第三章正態(tài)分布

第三章正態(tài)分布一、教學(xué)大綱要求（一）掌握內(nèi)容1．正態(tài)分布的概念和特征1）正態(tài)分布的概念和兩個(gè)參數(shù)；2）正態(tài)曲線下面積分布規(guī)律。2．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概念和標(biāo)準(zhǔn)化變換。3．正態(tài)分布的應(yīng)用1）估計(jì)頻數(shù)分布；2）制定參考值范圍。（二）熟悉內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表。（三）了解內(nèi)容利用正態(tài)分布進(jìn)行質(zhì)量控制正態(tài)分布是許多統(tǒng)計(jì)方法的基礎(chǔ)二、教學(xué)內(nèi)容精要（一） 正態(tài)分布正態(tài)分布若X的密度函數(shù)（頻率曲線）為正態(tài)函數(shù)（曲線）f（X）=——e-（x一卩）2（2o2）— XV+8 （3-1）八 弭2兀 2丿則稱X服從正態(tài)分布，記號(hào)X?N（卩Q2）。其中卩、a是兩個(gè)不確定常數(shù)，是正態(tài)分布的參數(shù)，不同的卩、不同的a對(duì)應(yīng)不同的正態(tài)分布。正態(tài)曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對(duì)稱，曲線與橫軸間的面積總等于1。正態(tài)分布的特征服從正態(tài)分布的變量的頻數(shù)分布由卩、a完全決定。（1） 卩是正態(tài)分布的位置參數(shù)，描述正態(tài)分布的集中趨勢(shì)位置。正態(tài)分布以x=卩為對(duì)稱軸，左右完全對(duì)稱。正態(tài)分布的均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相同，均等于卩。（2） a描述正態(tài)分布資料數(shù)據(jù)分布的離散程度，a越大，數(shù)據(jù)分布越分散，a越小，數(shù)據(jù)分布越集中。a也稱為是正態(tài)分布的形狀參數(shù)，a越大，曲線越扁平，反之，a越小，曲線越瘦高。（二） 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是一種特殊的正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的卩=0，a2=1，通常用u（或Z）表示服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量，記為u?N（0，12）。

X—u標(biāo)準(zhǔn)化變換：u= ，此變換有特性：若X服從正態(tài)分布N(uQ2)，則u就服o從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故該變換被稱為標(biāo)準(zhǔn)化變換。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中列出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下從-8到u范圍內(nèi)的面積比例①(u)。正態(tài)曲線下面積分布實(shí)際工作中，正態(tài)曲線下橫軸上一定區(qū)間的面積反映該區(qū)間的例數(shù)占總例數(shù)的百分比，或變量值落在該區(qū)間的概率(概率分布)。不同(X,X)范圍內(nèi)正態(tài)曲線下的面積可用公式123-2計(jì)算。3-2)—(X—u)2(2o2)dx=①(u)一①(u3-2)21其中，u1幾個(gè)重要的面積比例X軸與正態(tài)曲線之間的面積恒等于1。正態(tài)曲線下，橫軸區(qū)間U±o內(nèi)的面積為68.27%,橫軸區(qū)間U±1.64o內(nèi)的面積為90.00%，橫軸區(qū)間U±1.96o內(nèi)的面積為95.00%，橫軸區(qū)間U±2.58o內(nèi)的面積為99.00%o四)正態(tài)分布的應(yīng)用某些醫(yī)學(xué)現(xiàn)象，如同質(zhì)群體的身高、紅細(xì)胞數(shù)、血紅蛋白量，以及實(shí)驗(yàn)中的隨機(jī)誤差呈現(xiàn)為正態(tài)或近似正態(tài)分布；有些指標(biāo)(變量)雖服從偏態(tài)分布，但經(jīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后的新變量可服從正態(tài)或近似正態(tài)分布，可按正態(tài)分布規(guī)律處理。其中經(jīng)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布的指標(biāo)，被稱為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。估計(jì)頻數(shù)分布一個(gè)服從正態(tài)分布的變量只要知道其均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差就可根據(jù)公式(3-2)估計(jì)任意取值(X,X)范圍內(nèi)頻數(shù)比例。12制定參考值范圍正態(tài)分布法適用于服從正態(tài)(或近似正態(tài))分布指標(biāo)以及可以通過(guò)轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布的指標(biāo)。百分位數(shù)法常用于偏態(tài)分布的指標(biāo)。表3-1中兩種方法的單雙側(cè)界值都應(yīng)熟練掌握。表3-1概率%)正態(tài)分布法常用參考值范圍的制定百分位數(shù)法雙側(cè)單側(cè)9表3-1概率%)正態(tài)分布法常用參考值范圍的制定百分位數(shù)法雙側(cè)單側(cè)9下限上限雙側(cè)90X±1.64SX—1.28SX+1.28S95X±1.96SX-1.64SX+1.64S99X±2.58SX—2.33SX+2.33SP?P5 95P?P2.5 97.5P?P05 995單側(cè)下限上P10P5P1限P90P95P99質(zhì)量控制：為了控制實(shí)驗(yàn)中的測(cè)量(或?qū)嶒?yàn))誤差，常以X±2S作為上、下警戒值，以X±3S作為上、下控制值。這樣做的依據(jù)是：正常情況下測(cè)量(或?qū)嶒?yàn))誤差服從正態(tài)分布。正態(tài)分布是許多統(tǒng)計(jì)方法的理論基礎(chǔ)。t檢驗(yàn)、方差分析、相關(guān)和回歸分析等多種統(tǒng)計(jì)方法均要求分析的指標(biāo)服從正態(tài)分布。許多統(tǒng)計(jì)方法雖然不要求分析指標(biāo)服從正態(tài)分布，但相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量在大樣本時(shí)近似正態(tài)分布，因而大樣本時(shí)這些統(tǒng)計(jì)推斷方法也是以正態(tài)分布

為理論基礎(chǔ)的。為理論基礎(chǔ)的。三、典型試題分析1?正態(tài)曲線下、橫軸上，從均數(shù)到+8的面積為( )。A.95% B.50%C.97.5%D.不能確定(與標(biāo)準(zhǔn)差的大小有關(guān))答案：B［評(píng)析］本題考點(diǎn)：正態(tài)分布的對(duì)稱性因?yàn)闊o(wú)論卩,b取什么值，正態(tài)曲線與橫軸間的面積總等于1,又正態(tài)曲線以X=r為對(duì)稱軸呈對(duì)稱分布，所以卩左右兩側(cè)面積相等，各為50%。若X服從以卩，b為均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布，則X的第95百分位數(shù)等于( )。A.卩一1.64b b.卩+1.64b C.卩+1.96bd.卩+2.58b答案：B［評(píng)析］本題考點(diǎn)：正態(tài)分布的對(duì)稱性和面積分布規(guī)律正態(tài)分布曲線下卩土1.64b范圍內(nèi)面積占90%，則卩土1.64b外的面積為10%,又據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性得，曲線下橫軸上小于等于卩+1.64b范圍的面積為95%，故X的第95百分位數(shù)等于卩+1.64b。若正常成人的血鉛含量X近似服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，擬用300名正常人血鉛值確定99%）計(jì)算。（其中）計(jì)算。（其中Y=logX）B.X+2.33SD.log-1（Y+2.33S）YA.X土2.58SC.log-1(Y土2.58S)Y答案：D［評(píng)析］本題考點(diǎn)：對(duì)數(shù)正態(tài)分布資料應(yīng)用正態(tài)分布法制定參考值范圍根據(jù)題意，正常成人的血鉛含量X近似對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則變量X經(jīng)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換后所得新變量Y應(yīng)近似服從正態(tài)分布，因此可以應(yīng)用正態(tài)分布法估計(jì)Y的99%參考值范圍，再求反對(duì)數(shù)即得正常成人血鉛含量X的99%參考值范圍。因血鉛含量?jī)H過(guò)大為異常，故相應(yīng)的參考值范圍應(yīng)是只有上限的單側(cè)范圍。正態(tài)分布法99%范圍單側(cè)上限值是均數(shù)+2.33倍標(biāo)準(zhǔn)差。正常成年男子紅細(xì)胞計(jì)數(shù)近似正態(tài)分布，95%參考值范圍為3.60?5.84(x1012/L)。若一名成年男子測(cè)得紅細(xì)胞計(jì)數(shù)為3.10(x1012/L)，則醫(yī)生判斷該男子一定有病。［評(píng)析］本題考點(diǎn)：參考值范圍的涵義該成年男子不一定有病。因?yàn)閰⒖贾捣秶侵附^大多數(shù)正常人的指標(biāo)值范圍，故不在此范圍內(nèi)的對(duì)象也可能是正常人。5?假定正常成年女性紅細(xì)胞數(shù)(x1012/L)近似服從均值為4.18，標(biāo)準(zhǔn)差為0.29的正態(tài)分布。令X代表隨機(jī)抽取的一名正常成年女性的紅細(xì)胞數(shù)，求：(1)變量X落在區(qū)間(4.00,4.50)內(nèi)的概率；2)正常成年女性的紅細(xì)胞數(shù)95%參考值范圍。［評(píng)析］本題考點(diǎn)：正態(tài)分布的應(yīng)用(1)根據(jù)題意，變量X近似服從正態(tài)分布，求變量X落在區(qū)間(4.00,4.50)內(nèi)的概率,即是求此區(qū)間內(nèi)正態(tài)曲線下的面積問(wèn)題，因此，可以把變量X進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換后，借助標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求其面積，具體做法如下：400一418X-u450-418P(4.00<X<4.50)=P( ——--< < --)0.29c 0.29=P(-0.62<u<1.10)=1—①(-1.10)—①(-0.62)二1—0.1357—0.2676二0.5967變量X落在區(qū)間(4.00,4.50)內(nèi)的概率為0.5967。(2)問(wèn)題屬于求某個(gè)指標(biāo)的參考值范圍問(wèn)題，因?yàn)檎３赡昱约t細(xì)胞數(shù)近似服從正態(tài)分布，可以直接用正態(tài)分布法求參考值范圍，又因該指標(biāo)過(guò)高、過(guò)低都不正常，所以應(yīng)求雙側(cè)參考值范圍，具體做法如下：下限為：——1.96c二4.18—1.96(0.29)二3.61(x1012/L)上限為：—+1.96c二4.18+1.96(0.29)二4.75(x1012/L)95%的正常成年女性紅細(xì)胞數(shù)所在的范圍是3.61~4.75(x1012/L)。6.調(diào)查得成都市1979年996名女學(xué)生月經(jīng)初潮年齡的分布如下，本資料宜用何法確定其雙側(cè)99%參考值范圍？試估計(jì)之。年歲10?11?12?13?14?15?16?17?18?19?20?合計(jì)人數(shù)7441532442691916116812996累計(jì)頻率%0.75.120.545.072.091.297.398.999.799.8100.0［評(píng)析］本題考點(diǎn)：參考值范圍的制定解：本題所給資料明顯屬于偏態(tài)分布資料，所以宜用百分位數(shù)法估計(jì)其參考值范圍。又因此指標(biāo)過(guò)大、過(guò)小均屬異常，故此參考值范圍應(yīng)是雙側(cè)范圍。求P 首先要找到第0.5百分位數(shù)所在組，根據(jù)累計(jì)頻率第0.5百分位數(shù)在第1組,0.5因此得Y/=0，L=10，f=7，i=1TOC\o"1-5"\h\zL X XX代入第二章百分位數(shù)的計(jì)算公式得：P=10+!(4.98—0)=10.71(歲)0.5 7求P95.5 先求第95.5百分位數(shù)所在組為“18?”組，因此得工/=985，L=18，f=8，i=1L x xx代入計(jì)算公式得：P955=18+^(991.02—985)=18.25(歲)955 8成都市女學(xué)生月經(jīng)初潮年齡的雙側(cè)99%參考值范圍是10.71?18.25(歲)四、習(xí)題一)單項(xiàng)選擇題標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為( )。A.0與1 B.1與0 C.0與0 D.1與12?正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)U與c，( )相應(yīng)的正態(tài)曲線的形狀越扁平。A.U越大B.U越小C.c越大D.c越小對(duì)數(shù)正態(tài)分布是一種( )分布。A.正態(tài)B.近似正態(tài)C.左偏態(tài)D.右偏態(tài)正態(tài)曲線下、橫軸上，從均數(shù)-1.96倍標(biāo)準(zhǔn)差到均數(shù)的面積為( )A．95%B．45%C．97.5%D．47.5%5?標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下中間90%的面積所對(duì)應(yīng)的橫軸尺度u的范圍是（）。A.-1.64到+1.64 B.7到+1.64C.7到+1.28 D.-1.28至I」+1.28（二）名詞解釋正態(tài)曲線正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化變換（三）簡(jiǎn)答題簡(jiǎn)述醫(yī)學(xué)中參考值范圍的涵義及制定參考值范圍的一般步驟。2?正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與對(duì)數(shù)正態(tài)分布的聯(lián)系與區(qū)別。3?對(duì)稱分布在“X+1.96S標(biāo)準(zhǔn)差”的范圍內(nèi)，也包括95%的觀察值嗎？（四）計(jì)算題1?假定5歲男童的體重服從正態(tài)分布，平均體重卩=19.5（kg）,標(biāo)準(zhǔn)差b=2.3（kg）。（1）隨機(jī)抽查一5歲男童的體重，計(jì)算概率：其體重小于16.1kg其體重大于22.9kg其體重在14.6kg到23.9kg之間（2）試找出最重的5%、10%、2.5%5歲男童的體重范圍。2?某年某地測(cè)得200名正常成人的血鉛含量（卩g/100g）如下，試確定該地正常成人血鉛含量的95%參考值范圍。3444445555555555666666677777777777778888888888899999991010101010101010101111111111121212121212121313131313131313131313141414141414141414141415151515151516161616161617171717171717171717171717181818181819191919191920202020202020202121212121222222222222232323242424242424252526262626262727282829293030313131313232323232323333363838394041414347505360測(cè)得某地300名正常人尿汞值，其頻數(shù)表如表3-2，試用正態(tài)分布法和百分位數(shù)法估計(jì)該地正常人尿汞值的90%，95%，99%上限，討論用何法估計(jì)較適宜。表3-2 300例正常人尿汞值（卩g/1）頻數(shù)表尿汞值例數(shù)尿汞值例數(shù)尿汞值例數(shù)0?4924?1648?34^^2728?952?-8?5832?956?212?5036?460?-16?4540?564?-20?2244?-68?7214．某市20歲男學(xué)生160人的脈搏數(shù)（次/分鐘），經(jīng)正態(tài)性檢驗(yàn)服從正態(tài)分布。求得X=76.10,S=9.32。試估計(jì)脈搏數(shù)的95%、99%參考值范圍。5?將測(cè)得的238例正常人發(fā)汞值（卩g/g）從小到大排列，最后14個(gè)發(fā)汞值如下，求95%單側(cè)上限。發(fā)汞值：2.6 2.6 2.6 2.6 2.7 2.7 2.7 2.8 2.8 3.0 3.3 4.0 4.1 4.3秩次：225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238五、習(xí)題答題要點(diǎn)一）單項(xiàng)選擇題1.A2.C二）名詞解釋3.D4.D5.A正態(tài)曲線：正態(tài)曲線（normalcurve）是函數(shù)f（X）=—e-（x-卩）2"2o2） ,—Xv+8S'2兀對(duì)應(yīng)的曲線。此曲線呈鐘型，兩頭低中間高，左右對(duì)稱。正態(tài)分布：若指標(biāo)X的頻率曲線對(duì)應(yīng)于數(shù)學(xué)上的正態(tài)曲線，則稱該指標(biāo)服從正態(tài)分布（normaldistribution）。通常用記號(hào)N（卩Q2）表示均數(shù)為卩，標(biāo)準(zhǔn)差為b的正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:均數(shù)為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布被稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（standardnormaldistribution）,通常記為N（0,12）。X—u標(biāo)準(zhǔn)化變換：u= ，此變換有特性：若X服從正態(tài)分布N（卩Q2），則u就服b從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故該變換被稱為標(biāo)準(zhǔn)化變換（standardizedtransformation）。（二）簡(jiǎn)答題醫(yī)學(xué)中常把絕大多數(shù)正常人的某指標(biāo)范圍稱為該指標(biāo)的參考值范圍，也叫正常值范圍。所謂“正常人”不是指完全健康的人，而是指排除了所研究指標(biāo)的疾病和有關(guān)因素的同質(zhì)人群。制定參考值范圍的一般步驟：（1） 定義“正常人”，不同的指標(biāo)“正常人”的定義也不同。（2） 選定足夠數(shù)量的正常人作為研究對(duì)象。（3） 用統(tǒng)一和準(zhǔn)確的方法測(cè)定相應(yīng)的指標(biāo)。（4） 根據(jù)不同的用途選定適當(dāng)?shù)陌俜纸缦?，常?5%。（5） 根據(jù)此指標(biāo)的實(shí)際意義，決定用單側(cè)范圍還是雙側(cè)范圍。（6） 根據(jù)此指標(biāo)的分布決定計(jì)算方法，常用的計(jì)算方法：正態(tài)分布法、百分位數(shù)法。三種分布均為連續(xù)型隨機(jī)變量的分布。正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布均為對(duì)稱分布，對(duì)數(shù)正態(tài)分布是不對(duì)稱的，其峰值偏在左邊。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是一種特殊的正態(tài)分布（均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1）。一般正態(tài)分布變量經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換后的新變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。對(duì)數(shù)正態(tài)分布不屬于正態(tài)分布的范疇，對(duì)數(shù)正態(tài)分布變量經(jīng)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換后的新變量服從正態(tài)分布。3?不一定。均數(shù)土1.96標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)包含95%的變量值是正態(tài)分布的分布規(guī)律，不是對(duì)稱分布的規(guī)律。對(duì)稱分布不一定是正態(tài)分布。三）計(jì)算題：1?解：（1）設(shè)該男童的體重為Xkg,則

X-195 161-195P(X<16.1)=P( ； < — )=P(u<-1.48)=O(-1.48)=0.06942323X-19.522.9-19.5P(X>22.9)=1-P(X<22.9)=1-P( :<一 )=1-P(u<1.48)=①(一1.48)=0.06942.32.3P(14.6<X<23.9)=P(X<23.9)-P(X<14.6)X-19.523.9-19.5 X-19.514.6-19.5=P( < )—P( < )2.3 2.3 2.3 2.3=P(u<1.91)-P(u<-2.13)=1—①(-1.91)—①(-2.13)=0.9719一0.0166=0.9553(2)設(shè)最重的5%，10%，2.5%男童體重的下限分別為xkg，xkg，xkg1 2 3x-19.5P(X>x)二0.05 P(u<-1 )=0.952.3x-19.5又???P(u<1.645)=0.95 ???一:=1.645 x=23.3(kg)2.31P(X>x)=0.10 因?yàn)檎龖B(tài)分布關(guān)于均數(shù)對(duì)稱，所以2戶(￡^> =戶(1^戶(￡^> =戶(1^<2.3 2.3 2.3x-19.5 2.3)=P(u<xr2.3-19-5)=0(-匸195)=0.102.3x-19.5查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下面積表-2 ~ =-1.282故x=22.4(kg)2.3 2fx279.04卩fx279.04卩mol/L)同理x=24.0(kg)32.解：正常成人的血鉛含量近似對(duì)數(shù)正態(tài)分布，經(jīng)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換后應(yīng)近似服從正態(tài)分布，所以對(duì)原始數(shù)據(jù)作對(duì)數(shù)變換，并編制頻數(shù)表，再利用正態(tài)分布法求95%參考值范圍。對(duì)數(shù)換算過(guò)程如表3-3所示。表3-3200名正常成人血鉛含量(卩g/100g)對(duì)數(shù)值頻數(shù)表對(duì)數(shù)組段真數(shù)組段頻數(shù)0.45—3—10.55—4—50.65—5—100.75—6—200.85—8—110.95—9—211.05—12—291.15—15—251.25—18—301.35—23—201.45—29—161.55—36—81.65—45—31.75—1.8557—1200依據(jù)表3-3，設(shè)x為對(duì)數(shù)組段的組中值，n=200，工fx=230，工fx2=279.04

_.279.04-(230)_.279.04-(230)2/200200-1=0.2703(卩mol/L)該地正常成人血鉛含量為對(duì)數(shù)正態(tài)分布，按正態(tài)分布法估計(jì)參考值范圍，