中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題練習(xí)(上)常用輔助線-旋轉(zhuǎn)新人教版

223.輔助線之一旋轉(zhuǎn).如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形BE的長(zhǎng)分別為3cm、5cm,求三角形OBE的面積.ABE,AEB90,AC、BD交于O.已知AE、解析:顯然 BOA BEA 90,所以 OBA OAB EBA EAB90,所以 OBA EBA EAB OAB,所以 OBE OAE ,則逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)OEA,旋轉(zhuǎn)90,則OA與OB重合,E落在BE上白E處，且BOEAOE,OEOE,BEEA4,因?yàn)锽OE EOA90,所以O(shè)AE AOE90,所以O(shè)EE'是等腰直角三角形.且EE'532,，一 ? 1作OFBE,所以O(shè)F-EE1.—,一1 2所以SOEB-152.5cm2.2.如圖所示，在四邊形ABCD中，ADCABC90,ADCD,DPAB于P,若四邊形ABCD的面積是16,求DP的長(zhǎng).解析:QADDC把VDAP繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,使DC與AD重合,則PDEADC90,QDPB90,四邊形DPBE為矩形.QDP旋轉(zhuǎn)至DE,則DPDE,矩形DPBE為正方形,且S正方形DPBE=SI邊形ABCD=16,DP4..如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)ADFAE.求證：BEDFAEAD答案：見(jiàn)解析AD答案：見(jiàn)解析解析：??.四邊形ABCD是正方形，，ABAD.將VADF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至VABM，使AD與AB重合.則BMDF,且DAFBAM,MAFD.DCPAB,..AFDFAB.?BAFEAFBAE,且EAF=DAFBAM,BAFBAMBAEEAMAFDM.故AEEMBEBMBEDF.4.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)F在線段CD上運(yùn)動(dòng)，AE平分BAF交BC邊于點(diǎn)E.求證:AFDFBE.答案：見(jiàn)解析解析:

???四邊形???四邊形ABCD是正方形，，ABAD.將VADF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至VABM，使AD與AB重合.則BMDF,且3 4,MAFD.AE平分BAF, 1=2,3 2=4 1,即EADMAE.AD//BC,?.MEAEAD,MEAMAE,AMME.即AMBMBE.AFDFBE,得證.AB.5.E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，且/EAF45,AHEF,H為垂足，求證：AHAB.答案：見(jiàn)解析答案：見(jiàn)解析解析：???四邊形繞ABCD為正方形，，ADAB.15，求AEF15，求AEF的面積.答案：見(jiàn)解析將VADF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至VABG.則1 2,AFAG.???3 445,，1 545.2 545,即EAG EAFAEAE,VAGEVAFE(SAS).根據(jù)全等三角形白^對(duì)應(yīng)高相等（利用三角形全等可證得■）,可得ABAH.6.如圖所示，在正方形ABCD中，ABJ3,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且BAE30,DAF解析：如圖所示，將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得到ABG，則G、B、E共線.BAGDAF15,AGAF.而GAE153045,且FAE90153045,故GAE FAE,???AEAE,?,GAEVFAE.由此可得EFEG,AEFAEG90 30 60由此可得EFEG,AEFAEG90 30 60FEC180 60 60 60EFC90 60 30FEC180 60 60 60EFC90 60 30在RtABE中，AB73,BAE30,故BE1,CE731.在 RtEFC 中， EFC 30，則EF2(* 1)EG.1 1 — — —故SAEFSAEG -EG AB -2( 31),33 3.7.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,AB、AD上各存一點(diǎn)P、Q,若APQ的周長(zhǎng)為2,求PCQ的度數(shù).解析:把CDQ繞點(diǎn)解析:把CDQ繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90至iJCBF的位置,CQ=CF..AQAPQP2,又AQQDAPPB2,..QD+BP=QP.又DQ=BF,..PQ=BPBFPF.QCPWFCP...QCPFCP.又.QCF90PCQ45又.QCF90PCQ458.如圖：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cmE8.如圖：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cmE是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB上，且ECP45.則PE的長(zhǎng)是多少cm.VPEC的面積是多少cm2?.①求PE的長(zhǎng)：?.四邊形ABCD為正方形，，BCDC.將VEDC繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至VBCM處，使DC與BC重合,1…則ECCM, 1 2.MBED-AD32??1 390 45 45, 2 345,則PCMPCE,PCPC,VPCMVPCE,PMPE.設(shè)PBx,則PMx3PE,APABBP6x.,在RtVAPE中，有AP2AE2PE2.

2 2 26x 32 x3,解得x2.??PEx35.②求VPEC的面積:.VPECVPCE,-SVPECS-SVPECSVPCM1八 1八—BCPM—BCBPBM2 21-623 15.29.如圖，在直角梯形9.如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BCBCADB90,ABBC12,E是AB上一點(diǎn)，且DCE45,BE4,求DE的長(zhǎng).解析:解析:過(guò)C作CGAD,交AD延長(zhǎng)線于G.?.四邊形ABCD是正方形，，BCCG.將VBEC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,至VCGF,使BC與CG重合.則有1 2,CECF,GFBE4.??ECD45, 1 3904545.2 345.?CDCD，?二VCEDVCFD.故DEDF.

設(shè)DGx設(shè)DGx,則DFx4DEADAGDG12x在RtVAED中，ae2AD2ED2.口r2 2 2即82 12xx4.解這個(gè)方程，得：x6.DEx410.10.如圖，在ABC中，ACB90,ACBC,P是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PB1,PC2,PA3,求BPC的度數(shù).解析:的度數(shù).解析:如圖，將APC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使CA與CB重合，TOC\o"1-5"\h\z即APC里BEC,PC=CE1 2,??? 2 PCB 90,??? 1 PCB 90.PCE為等腰直角三角形，CPE 45 ,PE2PC2 CE2 8.又???PB2 1,BE29,?? PE2PB2 BE2貝U BPE 90 .BPC CPE BPE4590 13511.如圖,P是等邊11.如圖,P是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，若AP3,PB4,PC5,求APB的度數(shù).A解析:如圖，將BPC沿點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,則BPBP,連接PP,AP.VPBP60,BPBP4,VBPP為等邊三角形，PP4,PPB60.AP2PP2AP2，「?APP90,「?APBPPBAPP15012.P為等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)， APB113,APC123,求證：以AP、BP、CP為邊可以構(gòu)成一個(gè)三角形，并確定所構(gòu)成的三角形的各內(nèi)角的度數(shù) .答案：見(jiàn)解析解析:常采用判定其中任意兩條線段之和大于第三條線段常采用判定其中任意兩條線段之和大于第三條線段要判斷AP、BP、CP三條線段可以構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊,的辦法，然而求所構(gòu)成的三角形各內(nèi)角的度數(shù)時(shí)又會(huì)束手無(wú)策.如果以C為中心，將APC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,點(diǎn)變到點(diǎn)變到B點(diǎn)，線段CA變到CB,此時(shí)，CPCP1,并且PCPPC"為等邊三角形，所以PPi這時(shí)， BPPi就是以BP、AP(易知BRP BRC CRP而B(niǎo)PC360o113o123o所以BPR BPCCPB因此PBP180o63o64oP點(diǎn)變到R點(diǎn),60°,BRCAPC123o.CP,CPPCPP600.BP1)、CP(PP1)為三邊構(gòu)成的三角形APC600123°60°63°124°124°60°64°53°13.如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA1,PD2,PC3.求APD的度數(shù).解析:ABMABM??四邊形ABCD為正方形，，ADDC.將PDA繞著D點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到MDC的位置（如圖），連接PM.則PDDM2,PDM90PDM是等腰直角三角形.PM2A,PMD45?PM28,MC2PA21,PC29PM2MC2PC2??PMC為直角三角形.PMC90,APDDMCPMDPMC135.13.如圖所示，P是等邊ABC中的一點(diǎn)，PA2,PB2J3,PC4,試求ABC的邊長(zhǎng).CB A答案:2.7解析:B CB CPlCB A由于有等邊三角形，故可考慮將 PBA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60,使PA、PB、PC出現(xiàn)在一個(gè)三角形中，從而構(gòu)造出一個(gè)直角三角形.解：將PBA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,則BA與BC重合，A點(diǎn)轉(zhuǎn)至C點(diǎn)，P點(diǎn)轉(zhuǎn)至Pi點(diǎn)，連接PPi,如圖所示，有PCPA2,RBPB2J3,PBPi60.故PBPi為等邊三角形，PRBP2J3,在PCPi中，PC24222(273)2RC2RP2,1一故PRC90,PC-PC,2從而有CPPi30,故BPCBPRPPC60 30 90.所以，在RtPBC中，BC2PB2PC242(273)228,BC2^/7.i4.如圖所示，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若PAa,PB2a,PC3a(a0).求：⑴ APB的度數(shù)；⑵正方形的邊長(zhǎng).B CB C答案：（1）135；⑵ab后下星解析:Q(1)將APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得到CQB.連接PQ,因?yàn)镻BQ90,PBQB2a,所以PQBQPB45,PQ272a.PQC中，PC3aCQa,PQ2缶，則PC2CQ2PQ2,所以PQC90,故APBCQB9045 135.(2)因APBBPQ13545 180,則a、P、Q三點(diǎn)共線,故AQ22aa(12,2)aQCa,在RtAQC中,根據(jù)勾股定理得ac、a2[（12.2）a]2所以ABACsin45￡ac5g.15.在ABC中，ABAC,P是ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，已知APCAPB,求證：PBPC.答案：見(jiàn)解析解析:因?yàn)锳BAC,所以可將ABP繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到ACD的位置,ADCAPB枝PPD、AD、CD,則APAD,PBDC,ADCAPB因?yàn)锳PCAPB因?yàn)锳PCAPB,所以APCADC由ADAP由ADAP,可得APD ADP,則DPCDCPC,即PBABC外的一點(diǎn)，PA3,ABC外的一點(diǎn)，PA3,PB4,PC5,求APB的度數(shù).16.如圖，P是等邊答案：30解析：ABAC,C解析：ABAC,C???將VAPC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60至VABM，使AC與AB重合,則AMAP3PAB60BMPC5,BAMPACPABBAC120.???PAMBAMPAB120 60 60,VAPM為等邊三角形，則PMAM3,APMPAM60,在VPMB中，:BM2PM2PB2,，VMPB為直角三角形，即 BPM90.BPABPMAPM90 60 30.17.如圖，正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P,PADPDA15,連ZPB、PC,請(qǐng)問(wèn)：PBC是等邊三角形嗎？為什么？答案：見(jiàn)解析解析:AC答案：見(jiàn)解析解析:AC將APD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得DPC,再作DPC關(guān)于DC的軸對(duì)稱(chēng)圖形DQC,得VAPDVCQDCPD.所以PDQD,QDCDCQPADPDA15,PDQ901515 60PDQ為等邊三角形，即 PQD60又.DQCAPD又.DQCAPD1801515 150,PQC36060150 150DQC.PADPDA15APPDPQC36060150 150DQC.PADPDA15APPD,則有DQQC.QDQD.PQPCQQCP15.PCD30PCBDCBPCD90 30 60PQPCQQCP15.PCD30PCBDCBPCD90 30 60.同理可得PBC60.PBCPBC為等邊三角形.18.VABC中，C90,四邊形CDEF是18.VABC中，C90,四邊形CDEF是VABC的內(nèi)接正方形，AE30cm,BE24cm,求S/adeSVBEF的值.解析:cC如圖，???四邊形EFCD是正方形，，EF將VBEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至VGED,使EF與ED重合.則有VBEFVGED.FED90,BEFAED90.BEFGED,GEDAED90故SVADESVBEF故SVADESVBEFSVADESVGED- 1- 1SV7AEG1GEEA5BEEA27.19.梯形19.梯形ABCD中，ADPBC,B90,AB1,AD3,BC5,DEDC且DEDC,求AE的長(zhǎng)和VADE面積.解析:F長(zhǎng)和VADE面積.解析:F??DEDC，，將VADE繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,至VFDC處，使DE與DC重合.則DCDE,DFAD3,AEFC,延長(zhǎng)FD交BC于點(diǎn)G,??旋轉(zhuǎn)角是90,???FDA90,??ADPBG,FGB90,.??四邊形ABGD是矩形，BGAD3,.BC5,?.GCBCBG532,DGAB1,在RtVFGC中，根據(jù)勾股定理有FG2GC2FC2,2 2 2即31 2FC,解得FC2、5SVADE SVFDC SVFGC SVDGC1FG2GC1-~-DGGC3.220.在梯形ABCD中，ADPBC90CD12,ABE45，若AE10,求CE的長(zhǎng)。DS答案：6或4解析:.ADPBC,D90,C90過(guò)點(diǎn)B作BMDA,交DA延長(zhǎng)線與點(diǎn)故四邊形DMBC是矩形,???BCDC12,矩形DMBC是正方形，則BMDCBC12,將VBCE繞B點(diǎn)順時(shí)針90,至VBMN處,則VBCEWBMN,MBNEBC,ABE45,EBCABM45MBNABM45ABE,.BEBN,VABE^VABN,?.ANAE10,設(shè)ECx,則MNx,AMANMN10x,DADMAM1210x2x,??DEDCEC12x,..在RtVADE中，x22 12x2102,解得x6或x4,即EC的長(zhǎng)為6或4.21.如圖，P等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且APC117,BPC130，求以AP、BP、CP為邊的三角形各內(nèi)角的度數(shù)。答案：見(jiàn)解析解析:答案：見(jiàn)解析解析:要判斷AP、BP、CP三條線段可以構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊，常采用判定其中任意兩條線段之和大于第三條線段的辦法，然而求所構(gòu)成的三角形各內(nèi)角的度數(shù)時(shí)又會(huì)束手無(wú)策.如果以的辦法，然而求所構(gòu)成的三角形各內(nèi)角的度數(shù)時(shí)又會(huì)束手無(wú)策.如果以C為中心，將APC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，則A點(diǎn)變到B點(diǎn)，線段CA變到CB,P點(diǎn)變到D點(diǎn)，此時(shí)，CPCD,并且PCD60,BDC APC117PCD為等邊三角形，所以PDCP,CPD CDP60.ABACAECF..ABACAECF.這時(shí)，BPD就是以BP、AP(這時(shí)，BPD就是以BP、AP(BD)、CP(PD)為三邊構(gòu)成的三角形.易知BDPBDCCDPAPC60 117 60 57而B(niǎo)PC360 117 130 113所以BPD所以BPDBPCCPD130 60 70因此PBD180 57 70 5322.如圖，因此PBD180 57 70 5322.如圖，ABC中，ABAC,BAC90,D是BC中點(diǎn)，EDFD,ED與AB交于E,FD與AC交于F.求證：BEAF,AECF答案：見(jiàn)解析答案：見(jiàn)解析解析：連ZAD.???ABAC