信號(hào)與線性系統(tǒng)分析第5章課件

富蘭克林(1706-1790)

本杰明.富蘭克林——資本主義精神最完美的代表，十八世紀(jì)美國(guó)最偉大的科學(xué)家，著名的政治家和文學(xué)家。他一生最真實(shí)的寫照是他自己所說過的一句話“誠(chéng)實(shí)和勤勉，應(yīng)該成為你永久的伴侶。”富蘭克林通過著名的風(fēng)箏的實(shí)驗(yàn)證明了雷電的本質(zhì)，并發(fā)明了避雷針。富蘭克林對(duì)科學(xué)的貢獻(xiàn)不僅在靜電學(xué)方面，他的研究范圍極其廣泛。在數(shù)學(xué)方面，他創(chuàng)造了八次和十六次幻方，這兩種幻方性質(zhì)特殊，變化復(fù)雜，至今尚為學(xué)者稱道；在熱學(xué)中，他改良了取暖的爐子，可以節(jié)省四分之三燃料，被稱為“富蘭克林爐”；在光學(xué)方面，他發(fā)明了老年人用的雙焦距眼鏡，戴上這種眼鏡既可以看清近處的東西，也可看清遠(yuǎn)處的東西。他和劍橋大學(xué)的哈特萊共同利用醚的蒸發(fā)得到負(fù)二十五度（攝氏）的低溫，創(chuàng)造了蒸發(fā)致冷的理論。此外，他對(duì)氣象、地質(zhì)、聲學(xué)及海洋航行等方面都有研究，并取得了不少成就。富蘭克不僅是一位優(yōu)秀的科學(xué)家，而且還是一位杰出的社會(huì)活動(dòng)家。他一生用了不少時(shí)間去從事社會(huì)活動(dòng)，并參加了第二屆大陸會(huì)議和《獨(dú)立宣言》的起草工作。富蘭克林特別重視教育，他興辦圖書館、組織和創(chuàng)立多個(gè)協(xié)會(huì)都是為了提高各階層人的文化素質(zhì)。2023/1/4富蘭克林(1706-1790)次幻方，這兩種幻方性質(zhì)特殊15.1拉普拉斯變換5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)5.3拉普拉斯逆變換5.4復(fù)頻域分析5.5雙邊拉普拉斯變換一、基本內(nèi)容第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析2023/1/45.1拉普拉斯變換一、基本內(nèi)容第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析2

拉普拉斯變換及其性質(zhì)，LTI連續(xù)系統(tǒng)的s域分析方法。二、重點(diǎn)

拉普拉斯變換與傅里葉變換的區(qū)別與聯(lián)系。三、難點(diǎn)2023/1/4拉普拉斯變換及其性質(zhì)，LTI連續(xù)系統(tǒng)的s域分析方3第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析

頻域分析：以虛指數(shù)信號(hào)ejωt為基本信號(hào)，所采用的數(shù)學(xué)工具為傅里葉變換。不足：有些重要信號(hào)不存在傅里葉變換，如e2tε(t)，對(duì)于給定初始狀態(tài)的線性系統(tǒng)難于利用頻域分析。

s域分析：本章引入復(fù)頻率s=σ+jω,以復(fù)指數(shù)函數(shù)est為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是復(fù)頻率s，故稱為s域分析。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。2023/1/4第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析頻域分析：以虛指數(shù)419世紀(jì)末，英國(guó)工程師赫維賽德發(fā)明了“運(yùn)算法”（算子法）解決電工程運(yùn)算的一些基本問題。他所進(jìn)行的工作成為拉普拉斯變換的先驅(qū)。赫維賽德的方法很快地被許多人采用，但由于缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證，曾受到某些數(shù)學(xué)家的譴責(zé)。而赫維賽德以及另一些追隨他的學(xué)者堅(jiān)信這一些方法的正確性，繼續(xù)堅(jiān)持不斷的深入研究。后來(lái)，人們終于在法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯的著作中為赫維賽德運(yùn)算法找到了可靠的數(shù)學(xué)依據(jù)，重新給與嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證，為之取名拉普拉斯變換方法。從此，拉氏變換方法在電學(xué)、力學(xué)。。。等眾多的工程與科學(xué)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。尤其在電路理論的研究中，在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)，人們幾乎無(wú)法把電路理論和拉普拉斯變換分開來(lái)討論。2023/1/419世紀(jì)末，英國(guó)工程師赫維賽德發(fā)明了“運(yùn)算法”（算子法）解決5拉斯變換的優(yōu)點(diǎn)表現(xiàn)在：求解的步驟得到簡(jiǎn)化，同時(shí)可以給出微分方程的特解和補(bǔ)解，而且初始條件自動(dòng)的包含在變換式里。拉斯變換分別將“微分”與“積分”運(yùn)算轉(zhuǎn)換為“乘法”和“除法”運(yùn)算。指數(shù)函數(shù)、超越函數(shù)以及具有不連續(xù)點(diǎn)的函數(shù)，經(jīng)拉氏變換可轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的初等函數(shù)。拉斯變換把時(shí)域中兩函數(shù)的卷積轉(zhuǎn)換為變換域中兩函數(shù)的乘法運(yùn)算，在此基礎(chǔ)上建立了系統(tǒng)函數(shù)的概念，這一重要的概念為研究信號(hào)經(jīng)線性系統(tǒng)傳輸提供了許多方便。利用系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)分布可以簡(jiǎn)明直觀的表達(dá)系統(tǒng)性能的許多規(guī)律。2023/1/4拉斯變換的優(yōu)點(diǎn)表現(xiàn)在：2022/12/2765.1拉普拉斯變換一、從傅里葉到拉普拉斯變換有些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件，求解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子e-t(為實(shí)常數(shù)）乘信號(hào)f(t)，適當(dāng)選取的值，使乘積信號(hào)f(t)e-t當(dāng)t∞時(shí)信號(hào)幅度趨近于0，從而使f(t)e-t的傅里葉變換存在。

相應(yīng)的傅里葉逆變換為f(t)e-t=Fb(+j)=

?[f(t)e-t]=2023/1/45.1拉普拉斯變換一、從傅里葉到拉普拉斯變換有些函數(shù)不滿7雙邊拉普拉斯變換對(duì)Fb(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），f(t)稱為Fb(s)的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。

令s=+j,d=ds/j，有2023/1/4雙邊拉普拉斯變換對(duì)Fb(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象8二、收斂域

只有選擇適當(dāng)?shù)闹挡拍苁狗e分收斂，信號(hào)f(t)的雙邊拉普拉斯變換存在。使f(t)拉氏變換存在的的取值范圍稱為Fb(s)的收斂域，記為ROC。下面舉例說明Fb(s)收斂域的問題。2023/1/4二、收斂域只有選擇適當(dāng)?shù)闹挡拍苁狗e分收斂，信號(hào)f(9例1因果信號(hào)f1(t)=et(t)，求其拉普拉斯變換。

解可見，對(duì)于因果信號(hào)，僅當(dāng)Re[s]=>時(shí)，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。收斂域收斂邊界2023/1/4例1因果信號(hào)f1(t)=et(t)，求其拉普拉斯10例2反因果信號(hào)f2(t)=et(-t)，求其拉普拉斯變換。

解可見，對(duì)于反因果信號(hào)，僅當(dāng)Re[s]=<時(shí)，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。2023/1/4例2反因果信號(hào)f2(t)=et(-t)，求其拉普拉11例3雙邊信號(hào)求其拉普拉斯變換。

求其拉普拉斯變換。解其雙邊拉普拉斯變換Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)

僅當(dāng)>時(shí)，其收斂域?yàn)?lt;Re[s]<的一個(gè)帶狀區(qū)域，如圖所示。

2023/1/4例3雙邊信號(hào)求其拉普拉斯變換。求其拉普拉斯變換。解其雙12例4求下列信號(hào)的雙邊拉氏變換。

f1(t)=e-3t(t)+e-2t(t)f2(t)=–e-3t(–t)–e-2t(–t)f3(t)=e-3t(t)–e-2t(–t)解Re[s]=>–2Re[s]=<–3–3<<–2可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。2023/1/4例4求下列信號(hào)的雙邊拉氏變換。解Re[s]=>–13通常遇到的信號(hào)都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí)刻為坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣，t<0時(shí)，f(t)=0。從而拉氏變換式寫為

稱為單邊拉氏變換。簡(jiǎn)稱拉氏變換。其收斂域一定是Re[s]>

，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。2023/1/4通常遇到的信號(hào)都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí)刻為坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣14三、（單邊）拉普拉斯變換

簡(jiǎn)記為F(s)=￡[f(t)]f(t)=￡

-1[F(s)]或

f(t)←→F(s)象函數(shù)F(s)存在（即拉普拉斯積分式收斂）定理：如因果函數(shù)f(t)滿足：（1）在有限區(qū)間a<t<b內(nèi)（其中0≤a<b<∞）可積，（2）對(duì)于某個(gè)σ0有則對(duì)于Re[s]=σ>σ0，拉普拉斯積分式絕對(duì)且一致收斂。2023/1/4三、（單邊）拉普拉斯變換簡(jiǎn)記為F(s)=￡[f(t)]象函15*幾個(gè)常見函數(shù)的拉普拉斯變換

1、(t)←→1，>-∞2、(t)或1←→1/s，>03、指數(shù)函數(shù)e-s0t←→>-Re[s0]cos0t=(ej0t+e-j0t)/2←→sin0t=(ej0t–e-j0t)/2j←→2023/1/4*幾個(gè)常見函數(shù)的拉普拉斯變換1、(t)←→1，>-164、周期信號(hào)fT(t)特例：T(t)←→1/(1–e-sT)2023/1/44、周期信號(hào)fT(t)特例：T(t)←→1/(1175.2拉普拉斯變換的性質(zhì)一、線性若f1(t)←→F1(s)Re[s]>1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>2則a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(1,2)例f(t)=(t)+(t)←→1+1/s，>0二、尺度變換若f(t)←→F(s),Re[s]>0，且有實(shí)數(shù)a>0，則f(at)←→Re[s]>a0

2023/1/45.2拉普拉斯變換的性質(zhì)一、線性若f1(t)←→F1(s18例：如圖信號(hào)f(t)的拉氏變換F(s)=求圖中信號(hào)y(t)的拉氏變換Y(s)。解：y(t)=4f(0.5t)Y(s)=4×2F(2s)2023/1/4例：如圖信號(hào)f(t)的拉氏變換F(s)=求圖中信號(hào)y(t)19三、時(shí)移（延時(shí)）特性若f(t)

<----->F(s),Re[s]>0,且有實(shí)常數(shù)t0>0,則f(t-t0)(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>0

與尺度變換相結(jié)合f(at-t0)(at-t0)←→例1:求如圖信號(hào)的單邊拉氏變換。解：f1(t)=(t)–(t-1)，f2(t)=(t+1)–(t-1)F1(s)=F2(s)=F1(s)2023/1/4三、時(shí)移（延時(shí)）特性若f(t)<----->F(s),20例2:已知f1(t)←→F1(s),求f2(t)←→F2(s)解：f2(t)=f1(0.5t)–f1[0.5(t-2)]f1(0.5t)←→2F1(2s)f1[0.5(t-2)]←→2F1(2s)e-2sf2(t)←→2F1(2s)(1–e-2s)例3:求f(t)=e-2(t-1)ε(t)←→F

(s)=?2023/1/4例2:已知f1(t)←→F1(s),解：f2(t)=21四、復(fù)頻移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),Re[s]>0,且有復(fù)常數(shù)sa=a+ja,則f(t)esat←→F(s-sa),Re[s]>0+a

例1:已知因果信號(hào)f(t)的象函數(shù)F(s)=求e-tf(3t-2)的象函數(shù)。解：e-tf(3t-2)←→例2:f(t)=cos(2t–π/4)←→F(s)=?解cos(2t–π/4)=cos(2t)cos(π/4)+sin(2t)sin(π/4)2023/1/4四、復(fù)頻移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),R22五、時(shí)域微分特性（定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>0,則f’(t)←→sF(s)–f(0-)f’’(t)←→s2F(s)–sf(0-)–f’(0-)

f(n)(t)←→snF(s)–若f(t)為因果信號(hào)，則f(n)(t)←→snF(s)例1:(n)(t)←→?例2:例3:2023/1/4五、時(shí)域微分特性（定理）若f(t)←→F(s),R23六、時(shí)域積分特性（定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>0,則例1:t2(t)<---->?2023/1/4六、時(shí)域積分特性（定理）若f(t)←→F(s),R24例2:已知因果信號(hào)f(t)如圖,求F(s)解：對(duì)f(t)求導(dǎo)得f’(t)，如圖由于f(t)為因果信號(hào)，故f(0-)=0f’(t)=ε(t)–ε(t–2)–δ(t–2)←→F1(s)結(jié)論：若f(t)為因果信號(hào)，已知f(n)(t)←→Fn(s)

則f(t)←→Fn(s)/sn2023/1/4例2:已知因果信號(hào)f(t)如圖,求F(s)解：對(duì)f(t)求25七、卷積定理時(shí)域卷積定理若因果函數(shù)f1(t)←→F1(s),Re[s]>1,f2(t)←→F2(s),Re[s]>2則f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)復(fù)頻域卷積定理

例1：tε(t)←→?例2：已知F(s)=例3：2023/1/4七、卷積定理時(shí)域卷積定理復(fù)頻域卷積定理例1：tε(t)26八、s域微分和積分若f(t)←→F(s),Re[s]>0,則例1：t2e-2t(t)←→?e-2t(t)←→1/(s+2)t2e-2t(t)←→2023/1/4八、s域微分和積分若f(t)←→F(s),Re[s27例2：例3：2023/1/4例2：例3：2022/12/2728九、初值定理和終值定理初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞），而不必求出原函數(shù)f(t)。初值定理設(shè)函數(shù)f(t)不含(t)及其各階導(dǎo)數(shù)（即F(s)為真分式，若F(s)為假分式化為真分式），則終值定理(SF(S)的極點(diǎn)全部位于S左半平面)若f(t)當(dāng)t→∞時(shí)存在，并且f(t)←→F(s),Re[s]>0,0<0，則2023/1/4九、初值定理和終值定理初值定理和終值定理常用于由F(s)直29例1：例2：2023/1/4例1：例2：2022/12/27305.3拉普拉斯逆變換直接利用定義式求反變換---復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。通常的方法（1）查表法（2）利用性質(zhì)（3）部分分式展開法-----結(jié)合若象函數(shù)F(s)是s的有理分式，可寫為若m≥n（假分式）,可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)F(s)分解為有理多項(xiàng)式P(s)與有理真分式之和。2023/1/45.3拉普拉斯逆變換直接利用定義式求反變換---復(fù)變函數(shù)31由于L-1[1]=(t)，L

-1[sn]=(n)(t)，故多項(xiàng)式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。下面主要討論有理真分式的情形。

*部分分式展開法*若F(s)是s的實(shí)系數(shù)有理真分式（m<n)，則可寫為

式中A(s)稱為F(s)的特征多項(xiàng)式，方程A(s)=0稱為特征方程，它的根稱為特征根，也稱為F(s)的固有頻率（或自然頻率）。n個(gè)特征根pi稱為F(s)的極點(diǎn)。

2023/1/4由于L-1[1]=(t)，L-1[sn]=(n)(t32（1）F(s)為單極點(diǎn)（單根）例1:2023/1/4（1）F(s)為單極點(diǎn)（單根）例1:2022/12/27332023/1/42022/12/2734例2:2023/1/4例2:2022/12/27352023/1/42022/12/2736（2）F(s)有共軛單極點(diǎn)(p1,2=–±j)K2=K1*

f1(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t)若寫為K1,2=A±jBf1(t)=2e-t[Acos(t)–Bsin(t)](t)2023/1/4（2）F(s)有共軛單極點(diǎn)(p1,2=–±j)K237例3:2023/1/4例3:2022/12/27382023/1/42022/12/2739例4：

求象函數(shù)F(s)的原函數(shù)f(t)。

解：A(s)=0有6個(gè)單根，它們分別是s1=0，s2=–1，s3,4=j1，s5,6=–1j1，故

K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=–1K3=(s–j)F(s)|s=j=j/2=(1/2)ej(/2),K4=K3*=(1/2)e-j(/2)K5=(s+1–j)F(s)|s=-1+j=K6=K5*2023/1/4例4：求象函數(shù)F(s)的原函數(shù)f(t)。解：A(s)=040（3）F(s)有重極點(diǎn)（重根）

若A(s)=0在s=p1處有r重根，

K11=[(s–p1)rF(s)]|s=p1，K12=(d/ds)[(s–p1)rF(s)]|s=p1

2023/1/4（3）F(s)有重極點(diǎn)（重根）若A(s)=0在s=41舉例:2023/1/4舉例:2022/12/27422023/1/42022/12/27435.4復(fù)頻域系統(tǒng)分析

一、微分方程的變換解描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。思路：用拉普拉斯變換微分特性若f(t)在t=0時(shí)接入系統(tǒng)，則f(j)(t)←→sjF(s)2023/1/45.4復(fù)頻域系統(tǒng)分析一、微分方程的變換解描述n階系統(tǒng)44例1

描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為

y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)已知初始狀態(tài)y(0-)=1，y'(0-)=-1，激勵(lì)f(t)=5cost(t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)。解：方程取拉氏變換，并整理得y(t)，yzi(t)，yzs(t)s域的代數(shù)方程Yzi(s)Yzs(s)2023/1/4例1描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為解：方程取拉氏變換，并整45y(t)=2e–2t(t)

–e–3t(t)

-4e–2t(t)

+yzi(t)yzs(t)暫態(tài)分量yt(t)穩(wěn)態(tài)分量ys(t)若已知y(0+)=1，y'(0+)=9Yzi(s)Yzs(s)2023/1/4y(t)=2e–2t(t)–e–3t(t)46二、系統(tǒng)函數(shù)

系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為

它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)、初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。yzs(t)=h(t)*f(t)H(s)=L

[h(t)]Yzs(s)=L[h(t)]F(s)2023/1/4二、系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件47例2

已知當(dāng)輸入f(t)=e-t(t)時(shí)，某LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

yzs(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t)(t)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。解h(t)=(4e-2t-2e-3t)(t)微分方程為y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+8f(t)

s2Yzs(s)+5sYzs(s)+6Yzs(s)=2sF(s)+8F(s)取逆變換yzs"(t)+5yzs'(t)+6yzs(t)=2f'(t)+8f(t)

2023/1/4例2已知當(dāng)輸入f(t)=e-t(t)時(shí)，某LTI因果48三、系統(tǒng)的s域框圖

時(shí)域框圖基本單元∫f(t)af(t)y(t)=af

(t)s域框圖基本單元s–1F(s)Y(s)=s–1F(s)aF(s)Y(s)=aF(s)∑f1(t)f2(t)y(t)=f1(t)+f2(t)++∑F1(s)Y(s)=F1(s)+F2(s)F2(s)++2023/1/4三、系統(tǒng)的s域框圖時(shí)域框圖基本單元∫f(t)af(t)y(49X(s)s-1X(s)s-2X(s)例3

如圖框圖，列出其微分方程。解

畫出s域框圖,s-1s-1F(s)Y(s)設(shè)左邊加法器輸出為X(s)，如圖X(s)=F(s)–3s-1X(s)–2s-2X(s)s域的代數(shù)方程Y(s)=X(s)+4s-2X(s)微分方程為y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f"(t)+4f(t)再求h(t)?2023/1/4X(s)s-1X(s)s-2X(s)例3如圖框圖，列出其微50四、電路的s域模型對(duì)時(shí)域電路取拉氏變換

1、電阻u(t)=R

i(t)2、電感U(s)=sLIL(s)–LiL(0-)U(s)=R

I(s)元件的s域模型2023/1/4四、電路的s域模型對(duì)時(shí)域電路取拉氏變換1、電阻u(t513、電容I(s)=sCUC(s)–CuC(0-)4、KCL、KVL方程2023/1/43、電容I(s)=sCUC(s)–CuC(0-)4、52例4

如圖所示電路，已知uS(t)=(t)V，iS(t)=δ(t)，起始狀態(tài)uC(0-)=1V，iL(0-)=2A，求電壓u(t)。解畫出電路的s域模型Us(s)=1/s，Is(s)=1u(t)=e–t(t)–3te–t(t)V若求uzi(t)和uzs(t)2023/1/4例4如圖所示電路，已知uS(t)=(t)V，iS(53五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系Re[s]>0

要討論其關(guān)系，f(t)必須為因果信號(hào)。根據(jù)收斂坐標(biāo)0的值可分為以下三種情況：（1）0<0，即F(s)的收斂域包含j軸，則f(t)的傅里葉變換存在，并且F(j)=F(s)s=j如f(t)=e-2t(t)←→F(s)=1/(s+2),>-2；則F(j)=1/(j+2)2023/1/4五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系Re[s]>0要討論54（2）0=0，即F(s)的收斂邊界為j軸，

如f(t)=(t)←→F(s)=1/s=()+1/j（3）0>0，F(xiàn)(j)不存在。例f(t)=e2t(t)←→F(s)=1/(s–2),>2；其傅里葉變換不存在。2023/1/4（2）0=0，即F(s)的收斂邊界為j軸，如f(t)555.5雙邊拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換存在Fb(s)的條件：如果函數(shù)f(t)在有限區(qū)間內(nèi)可積，且對(duì)于實(shí)常數(shù)σ1，σ2，有則在σ1<Re[s]<σ2的帶狀區(qū)域內(nèi)，拉普拉斯積分式絕對(duì)且一致收斂。2023/1/45.5雙邊拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換存在Fb(s)的條56滿足上述兩式的函數(shù)f(t)稱為指數(shù)階函數(shù)。在復(fù)平面上帶狀區(qū)域σ1<Re[s]<σ2稱為雙邊拉普拉斯變換的收斂域。雙邊拉普拉斯變換僅在其收斂域內(nèi)收斂，其更確切地寫為2023/1/4滿足上述兩式的函數(shù)f(t)稱為指數(shù)階函數(shù)。2022/12/2577.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性7.2系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性7.3信號(hào)流圖7.4系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)一、基本內(nèi)容第七章系統(tǒng)函數(shù)2023/1/47.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性一、基本內(nèi)容第七章系統(tǒng)函數(shù)2058

系統(tǒng)函數(shù)和系統(tǒng)特性。二、重點(diǎn)

系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。三、難點(diǎn)2023/1/4系統(tǒng)函數(shù)和系統(tǒng)特性。二、重點(diǎn)系統(tǒng)的因果597.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性一、系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量s或z的有理分式，即A(s)=0的根p1，p2，…，pn稱為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)；B(s)=0的根z1，z2，…，zm稱為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零點(diǎn)。將零極點(diǎn)畫在復(fù)平面上得零、極點(diǎn)分布圖。例2023/1/47.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性一、系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)LTI系60例：已知H(s)的零、極點(diǎn)分布圖如示，并且h(0+)=2。求H(s)的表達(dá)式。解：由分布圖可得根據(jù)初值定理，有2023/1/4例：已知H(s)的零、極點(diǎn)分布圖如示，并且h(0+)=2。求61二、系統(tǒng)函數(shù)與時(shí)域響應(yīng)

沖激響應(yīng)或單位序列響應(yīng)的函數(shù)形式由H(s)的極點(diǎn)確定。下面討論H(s)極點(diǎn)的位置與其時(shí)域響應(yīng)的函數(shù)形式。所討論系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。1．連續(xù)因果系統(tǒng)

H(s)按其極點(diǎn)在s平面上的位置可分為:在左半開平面、虛軸和右半開平面三類。（1）在左半平面

若系統(tǒng)函數(shù)有負(fù)實(shí)單極點(diǎn)p=–α(α>0)，則A(s)中有因子(s+α)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為Ke-αtε(t)2023/1/4二、系統(tǒng)函數(shù)與時(shí)域響應(yīng)沖激響應(yīng)或單位序列響應(yīng)的函數(shù)形式由H62(b)若有一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)p12=-α±jβ，則A(s)中有因子[(s+α)2+β2]---Ke-αtcos(βt+θ)ε(t)

(c)若有r重極點(diǎn)，則A(s)中有因子(s+α)r或[(s+α)2+β2]r，其響應(yīng)為Kitie-αtε(t)或Kitie-αtcos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)

以上三種情況：當(dāng)t→∞時(shí)，響應(yīng)均趨于0。暫態(tài)分量。（2）在虛軸上(a)單極點(diǎn)p=0或p12=±jβ，則響應(yīng)為Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)-----穩(wěn)態(tài)分量(b)r重極點(diǎn)，相應(yīng)A(s)中有sr或(s2+β2)r，其響應(yīng)函數(shù)為Kitiε(t)或Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)—遞增函數(shù)2023/1/4(b)若有一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)p12=-α±jβ，則A(s)中有63（3）在右半開平面：均為遞增函數(shù)。

綜合結(jié)論：LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的h(t)的函數(shù)形式由H(s)的極點(diǎn)確定。①H(s)在左半平面的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為衰減的。即當(dāng)t→∞時(shí)，響應(yīng)均趨于0。②H(s)在虛軸上的一階極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)分量。

③H(s)在虛軸上的高階極點(diǎn)或右半平面上的極點(diǎn)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都是遞增的。即當(dāng)t→∞時(shí)，響應(yīng)均趨于∞。2023/1/4（3）在右半開平面：均為遞增函數(shù)。綜合結(jié)論：①H(s)64三、系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)1、連續(xù)因果系統(tǒng)若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)均在左半平面，則它在虛軸上(s=jω)也收斂，有H(jω)=H(s)|s=jω

，下面介紹兩種常見的系統(tǒng)。

（1）全通函數(shù)

若系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|H(jω)|為常數(shù)，則稱為全通系統(tǒng)，其相應(yīng)的H(s)稱為全通函數(shù)。凡極點(diǎn)位于左半開平面，零點(diǎn)位于右半開平面，并且所有零點(diǎn)與極點(diǎn)對(duì)于虛軸為一一鏡像對(duì)稱的系統(tǒng)函數(shù)即為全通函數(shù)。2023/1/4三、系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)1、連續(xù)因果系統(tǒng)若系統(tǒng)函數(shù)H(s)65（2）最小相移函數(shù)

右半開平面沒有零、極點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)稱為最小相移函數(shù)。2、頻率特性的繪制2023/1/4（2）最小相移函數(shù)右半開平面沒有零、極點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)稱為最小662023/1/42022/12/27672023/1/42022/12/27682023/1/42022/12/27692023/1/42022/12/27702023/1/42022/12/27717.2系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性一、系統(tǒng)的因果性

因果系統(tǒng)是指，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)不會(huì)出現(xiàn)于f(t)之前的系統(tǒng)。連續(xù)因果系統(tǒng)的充分必要條件是：沖激響應(yīng)h(t)=0,t<0或者，系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域?yàn)椋篟e[s]>σ0

2023/1/47.2系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性一、系統(tǒng)的因果性72二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性1、穩(wěn)定系統(tǒng)的定義

一個(gè)系統(tǒng)，若對(duì)任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)是有界輸入有界輸出(BIBO)穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。即，若系統(tǒng)對(duì)所有的激勵(lì)|f(t)|≤Mf

，其零狀態(tài)響應(yīng)|yzs(t)|≤My，則稱該系統(tǒng)穩(wěn)定。（1）連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是若H(s)的收斂域包含虛軸，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。2023/1/4二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性1、穩(wěn)定系統(tǒng)的定義一個(gè)系統(tǒng)，若對(duì)任意的有73因果系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件可簡(jiǎn)化為

（3）連續(xù)因果系統(tǒng)

因?yàn)橐蚬到y(tǒng)左半開平面的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)為衰減函數(shù)。故，若H(s)的極點(diǎn)均在左半開平面，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。2023/1/4因果系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件可簡(jiǎn)化為（3）連續(xù)因果系統(tǒng)因74例1：如圖反饋因果系統(tǒng)，問當(dāng)K滿足什么條件時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？其中子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)G(s)=1/[(s+1)(s+2)]

解：設(shè)加法器的輸出信號(hào)X(s)

X(s)X(s)=KY(s)+F(s)Y(s)=G(s)X(s)=KG(s)Y(s)+G(s)F(s)H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/[1-KG(s)]=1/(s2+3s+2-k)H(s)的極點(diǎn)為為使極點(diǎn)在左半平面，必須(3/2)2-2+k<(3/2)2,k<2，即當(dāng)k<2，系統(tǒng)穩(wěn)定。2023/1/4例1：如圖反饋因果系統(tǒng)，問當(dāng)K滿足什么條件時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？75**連續(xù)因果系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則——羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則

對(duì)因果系統(tǒng)，只要判斷H(s)的極點(diǎn)，即A(s)=0的根（稱為系統(tǒng)特征根）是否都在左半平面上，即可判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，不必知道極點(diǎn)的確切值。所有的根均在左半平面的多項(xiàng)式稱為霍爾維茲多項(xiàng)式。1、必要條件—簡(jiǎn)單方法

一實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式A(s)=ansn+…+a0=0的所有根位于左半開平面的必要條件是：（1）所有系數(shù)都必須非0，即不缺項(xiàng)；（2）系數(shù)的符號(hào)相同。

例1

A(s)=s3+4s2-3s+2符號(hào)相異，不穩(wěn)定例2

A(s)=3s3+s2+2，a1=0，不穩(wěn)定例3

A(s)=3s3+s2+2s+8需進(jìn)一步判斷，非充分條件。2023/1/4**連續(xù)因果系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則——羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則762、羅斯列表

將多項(xiàng)式A(s)的系數(shù)排列為如下陣列—羅斯陣列第1行anan-2an-4…第2行an-1an-3an-5…第3行cn-1cn-3cn-5…它由第1，2行，按下列規(guī)則計(jì)算得到：…第4行由2，3行同樣方法得到。一直排到第n+1行。羅斯準(zhǔn)則指出：若第一列元素具有相同的符號(hào)，則A(s)=0所有的根均在左半開平面。若第一列元素出現(xiàn)符號(hào)改變，則符號(hào)改變的總次數(shù)就是右半平面根的個(gè)數(shù)。2023/1/42、羅斯列表將多項(xiàng)式A(s)的系數(shù)排列為如下陣列—羅斯陣列77特例：對(duì)于二階系統(tǒng)A(s)=a2s2+a1s+a0，若a2>0，不難得出，A(s)為霍爾維茲多項(xiàng)式的條件為：a1>0，a0>0例1A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2羅斯陣列：212218028.502第1列元素符號(hào)改變2次，因此，有2個(gè)根位于右半平面。注意：在排羅斯陣列時(shí)，可能遇到一些特殊情況，如第一列的某個(gè)元素為0或某一行元素全為0，這時(shí)可斷言：該多項(xiàng)式不是霍爾維茲多項(xiàng)式。

2023/1/4特例：對(duì)于二階系統(tǒng)A(s)=a2s2+a1s+a0，若a278例2已知某因果系統(tǒng)函數(shù)為使系統(tǒng)穩(wěn)定，k應(yīng)滿足什么條件？

解列羅斯陣列

331+k(8-k)/31+k所以，–1<k<8，系統(tǒng)穩(wěn)定。

2023/1/4例2已知某因果系統(tǒng)函數(shù)為使系統(tǒng)穩(wěn)定，k應(yīng)滿足什么條件？797.3信號(hào)流圖

用方框圖描述系統(tǒng)的功能比較直觀。信號(hào)流圖是用有向的線圖描述方程變量之間因果關(guān)系的一種圖，用它描述系統(tǒng)比方框圖更加簡(jiǎn)便。信號(hào)流圖首先由Mason于1953年提出的，應(yīng)用非常廣泛。

信號(hào)流圖就是用一些點(diǎn)和有向線段來(lái)描述系統(tǒng)，與框圖本質(zhì)是一樣的，但簡(jiǎn)便多了。一、信號(hào)流圖1、定義：信號(hào)流圖是由結(jié)點(diǎn)和有向線段組成的幾何圖形。它可以簡(jiǎn)化系統(tǒng)的表示，并便于計(jì)算系統(tǒng)函數(shù)。2、信號(hào)流圖中常用術(shù)語(yǔ)2023/1/47.3信號(hào)流圖用方框圖描述系統(tǒng)的功能比較直觀。信80(1)結(jié)點(diǎn)：信號(hào)流圖中的每個(gè)結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)變量或信號(hào)。(2)支路和支路增益：連接兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的有向線段稱為支路。每條支路上的權(quán)值（支路增益）就是該兩結(jié)點(diǎn)間的系統(tǒng)函數(shù)（轉(zhuǎn)移函數(shù)）F(s)H(s)Y(s)即用一條有向線段表示一個(gè)子系統(tǒng)。(3)源點(diǎn)與匯點(diǎn)，混合結(jié)點(diǎn)：僅有出支路的結(jié)點(diǎn)稱為源點(diǎn)（或輸入結(jié)點(diǎn)）。僅有入支路的結(jié)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)（或輸出結(jié)點(diǎn)）。有入有出的結(jié)點(diǎn)為混合結(jié)點(diǎn)

2023/1/4(1)結(jié)點(diǎn)：信號(hào)流圖中的每個(gè)結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)變量或信號(hào)。(281沿箭頭指向從一個(gè)結(jié)點(diǎn)到其他結(jié)點(diǎn)的路徑稱為通路。如果通路與任一結(jié)點(diǎn)相遇不多于一次，則稱為開通路。若通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)（與其余結(jié)點(diǎn)相遇不多于一次），則稱為閉通路。相互沒有公共結(jié)點(diǎn)的回路，稱為不接觸回路。只有一個(gè)結(jié)點(diǎn)和一條支路的回路稱為自回路。(5)前向通路：從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的開通路稱為前向通路。(6)前向通路增益，回路增益：前向通路中各支路增益的乘積稱為前向通路增益?；芈分懈髦吩鲆娴某朔e稱為回路增益。(4)通路、開通路、閉通路（回路、環(huán)）、不接觸回路、自回路：2023/1/4沿箭頭指向從一個(gè)結(jié)點(diǎn)到其他結(jié)點(diǎn)的路徑稱為通路。(5)前向通路823、信號(hào)流圖的基本性質(zhì)

（1）信號(hào)只能沿支路箭頭方向傳輸。支路的輸出=該支路的輸入與支路增益的乘積。（2）當(dāng)結(jié)點(diǎn)有多個(gè)輸入時(shí)，該接點(diǎn)將所有輸入支路的信號(hào)相加，并將和信號(hào)傳輸給所有與該結(jié)點(diǎn)相連的輸出支路。如：x4=ax1+bx2+dx5

x3=cx4

x6=ex4（3）混合結(jié)點(diǎn)可通過增加一個(gè)增益為1的出支路而變?yōu)閰R點(diǎn)。2023/1/43、信號(hào)流圖的基本性質(zhì)（1）信號(hào)只能沿支路箭頭方向傳輸。（834、方框圖流圖注意：加法器前引入增益為1的支路5、流圖簡(jiǎn)化的基本規(guī)則：（1）支路串聯(lián)：支路增益相乘。X2=H2X3=H2H1X1（2）支路并聯(lián)：支路增益相加。

X2=H1X1+H2X1=(H1+H2)X12023/1/44、方框圖流圖注意：加法器前引入增益為1的支路5、流84（3）混聯(lián)：X4=H3X3=H3(H1X1+H2X2)=H1H3X1+H2H3X22023/1/4（3）混聯(lián)：X4=H3X3=H3(H1X1+H2X2)=85（4）自環(huán)的消除：X3=H1X1+H2X2+H3X3所有來(lái)向支路除1–H32023/1/4（4）自環(huán)的消除：X3=H1X1+H2X2+H3X3所有86二、梅森公式上述化簡(jiǎn)求H復(fù)雜。利用Mason公式方便。

系統(tǒng)函數(shù)H(.)記為H。梅森公式為：稱為信號(hào)流圖的特征行列式為所有不同回路的增益之和；為所有兩兩不接觸回路的增益乘積之和；為所有三三不接觸回路的增益乘積之和；…i表示由源點(diǎn)到匯點(diǎn)的第i條前向通路的標(biāo)號(hào)Pi

是由源點(diǎn)到匯點(diǎn)的第i條前向通路增益；

△i

稱為第i條前向通路特征行列式的余因子。消去接觸回路

2023/1/4二、梅森公式上述化簡(jiǎn)求H復(fù)雜。利用Mason公式方便。系87例

求下列信號(hào)流圖的系統(tǒng)函數(shù)解

(1)首先找出所有回路：

L1=H3GL2=2H1H2H3H5

L3=H1H4H5

(2)求特征行列式

△=1-（H3G+2H1H2H3H5+H1H4H5）+H3GH1H4H5(4)求各前向通路的余因子：△1=1，△2=1-GH3

(3)然后找出所有的前向通路：

p1=2H1H2H3

p2=H1H4

**對(duì)框圖也可利用梅森公式求系統(tǒng)函數(shù)。**2023/1/4例求下列信號(hào)流圖的系統(tǒng)函數(shù)解(1)首先找出所有回路：887.4系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)Mason公式是由流圖H(s)下面討論，由H(s)流圖或方框圖一、直接實(shí)現(xiàn)---利用Mason公式來(lái)實(shí)現(xiàn)

分子中每項(xiàng)看成是一條前向通路。分母中，除1之外，其余每項(xiàng)看成一個(gè)回路。畫流圖時(shí)，所有前向通路與全部回路相接觸。所有回路均相接觸。2023/1/47.4系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)Mason公式是由流圖H(s)一89二、級(jí)聯(lián)和并聯(lián)實(shí)現(xiàn)（1）級(jí)聯(lián)形式：將H分解為若干簡(jiǎn)單（一階或二階子系統(tǒng)）的系統(tǒng)函數(shù)的乘積，即H=H1H2…Hn

（2）并聯(lián)形式：將H展開成部分分式，將每個(gè)分式分別進(jìn)行模擬，然后將它們并聯(lián)起來(lái)。2023/1/4二、級(jí)聯(lián)和并聯(lián)實(shí)現(xiàn)（1）級(jí)聯(lián)形式：將H分解為若干簡(jiǎn)單（一階或90一階子系統(tǒng)函數(shù)二階子系統(tǒng)函數(shù)2023/1/4一階子系統(tǒng)函數(shù)二階子系統(tǒng)函數(shù)2022/12/2791例H(s)=(1)級(jí)聯(lián)形式(2)并聯(lián)形式2023/1/4例H(s)=(1)級(jí)聯(lián)形式(2)并聯(lián)形式2022/1292一、拉普拉斯變換與逆變換本章小結(jié)二、拉普拉斯變換的性質(zhì)三、復(fù)頻域分析四、系統(tǒng)函數(shù)五、Routh判據(jù)六、信號(hào)流圖及Mason公式2023/1/4一、拉普拉斯變換與逆變換本章小結(jié)二、拉普拉斯變換的性質(zhì)三、復(fù)93P263:5.1(2)(4)(6)(8);5.3(2)(4)(6)(8)P264:5.6(2);5.8(2)(4)(6)(8)P265:5.11(2);5.12(2)P266:5.14(2)(4);5.15(2);5.16(2)5.17(2);5.20P267:5.25P270:5.41;5.42第五章作業(yè)重要習(xí)題2023/1/4P263:5.1(2)(4)(6)(8);5.3(2)(494富蘭克林(1706-1790)

本杰明.富蘭克林——資本主義精神最完美的代表，十八世紀(jì)美國(guó)最偉大的科學(xué)家，著名的政治家和文學(xué)家。他一生最真實(shí)的寫照是他自己所說過的一句話“誠(chéng)實(shí)和勤勉，應(yīng)該成為你永久的伴侶?！备惶m克林通過著名的風(fēng)箏的實(shí)驗(yàn)證明了雷電的本質(zhì)，并發(fā)明了避雷針。富蘭克林對(duì)科學(xué)的貢獻(xiàn)不僅在靜電學(xué)方面，他的研究范圍極其廣泛。在數(shù)學(xué)方面，他創(chuàng)造了八次和十六次幻方，這兩種幻方性質(zhì)特殊，變化復(fù)雜，至今尚為學(xué)者稱道；在熱學(xué)中，他改良了取暖的爐子，可以節(jié)省四分之三燃料，被稱為“富蘭克林爐”；在光學(xué)方面，他發(fā)明了老年人用的雙焦距眼鏡，戴上這種眼鏡既可以看清近處的東西，也可看清遠(yuǎn)處的東西。他和劍橋大學(xué)的哈特萊共同利用醚的蒸發(fā)得到負(fù)二十五度（攝氏）的低溫，創(chuàng)造了蒸發(fā)致冷的理論。此外，他對(duì)氣象、地質(zhì)、聲學(xué)及海洋航行等方面都有研究，并取得了不少成就。富蘭克不僅是一位優(yōu)秀的科學(xué)家，而且還是一位杰出的社會(huì)活動(dòng)家。他一生用了不少時(shí)間去從事社會(huì)活動(dòng)，并參加了第二屆大陸會(huì)議和《獨(dú)立宣言》的起草工作。富蘭克林特別重視教育，他興辦圖書館、組織和創(chuàng)立多個(gè)協(xié)會(huì)都是為了提高各階層人的文化素質(zhì)。2023/1/4富蘭克林(1706-1790)次幻方，這兩種幻方性質(zhì)特殊955.1拉普拉斯變換5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)5.3拉普拉斯逆變換5.4復(fù)頻域分析5.5雙邊拉普拉斯變換一、基本內(nèi)容第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析2023/1/45.1拉普拉斯變換一、基本內(nèi)容第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析96

拉普拉斯變換及其性質(zhì)，LTI連續(xù)系統(tǒng)的s域分析方法。二、重點(diǎn)

拉普拉斯變換與傅里葉變換的區(qū)別與聯(lián)系。三、難點(diǎn)2023/1/4拉普拉斯變換及其性質(zhì)，LTI連續(xù)系統(tǒng)的s域分析方97第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析

頻域分析：以虛指數(shù)信號(hào)ejωt為基本信號(hào)，所采用的數(shù)學(xué)工具為傅里葉變換。不足：有些重要信號(hào)不存在傅里葉變換，如e2tε(t)，對(duì)于給定初始狀態(tài)的線性系統(tǒng)難于利用頻域分析。

s域分析：本章引入復(fù)頻率s=σ+jω,以復(fù)指數(shù)函數(shù)est為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是復(fù)頻率s，故稱為s域分析。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。2023/1/4第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析頻域分析：以虛指數(shù)9819世紀(jì)末，英國(guó)工程師赫維賽德發(fā)明了“運(yùn)算法”（算子法）解決電工程運(yùn)算的一些基本問題。他所進(jìn)行的工作成為拉普拉斯變換的先驅(qū)。赫維賽德的方法很快地被許多人采用，但由于缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證，曾受到某些數(shù)學(xué)家的譴責(zé)。而赫維賽德以及另一些追隨他的學(xué)者堅(jiān)信這一些方法的正確性，繼續(xù)堅(jiān)持不斷的深入研究。后來(lái)，人們終于在法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯的著作中為赫維賽德運(yùn)算法找到了可靠的數(shù)學(xué)依據(jù)，重新給與嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證，為之取名拉普拉斯變換方法。從此，拉氏變換方法在電學(xué)、力學(xué)。。。等眾多的工程與科學(xué)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。尤其在電路理論的研究中，在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)，人們幾乎無(wú)法把電路理論和拉普拉斯變換分開來(lái)討論。2023/1/419世紀(jì)末，英國(guó)工程師赫維賽德發(fā)明了“運(yùn)算法”（算子法）解決99拉斯變換的優(yōu)點(diǎn)表現(xiàn)在：求解的步驟得到簡(jiǎn)化，同時(shí)可以給出微分方程的特解和補(bǔ)解，而且初始條件自動(dòng)的包含在變換式里。拉斯變換分別將“微分”與“積分”運(yùn)算轉(zhuǎn)換為“乘法”和“除法”運(yùn)算。指數(shù)函數(shù)、超越函數(shù)以及具有不連續(xù)點(diǎn)的函數(shù)，經(jīng)拉氏變換可轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的初等函數(shù)。拉斯變換把時(shí)域中兩函數(shù)的卷積轉(zhuǎn)換為變換域中兩函數(shù)的乘法運(yùn)算，在此基礎(chǔ)上建立了系統(tǒng)函數(shù)的概念，這一重要的概念為研究信號(hào)經(jīng)線性系統(tǒng)傳輸提供了許多方便。利用系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)分布可以簡(jiǎn)明直觀的表達(dá)系統(tǒng)性能的許多規(guī)律。2023/1/4拉斯變換的優(yōu)點(diǎn)表現(xiàn)在：2022/12/271005.1拉普拉斯變換一、從傅里葉到拉普拉斯變換有些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件，求解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子e-t(為實(shí)常數(shù)）乘信號(hào)f(t)，適當(dāng)選取的值，使乘積信號(hào)f(t)e-t當(dāng)t∞時(shí)信號(hào)幅度趨近于0，從而使f(t)e-t的傅里葉變換存在。

相應(yīng)的傅里葉逆變換為f(t)e-t=Fb(+j)=

?[f(t)e-t]=2023/1/45.1拉普拉斯變換一、從傅里葉到拉普拉斯變換有些函數(shù)不滿101雙邊拉普拉斯變換對(duì)Fb(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），f(t)稱為Fb(s)的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。

令s=+j,d=ds/j，有2023/1/4雙邊拉普拉斯變換對(duì)Fb(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象102二、收斂域

只有選擇適當(dāng)?shù)闹挡拍苁狗e分收斂，信號(hào)f(t)的雙邊拉普拉斯變換存在。使f(t)拉氏變換存在的的取值范圍稱為Fb(s)的收斂域，記為ROC。下面舉例說明Fb(s)收斂域的問題。2023/1/4二、收斂域只有選擇適當(dāng)?shù)闹挡拍苁狗e分收斂，信號(hào)f(103例1因果信號(hào)f1(t)=et(t)，求其拉普拉斯變換。

解可見，對(duì)于因果信號(hào)，僅當(dāng)Re[s]=>時(shí)，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。收斂域收斂邊界2023/1/4例1因果信號(hào)f1(t)=et(t)，求其拉普拉斯104例2反因果信號(hào)f2(t)=et(-t)，求其拉普拉斯變換。

解可見，對(duì)于反因果信號(hào)，僅當(dāng)Re[s]=<時(shí)，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。2023/1/4例2反因果信號(hào)f2(t)=et(-t)，求其拉普拉105例3雙邊信號(hào)求其拉普拉斯變換。

求其拉普拉斯變換。解其雙邊拉普拉斯變換Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)

僅當(dāng)>時(shí)，其收斂域?yàn)?lt;Re[s]<的一個(gè)帶狀區(qū)域，如圖所示。

2023/1/4例3雙邊信號(hào)求其拉普拉斯變換。求其拉普拉斯變換。解其雙106例4求下列信號(hào)的雙邊拉氏變換。

f1(t)=e-3t(t)+e-2t(t)f2(t)=–e-3t(–t)–e-2t(–t)f3(t)=e-3t(t)–e-2t(–t)解Re[s]=>–2Re[s]=<–3–3<<–2可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。2023/1/4例4求下列信號(hào)的雙邊拉氏變換。解Re[s]=>–107通常遇到的信號(hào)都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí)刻為坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣，t<0時(shí)，f(t)=0。從而拉氏變換式寫為

稱為單邊拉氏變換。簡(jiǎn)稱拉氏變換。其收斂域一定是Re[s]>

，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。2023/1/4通常遇到的信號(hào)都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí)刻為坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣108三、（單邊）拉普拉斯變換

簡(jiǎn)記為F(s)=￡[f(t)]f(t)=￡

-1[F(s)]或

f(t)←→F(s)象函數(shù)F(s)存在（即拉普拉斯積分式收斂）定理：如因果函數(shù)f(t)滿足：（1）在有限區(qū)間a<t<b內(nèi)（其中0≤a<b<∞）可積，（2）對(duì)于某個(gè)σ0有則對(duì)于Re[s]=σ>σ0，拉普拉斯積分式絕對(duì)且一致收斂。2023/1/4三、（單邊）拉普拉斯變換簡(jiǎn)記為F(s)=￡[f(t)]象函109*幾個(gè)常見函數(shù)的拉普拉斯變換

1、(t)←→1，>-∞2、(t)或1←→1/s，>03、指數(shù)函數(shù)e-s0t←→>-Re[s0]cos0t=(ej0t+e-j0t)/2←→sin0t=(ej0t–e-j0t)/2j←→2023/1/4*幾個(gè)常見函數(shù)的拉普拉斯變換1、(t)←→1，>-1104、周期信號(hào)fT(t)特例：T(t)←→1/(1–e-sT)2023/1/44、周期信號(hào)fT(t)特例：T(t)←→1/(11115.2拉普拉斯變換的性質(zhì)一、線性若f1(t)←→F1(s)Re[s]>1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>2則a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(1,2)例f(t)=(t)+(t)←→1+1/s，>0二、尺度變換若f(t)←→F(s),Re[s]>0，且有實(shí)數(shù)a>0，則f(at)←→Re[s]>a0

2023/1/45.2拉普拉斯變換的性質(zhì)一、線性若f1(t)←→F1(s112例：如圖信號(hào)f(t)的拉氏變換F(s)=求圖中信號(hào)y(t)的拉氏變換Y(s)。解：y(t)=4f(0.5t)Y(s)=4×2F(2s)2023/1/4例：如圖信號(hào)f(t)的拉氏變換F(s)=求圖中信號(hào)y(t)113三、時(shí)移（延時(shí)）特性若f(t)

<----->F(s),Re[s]>0,且有實(shí)常數(shù)t0>0,則f(t-t0)(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>0

與尺度變換相結(jié)合f(at-t0)(at-t0)←→例1:求如圖信號(hào)的單邊拉氏變換。解：f1(t)=(t)–(t-1)，f2(t)=(t+1)–(t-1)F1(s)=F2(s)=F1(s)2023/1/4三、時(shí)移（延時(shí)）特性若f(t)<----->F(s),114例2:已知f1(t)←→F1(s),求f2(t)←→F2(s)解：f2(t)=f1(0.5t)–f1[0.5(t-2)]f1(0.5t)←→2F1(2s)f1[0.5(t-2)]←→2F1(2s)e-2sf2(t)←→2F1(2s)(1–e-2s)例3:求f(t)=e-2(t-1)ε(t)←→F

(s)=?2023/1/4例2:已知f1(t)←→F1(s),解：f2(t)=115四、復(fù)頻移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),Re[s]>0,且有復(fù)常數(shù)sa=a+ja,則f(t)esat←→F(s-sa),Re[s]>0+a

例1:已知因果信號(hào)f(t)的象函數(shù)F(s)=求e-tf(3t-2)的象函數(shù)。解：e-tf(3t-2)←→例2:f(t)=cos(2t–π/4)←→F(s)=?解cos(2t–π/4)=cos(2t)cos(π/4)+sin(2t)sin(π/4)2023/1/4四、復(fù)頻移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),R116五、時(shí)域微分特性（定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>0,則f’(t)←→sF(s)–f(0-)f’’(t)←→s2F(s)–sf(0-)–f’(0-)

f(n)(t)←→snF(s)–若f(t)為因果信號(hào)，則f(n)(t)←→snF(s)例1:(n)(t)←→?例2:例3:2023/1/4五、時(shí)域微分特性（定理）若f(t)←→F(s),R117六、時(shí)域積分特性（定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>0,則例1:t2(t)<---->?2023/1/4六、時(shí)域積分特性（定理）若f(t)←→F(s),R118例2:已知因果信號(hào)f(t)如圖,求F(s)解：對(duì)f(t)求導(dǎo)得f’(t)，如圖由于f(t)為因果信號(hào)，故f(0-)=0f’(t)=ε(t)–ε(t–2)–δ(t–2)←→F1(s)結(jié)論：若f(t)為因果信號(hào)，已知f(n)(t)←→Fn(s)

則f(t)←→Fn(s)/sn2023/1/4例2:已知因果信號(hào)f(t)如圖,求F(s)解：對(duì)f(t)求119七、卷積定理時(shí)域卷積定理若因果函數(shù)f1(t)←→F1(s),Re[s]>1,f2(t)←→F2(s),Re[s]>2則f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)復(fù)頻域卷積定理

例1：tε(t)←→?例2：已知F(s)=例3：2023/1/4七、卷積定理時(shí)域卷積定理復(fù)頻域卷積定理例1：tε(t)120八、s域微分和積分若f(t)←→F(s),Re[s]>0,則例1：t2e-2t(t)←→?e-2t(t)←→1/(s+2)t2e-2t(t)←→2023/1/4八、s域微分和積分若f(t)←→F(s),Re[s121例2：例3：2023/1/4例2：例3：2022/12/27122九、初值定理和終值定理初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞），而不必求出原函數(shù)f(t)。初值定理設(shè)函數(shù)f(t)不含(t)及其各階導(dǎo)數(shù)（即F(s)為真分式，若F(s)為假分式化為真分式），則終值定理(SF(S)的極點(diǎn)全部位于S左半平面)若f(t)當(dāng)t→∞時(shí)存在，并且f(t)←→F(s),Re[s]>0,0<0，則2023/1/4九、初值定理和終值定理初值定理和終值定理常用于由F(s)直123例1：例2：2023/1/4例1：例2：2022/12/271245.3拉普拉斯逆變換直接利用定義式求反變換---復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。通常的方法（1）查表法（2）利用性質(zhì)（3）部分分式展開法-----結(jié)合若象函數(shù)F(s)是s的有理分式，可寫為若m≥n（假分式）,可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)F(s)分解為有理多項(xiàng)式P(s)與有理真分式之和。2023/1/45.3拉普拉斯逆變換直接利用定義式求反變換---復(fù)變函數(shù)125由于L-1[1]=(t)，L

-1[sn]=(n)(t)，故多項(xiàng)式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。下面主要討論有理真分式的情形。

*部分分式展開法*若F(s)是s的實(shí)系數(shù)有理真分式（m<n)，則可寫為

式中A(s)稱為F(s)的特征多項(xiàng)式，方程A(s)=0稱為特征方程，它的根稱為特征根，也稱為F(s)的固有頻率（或自然頻率）。n個(gè)特征根pi稱為F(s)的極點(diǎn)。

2023/1/4由于L-1[1]=(t)，L-1[sn]=(n)(t126（1）F(s)為單極點(diǎn)（單根）例1:2023/1/4（1）F(s)為單極點(diǎn)（單根）例1:2022/12/271272023/1/42022/12/27128例2:2023/1/4例2:2022/12/271292023/1/42022/12/27130（2）F(s)有共軛單極點(diǎn)(p1,2=–±j)K2=K1*

f1(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t)若寫為K1,2=A±jBf1(t)=2e-t[Acos(t)–Bsin(t)](t)2023/1/4（2）F(s)有共軛單極點(diǎn)(p1,2=–±j)K2131例3:2023/1/4例3:2022/12/271322023/1/42022/12/27133例4：

求象函數(shù)F(s)的原函數(shù)f(t)。

解：A(s)=0有6個(gè)單根，它們分別是s1=0，s2=–1，s3,4=j1，s5,6=–1j1，故

K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=–1K3=(s–j)F(s)|s=j=j/2=(1/2)ej(/2),K4=K3*=(1/2)e-j(/2)K5=(s+1–j)F(s)|s=-1+j=K6=K5*2023/1/4例4：求象函數(shù)F(s)的原函數(shù)f(t)。解：A(s)=0134（3）F(s)有重極點(diǎn)（重根）

若A(s)=0在s=p1處有r重根，

K11=[(s–p1)rF(s)]|s=p1，K12=(d/ds)[(s–p1)rF(s)]|s=p1

2023/1/4（3）F(s)有重極點(diǎn)（重根）若A(s)=0在s=135舉例:2023/1/4舉例:2022/12/271362023/1/42022/12/271375.4復(fù)頻域系統(tǒng)分析

一、微分方程的變換解描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。思路：用拉普拉斯變換微分特性若f(t)在t=0時(shí)接入系統(tǒng)，則f(j)(t)←→sjF(s)2023/1/45.4復(fù)頻域系統(tǒng)分析一、微分方程的變換解描述n階系統(tǒng)138例1

描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為

y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)已知初始狀態(tài)y(0-)=1，y'(0-)=-1，激勵(lì)f(t)=5cost(t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)。解：方程取拉氏變換，并整理得y(t)，yzi(t)，yzs(t)s域的代數(shù)方程Yzi(s)Yzs(s)2023/1/4例1描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為解：方程取拉氏變換，并整139y(t)=2e–2t(t)

–e–3t(t)

-4e–2t(t)

+yzi(t)yzs(t)暫態(tài)分量yt(t)穩(wěn)態(tài)分量ys(t)若已知y(0+)=1，y'(0+)=9Yzi(s)Yzs(s)2023/1/4y(t)=2e–2t(t)–e–3t(t)140二、系統(tǒng)函數(shù)

系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為

它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)、初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。yzs(t)=h(t)*f(t)H(s)=L

[h(t)]Yzs(s)=