第11章第2講 排列與組合

第2講排列與組合基礎(chǔ)知識(shí)整合1．排列與排列數(shù)排列從n個(gè)不同元素中取出m(mWn)個(gè)元素，□按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．排列數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(mWn)個(gè)元素的□所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記作Q3Am.n2．組合與組合數(shù)組合從n個(gè)不同元素中取出m(mWn)個(gè)元素□合成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(mWn)個(gè)元素的□所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，記作□Cm.n3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式排列數(shù)公式Am二07n(n-1)(n一2)?????(〃-%+1)=□n!(n—m)!組合數(shù)公式C Am_09n(n—"…⑺―m+l)Cm一Am m!m二10 n!m!(n—m)!性質(zhì)An二On!;0!二口丄d)cn二131；Cm=^Cn-m；Cm+Cm—1二Cm\'n n n+1備注n,m€N*且mWn.知識(shí)拓展解決排列與組合問(wèn)題的“四項(xiàng)基本原則”特殊優(yōu)先原則：如果問(wèn)題中有特殊元素或特殊位置，優(yōu)先考慮這些特殊元素或特殊位置．先取后排原則：在既有取出又需要對(duì)取出的元素進(jìn)行排列時(shí)，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再進(jìn)行排列．正難則反原則：當(dāng)直接求解困難時(shí)，采用間接法解決問(wèn)題．先分組后分配原則：在分配問(wèn)題中如果被分配的元素多于位置，這時(shí)要先進(jìn)行分組，再進(jìn)行分配．雙基自測(cè)1?若An=l°An，則n=()TOC\o"1-5"\h\zA．1 B．8C．9 D．10答案B解析原式等價(jià)于2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2)，整理，得n=8.(2019?廈門(mén)模擬)5名男同學(xué)、6名女同學(xué)排成一排，要求男同學(xué)順序一定且女同學(xué)順序也一定，不同排法種數(shù)為( )A.C511 B.2C151A55A66答案A解析共11名同學(xué)排成一排有11個(gè)位置.從11個(gè)位置中選出5個(gè)位置，共有厲］種選法，每一種選法的5個(gè)位置讓男同學(xué)按著一定順序去排，余下6個(gè)位置讓女同學(xué)按一定順序去排.若原來(lái)站成一排的4個(gè)人重新站成一排，恰有一個(gè)人站在自己原來(lái)的位置C．12 D．24答案B解析根據(jù)題意，分兩步考慮：第一步，先從4個(gè)人里選1人，其位置不變，其他3人都不站在自己原來(lái)的位置上，站法有C4=4（種）；第二步，對(duì)于都不站在自己原來(lái)的位置上的3個(gè)人，有2種站法.故不同的站法共有4X2=8（種），故選B.若把英語(yǔ)單詞“error”中字母的拼寫(xiě)順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)錯(cuò)誤的種數(shù)是（）A.20 B.19C.10 D.9答案B解析“error”由5個(gè)字母組成，共有3個(gè)相同，這相當(dāng)于5個(gè)人站隊(duì)，只要給e，o選定位置，其余三個(gè)相同的字母r,位置固定，即所有拼寫(xiě)方式為A5,error拼寫(xiě)錯(cuò)誤的種數(shù)為A52－1=19.若某單位要邀請(qǐng)10位教師中的6位參加一個(gè)會(huì)議，其中甲、乙兩位教師不能同時(shí)參加，則邀請(qǐng)的不同方法有（ ）A.84種 B.98種C.112種 D.140種答案D解析由題意分析邀請(qǐng)的不同方法有：C』C5+Cg=112+28=140（種）.6?用0?9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.324 B.328C.360 D.648答案B解析首先應(yīng)考慮“0”是特殊元素，當(dāng)0排在末位時(shí)，有A92=9X8=72個(gè)當(dāng)0不排在末位時(shí)，有A41A81A81=4X8X8=256個(gè)，于是由分類加法計(jì)算原理得符合題意的偶數(shù)共有72+256=328個(gè).核心考向突破考向一排列問(wèn)題例1有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．選其中5人排成一排；排成前后兩排，前排3人，后排4人；全體排一排，甲不站排頭也不站排尾；全體排一排，女生必須站在一起；全體排一排，男生互不相鄰；全體排一排，甲、乙兩人中間恰好有3人；全體排一排，甲必須排乙前面；全部排一排，甲不排在左端，乙不排在右端．解(DA?二2520種方法.⑵A7=5040種方法.解法一：先排甲，有5種方法，其余6人有Ag種方法，故共有5xA6=3600種方法．解法二：先排排頭和排尾有A*種方法，其余位置有A5種排法，故共有A2-A5=3600種方法.⑷將女生看成一個(gè)整體，用捆綁法，共有A4^A4=576種方法.先排女生有A#種，再將男生插空有A5種，故共有A4?A5二1440種方法.將甲、乙及中間三人看作一個(gè)整體，先排甲、乙有A*種方法，再排中間三人有A5種方法，最后將他們看作一個(gè)整體與剩下的2人全排列，有A3種方法，故共有二720種方法.A^=2520種方法.A7-2A6+A5=3720種方法.

1．求解有限制條件排列問(wèn)題的主要方法直接法分類法選定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，將要完成的事件分成幾個(gè)類型，分別計(jì)算每個(gè)類型中的排列數(shù)，再由分類加法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)分步法選定一個(gè)適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，將事件分成幾個(gè)步驟來(lái)完成，分別計(jì)算出各步驟的排列數(shù)，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)捆綁法相鄰問(wèn)題捆綁處理，即可以把相鄰兀素看作一個(gè)整體與其他兀素進(jìn)行排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法不相鄰問(wèn)題插空處理，即先考慮不受限制的兀素的排列，再將不相鄰的兀素插在前面兀素排列后的空中定序法對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以已定元素的全排列間接法對(duì)于分類過(guò)多的問(wèn)題，一般利用正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法2．解決有限制條件排列問(wèn)題的策略根據(jù)特殊元素(位置)優(yōu)先安排進(jìn)行分步，即先安排特殊元素或特殊位置．(2)根據(jù)特殊元素當(dāng)選數(shù)量或特殊位置由誰(shuí)來(lái)占進(jìn)行分類．［即時(shí)訓(xùn)練］1.用0,1,2,3,4,5這6個(gè)數(shù)字，(1)能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？能組成多少個(gè)奇數(shù)數(shù)字互不相鄰的六位數(shù)(無(wú)重復(fù)數(shù)字)?解(1)符合要求的四位偶數(shù)可分為三類．第一類：o在個(gè)位時(shí)，有A5個(gè)；第二類：2在個(gè)位時(shí)，千位從1,3,4,5中選定1個(gè)，有人4種，十位和百位從余下的數(shù)字中選，有人4種，于是有A1A個(gè)；第三類：4在個(gè)位時(shí)，與第二類同理，也有A4.a4個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有A5+2A1?A2二156個(gè).(2)先排0,2,4,再讓1,3,5插空，總的排法共A|A4=144種，其中0在排頭，將匕3,5插在后3個(gè)空的排法共有A2.A3=12種，此時(shí)構(gòu)不成六位數(shù)，故符合要求的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為144-12二132.考向二組合問(wèn)題例2某課外活動(dòng)小組共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女各有一名隊(duì)長(zhǎng)．現(xiàn)從中選5人主持某種活動(dòng),依下列條件各有多少種選擇？只有一名女生當(dāng)選；兩隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；男生甲和女生乙當(dāng)選；最多有兩名女生當(dāng)選．解(1)只有一名女生當(dāng)選等價(jià)于有一名女生和四名男生當(dāng)選，故共有C5?C4二350種.兩隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選，共有Cg二165種.至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選含有兩類：只有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選和有兩名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選．故共有C2?C11+C2?C11二825種.(或采用排除法：C13-C51=825種)男生甲和女生乙當(dāng)選，則需從剩余11人中選3人，有嗚二165種.最多有兩名女生當(dāng)選含有三類：有兩名女生當(dāng)選、只有一名女生當(dāng)選和沒(méi)有女生當(dāng)選?故選法共有C2?C8+CyC4+C8二966種.1．組合問(wèn)題常見(jiàn)的兩類題型(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型；“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補(bǔ)足；“不含”,則先將這些元素剔除,再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx?。?）“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解，用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．2．有限制條件的組合問(wèn)題的解題思路從限制條件入手．因組合問(wèn)題只是從整體中選出部分即可，相對(duì)來(lái)說(shuō)較簡(jiǎn)單．常見(jiàn)情況有：某些元素必選；某些元素不選；把元素分組，根據(jù)在各組中分別選多少，分類；排除法．［即時(shí)訓(xùn)練］2.（2020.山西康杰中學(xué)模擬）某地實(shí)行高考改革，考生除參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)統(tǒng)一考試外，還需從物理、歷史兩科中選考一科，從化學(xué)、生物、政治、地理四科中選考兩科，則考生的選考方法共有（ ）A．6種 B．12種C．18種 D．24種答案B解析從物理、歷史兩科中選考一科，有C』二2種方法，從化學(xué)、生物、政治、地理四科中選考兩科，有C?二6種方法，所以考生共有2X6=12種選考方法．故選B.3.（2018?全國(guó)卷I）從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有 種（用數(shù)字作答）．答案16解析根據(jù)題意，沒(méi)有女生入選有C?=4種選法，從6位學(xué)生中任意選3人有C6=20種選法，故至少有1位女生入選的不同選法共有20-4=16種.精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破考向三排列、組合的綜合應(yīng)用角度1 特殊元素(位置)問(wèn)題例3(1)(2019?福建漳州聯(lián)考)有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有( )A.34種 B.48種C.96種 D.144種答案C解析特殊元素優(yōu)先安排，先讓甲從頭、尾中選取一個(gè)位置，有勺種選法，乙、丙相鄰，捆綁在一起看作一個(gè)元素，與其余三個(gè)元素全排列，最后乙、丙可以換位，故共有C2?A4?A2二96(種)排法?故選C.(2)(2020.山西大同摸底)從10種不同的作物種子中選出6種放入6個(gè)不同的瓶子中展出，如果甲、乙兩種種子不能放入第1號(hào)瓶?jī)?nèi)，那么不同的放法種數(shù)為()A．C120A84 B．C91A59C．C81A95 D．C81A85答案C解析先排第1號(hào)瓶，從除甲、乙以外的8種不同作物種子中選出1種有C18種選法，再排剩余的瓶子，有A9種方法，故不同的放法共有c8A5種，故選C.角度2 相鄰、相間問(wèn)題例4(1)(2019?江西吉安聯(lián)考)某大廈一層有A,B,C,D四部電梯，現(xiàn)有3人在同一層乘坐電梯上樓，其中2人恰好乘坐同一部電梯，則不同的乘坐方式有()A.12種 B.24種C.18種 D.36種答案D解析元素相鄰利用“捆綁法”，先從3人中選擇2人坐同一電梯有C3=3種選法，再將2個(gè)“元素”安排坐四部電梯有A4=12種安排方法，則不同的乘坐方式有3X12=36種?故選D.

(2019?湖北聯(lián)考)某共享汽車停放點(diǎn)的停車位排成一排且恰好全部空閑，假設(shè)最先來(lái)停車點(diǎn)停車的3輛共享汽車都是隨機(jī)停放的，且這3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的概率相等，則該停車點(diǎn)的車位數(shù)為答案10解析設(shè)停車位有n個(gè)，這3輛共享汽車都不相鄰的種數(shù)：相當(dāng)于先將(n-3)個(gè)停車位排放好，再將這3輛共享汽車插入到所成的(n-2)個(gè)間隔中，故有A帚2種，恰有2輛相鄰的種數(shù)：先把其中2輛捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素，再和另—個(gè)插入到將(n-3)個(gè)停車位排放好所成的(n-2)個(gè)間隔中，故有2種，因?yàn)檫@3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的概率相等，所以An_2=A3An_2，解得n=10.角度3 分組、分配問(wèn)題例5⑴(2019?合肥模擬)現(xiàn)有三本相同的語(yǔ)文書(shū)和一本數(shù)學(xué)書(shū)，分發(fā)給三個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少分得—本，不同分法的種數(shù)為( )B．9AB．9C．18 D．15答案B解析分配方案為2,1,1，其中有且僅有—個(gè)學(xué)生拿兩本書(shū)，若他拿兩本語(yǔ)文書(shū)，則此時(shí)共有c3a2種分法；若他拿一本語(yǔ)文書(shū)一本數(shù)學(xué)書(shū)，則此時(shí)共有c3種分法．因此共有c31A22＋c31二9種不同的分法.故選B.(2)若將6名教師分到3所中學(xué)任教，—所1名，—所2名，—所3名，則有 種不同的分法．答案360解析將6名教師分組，分三步完成：第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有C*種取法；第2步，在余下的

5名教師中任取2名作為一組，有C5種取法；第3步，余下的3名教師作為一組,有q種取法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有C1C2C3=60種取法.再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有A3=6種分法，故共有60x6=360種不同的分法.排列、組合的混合問(wèn)題是從二類元素中軀出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定位置上的問(wèn)題■其基本的解題步驟為乂第一步：選，根據(jù)要求先選出符合要求的元素.第二步：排，把選出的元素按照要求進(jìn)行排列+第三步；乘，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解不同的排列種數(shù)「得到結(jié)果.均勻分俎與不均勻分組、無(wú)序分組與有序分組是俎合問(wèn)題的常見(jiàn)題型?解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確判斷分組是均勻分組還是不均勻分組，無(wú)序均勻分組要除以均勻組數(shù)的階乘數(shù)；還要充分考慮到是否與順序有關(guān)，有序分組要在無(wú)序分組的基礎(chǔ)上乘以分組數(shù)的階乘數(shù)”［即時(shí)訓(xùn)練］4.（2020.惠州摸底）旅游體驗(yàn)師小明受某網(wǎng)站邀請(qǐng)，決定對(duì)甲、乙、丙、丁這四個(gè)景區(qū)進(jìn)行體驗(yàn)式旅游，若不能最先去甲景區(qū)旅游，不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游，則小李可選的旅游路線數(shù)為（A．24A．24B．18D．10C．16答案D．10解析分兩種情況，第一種：最后體驗(yàn)甲景區(qū)，則有A?種可選的路線；第二種：不在最后體驗(yàn)甲景區(qū)，則有C1A2種可選的路線?所以小李可選的旅游路線數(shù)為A3+C1A2二10.故選D.（2019?衡水中學(xué)高三上學(xué)期四調(diào)）某校畢業(yè)典禮由6個(gè)節(jié)目組成，考慮到整體效果，對(duì)節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有 種.答案120解析①當(dāng)甲排在首位，丙丁捆綁，自由排列，共有a4XA2=48種.當(dāng)甲排在第二位，首位不能是丙和丁，共有3XA3XA2=36種.當(dāng)甲排在第三位，前兩位分別是丙丁和不是丙丁兩種情況，共有A2XA3+A2XA2XA2=36種，因此共有48+36+36=120種.（2019?湖南師范大學(xué)附中模擬）習(xí)近平總書(shū)記在湖南省湘西州十八洞村考察時(shí)首次提出“精準(zhǔn)扶貧”概念，精準(zhǔn)扶貧成為我國(guó)脫貧攻堅(jiān)的基本方略.為配合國(guó)家精準(zhǔn)扶貧戰(zhàn)略，某省示范性高中安排6名高級(jí)教師（不同姓）到基礎(chǔ)教育薄弱的甲、乙、丙三所中學(xué)進(jìn)行扶貧支教，每所學(xué)校至少去1人，因工作需要，其中李老師不去甲校，則分配方案種數(shù)為 .答案360解析解法一：根據(jù)6名高級(jí)教師到甲、乙、丙三所中學(xué)進(jìn)行扶貧支教，每所學(xué)校至少去1人，可分四種情況：甲校安排1名教師，分配方案種數(shù)有C51（C51C44A22+C52C33A22）=150；甲校安排2名教師，分配方案種數(shù)有C25（C41C33A22+C42C22）=140；甲校安排3名教師，分配方案種數(shù)有C53C31C22A22=60；甲校安排4名教師，分配方案種數(shù)有C54C12C11=10；由分類計(jì)數(shù)原理，可得共有150+140+60+10=360（種）分配方案.解法二：由6名教師到三所學(xué)校，每所學(xué)校至少去1人，可能的分組情況為4,1,1；3,2,1；2,2,2.②對(duì)于第一種情況，由于李老師不去甲校，李老師自己去一個(gè)學(xué)校有q種，其余5名分成一人組和四人組有C5A2種，共C4A2C2二20（種）;李老師分配到四人組且該組不去甲校有C5C1A2二40（種），則第一種情況共有20+40=60（種）.②對(duì)于第二種情況，李老師分配到一人組有C3C2C2A2=40（種），李老師分配到三人組有C5C3C』A2二120（種），李老師分配到兩人組有C3C1C2A2=80（種），所以第二種情況共有40+80+120二240（種）.③對(duì)于第三種情況，共有CgCiC2C2二60（種）；綜上所述，共有60+240+60=360（種）分配方案.學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)（二十一）相同元素的分配問(wèn)題（隔板法）將12個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中．（1） 若每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球，則不同放法有多少種？（2） 若每盒可空，則不同的放法有多少種？解（1）將12個(gè)小球排成一排，中間有11個(gè)間隔，在這11個(gè)間隔中選出3個(gè)，放上“隔板”，若把“看作隔板，則如圖OOQOOOQOOOQO,隔板將一排球分成四塊，從左到右可以看成四個(gè)盒子放入的球數(shù)．這樣每一種隔板的插法，就對(duì)應(yīng)了球的一種放法，即每一種從11個(gè)間隔中選出3個(gè)間隔的組合對(duì)應(yīng)一種放法，所以不同的放法有C?］二165（種）.（2）因?yàn)槊亢锌煽?，所以隔板之間允許無(wú)球，那么插入法就無(wú)法應(yīng)用，現(xiàn)建立如下數(shù)學(xué)模型．將三塊隔板與12個(gè)球排成一排，則如圖OOOIIOOOOOIOOOO中的隔板將這一排球分成四塊?從左到右可以看成四個(gè)盒子放入的球數(shù)，即圖中1,2,3,4四個(gè)盒子相應(yīng)放入3個(gè)，0個(gè)，5個(gè)，4個(gè)小球．這樣每一種隔板與球的排列法，就對(duì)應(yīng)了球的一種放法．排列的位置有15個(gè),先從這15個(gè)位置中選出3個(gè)位置放隔板有Cj5種排法，再在余下的位置放球，只有一種放法，所以隔板與球的排列法有Cj5種，即球的放法有C35=455（種）.隔板法的解題步驟(1)定個(gè)數(shù)：確定名額的個(gè)數(shù)、分成的組數(shù)以及各組名額的數(shù)量．(2)定空位：將元素排成一列，確定可插隔板的空位數(shù)．插隔板：確定需要的隔板個(gè)數(shù)，根據(jù)組數(shù)要求，插入隔板，利用組合數(shù)求解不同的分法種數(shù)．回顧反思：隔板法的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確確定空位個(gè)數(shù)以及需要的隔板個(gè)數(shù)，使用這種方法需要注意兩個(gè)方面的問(wèn)題：一是要根據(jù)題意確定能否轉(zhuǎn)化為“每組至少一個(gè)”的問(wèn)題，以便確定能否利用隔板法；二是要注意準(zhǔn)確確定空位數(shù)以及需要的隔板數(shù)，一般來(lái)說(shuō)，兩端不能插隔板．丿對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練TOC\o"1-5"\h\z1．某市擬成立一個(gè)由6名高中學(xué)生成立的調(diào)查小組，并準(zhǔn)備將這6個(gè)名額分配給本市的4所重點(diǎn)中學(xué)，要求每所重點(diǎn)中學(xué)都有學(xué)生參加，那么不同名額分配方法的種數(shù)是( )A．10 B．20C．24 D．28答案A解析如圖所示，6個(gè)名額排成一列，6個(gè)名額之間有5個(gè)空，任找3個(gè)空插入隔板就是一種名額分配方法，故共有C?二10(種)分配方法.OIOOIOIOO(2020?汕頭市高三上學(xué)期期末)把分別寫(xiě)有123,4,5的五張卡片全部分給甲、乙、丙三個(gè)人，每人至少一張，且若分得的卡片超過(guò)一張，則必須是連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為 (用數(shù)字作答).答案36解析先將卡片分為符合條件的3份，由題意，3人分5張卡片，且每人至少一張，至多三張，若分得的卡片超過(guò)一張，則必須是連號(hào)，相當(dāng)于將1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)用2個(gè)板子隔開(kāi)，在4個(gè)空位插2個(gè)板子，共有C?=6種情況，再對(duì)應(yīng)到3個(gè)人，有A3=6種情況，則共有6X6=36種分法.課時(shí)作業(yè)TOC\o"1-5"\h\z1．用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為( )A．24 B．48C．60 D．72答案D解析因?yàn)?23,4,5中共有3個(gè)奇數(shù)，所以先排個(gè)位，有q種排法，再將剩下4個(gè)數(shù)字進(jìn)行全排列，有A?種排法，故共有c3A4=3X24=72種排法.2．甲、乙兩人要在一排8個(gè)空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則有 種坐法( )A．10 B．16C．20 D．24答案C解析一排共有8個(gè)座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有6個(gè)空座????要求每人左右均有空座，.??在6個(gè)空座的中間5個(gè)空中插入2個(gè)座位讓兩人就坐，即有A2=20種坐法?故選C.(2019?陜西寶雞質(zhì)檢)將2名教師、4名學(xué)生分成2個(gè)小組分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有( )A.12種 B.10種C.9種 D.8種答案A解析安排人員去甲地可分為兩步：第一步安排教師，有Cj種方案；第二步安排學(xué)生，有C4種方案?其余的教師和學(xué)生去乙地，所以不同的安排方案共有C2C2=12種?故選A.高三年級(jí)的三個(gè)班去甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲

必須有班級(jí)去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有( )A．16種 B．18種C．37種 D．48種答案C解析自由選擇去四個(gè)工廠有43種方案，甲工廠不去，自由選擇去乙、丙、丁三個(gè)工廠有33種方案，故不同的分配方案有43-33=37種.5．將7支不同的筆全部放入兩個(gè)不同的筆筒中，每個(gè)筆筒中至少放兩支筆，不同的放法有( )A．92種 B．112種C．82種 D．132種答案B解析設(shè)有A,B兩個(gè)筆筒，筆放入A筆筒有四種情況，分別為2支，3支,4支，5支，一旦A筆筒的放法確定，B筆筒的放法也隨之確定，且對(duì)同一筆筒的筆沒(méi)有順序要求，故總的放法為C2+C7+C4+C7=112種.故選B.(2019?合肥調(diào)研)用數(shù)字0丄2,3,4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且大于3000的四位數(shù),這樣的四位數(shù)有( )A.250個(gè) B.249個(gè)C.48個(gè) D.24個(gè)答案C解析①當(dāng)千位上的數(shù)字為4時(shí)，滿足條件的四位數(shù)有A4=24個(gè)；②當(dāng)千位上的數(shù)字為3時(shí)，滿足條件的四位數(shù)有A43=24個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理得所有滿足條件的四位數(shù)共有24+24=48個(gè)?故選C.某校高一有6個(gè)班，高二有5個(gè)班，高三有8個(gè)班，各年級(jí)分別舉行班與班之間籃球單循環(huán)賽，則共需要進(jìn)行比賽的場(chǎng)數(shù)為( )B.C62+C52B.C62+C52+C82D.C219C.A62A52A28答案B解析依題意，高一比賽有q場(chǎng)，高二比賽有q場(chǎng)，高三比賽有eg場(chǎng)，由分類計(jì)數(shù)原理，得共需要進(jìn)行比賽的場(chǎng)數(shù)為C2+c5+C2.故選B.（2019?東北三省三校第一次模擬）中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗豬）中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿意，則選法有（ ）A.30種 B.50種C.60種 D.90種答案B解析若甲同學(xué)選牛，那么乙同學(xué)只能選狗和羊中的一種，丙同學(xué)可以從剩下的10種任意選，所以共有CiC10=20種，若甲同學(xué)選馬，那么乙同學(xué)能選牛、狗和羊中的一種，丙同學(xué)可以從剩下的10種任意選，所以共有CgClo二30種，所以共有20+30=50種，故選B.9.（2019?黑龍江哈爾濱六中第二次模擬）2020年?yáng)|京夏季奧運(yùn)會(huì)將設(shè)置4X100米男女混合泳接力這一新的比賽項(xiàng)目，比賽的規(guī)則是：每個(gè)參賽國(guó)家派出2男2女共計(jì)4名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，按照仰泳一蛙泳一蝶泳一自由泳的接力順序，每種泳姿100米且由1名運(yùn)動(dòng)員完成，且每名運(yùn)動(dòng)員都要出場(chǎng)，若中國(guó)隊(duì)確定了備戰(zhàn)該項(xiàng)目的4名運(yùn)動(dòng)員名單，其中女運(yùn)動(dòng)員甲只能承擔(dān)仰泳或者自由泳，男運(yùn)動(dòng)員乙只能承擔(dān)蝶泳或者自由泳，剩下的2名運(yùn)動(dòng)員四種泳姿都可以承擔(dān)，則中國(guó)隊(duì)的排兵布陣的方式共有（ ）A.144種 B.24種C.12種 D.6種答案D解析由題意，若甲承擔(dān)仰泳，則乙運(yùn)動(dòng)員有A2=2種安排方法，其他兩名運(yùn)動(dòng)員有a2=2種安排方法，共計(jì)2X2=4種方法，若甲承擔(dān)自由泳，則乙運(yùn)動(dòng)員只能安排蝶泳，其他兩名運(yùn)動(dòng)員有A2=2種安排方法，共計(jì)2種方法，所以中

國(guó)隊(duì)共有4+2二6種不同的安排方法，故選D.10.（2020?甘肅蘭州第一次診斷）《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書(shū)》中的一部，相傳是漢末徐岳（約公元2世紀(jì)）所著,該書(shū)主要記述了：積算（即籌算）太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運(yùn)籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算計(jì)數(shù)14種計(jì)算器械的使用方法某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理14種計(jì)算器械的相關(guān)資料其中一人4種、另兩人每人5種計(jì)算器械,則不同的分配方法有（ ）C44C50C5A2335335答案A解析先將14種計(jì)算器械分為三組，方法數(shù)有C4C0C5種，再排給3個(gè)人，A2方法數(shù)有警xA3種，故選A.（2019?西安市長(zhǎng)安一中二模）將數(shù)字“124467重新排列后得到不同偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）A.72 B.120C.192 D.240答案D解析由題意，末尾是2或6,不同偶數(shù)的個(gè)數(shù)為CiA|=120;末尾是4,不同偶數(shù)的個(gè)數(shù)為A*二120,故共有120+120=240個(gè)?故選D.一個(gè)盒子里有3個(gè)標(biāo)號(hào)分別為1,2,3的小球,每次取出1個(gè),記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子里,共取三次,則取到的所有小球中,標(biāo)號(hào)的最大值是3的取法有（ ）A.12種 B.15種C.17種 D.19種答案D解析解法一：分三類：第一類,有一次取到3號(hào)球,其取法種數(shù)為C31C21C12=12；第二類,有兩次取到3號(hào)球,其取法種數(shù)為C23C21=6；第三類,三次都取到3號(hào)球，其取法種數(shù)為C?二1.故滿足條件的取法共有12+6+1二19種?故選D.解法二：所有的取法種數(shù)為CjCjCj=27,三次均未取到3號(hào)球的取法種數(shù)為C1C1C1二8,故滿足條件的取法種數(shù)為27-8=19.故選D.（2020?北京西城摸底）把4件不同的產(chǎn)品擺成一排?若其中的產(chǎn)品A與產(chǎn)品B都擺在產(chǎn)品C的左側(cè)，則不同的擺法有 種（用數(shù)字作答）．答案8解析①產(chǎn)品C排在第三個(gè)位置時(shí)有a2=2種擺法；②產(chǎn)品C排在第四個(gè)位置時(shí)有a3=6種擺法?所以不同的擺法有8種.在小語(yǔ)種提前招生考試中，某學(xué)校獲得5個(gè)推薦名額，其中俄語(yǔ)2個(gè)，日語(yǔ)2個(gè)，西班牙語(yǔ)1個(gè)，日語(yǔ)和俄語(yǔ)都要求有男生參加，學(xué)校通過(guò)選拔定下3男2女共5名推薦對(duì)象，則不同的推薦方法共有 種.答案24解析每個(gè)語(yǔ)種各推薦1名男生，共有A3A2=12種，3名男生都不參加西班牙語(yǔ)考試，共有c2C』A2=12種，故不同的推薦方法共有24種.（2019?河北衡水四月大聯(lián)考）現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號(hào)為123,4的四個(gè)座位，甲