第六章測(cè)量誤差的基本知識(shí)

第六章測(cè)量誤差的基本知識(shí)第一節(jié)概述在測(cè)量工作中，對(duì)某量(如某一個(gè)角度、某一段距離或某兩點(diǎn)間的高差等)進(jìn)行多次觀測(cè)，所得的各次觀測(cè)結(jié)果總是存在著差異，這種差異實(shí)質(zhì)上表現(xiàn)為每次測(cè)量所得的觀測(cè)值與該量的真值之間的差值，這種差值稱為測(cè)量真誤差，即：測(cè)量真誤差=真值-觀測(cè)值一、誤差產(chǎn)生的原因：觀測(cè)者由于觀測(cè)者感覺(jué)器官鑒別能力有一定的局限性，在儀器安置、照準(zhǔn)、讀數(shù)等方面都產(chǎn)生誤差。同時(shí)觀測(cè)者的技術(shù)水平、工作態(tài)度及狀態(tài)都對(duì)測(cè)量成果的質(zhì)量有直接影響。測(cè)量?jī)x器每種儀器有一定限度的精密程度，因而觀測(cè)值的精確度也必然受到一定的限度。同時(shí)儀器本身在設(shè)計(jì)、制造、安裝、校正等方面也存在一定的誤差，如鋼尺的刻劃誤差、度盤的偏心等。外界條件觀測(cè)時(shí)所處的外界條件，如溫度、濕度、大氣折光等因素都會(huì)對(duì)觀測(cè)結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。外界條件發(fā)生變化，觀測(cè)成果將隨之變化。上述三方面的因素是引起觀測(cè)誤差的主要來(lái)源，因此把這三方面因素綜合起來(lái)稱為觀測(cè)條件。觀測(cè)條件的好壞與觀測(cè)成果的質(zhì)量有著密切的聯(lián)二觀測(cè)誤差分類：系統(tǒng)誤差在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，若觀測(cè)誤差的符號(hào)及大小保持不變，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。這種誤差往往隨著觀測(cè)次數(shù)的增加而逐漸積累。如某鋼尺的注記長(zhǎng)度為30m，經(jīng)鑒定后，它的實(shí)際長(zhǎng)度為30.016m，即每量一整尺，就比實(shí)際長(zhǎng)度量小0.016m，也就是每量一整尺段就有+0.016m的系統(tǒng)誤差。這種誤差的數(shù)值和符號(hào)是固定的，誤差的大小與距離成正比，若丈量了五個(gè)整尺段，則長(zhǎng)度誤差為5X(+0.016)=+0.080m。若用此鋼尺丈量結(jié)果為167.213m，則實(shí)際長(zhǎng)度為：167.213+16；213X0.0016=167.213+0.089=167.302(m)系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量成果影響較大，且一般具有累積性，應(yīng)盡可能消除或限制到最小程度，其常用的處理方法有：檢校儀器，把系統(tǒng)誤差降低到最小程度。加改正數(shù)，在觀測(cè)結(jié)果中加入系統(tǒng)誤差改正數(shù)，如尺長(zhǎng)改正等。采用適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法，使系統(tǒng)誤差相互抵消或減弱，如測(cè)水平角時(shí)采用盤左、盤右現(xiàn)在每個(gè)測(cè)回起始方向上改變度盤的配置等。偶然誤差在相同觀測(cè)條件下，對(duì)某量作一系列的觀測(cè)，若觀測(cè)誤差的大小及符號(hào)變化沒(méi)有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差，如估讀誤差，照準(zhǔn)誤差等。從大量的測(cè)量實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，雖然偶然誤差從表面上看沒(méi)有任何規(guī)律性，但是在相同的觀測(cè)條件下，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)愈多時(shí)，誤差群的取值范圍卻服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。1）在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值。2）絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多。3）絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)基本相等。4）偶然誤差的算術(shù)平均值隨著觀測(cè)次數(shù)的無(wú)限增加而趨于零。&lim—=0（5-i）n一3式中：￡A=△]+&+???+An；i=1n——觀測(cè)次數(shù)。第二節(jié)算術(shù)平均值研究誤差的目的之一，就是把帶有誤差的觀測(cè)值給予適當(dāng)處理，以求得最可靠值。取算術(shù)平均值的方法，就是其中最常見(jiàn)的一種。一、原理在等精度觀測(cè)條件下對(duì)某量觀測(cè)了n次，其觀測(cè)結(jié)果為L(zhǎng)1，L2，…Ln。設(shè)該量的真值為X，觀測(cè)值的真誤差為A，A2…，An，即Ai=X-LiA2=X-L2An=X-L將上列各式求和得：EA=nX-乙i=1i=1EaEl上式兩端各除以n得：二二=X-茸一A￡L令4-1—=84-4—=X代入上式移項(xiàng)后得：X=X+65為n個(gè)觀測(cè)值真誤差的平均值，根據(jù)偶然誤差的第四個(gè)性質(zhì)，出8時(shí)，6—0，則有：￡A5=lim^_=0nn—s這時(shí)算術(shù)平均值就是某量的真值。即：￡LX=4=1—

n在實(shí)際工作中，觀測(cè)次數(shù)總是有限的，也就是只能采用有限次數(shù)的觀測(cè)值來(lái)求得算術(shù)平均值，即：￡LX=-4-1—nx是根據(jù)觀測(cè)值所能求得的最可靠的結(jié)果，稱為最或是值或算術(shù)平均值。二、最或是誤差（改正數(shù)）及特性最或是值與觀測(cè)值之差稱為最或是誤差，又名觀測(cè)值改正數(shù)，用V表示，即：Vi=X-Li（i=］，2，.“n）取其和得：￡V=nx-￡Li=1i=1￡L?/X=-i=1—n:.￡V-0（5-4）i=1這是最或是誤差的一大特征，用作計(jì)算上的校核。第三節(jié)評(píng)定觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)

研究誤差的又一目的，是評(píng)定觀測(cè)值的精度。要判斷觀測(cè)誤差對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響，必須建立衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)，其中最常用的有以下幾種：—、中誤差用真誤差來(lái)確定中誤差在等精度觀測(cè)條件下，對(duì)真值為X的某一量進(jìn)行n次觀測(cè)，其觀測(cè)值為L(zhǎng),L…Ln，相應(yīng)的真誤差為△『△2"?An。取各真誤差平方的平均值的平方根，稱為該量各觀測(cè)值的中誤差，以m表示，即：A.=X-L.乙2m=±丫4-1一(5-5)用改正數(shù)來(lái)確定中誤差在實(shí)際工作中，未知量的真值往往不知道，真誤差也無(wú)法求得，所以常用最或是誤差即改正數(shù)來(lái)確定中誤差。即：V.=x-L.(i=1,2，^n)(5-6)叩=±\切(5-7)例一設(shè)用經(jīng)緯儀測(cè)量某角五次，觀測(cè)值列于表5-2中，求觀測(cè)直的中誤差。表5-2觀測(cè)次數(shù)觀測(cè)值LA=L-L0V=x-LVV計(jì)算1234556°32，20〃56°32，00〃56°31，40〃56°32，00〃56°32，30〃+2000-2000+30-14+6+26+600-241963667636576交ALx=L+T5——=56°32，00〃校核^V=0i=1糙V2|——11520m=±]i4=1=J\n-1\5-1±19.49〃L0=56°32，00〃+30-200+1520

二、容許誤差由偶然誤差的第一特性可以知道，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不超過(guò)一定的限值。根據(jù)誤差理論和大量的實(shí)踐證明，在一系列等精度觀測(cè)誤差中，大于兩倍中誤差的個(gè)數(shù)占總數(shù)的5%，大于三倍中誤差的個(gè)數(shù)占總數(shù)的0.3%，因此，測(cè)量上常取2倍或3倍中誤差為誤差的限值，稱為容許誤差，即：A=±2m\△容=±3m/°一7)三、相對(duì)誤差衡量測(cè)量成果的精度，有時(shí)用中誤差還不能完全表達(dá)觀測(cè)結(jié)果的優(yōu)劣。例如用鋼尺分別丈量?jī)啥尉嚯x，其結(jié)果為100m和200m，中誤差均為2cm。顯然，后者的精度比前者要高。也就是說(shuō)觀測(cè)值的精度與觀測(cè)值本身的大小有關(guān)。相對(duì)誤差是中誤差的絕對(duì)值與觀測(cè)值的比值。通常以分子為1的分?jǐn)?shù)形式來(lái)表示，即：KlmlK=L(5-8)0.020，后者的相對(duì)誤差K=—200110000一，一0.02010.020，后者的相對(duì)誤差K=—200110000如上述前者的相對(duì)誤差K==——JL說(shuō)明后者比前者精度高。相對(duì)誤差是個(gè)無(wú)名數(shù)，而真誤差、中誤差、容許誤差是帶有測(cè)量單位的數(shù)值。第四節(jié)誤差傳播定律及其應(yīng)用在測(cè)量工作中，有些未知量不可能直接測(cè)量，或者是不便于直接測(cè)定，而是利用直接測(cè)定的觀測(cè)值按一定的公式計(jì)算出來(lái)。如高差h=a-b，就是直接觀測(cè)值a、b的函數(shù)。若已知直接觀測(cè)值a、b的中誤差ma、mb后，求出函數(shù)h的中誤差mh，即為觀測(cè)值函數(shù)的中誤差。3(5-9)一、線性函數(shù)F=K1X1±K2X2土…土KnXn式中：F——為線性函數(shù)；(5-9)K1為常數(shù)；x1為觀測(cè)值。設(shè)x1的中誤差為m1，函數(shù)F的中誤差為mF，經(jīng)推導(dǎo)得：(5-10)即，觀測(cè)值函數(shù)中誤差的平方，等于常數(shù)與相應(yīng)觀測(cè)值中誤差乘積的平方和。二、非線性函數(shù)Z=F[xL?r2?……山m2F=(K1m1)2+(K2m2)2+(5-10)即，觀測(cè)值函數(shù)中誤差的平方，等于常數(shù)與相應(yīng)觀測(cè)值中誤差乘積的平方和。二、非線性函數(shù)Z=F[xL?r2?……山其分微分為TOC\o"1-5"\h\z“那，即，抨，dL—dx.+ax^.++axvrXrXir%dx2%…泌\dFhdFAAZ-——Ax+++M里目X]遂0XB可寫成\o"CurrentDocument"國(guó)=gi++其相應(yīng)的函數(shù)中誤差式為dF歐衛(wèi)二l/i跳1+h維：dFdFm2m2+十◎J例二在1：500比例尺地形圖上，量得A、B兩點(diǎn)間的距離S=163.6mm，其中誤差ms=0.2mm。求A、B兩點(diǎn)實(shí)地距離D及其中誤差mD。解：D=MS=500X163.6(mm)=81.8(m)(M為比例尺分母)mD=MmS=500X0.2(mm)=±0.1(m)?.?D=81.1±0.1(m)例三在三角形ABC中ZA和NB的觀測(cè)中誤差mA和mB分別為±3〃和土4〃，試推算NC的中誤差mC。解：ZC=180°-(ZA+ZB)因?yàn)?80°是已知數(shù)沒(méi)有誤差，則得；m2C=m2A+m2BmC=±5〃例四某水準(zhǔn)路線各測(cè)段高差的觀測(cè)值中誤差分別為h1=18.316m±5mm，h2=8.171m±4mm，h3=-6.625m±3mm，試求總的高差及其中誤差。解：h=加+h2+h3=15.316+8.171-6.625=16.862(m)

m7—m0-i-m7—I—m7—So-i-A^-i-S?，〃匕1—，〃匕.+，m，〃匕c—。乙+‘i匕丁。匕h123mh=±7.1(mm).,.力—16.882m±7.1mm例五設(shè)對(duì)某一未知量已在相同觀測(cè)條件下進(jìn)行多次觀測(cè)，觀測(cè)值分別為L(zhǎng)「L2-Ln，其中誤差均為m,求算術(shù)平均值x的中誤差M。解：X=4=1-n1式中的一為常數(shù)，n根據(jù)公式(5-10)，算術(shù)平均值的中誤差為:1式中的一為常數(shù)，n根據(jù)公式(5-10)，算術(shù)平均值的中誤差為:M2—(—m)2+(_m)2(—m)2n1nnn因?yàn)閙1—m2—???mn—m，得:m(5-11)M=±『(5-11)<n1從公式中可知，算術(shù)平均值中誤差是觀測(cè)值中誤差的『倍，觀測(cè)次數(shù)愈多，算■vn術(shù)平均值的誤差愈小，精度愈高。但精度的提高僅與觀測(cè)次數(shù)的平方根成正比，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)增加到一定次數(shù)后，精度就提高得很少，所以增加觀測(cè)次數(shù)只能適可而止。例六表5-2中，觀測(cè)次數(shù)n-5，觀測(cè)值中誤差m-±19.5〃，求算術(shù)平均值的中誤差。解：m=±解：m=±m(xù)=竺—±8.7〃例七三角形的三個(gè)內(nèi)角之和，在理論上等于180°，而實(shí)際上由于觀測(cè)時(shí)的誤差影響，使三內(nèi)角之和與理論值會(huì)有一個(gè)差值，這個(gè)差值稱為三角形閉合差。設(shè)等精度觀測(cè)n個(gè)三角形的三內(nèi)角分別為%、?和勺其測(cè)角中誤差均為m廣ma—mb—mc，各三角形內(nèi)角和的觀測(cè)值與真值180°之差為三角形閉合差偵、七2、……/；n即真誤差，其計(jì)算關(guān)系式為/p.—a.+b.+c.-180°根據(jù)(5-10)式得中誤差關(guān)系式為：M111m2fB—m2a+m2b+m2c—3m2Bmfb—土m十3由此得測(cè)角中誤差為：mm—±~by3

按中誤差定義，三角形閉合差的中誤差為：fy土\匚將此式代入上式得：叩士十-￡(5一12)式(5-12)稱為菲列羅公式，是小三角