng)放在FQC影響線的正號部分。其次，應(yīng)將排列較密的荷載(中間兩個輪壓)放在影響系數(shù)較大的部位(荷載435kN放在C點的右側(cè))。圖8-13b所示為荷載的最不利位置。由此求得第五節(jié)影響線的應(yīng)用【例8-5】圖8-13a所示為兩臺吊車的43二、求荷載的最不利位置圖8-13二、求荷載的最不利位置圖8-1344三、臨界位置的判定如果移動荷載是一組集中荷載，要確定某量Z的最不利荷載位置，通常分成兩步進行：第一步，求出使Z達到極值的荷載位置。這種荷載位置稱為荷載的臨界位置。第二步，從荷載的臨界位置中選出荷載的最不利位置。也就是從Z的極大值中選出最大值，從極小值中選出最小值。三、臨界位置的判定如果移動荷載是一組集中荷載，要確定某量Z的45三、臨界位置的判定圖8-14三、臨界位置的判定圖8-1446三、臨界位置的判定歸結(jié)起來，確定荷載最不利位置的步驟如下：1)從荷載中選定一個集中力FPcr使它位于影響線的一個頂點上。2)當(dāng)FPcr在該頂點稍左或稍右時，分別求∑FRitanαi的數(shù)值。如果∑FRitanαi變號(或由零變?yōu)榉橇?，則此荷載位置稱為臨界位置，而荷載FPcr稱為臨界荷載。如果∑FRitanαi不變號，則此荷載位置不是臨界位置。3)對每個臨界位置可求出Z的一個極值，然后從各種極值中選出最大值或最小值。同時，也就確定了荷載的最不利位置。三、臨界位置的判定歸結(jié)起來，確定荷載最不利位置的步驟如下：47三、臨界位置的判定【例8-6】圖8-15a所示為一組移動荷載，圖8-15b為某量Z的影響線。該求荷載最不利位置和Z的最大值。已知FP1=FP2=FP3=FP4=FP5=90kN，q=37.8kN/m?！窘狻?1)試將FP4放在影響線的最高頂點荷載布置情況如圖8-15c所示。(2)試算∑FRitanαi由圖8-15b，得如果整個荷載稍向右移，各段荷載合力為三、臨界位置的判定【例8-6】圖8-15a所示為一組移動荷載48三、臨界位置的判定如果稍向左移，則由于∑FRitanαi變號,故此位置是臨界位置。(3)計算Z值(參見圖8-15c中標(biāo)出的影響系數(shù))當(dāng)影響線為三角形，臨界位置的特點可以用更方便的形式表示出來。如圖8-16所示，設(shè)Z的影響線為一三角形。如果求Z的極大值，則在臨界位置必有一荷載FPcr正好在影響線的頂點上。三、臨界位置的判定如果稍向左移，則49三、臨界位置的判定以FLR表示FPcr左方荷載的合力，F(xiàn)RR表示FPcr右方荷載的合力，式(8-6)可寫為荷載向右移，F(xiàn)LRtanα-(FPcr+FRR)tanβ≤0荷載向左移，(FLR+FPcr)tanα-FRRtanβ≥0在上兩式中，代入tanα=c/a，tanβ=c/b，得

式(8-8)表明：臨界位置的特點為有一集中荷載FPcr在影響線的頂點，將FPcr計入哪一邊(左邊或右邊)，則哪一邊荷載的平均集度要大。三、臨界位置的判定以FLR表示FPcr左方荷載的合力，F(xiàn)RR50圖8-15三、臨界位置的判定圖8-15三、臨界位置的判定51圖8-16三、臨界位置的判定圖8-16三、臨界位置的判定52臨界荷載Fcr的特點是：將Fcr計入哪一邊，哪一邊的荷載平均集度就大。有時臨界荷載可能不止一個，須將相應(yīng)的極值分別算出，進行比較。產(chǎn)生最大極值的那個荷載位置就是最不利荷載位置，該極值即為所求量值的最大值?，F(xiàn)將確定最不利荷載位置的步驟歸納如下：1)最不利荷載位置一般是數(shù)值較大且排列緊密的荷載位于影響線最大豎標(biāo)處的附近，由此判斷可能的臨界荷載。

2)將可能的臨界荷載放置于影響線的頂點。

3)對每個臨界位置求出一個極值，然后從各個極值中選出最大值。三、臨界位置的判定臨界荷載Fcr的特點是：將Fcr計入哪一邊，哪一邊的荷載平均53第六節(jié)簡支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖與絕對最大彎矩一、簡支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖

二、簡支梁的絕對最大彎矩第六節(jié)簡支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖與絕對最大彎矩一、簡支梁的內(nèi)力包絡(luò)54一、簡支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖1)簡支梁受單個移動集中荷載的作用。

2)簡支梁受一組移動集中荷載作用，如圖8-21a、b所示吊車梁受兩臺吊車荷載的作用，現(xiàn)要繪制其彎矩包絡(luò)圖。一、簡支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖1)簡支梁受單個移動集中荷載的作用。55一、簡支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖圖8-20一、簡支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖圖8-20561)簡支梁受單個移動集中荷載的作用。如圖8-20a所示簡支梁，現(xiàn)要繪出其彎矩包絡(luò)圖。為此，我們將梁分成若干等分(一般分為4～12等分，現(xiàn)分成10等分)，根據(jù)影響線可以判定，每個截面上彎矩的最不利荷載位置就是荷載作用于該截面處的位置。利用影響線，逐個算出每個截面上的最大彎矩，連成曲線，即為這個簡支梁的彎矩包絡(luò)圖(圖8-20b)。1)簡支梁受單個移動集中荷載的作用。如圖8-20a所示簡支572)簡支梁受一組移動集中荷載作用同樣可將梁分成10等分，依次繪出這些分點截面上的彎矩影響線及求出相應(yīng)的最不利荷載位置，利用影響線求出它們的最大彎矩，在梁上用豎標(biāo)標(biāo)出并連成曲線，就得到該梁的彎矩包絡(luò)圖，如圖8-21c所示。同理還可繪出該梁的剪力包絡(luò)圖。由于每一截面上都將產(chǎn)生相應(yīng)的最大剪力和最小剪力，故剪力包絡(luò)圖有兩根曲線。由上可以看出，內(nèi)力包絡(luò)圖是針對某種移動荷載而言的，對不同的移動荷載，內(nèi)力包絡(luò)圖也不相同。2)簡支梁受一組移動集中荷載作用同樣可將梁分成10等分，依58二、簡支梁的絕對最大彎矩圖8-21二、簡支梁的絕對最大彎矩圖8-2159二、簡支梁的絕對最大彎矩簡支梁彎矩包絡(luò)圖上的最大彎矩叫做簡支梁的絕對最大彎矩。設(shè)簡支梁的絕對最大彎矩為Mmax，絕對最大彎矩必定發(fā)生在某一集中力下面，設(shè)作用在圖中C點處。C點與D點之間的距離為a，F(xiàn)K位于FR的左邊時，a取正值；FK位于FR的右邊時，a取負(fù)值?？梢宰C明，當(dāng)FK與FR在簡支梁上關(guān)于簡支梁中點對稱布置時，在FK下面發(fā)生絕對最大彎矩，其計算公式為二、簡支梁的絕對最大彎矩簡支梁彎矩包絡(luò)圖上的最大彎矩叫做簡支60二、簡支梁的絕對最大彎矩圖8-22二、簡支梁的絕對最大彎矩圖8-2261【例8-9】試求圖8-23所示簡支梁在所示移動荷載下的絕對最大彎矩?！窘狻吭O(shè)所有力均落在梁中，則FR=4×315kN=1260kN，合力與中間一力之間距a=0.65m，將合力與中間一力居于跨中C的等距兩側(cè)，從所給的幾何尺寸可知沒有力移出梁外，因此由絕對最大彎矩公式二、簡支梁的絕對最大彎矩【例8-9】試求圖8-23所示簡支梁在所示移動荷載下的絕對最62二、簡支梁的絕對最大彎矩圖8-23二、簡支梁的絕對最大彎矩圖8-2363★第七節(jié)連續(xù)梁的內(nèi)力包絡(luò)圖連續(xù)梁在活荷載作用下，作其內(nèi)力包絡(luò)圖的方法有兩種：1)利用連續(xù)的影響線確定最不利荷載位置，按最不利荷載位置(圖8-24)求出活荷載作用下各截面的最大內(nèi)力和最小內(nèi)力，把它們按一定比例尺用圖形表示出來，這就是連續(xù)梁在活荷載作用下的內(nèi)力包絡(luò)圖。2)由于在均布活荷載作用下，連續(xù)梁各截面彎矩的最不利荷載位置是若干跨內(nèi)布滿均布活荷載，因此，最大和最小內(nèi)力的計算可以簡化?！锏谄吖?jié)連續(xù)梁的內(nèi)力包絡(luò)圖連續(xù)梁在活荷載作用下，作其內(nèi)力包64圖8-24★第七節(jié)連續(xù)梁的內(nèi)力包絡(luò)圖圖8-24★第七節(jié)連續(xù)梁的內(nèi)力包絡(luò)圖65圖8-25★第七節(jié)連續(xù)梁的內(nèi)力包絡(luò)圖圖8-25★第七節(jié)連續(xù)梁的內(nèi)力包絡(luò)圖66連續(xù)梁為例，具體說明作連續(xù)內(nèi)力包絡(luò)圖的步驟。

1)把每一跨分為若干等分，取等分處的截面作為計算截面。

2)作出由恒載作用的彎矩圖M恒，并算出每個等分面的彎矩值，如圖8-25b所示。3)逐次作出每一跨單獨布滿活荷載時引起的彎矩圖M活，并算出每個等分面的彎矩值，如圖8-25c、d、e所示。

4)求出各計算截面的Mmax和Mmin。

5)將各截面的Mmax值用縱坐標(biāo)表示出來，用曲線連起來得Mmax曲線；將各截面的Mmin值用縱坐標(biāo)表示出來，用曲線連起來得Mmin曲線?！锏谄吖?jié)連續(xù)梁的內(nèi)力包絡(luò)圖連續(xù)梁為例，具體說明作連續(xù)內(nèi)力包絡(luò)圖的步驟。

1)把每一67圖8-26★第七節(jié)連續(xù)梁的內(nèi)力包絡(luò)圖圖8-26★第七節(jié)連續(xù)梁的內(nèi)力包絡(luò)圖68結(jié)構(gòu)力學(xué)簡明教程結(jié)構(gòu)力學(xué)簡明教程69第八章影響線第八章影響線70第八章影響線第一節(jié)影響線的概念

第二節(jié)用靜力法作簡支梁的影響線

★第三節(jié)結(jié)點荷載作用下梁的影響線

第四節(jié)用機動法作影響線

第五節(jié)影響線的應(yīng)用

第六節(jié)簡支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖與絕對最大彎矩

★第七節(jié)連續(xù)梁的內(nèi)力包絡(luò)圖第八章影響線第一節(jié)影響線的概念

第二節(jié)用靜力法作簡71第一節(jié)影響線的概念圖8-1荷載，其大小、方向和作用點都是固定不變的，稱為固定荷載。第一節(jié)影響線的概念圖8-1荷載，其大小、方向和作用點都是72第二節(jié)用靜力法作簡支梁的影響線作靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力或支座反力的影響線有兩種基本作法，一靜力法，二機動法。靜力法是先把單位移動荷載F＝1放在任意位置，以x表示單位移動荷載到所選坐標(biāo)原點的距離，將單位移動荷載視為固定荷載，通過平衡方程，從而確定所求支座反力和內(nèi)力的影響函數(shù)，作此函數(shù)的圖像，即為影響線。1.支座反力的影響線

2.剪力影響線作法

3.彎矩影響線作法第二節(jié)用靜力法作簡支梁的影響線作靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力或支座反力的731.支座反力的影響線(1)支座反力FRB影響線作法如圖8-2a所示簡支梁，將FP=1放在任意位置，距A點為x。

(2)支座反力FRA影響線作法將FP=1放在任意位置，距A點為x。1.支座反力的影響線(1)支座反力FRB影響線作法如圖874(1)支座反力FRB影響線作法如圖8-2a所示簡支梁，將FP=1放在任意位置，距A點為x。由平衡條件∑MA=0,FRB/（l-1x）=0解得FRB=xl

(0≤x≤l)這就是FRB的影響線方程。由此方程知，F(xiàn)RB的影響線是一條直線。在A點，x=0，F(xiàn)RA=0。在B點，x=1，F(xiàn)RB=1。利用這兩個豎距便可以畫出FRB的影響線，如圖8-2b所示。(1)支座反力FRB影響線作法如圖8-2a所示簡支梁，將75(2)支座反力FRA影響線作法將FP=1放在任意位置，距A點為x。由平衡條件解得這就是FRA的影響線方程。由此方程知，F(xiàn)RA的影響線也是一條直線。在A點，x=0，F(xiàn)RA=1。在B點，x=1，F(xiàn)RB=0。利用這兩個豎距便可以畫出FRA的影響線，如圖8-2c所示。(2)支座反力FRA影響線作法將FP=1放在任意位置，距76圖8-2(2)支座反力FRA影響線作法圖8-2(2)支座反力FRA影響線作法772.剪力影響線作法簡支梁剪力影響線的簡單作法是：在一個簡支梁上同時作出FA和-FB的影響線，在所求剪力FQ截面處作一豎線，所截取的兩個三角形，即為剪力FQ在此截面的影響線，如圖8-2d所示。其他任意截面剪力影響線作法更簡便了，將豎線推到什么截面就生成什么截面的剪力影響線。剪力影響線系數(shù)為無量綱量。2.剪力影響線作法簡支梁剪力影響線的簡單作法是：在一個簡支梁783.彎矩影響線作法由此得簡支梁作彎矩影響線簡易作法：先作一基線，在基線對應(yīng)所作彎矩影響線截面處作一豎線，其值為ab/l，連接A、B兩端，即為此截面彎矩的影響線，如圖8-2e所示。彎矩影響系數(shù)其量綱為L，單位為m3.彎矩影響線作法由此得簡支梁作彎矩影響線簡易作法：先作一基793.彎矩影響線作法【例8-1】試用靜力法繪制圖8-3所示外伸梁的FAy、FBy、FQC、MC、FQD、MD的影響線?！窘狻?1)繪制反力FAy、FBy的影響線。取A點為坐標(biāo)原點，橫坐標(biāo)x向右為正。當(dāng)荷載F＝1作用于梁上任一點x時，分別求得反力FAy、FBy的影響線方程為以上兩個方程與相應(yīng)的簡支梁的反力影響線方程完全相同，只是x的取值范圍有所擴大而已，因此，只需將相應(yīng)簡支梁的反力影響線向兩個伸臂部分延長，即可繪出整個外伸梁的反力FAy和FBy的影響線，分別如圖8-3b、c所示。3.彎矩影響線作法【例8-1】試用靜力法繪制圖8-3所示外伸803.彎矩影響線作法(2)繪制剪力FQC、彎矩MC的影響線當(dāng)F＝1作用于截面C以左時，取截面C右邊為隔離體，求得影響線方程為當(dāng)F＝1作用于截面以右時，取截面C左邊為隔離體，求得影響線方程為由上可知，F(xiàn)QC和MC的影響線方程也與簡支梁的相同。因而與繪制反力影響線一樣，只需將相應(yīng)簡支梁的FQC和MC的影響線向兩外伸臂部分延長，即可得到外伸梁的FQC和MC的影響線，分別如圖8-3d、e圖所示。3.彎矩影響線作法(2)繪制剪力FQC、彎矩MC的影響線813.彎矩影響線作法(3)繪制剪力FQD、彎矩MD的影響線。當(dāng)F＝1作用于截面D以左時，取截面D右邊為隔離體，求得影響線方程為當(dāng)F＝1作用于截面D以右時，仍取截面D右邊為隔離體，求得影響線方程為

若取坐標(biāo)原點為D，x向右為正，則MD彎矩方程為由上繪出FQD和MD的影響線分別如圖8-3f、g所示。

3.彎矩影響線作法(3)繪制剪力FQD、彎矩MD的影響線。823.彎矩影響線作法圖8-33.彎矩影響線作法圖8-383圖8-43.彎矩影響線作法圖8-43.彎矩影響線作法843.彎矩影響線作法(1)荷載類型不同繪彎矩的影響線時，所受的荷載是單位移動荷載FP＝1；而繪彎矩圖時，所受的荷載則是固定荷載F。

(2)自變量x表示的含義不同彎矩影響線方程的自變量x表示單位移動荷載F＝1的作用位置，而彎矩方程中的自變量x表示的則是截面位置。(3)豎距表示的意義不同MC的影響線中任一點D的豎距表示單位移動荷載F＝1作用于點D時，截面C上彎矩的大小，即MC的影響線只表示C截面上的彎矩MC在單位荷載移動時的變化規(guī)律，與其他截面上的彎矩?zé)o關(guān)。

(4)繪制規(guī)定不同MC的影響線中的正彎矩畫在基線的上方，負(fù)彎矩畫在基線的下方，標(biāo)明正負(fù)號。3.彎矩影響線作法(1)荷載類型不同繪彎矩的影響線時，85★第三節(jié)結(jié)點荷載作用下梁的影響線(1)支座反力FRA和FRB的影響線

(2)MC的影響線C點正好是結(jié)點。

(3)MD的影響線MD的影響線如圖8-5c所示。

(4)FQCE的影響線在結(jié)點荷載作用下，主梁在C、E兩點之間沒有外力，因此CE一段各截面的剪力都相等，通常稱為結(jié)間剪力，以FQCE表示。★第三節(jié)結(jié)點荷載作用下梁的影響線(1)支座反力FRA和FR86★第三節(jié)結(jié)點荷載作用下梁的影響線圖8-5★第三節(jié)結(jié)點荷載作用下梁的影響線圖8-587(1)支座反力FRA和FRB的影響線支座反力FRA和FRB的影響線，與圖8-2b、c完全相同，在圖8-5中沒有畫出。(1)支座反力FRA和FRB的影響線支座反力FRA和FRB的88(2)MC的影響線FP=1在C點以右時，利用FRA求MC；FP=1在C點以左時，利用FRB求MC。由此可知，MC的影響線作法與圖8-2e完全相同，如圖8-5b所示。C點的豎距為(2)MC的影響線FP=1在C點以右時，利用FRA求MC；89(3)MD的影響線先假設(shè)FP=1直接加于主梁AB，則MD的影響線為一三角形(其中CE段為虛線)。D點的豎距為由比例可知，C、E兩點的豎距為將C、E兩點的豎距連一直線，就得到結(jié)點荷載作用下MD的影響線，如圖中實線所示。(3)MD的影響線先假設(shè)FP=1直接加于主梁AB，則MD90(3)MD的影響線為了證明上述作法的正確性，只需注意以下兩點：1)如果單位荷載加在C點或E點，則結(jié)點荷載與直接荷載完全相同，所以在結(jié)點荷載作用下MD影響線在C點的豎距yC和E點的豎距yE與直接荷載作用下相應(yīng)的豎距相等。

2)如單位荷載作用在C、E兩點之間，其到C點的距離以x表示，則縱梁CE的反力如圖8-5d所示。由此可得結(jié)論如下：

1)在結(jié)點荷載作用下，結(jié)構(gòu)任何影響線在相鄰兩結(jié)點之間為一直線。

2)先作直接荷載作用下的影響線，用直線連接相鄰兩結(jié)點的豎距，就得到結(jié)點荷載作用下的影響線。(3)MD的影響線為了證明上述作法的正確性，只需注意以下91(4)FQCE的影響線在結(jié)點荷載作用下，主梁在C、E兩點之間沒有外力，因此CE一段各截面的剪力都相等，通常稱為結(jié)間剪力，以FQCE表示。FQCE的影響線如圖8-5e所示，是按照上述結(jié)論1作出的。

(4)FQCE的影響線在結(jié)點荷載作用下，主梁在C、E兩92第四節(jié)用機動法作影響線機動法是以虛功原理為基礎(chǔ)，把作內(nèi)力或支座反力影響線的靜力問題轉(zhuǎn)化為作位移圖的幾何問題。機動法有一個優(yōu)點：不需經(jīng)過計算就能很快地繪出影響線的輪廓。因此，對于某些問題，用機動法處理特別方便，例如在確定荷載最不利位置時，往往只需知道影響線的輪廓，而無需求出其數(shù)值。另外，用靜力法作出的影響線也可用機動法來校核。第四節(jié)用機動法作影響線機動法是以虛功原理為基礎(chǔ)，把作內(nèi)力或93第四節(jié)用機動法作影響線機動法作靜定內(nèi)力或支座反力的影響線的步驟如下：1)撤去與Z相應(yīng)的約束，代以未知力Z。

2)使體系沿Z的正方向發(fā)生位移，作出荷載作用點的豎向位移圖(δP圖)，由此可定出Z的影響線的輪廓。

3)令δZ=1，可進一步定出影響線各豎距的數(shù)值。

4)橫坐標(biāo)以上的圖形，影響系數(shù)取正號；橫坐標(biāo)以下的圖形，影響系數(shù)取負(fù)號。第四節(jié)用機動法作影響線機動法作靜定內(nèi)力或支座反力的影響線的94第四節(jié)用機動法作影響線圖8-6第四節(jié)用機動法作影響線圖8-695圖8-7第四節(jié)用機動法作影響線圖8-7第四節(jié)用機動法作影響線96【例8-2】試用機動法作圖8-7a所示簡支梁彎矩和剪力的影響線?！窘狻?1)彎矩MC的影響線撤去與彎矩MC相應(yīng)的約束(即在截面C處改為鉸接)，代以一對等值反向力偶MC。這時，鉸C的兩側(cè)的剛體可以相對轉(zhuǎn)動。給體系以虛位移，如圖8-7b所示。這里，與MC相應(yīng)的位移δZ就是鉸C兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角。利用δZ可以確定位移圖中的豎矩。由于δZ是微小轉(zhuǎn)角，可先求得BB1=δZb。按幾何關(guān)系，可求出C點豎向位移為ab/lδZ。這樣，得到的位移圖即代表MC的影響線的輪廓。第四節(jié)用機動法作影響線【例8-2】試用機動法作圖8-7a所示簡支梁彎矩和剪力的影響97為了求得影響系數(shù)的數(shù)值，再將圖8-7b中的位移圖除以δZ，即得到MC影響線如圖8-7c所示，其中C點的影響系數(shù)為ab/l。應(yīng)當(dāng)指出，由于虛位移δZ是微小值，因此這里只說將δP，而不說令相對轉(zhuǎn)角δZ=1rad。換句話說，如果仍采用“令δZ=1”的說法，則應(yīng)理解為令豎向位移中的參數(shù)δZ等于1，而不是直接令相對轉(zhuǎn)角δZ等于1rad。(2)剪力FQC的影響線撤去截面C處相應(yīng)于剪力的約束，代以剪力FQC，得圖8-7d所示的機構(gòu)。此時，在截面C處能發(fā)生相對的豎向位移，但不能發(fā)生相對的轉(zhuǎn)動和水平移動。因此，切口兩邊的梁在發(fā)生位移后保持平行，切口的相對豎向位移即為δZ。令δZ=1，由三角形幾何關(guān)系即可確定影響線的各控制點數(shù)值(圖8-7e)。第四節(jié)用機動法作影響線為了求得影響系數(shù)的數(shù)值，再將圖8-7b中的位移圖除以δZ，即98第五節(jié)影響線的應(yīng)用影響線是處理移動荷載效應(yīng)的工具，在此只研究利用影響線求支反力和內(nèi)力值，確定荷載的最不利位置及最不利荷載等。第五節(jié)影響線的應(yīng)用影響線是處理移動荷載效應(yīng)的工具，在此只研99第五節(jié)影響線的應(yīng)用一、求各荷載作用下的影響

二、求荷載的最不利位置

三、臨界位置的判定第五節(jié)影響線的應(yīng)用一、求各荷載作用下的影響

二、求荷載的最100一、求各荷載作用下的影響設(shè)有一組集中荷載FP1、FP2、FP3加于簡支梁，位置已知如圖8-8a所示。如FQC的影響線在各荷載作用點的豎距為y1、y2、y3，則由FP1產(chǎn)生的FQC等于FP1y1，F(xiàn)P2產(chǎn)生的FQC等于FP2y2，F(xiàn)P3產(chǎn)生的FQC等于FP3y3。根據(jù)疊加原理，可知，在這組荷載作用FQC的數(shù)值為一般說來，設(shè)有一組集中荷載FP1，F(xiàn)P2,…，F(xiàn)Pn加于結(jié)構(gòu)，而結(jié)構(gòu)某量Z的影響線在各荷載作用處的豎距為y1，y2，…，yn,則一、求各荷載作用下的影響設(shè)有一組集中荷載FP1、FP2、FP101一、求各荷載作用下的影響如果結(jié)構(gòu)在AB段承均布荷載q(圖8-8b)作用,則微段dx上的荷載qdx可看做集中荷載,它所引起的Z值為y·qdx。因此，在AB段均布荷載作用下的Z值為這里，A0表示影響線圖形在受載段AB上的面積。上式表示，均布荷載引起的Z值等于荷載集度乘以受載段的影響線面積。應(yīng)用此式時，要注意面積A0的正負(fù)號。一、求各荷載作用下的影響如果結(jié)構(gòu)在AB段承均布荷載q(圖8-102一、求各荷載作用下的影響圖8-8一、求各荷載作用下的影響圖8-8103第五節(jié)影響線的應(yīng)用【例8-3】圖8-9所示為一簡支梁，全跨受均布荷載作用。試?yán)媒孛鍯的剪力FQC影響線計算FQC的數(shù)值。【解】FQC的影響線正號部分的面積以A1表示，負(fù)號部分的面積以A2表示，則由式(8-5)得第五節(jié)影響線的應(yīng)用【例8-3】圖8-9所示為一簡支梁，全跨104一、求各荷載作用下的影響圖8-9一、求各荷載作用下的影響圖8-9105第五節(jié)影響線的應(yīng)用【例8-4】利用影響線求圖8-10a所示簡支梁在圖示荷載作用下截面C上剪力FQC的數(shù)值?！窘狻坷L出剪力FQC的影響線，如圖8-10b所示。設(shè)影響線正號部分的面積為A1，負(fù)號部分的面積為A2，則有剪力FQC的影響線在力F作用點處的豎標(biāo)y=12。由式(8-4)和式(8-5)，截面C上剪力FQC的數(shù)值為第五節(jié)影響線的應(yīng)用【例8-4】利用影響線求圖8-10a所示106一、求各荷載作用下的影響圖8-10一、求各荷載作用下的影響圖8-10107第五節(jié)影響線的應(yīng)用如果荷載移動到某個位置，使某量Z達到最大值，則此荷載位置稱為最不利位置。影響線的一個重要作用，就是用來確定荷載的最不利位置。對于以下簡單情況，只需對影響線和荷載特性加以分析和判斷，就可定出荷載的最不利位置。其判斷的原則是：(1)應(yīng)當(dāng)把數(shù)量大、排列最密的荷載放在影響線豎距較大的部位；(2)如果移動荷載是單個集中荷載，則最不利位置就是這個集中荷載作用在影響線的豎距最大處；(3)如果移動荷載是一組集中荷載，則在最不利位置時，必有一個集中荷載作用在影響線的頂點，如圖8-11示；(4)如果移動荷載是均布荷載，而且可以按任意方式分布，則其最不利位置是在影響線正號部分布滿荷載(求最大正號值)，或者在負(fù)號部分布滿荷載(求最大負(fù)號值)，如圖8-12示。第五節(jié)影響線的應(yīng)用如果荷載移動到某個位置，使某量Z達到最大108二、求荷載的最不利位置圖8-11二、求荷載的最不利位置圖8-11109二、求荷載的最不利位置圖8-12二、求荷載的最不利位置圖8-12110第五節(jié)影響線的應(yīng)用【例8-5】圖8-13a所示為兩臺吊車的輪壓和輪距，試求吊車梁AB在截面C的最大正剪力?！窘狻肯茸鞒鯢QC的影響線，并標(biāo)出荷載對應(yīng)的系數(shù)(圖8-13c)。要使FQC為最大正號剪力，首先，荷載應(yīng)放在FQC影響線的正號部分。其次，應(yīng)將排列較密的荷載(中間兩個輪壓)放在影響系數(shù)較大的部位(荷載435kN放在C點的右側(cè))。圖8-13b所示為荷載的最不利位置。由此求得第五節(jié)影響線的應(yīng)用【例8-5】圖8-13a所示為兩臺吊車的111二、求荷載的最不利位置圖8-13二、求荷載的最不利位置圖8-13112三、臨界位置的判定如果移動荷載是一組集中荷載，要確定某量Z的最不利荷載位置，通常分成兩步進行：第一步，求出使Z達到極值的荷載位置。這種荷載位置稱為荷載的臨界位置。第二步，從荷載的臨界位置中選出荷載的最不利位置。也就是從Z的極大值中選出最大值，從極小值中選出最小值。三、臨界位置的判定如果移動荷載是一組集中荷載，要確定某量Z的113三、臨界位置的判定圖8-14三、臨界位置的判定圖8-14114三、臨界位置的判定歸結(jié)起來，確定荷載最不利位置的步驟如下：1)從荷載中選定一個集中力FPcr使它位于影響線的一個頂點上。2)當(dāng)FPcr在該頂點稍左或稍右時，分別求∑FRitanαi的數(shù)值。如果∑FRitanαi變號(或由零變?yōu)榉橇?，則此荷載位置稱為臨界位置，而荷載FPcr稱為臨界荷載。如果∑FRitanαi不變號，則此荷載位置不是臨界位置。3)對每個臨界位置可求出Z的一個極值，然后從各種極值中選出最大值或最小值。同時，也就確定了荷載的最不利位置。三、臨界位置的判定歸結(jié)起來，確定荷載最不利位置的步驟如下：115三、臨界位置的判定【例8-6】圖8-15a所示為一組移動荷載，圖8-15b為某量Z的影響線。該求荷載最不利位置和Z的最大值。已知FP1=FP2=FP3=FP4=FP5=90kN，q=37.8kN/m。【解】(1)試將FP4放在影響線的最高頂點荷載布置情況如圖8-15c所示。(2)試算∑FRitanαi由圖8-15b，得如果整個荷載稍向右移，各段荷載合力為三、臨界位置的判定【例8-6】圖8-15a所示為一組移動荷載116三、臨界位置的判定如果稍向左移，則由于∑FRitanαi變號,故此位置是臨界位置。(3)計算Z值(參見圖8-15c中標(biāo)出的影響系數(shù))當(dāng)影響線為三角形，臨界位置的特點可以用更方便的形式表示出來。如圖8-16所示，設(shè)Z的影響線為一三角形。如果求Z的極大值，則在臨界位置必有一荷載FPcr正好在影響線的頂點上。三、臨界位置的判定如果稍向左移，則117三、臨界位置的判定以FLR表示FPcr左方荷載的合力，F(xiàn)RR表示FPcr右方荷載的合力，式(8-6)可寫為荷載向右移，F(xiàn)LRtanα-(FPcr+FRR)tanβ≤0荷載向左移，(FLR+FPcr)tanα-FRRtanβ≥0在上兩式中，代入tanα=c/a，tanβ=c/b，得

式(8-8)表明：臨界位置的特點為有一集中荷載FPcr在影響線的頂點，將FPcr計入哪一邊(左邊或右邊)，則哪一邊荷載的平均集度要大。三、臨界位置的判定以FLR表示FPcr左方荷載的合力，F(xiàn)RR118圖8-15三、臨界位置的判定圖8-15三、臨界位置的判定119圖8-16三、臨界位置的判定圖8-16三、臨界位置的判定120臨界荷載Fcr的特點是：將Fcr計入哪一邊，哪一邊的荷載平均集度就大。有時臨界荷載可能不止一個，須將相應(yīng)的極值分別算出，進行比較。產(chǎn)生最大極值的那個荷載位置就是最不利荷載位置，該極值即為所求量值的最大值?，F(xiàn)將確定最不利荷載位置的