2020年北京中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件§75-幾何壓軸綜合題

1.(2019北京,27,7分)已知∠AOB=30°,H為射線OA上一定點(diǎn),OH=

+1,P為射線OB上一點(diǎn),M為線段OH上一動(dòng)點(diǎn),連接PM,滿足∠OMP為鈍角,以點(diǎn)P為中心,將線段PM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°,得到線段PN,連接ON.(1)依題意補(bǔ)全圖1;(2)求證:∠OMP=∠OPN;(3)點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)H的對(duì)稱點(diǎn)為Q,連接QP.寫出一個(gè)OP的值,使得對(duì)于任意的點(diǎn)M總有ON=QP,并證明.1.(2019北京,27,7分)已知∠AOB=30°,H為射1解析(1)補(bǔ)全圖形,如圖.(2)證明:∵∠MPN=150°,∴∠OPN=150°-∠OPM,∵∠AOB=30°,∴∠OMP=180°-(∠AOB+∠OPM)=150°-∠OPM.∴∠OMP=∠OPN.(3)OP的值為2.證明:任取滿足條件的點(diǎn)M,過點(diǎn)P作PS⊥OA于點(diǎn)S,在OA上取一點(diǎn)T,使得ST=SM,連接TP,如圖.∴PT=PM.∴∠PTM=∠PMT,PT=PN.∴∠PTQ=∠PMO.∴∠PTQ=∠NPO.解析(1)補(bǔ)全圖形,如圖.(3)OP的值為2.2∵點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)H的對(duì)稱點(diǎn)為Q,∴MH=HQ.當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)H的左側(cè)時(shí),QT=HQ+HT=HM+HT=2ST+HT+HT=2(ST+HT)=2HS.在Rt△OPS中,OS=OP·cos30°=

.∵OH=

+1,∴HS=OH-OS=

+1-

=1.∴QT=2.當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)H的右側(cè)或與點(diǎn)H重合時(shí),同理可求QT=2.∴QT=OP.∴△OPN≌△QTP.∴ON=QP.思路分析本題第(3)問需要關(guān)注線段OH對(duì)QP的影響,同時(shí)要構(gòu)造全等三角形來解決.∵點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)H的對(duì)稱點(diǎn)為Q,∴MH=HQ.思路分析本題第(32.(2016北京,28,7分)在等邊△ABC中.(1)如圖1,P,Q是BC邊上兩點(diǎn),AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度數(shù);(2)點(diǎn)P,Q是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合),點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè),且AP=AQ,點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為M,

連接AM,PM.①依題意將圖2補(bǔ)全;②小茹通過觀察、實(shí)驗(yàn),提出猜想:在點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)的過程中,始終有PA=PM.小茹把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交

流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法:想法1:要證PA=PM,只需證△APM是等邊三角形.想法2:在BA上取一點(diǎn)N,使得BN=BP,要證PA=PM,只需證△ANP≌△PCM.想法3:將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段BK,要證PA=PM,只需證PA=CK,PM=CK.……請(qǐng)你參考上面的想法,幫助小茹證明PA=PM.(一種方法即可)2.(2016北京,28,7分)在等邊△ABC中.4解析(1)∵△ABC為等邊三角形,∴∠B=60°.∴∠APC=∠BAP+∠B=80°.∵AP=AQ,∴∠AQB=∠APC=80°.(2)①補(bǔ)全的圖形如圖所示.②想法1:證明:過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H,如圖.由△ABC為等邊三角形,AP=AQ,可得∠PAB=∠QAC.∵點(diǎn)Q,M關(guān)于直線AC對(duì)稱,∴∠QAC=∠MAC,AQ=AM.∴∠PAB=∠MAC,AM=AP.∴∠PAM=∠BAC=60°.∴△APM為等邊三角形.∴PA=PM.想法2:解析(1)∵△ABC為等邊三角形,∴∠B=60°.由△AB5證明:在BA上取一點(diǎn)N,使BN=BP,連接PN,CM,如圖.由△ABC為等邊三角形,可得△BNP為等邊三角形.∴AN=PC,∠ANP=120°.由AP=AQ,可得∠APB=∠AQC.又∵∠B=∠ACB=60°,∴△ABP≌△ACQ.∴BP=CQ.∵點(diǎn)Q,M關(guān)于直線AC對(duì)稱,∴∠ACM=∠ACQ=60°,CM=CQ.∴NP=BP=CQ=CM.∵∠PCM=∠ACM+∠ACQ=120°,∴△ANP≌△PCM.∴PA=PM.想法3:證明:將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到BK,連接KP,CK,MC,如圖.∴△BPK為等邊三角形.證明:在BA上取一點(diǎn)N,使BN=BP,連接PN,CM,如圖.6∴KB=BP=PK,∠KPB=∠KBP=60°.∴∠KPC=120°.由△ABC為等邊三角形,可得△ABP≌△CBK.∴AP=CK.由AP=AQ,可得∠APB=∠AQC.∵AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°,∴△ABP≌△ACQ.∴BP=CQ.∵點(diǎn)Q,M關(guān)于直線AC對(duì)稱,∴∠BCM=2∠ACQ=120°,CQ=CM=PK.∴MC∥PK.∴四邊形PKCM為平行四邊形.∴CK=PM,∴PA=PM.思路分析(1)由等邊對(duì)等角知求∠AQB的度數(shù),即求∠APC的度數(shù),根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求∠APC的度數(shù).(2)①需要準(zhǔn)確畫出圖形;②三種想法都是正確的,借助等邊三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行證明.解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要熟練應(yīng)用相關(guān)幾何知識(shí),另外,要理解題目給出的三種想法,無論是平移、

旋轉(zhuǎn)還是軸對(duì)稱,都是全等變換,從三種全等變換的角度都可以解決.∴KB=BP=PK,∠KPB=∠KBP=60°.∴∠KPC=73.(2019北京西城一模,27)如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC.將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段

AD,E是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn),連接DE交AC于點(diǎn)F,連接BF.(1)求證:FB=FD;(2)點(diǎn)H在邊BC上,且BH=CE,連接AH交BF于點(diǎn)N.①判斷AH與BF的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;②連接CN.若AB=2,請(qǐng)直接寫出線段CN長(zhǎng)度的最小值.

3.(2019北京西城一模,27)如圖,在△ABC中,∠AB8解析(1)證明:∵∠ABC=90°,BA=BC,∴∠BAC=∠ACB=45°.∵AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AD,∴∠BAD=90°,AB=AD.∴∠DAF=∠BAD-∠BAC=45°.∴∠BAF=∠DAF.

(1分)∵AF=AF,∴△BAF≌△DAF.∴FB=FD.

(2分)(2)①AH與BF的位置關(guān)系:AH⊥BF.

(3分)證明:連接DC,如圖.∵∠ABC+∠BAD=180°,∴AD∥BC.∵AB=BC=AD,∴四邊形ABCD是菱形.∵∠ABC=90°,∴四邊形ABCD是正方形.∴AB=DC,∠ADC=∠DCB=90°.∴∠ABH=∠DCE.解析(1)證明:∵∠ABC=90°,BA=BC,∵∠ABC9∵BH=CE,∴△ABH≌△DCE.∴∠BAH=∠CDE.∵△BAF≌△DAF,∴∠ABF=∠ADF.∴∠BAH+∠ABF=∠CDE+∠ADF=∠ADC=90°.∴∠ANB=180°-(∠BAH+∠ABF)=90°.∴AH⊥BF.

(5分)②

-1.

(7分)(提示:如圖,在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中,∠ANB始終保持90°,所以點(diǎn)N始終在以AB中點(diǎn)為圓心O,AB為直徑的圓上,

最短距離為OC的長(zhǎng)減去☉O的半徑長(zhǎng),為

-1.)解題關(guān)鍵解決本題最后一問的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)AH⊥BF可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)N在以AB為直徑的圓上,那么CN長(zhǎng)度的最

小值就為線段OC的長(zhǎng)減去半徑的長(zhǎng).∵BH=CE,∴△ABH≌△DCE.∴∠BAH=∠CDE.解104.(2019北京西城二模,27)如圖,在正方形ABCD中,E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F在邊BC的延長(zhǎng)線上,且CF=AE,

連接DE,DF,EF.FH平分∠EFB交BD于點(diǎn)H.(1)求證:DE⊥DF;(2)求證:DH=DF;(3)過點(diǎn)H作HM⊥EF于點(diǎn)M,用等式表示線段AB,HM與EF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

4.(2019北京西城二模,27)如圖,在正方形ABCD中,11解析(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠EAD=∠BCD=∠ADC=90°,∴∠EAD=∠FCD=90°.∵CF=AE,∴△AED≌△CFD.

(1分)∴∠ADE=∠CDF.∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°,∴DE⊥DF.

(2分)(2)證明:∵△AED≌△CFD,∴DE=DF.∵∠EDF=90°,∴∠DEF=∠DFE=45°.∵∠ABC=90°,BD平分∠ABC,∴∠DBF=45°.∵FH平分∠EFB,∴∠EFH=∠BFH,∵∠DHF=∠DBF+∠BFH=45°+∠BFH,∠DFH=∠DFE+∠EFH=45°+∠EFH,∴∠DHF=∠DFH,∴DH=DF.

(4分)(3)EF=2AB-2HM.

(5分)證明:過點(diǎn)H作HN⊥BC于點(diǎn)N,如圖.解析(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴∠DBF=4512∵正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,∴BD=

=

AB.∵FH平分∠EFB,HM⊥EF,HN⊥BC,∴HM=HN.∵∠HBN=45°,∠HNB=90°,∴BH=

=

HN=

HM.∴DH=BD-BH=

AB-

HM.∵EF=

=

DF=

DH,∴EF=2AB-2HM.

(7分)∵正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,135.(2019北京石景山一模,27)如圖,在等邊△ABC中,D為邊AC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)(CD<AC),平移線段BC,使點(diǎn)C

移動(dòng)到點(diǎn)D,得到線段ED,M為ED的中點(diǎn),過點(diǎn)M作ED的垂線,交BC于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)G.(1)依題意補(bǔ)全圖形;(2)求證:AG=CD;(3)連接DF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)H,用等式表示線段AH與CG的數(shù)量關(guān)系,并證明.

5.(2019北京石景山一模,27)如圖,在等邊△ABC中,14解析(1)補(bǔ)全的圖形如圖所示.(1分)(2)證明:∵△ABC是等邊三角形,∴AB=BC=CA.∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°.由平移可知ED∥BC,ED=BC.

(2分)∴∠ADE=∠ACB=60°.∵∠GMD=90°,∴DG=2DM=DE.

(3分)∵DE=BC=AC,∴DG=AC.∴AG=CD.

(4分)(3)線段AH與CG的數(shù)量關(guān)系為AH=CG.

(5分)證明:如圖,連接BE,EF.∵ED=BC,ED∥BC,∴四邊形BEDC是平行四邊形.解析(1)補(bǔ)全的圖形如圖所示.∴DG=2DM=DE.?(315∴BE=CD,∠CBE=∠ADE=∠ABC.∵GM垂直平分ED,∴EF=DF.∴∠DEF=∠EDF.∵ED∥BC,∴∠BFE=∠DEF,∠BFH=∠EDF.∴∠BFE=∠BFH.∵BF=BF,∴△BEF≌△BHF.

(6分)∴BE=BH=CD=AG.∵AB=AC,∴AH=CG.

(7分)解題關(guān)鍵解決(3)的關(guān)鍵是通過連接BE借助平行四邊形的性質(zhì),同時(shí)由連接EF發(fā)現(xiàn)△BEF≌△BHF,進(jìn)而

尋找線段相等的關(guān)系.∴BE=CD,∠CBE=∠ADE=∠ABC.解題關(guān)鍵解決(166.(2019北京東城一模,27)如圖,在正方形ABCD中,E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),連接DE,點(diǎn)C關(guān)于直

線DE的對(duì)稱點(diǎn)為C',連接AC'并延長(zhǎng)交直線DE于點(diǎn)P,F是AC'中點(diǎn),連接DF.(1)求∠FDP的度數(shù);(2)連接BP,請(qǐng)用等式表示AP,BP,DP三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;(3)連接AC,若正方形的邊長(zhǎng)為

,請(qǐng)直接寫出△ACC'的面積最大值.

6.(2019北京東城一模,27)如圖,在正方形ABCD中,17解析(1)由對(duì)稱可知CD=C'D,∠CDE=∠C'DE.在正方形ABCD中,AD=CD,∠ADC=90°,∴AD=C'D.又∵F為AC'中點(diǎn),∴DF⊥AC',∠ADF=∠C'DF.

(1分)∴∠FDP=∠FDC'+∠EDC'=

∠ADC=45°.

(2分)(2)結(jié)論:BP+DP=

AP.

(3分)如圖,作AP'⊥AP交PD延長(zhǎng)線于點(diǎn)P',∴∠PAP'=90°.在正方形ABCD中,DA=BA,∠BAD=90°,∴∠DAP'=∠BAP.由(1)可知∠APD=45°,∴∠P'=45°.∴AP=AP'.

(4分)在△BAP和△DAP'中,

解析(1)由對(duì)稱可知CD=C'D,∠CDE=∠C'DE.在18∴△BAP≌△DAP'(SAS),

(5分)∴BP=DP'.∴DP+BP=PP'=

AP.(3)

-1.

(7分)

提示:當(dāng)C'在對(duì)角線BD上時(shí)△ACC'的面積最大,設(shè)對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,則此時(shí)面△ACC'的積為

·AC·C'O=

×2×(

-1)=

-1.

解題關(guān)鍵解決本題(2)的關(guān)鍵是借助全等變換——旋轉(zhuǎn),將條件集中;解決(3)的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)C'在DB上時(shí)與

AC的距離最大.∴△BAP≌△DAP'(SAS),?(5分)解題關(guān)鍵解決本197.(2019北京延慶一模,27)已知:四邊形ABCD中,∠ABC=120°,∠ADC=60°,AD=CD,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,

且BD平分∠ABC,過點(diǎn)A作AH⊥BD,垂足為H.(1)求證:∠ADB=∠ACB;(2)判斷線段BH,DH,BC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

7.(2019北京延慶一模,27)已知:四邊形ABCD中,∠20解析(1)證明:∵∠ADC=60°,DA=DC,∴△ADC是等邊三角形.

(1分)∴∠DAC=60°,AD=AC.∵∠ABC=120°,BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=60°.∴∠DAC=∠DBC=60°,∵∠AOD=∠BOC,∠ADB=180°-∠DAC-∠AOD,∠ACB=180°-∠DBC-∠BOC,∴∠ADB=∠ACB.

(3分)(2)結(jié)論:DH=BH+BC,

(4分)證明:在HD上截取HE=HB,

(5分)∵AH⊥BD,解析(1)證明:∵∠ADC=60°,DA=DC,21∴∠AHB=∠AHE=90°,∵AH=AH,∴△ABH≌△AEH,∴AB=AE,∠AEH=∠ABH=60°,

(6分)∴∠AED=180°-∠AEH=120°,∴∠ABC=∠AED=120°,∵AD=AC,∠ADB=∠ACB,∴△ABC≌△AED,∴DE=BC.

(7分)∵DH=HE+ED,∴DH=BH+BC.

(8分)∴∠AHB=∠AHE=90°,228.(2019北京豐臺(tái)一模,27)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接DE,過

點(diǎn)D作DF⊥DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證:BF=CE;(2)若CE=AC,用等式表示線段DF與AB的數(shù)量關(guān)系,并證明.8.(2019北京豐臺(tái)一模,27)在△ABC中,∠ACB=923解析(1)連接CD.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為AB中點(diǎn),∴CD⊥BD,CD=BD=DA.

(1分)∵DF⊥DE,∴∠BDF=∠CDE.易知∠F=∠DEA,∴△DBF≌△DCE.∴BF=CE.

(3分)(2)DF=

AB.

(4分)理由如下:由(1)知△DBF≌△DCE,∴DF=DE.

(5分)連接BE.∵CE=CA,∴BA=BE.∴∠A=∠BEA=45°.∴∠ABE=90°.設(shè)AD=BD=a,∴AB=BE=2a.∴DF=DE=

a.∴DF=

AB.

(7分)解析(1)連接CD.249.(2019北京通州一模,27)如圖,在等邊△ABC中,點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn).作射線AD,點(diǎn)B關(guān)于射線AD的對(duì)稱點(diǎn)

為E.連接CE并延長(zhǎng),交射線AD于點(diǎn)F.(1)設(shè)∠BAF=α,用α表示∠BCF的度數(shù);(2)用等式表示線段AF、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.9.(2019北京通州一模,27)如圖,在等邊△ABC中,點(diǎn)25解析(1)連接AE.∵點(diǎn)B關(guān)于射線AD的對(duì)稱點(diǎn)為E,∴AE=AB,∠BAF=∠EAF=α.∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°.∴∠EAC=60°-2α,AE=AC.

(1分)∴∠ACE=

[180°-(60°-2α)]=60°+α.∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=60°+α-60°=α.

(2分)(2)AF-EF=CF.證明:如圖,作∠FCG=60°交AD于點(diǎn)G,連接BF.

(3分)∵∠BAF=∠BCF=α,∠ADB=∠CDF,∴∠ABC=∠AFC=60°.∴△FCG是等邊三角形.∴GF=FC.

(4分)∵△ABC是等邊三角形,∴BC=AC,∠ACB=60°.∴∠ACG=∠BCF=α.在△ACG和△BCF中,

∴△ACG≌△BCF.∴AG=BF.

(5分)∵點(diǎn)B關(guān)于射線AD的對(duì)稱點(diǎn)為E,∴BF=EF.

(6分)∵AF-AG=GF.∴AF-EF=CF.

(7分)解析(1)連接AE.∵∠BAF=∠BCF=α,∠ADB=∠2610.(2019北京順義一模,27)已知:如圖,在△ABC中,AB>AC,∠B=45°,點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn),且AD=AC,過點(diǎn)C作

CF⊥AD于點(diǎn)E,與AB交于點(diǎn)F.(1)若∠CAD=α,求∠BCF的大小(用含α的式子表示);(2)求證:AC=FC;(3)用等式直接表示線段BF與DC的數(shù)量關(guān)系.10.(2019北京順義一模,27)已知:如圖,在△ABC中27解析(1)過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G,

(1分)∴∠2+∠4=90°,∵AD=AC,∴∠1=∠2=

∠CAD=

α,

(2分)∵CF⊥AD于點(diǎn)E,∴∠3+∠4=90°,∴∠3=∠2=

∠CAD=

α,即∠BCF=

α.

(3分)(2)證明:∵∠B=45°,∴∠BAG=45°,

(4分)∵∠BAC=45°+∠1,∠AFC=45°+∠3,∴∠BAC=∠AFC,∴AC=FC.

(5分)(3)DC=

BF.

(7分)(提示:過點(diǎn)F作FH⊥BC于H,證明△HFC≌△CGA,再根據(jù)BF=

FH即可得出線段BF與DC的數(shù)量關(guān)系.)解析(1)過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G,?(1分)(2)證明:2811.(2019北京房山一模,27)已知:Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.(1)如圖1,點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),連接AD,過點(diǎn)B作BE⊥AD,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接CE.若∠BAD=α,求∠DBE的大小(用含α的式子表示);(2)如圖2,點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),連接AD,過點(diǎn)B作BE⊥AD,垂足E在線段AD上,連接CE.①依題意補(bǔ)全圖2;②用等式表示線段EA,EB和EC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

11.(2019北京房山一模,27)已知:Rt△ABC中,∠29解析(1)依題意,∠CAB=45°,∵∠BAD=α,∴∠CAD=45°-α.∵∠ACB=90°,BE⊥AD,∠ADC=∠BDE,∴∠DBE=∠CAD=45°-α.

(2分)(2)①補(bǔ)全圖形如圖,

(4分)②當(dāng)D在BC邊的延長(zhǎng)線上時(shí),EB-EA=

EC.

(5分)證明:過點(diǎn)C作CF⊥CE,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.∵∠ACB=90°,∴∠ACF=∠BCE.∵CA=CB,∠CAF=∠CBE,∴△ACF≌△BCE.

(6分)∴AF=BE,CF=CE.∵∠ECF=90°,∴EF=

EC.即AF-EA=

EC.∴EB-EA=

EC.

(7分)解析(1)依題意,∠CAB=45°,∵∠ACB=90°,∴3012.(2019北京房山二模,27)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=4∠BAC.延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使CD=CB,連接AD,過

點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.(1)依題意補(bǔ)全圖形;(2)求證:∠B=2∠BAD;(3)用等式表示線段EA,EB和DB之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

12.(2019北京房山二模,27)如圖,在△ABC中,∠A31解析(1)補(bǔ)全圖形如圖.

(2分)(2)證明:∵∠ACB=90°,CD=CB,∴AD=AB.∴∠BAD=2∠BAC.∵∠B=4∠BAC,∴∠B=2∠BAD.

(4分)(3)EA=EB+DB.

(5分)證明:在EA上截取EG=EB,連接DG.∵DE⊥AB,∴DG=DB.∴∠DGB=∠B.∵∠B=2∠BAD,∴∠DGB=2∠BAD.∵∠DGB=∠BAD+∠ADG,∴∠BAD=∠ADG.∴GA=GD.∴GA=DB.∴EA=EG+AG=EB+DB.

(7分)解析(1)補(bǔ)全圖形如圖.?(2分)(3)EA=EB+DB.3213.(2019北京燕山一模,27)如圖,在△ABC中,AB=BC,∠B=90°,點(diǎn)D為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),連

接AD,將線段AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE,連接EC.(1)①依題意補(bǔ)全圖1;②求證:∠EDC=∠BAD;(2)①小方通過觀察、實(shí)驗(yàn),提出猜想:在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中,線段CE與BD的數(shù)量關(guān)系始終不變,用等式表示

為

;②小方把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法:想法1:過點(diǎn)E作EF⊥BC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,只需證△ADB≌△DEF.想法2:在線段AB上取一點(diǎn)F,使得BF=BD,連接DF,只需證△ADF≌△DEC.想法3:延長(zhǎng)AB到F,使得BF=BD,連接DF,CF,只需證四邊形DFCE為平行四邊形.請(qǐng)你參考上面的想法,幫助小方證明①中的猜想.(一種方法即可)13.(2019北京燕山一模,27)如圖,在△ABC中,AB33解析(1)①補(bǔ)全的圖形如圖所示.(1分)②證明:∵∠ADE=∠B=90°,∴∠EDC+∠ADB=∠BAD+∠ADB=90°,∴∠EDC=∠BAD.

(3分)(2)①CE=

BD.

(4分)②想法1:證明:如圖,過點(diǎn)E作EF⊥BC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,∴∠F=90°.在△ADB和△DEF中,∠B=∠F=90°,∠EDC=∠BAD,AD=DE,∴△ADB≌△DEF,∴AB=DF,BD=EF.∵AB=BC,∴DF=BC,即DC+CF=BD+DC,解析(1)①補(bǔ)全的圖形如圖所示.∴∠F=90°.34∴CF=BD=EF,∴△CEF是等腰直角三角形,∴CE=

CF=

BD.

(7分)想法2:證明:在線段AB上取一點(diǎn)F,使得BF=BD,連接DF,∵∠B=90°,AB=BC,∴DF=

BD,∵AB=BC,BF=BD,∴AB-BF=BC-BD,即AF=DC.在△ADF和△DEC中,AF=DC,∠FAD=∠CDE,AD=DE,∴△ADF≌△DEC,∴CE=DF=

BD.

(7分)想法3:證明:延長(zhǎng)AB到F,使得BF=BD,連接DF,CF,∴CF=BD=EF,∴AB-BF=BC-BD,即AF=DC.35∵∠ABD=90°,∴DF=

BD.在Rt△ABD和Rt△CBF中,∠ABD=∠CBF=90°,AB=BC,BD=BF,∴△ABD≌△CBF,∴AD=CF,∠BAD=∠BCF.∵AD=DE,∴DE=CF.∵∠EDC=∠BAD,∴∠EDC=∠BCF,∴DE∥CF,∴四邊形DFCE為平行四邊形,∴CE=DF=

BD.

(7分)∵∠ABD=90°,∴DF=?BD.3614.(2019北京大興一模,27)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB.點(diǎn)D為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B,C重

合),連接AD,點(diǎn)E在射線AB上,連接DE,使得DE=DA.作點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)F,連接BF,DF.(1)依題意補(bǔ)全圖形;(2)求證:∠CAD=∠BDF;(3)用等式表示線段AB,BD,BF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.14.(2019北京大興一模,27)在Rt△ABC中,∠AC37解析(1)補(bǔ)全的圖形如圖所示.(1分)(2)證明:∵∠ACB=90°,CA=CB,∴∠BAC=∠CBA=45°,∴∠CAD+∠DAB=45°,∵DA=DE,∴∠DAE=∠DEB.

(2分)∵∠DBA是△DBE的一個(gè)外角,∴∠EDB+∠DEB=∠DBA=45°,∴∠EDB=∠CAD,∵點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為F,∴∠EDB=∠FDB,∴∠CAD=∠BDF.

(3分)(3)線段AB,BD,BF之間的數(shù)量關(guān)系是AB-BF=

BD,

(4分)證明:過點(diǎn)D作AC的平行線交AB于點(diǎn)M,解析(1)補(bǔ)全的圖形如圖所示.∴∠CAD+∠DAB=45°38∴∠C=∠MDB=90°,∠CAB=∠DMB=45°,∴∠DMB=∠DBM,∴DM=DB,∴MB=

BD,∵點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為F,∴DE=DF,∵AD=DE,∴AD=DF,∵AC∥MD,∴∠CAD=∠ADM,∵∠CAD=∠FDB,∴∠ADM=∠FDB,∴△ADM≌△FDB.

(6分)∴AM=BF,∴AB-BF=AB-AM=MB,又∵M(jìn)B=

BD,∴AB-BF=

BD.

(7分)∴∠C=∠MDB=90°,∠CAB=∠DMB=45°,∵點(diǎn)E3915.(2019北京懷柔一模,27)如圖,等邊△ABC中,P是AB上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D,作PE⊥BC于點(diǎn)E,M是

AB的中點(diǎn),連接ME,MD.(1)依題意補(bǔ)全圖形;(2)用等式表示線段BE,AD與AB的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;(3)求證:MD=ME.

15.(2019北京懷柔一模,27)如圖,等邊△ABC中,P40解析(1)補(bǔ)全圖形如圖:(1分)(2)線段BE,AD與AB的數(shù)量關(guān)系是AD+BE=

AB.∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠B=60°.∵PD⊥AC,PE⊥BC,∴∠APD=∠BPE=30°,∴AD=

AP,BE=

BP.∴AD+BE=

(AP+BP)=

AB.

(3分)(3)取BC中點(diǎn)F,連接MF.∴MF=

AC,MF∥AC.∴∠MFB=∠ACB=60°,∴∠A=∠MFE=60°.∵AM=

AB,AB=AC,∴MF=MA.

(5分)∵EF+BE=

BC,∴AD+BE=

AB,∴EF=AD.∴△MAD≌△MFE(SAS),∴MD=ME.

(7分)解析(1)補(bǔ)全圖形如圖:(3)取BC中點(diǎn)F,連接MF.∴M4116.(2019北京朝陽(yáng)二模,27)已知∠MON=45°,點(diǎn)P在射線OM上,點(diǎn)A,B在射線ON上(點(diǎn)B與點(diǎn)O在點(diǎn)A的兩側(cè)),

且AB=1,以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心,將線段AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CD(點(diǎn)C與點(diǎn)A對(duì)應(yīng),點(diǎn)D與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)).(1)如圖,若OA=1,OP=

,依題意補(bǔ)全圖形;(2)若OP=

,當(dāng)線段AB在射線ON上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段CD與射線OM有公共點(diǎn),求OA的取值范圍;(3)一條線段上所有的點(diǎn)都在一個(gè)圓的圓內(nèi)或圓上,稱這個(gè)圓為這條線段的覆蓋圓.若OA=1,當(dāng)點(diǎn)P在射線

OM上運(yùn)動(dòng)時(shí),以射線OM上一點(diǎn)Q為圓心作線段CD的覆蓋圓,直接寫出當(dāng)線段CD的覆蓋圓的直徑取得最小

值時(shí)OP和OQ的長(zhǎng)度.

16.(2019北京朝陽(yáng)二模,27)已知∠MON=45°,點(diǎn)42解析(1)補(bǔ)全圖形,如圖1所示.

圖1(2分)(2)如圖2,作PE⊥OM交ON于點(diǎn)E,作EF⊥ON交OM于點(diǎn)F.由題意可知,當(dāng)線段AB在射線ON上從左向右平移時(shí),線段CD在射線EF上從下向上平移,且OA=EC.

(3分)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合時(shí),OA取得最小值,為1.

(4分)如圖3,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí),OA取得最大值,為2.解析(1)補(bǔ)全圖形,如圖1所示.如圖3,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)43圖2圖3綜上所述,OA的取值范圍是1≤OA≤2.

(5分)(3)OP=

,OQ=

.

(7分)

提示:當(dāng)CD中點(diǎn)與Q重合時(shí)CD的覆蓋圓的直徑取得最小值,此時(shí)Q到ON的距離為1.5,所以O(shè)Q=

,OP=

.

思路分析本題需要借助畫圖觀察發(fā)現(xiàn)CD移動(dòng)的規(guī)律.解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)圖形的旋轉(zhuǎn)使得線段CD平移運(yùn)動(dòng),其中(2)是上下平移運(yùn)動(dòng),(3)是水平平

移運(yùn)動(dòng).圖2圖3綜上所述,OA的取值范圍是1≤OA≤2.?(5分)思4417.(2019北京海淀二模,27)已知C為線段AB中點(diǎn),∠ACM=α.Q為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合),點(diǎn)P在射線

CM上,連接PA,PQ,記BQ=kCP.(1)若α=60°,k=1,①如圖1,當(dāng)Q為BC中點(diǎn)時(shí),求∠PAC的度數(shù);②直接寫出PA、PQ的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖2,當(dāng)α=45°時(shí).探究是否存在常數(shù)k,使得②中的結(jié)論仍成立?若存在,寫出k的值并證明;若不存在,請(qǐng)說

明理由.

圖1圖217.(2019北京海淀二模,27)已知C為線段AB中點(diǎn),∠45解析(1)①在CM上取點(diǎn)D,使得CD=CA,連接AD.∵∠ACM=60°,∴△ADC為等邊三角形.∴∠DAC=60°.∵C為AB的中點(diǎn),Q為BC的中點(diǎn),∴AC=BC=2BQ.∵BQ=CP,∴AC=BC=CD=2CP.∴AP平分∠DAC.∴∠PAC=∠PAD=30°.②PA=PQ.(2)存在k=

,使得②中的結(jié)論成立.證明:過點(diǎn)P作PC的垂線交AC于點(diǎn)D.∵∠ACM=45°,∴∠PDC=∠PCD=45°.∴PC=PD,∠PDA=∠PCQ=135°.∵CD=

PC,BQ=

PC,∴CD=BQ.∵AC=BC,∴AD=CQ.∴△PAD≌△PQC.∴PA=PQ.解析(1)①在CM上取點(diǎn)D,使得CD=CA,連接AD.∴A4618.(2018北京東城一模,27)已知在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,且AD=AB,過點(diǎn)C作AD的垂線,交AD的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)H.(1)如圖1,若∠BAC=60°,①直接寫出∠B和∠ACB的度數(shù);②若AB=2,求AC和AH的長(zhǎng);(2)如圖2,用等式表示線段AH與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

18.(2018北京東城一模,27)已知在△ABC中,AD是47解析(1)①∠B=75°,∠ACB=45°.②作DE⊥AC交AC于點(diǎn)E.Rt△ADE中,由∠DAC=30°,AD=AB=2可得DE=1,AE=

.Rt△CDE中,由∠ACD=45°,DE=1,可得EC=1.∴AC=

+1.Rt△ACH中,由∠DAC=30°,可得AH=

.(2)線段AH與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系為2AH=AB+AC.證明:延長(zhǎng)AB和CH,交于點(diǎn)F,取BF的中點(diǎn)G,連接GH.易證△ACH≌△AFH.∴AC=AF,HC=HF.∴GH∥BC.∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∴∠AGH=∠AHG,∴AG=AH.∴AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2(AB+BG)=2AG=2AH.解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要通過構(gòu)造三角形,借助中位線定理尋找邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系.解析(1)①∠B=75°,∠ACB=45°.證明:延長(zhǎng)A4819.(2018北京西城一模,27)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2.將射線AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α,所得射線與線段BD交于

點(diǎn)M,作CE⊥AM于點(diǎn)E,點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線CE對(duì)稱,連接CN.(1)如圖1,當(dāng)0°<α<45°時(shí),①依題意補(bǔ)全圖形;②用等式表示∠NCE與∠BAM之間的數(shù)量關(guān)系:

;(2)當(dāng)45°<α<90°時(shí),探究∠NCE與∠BAM之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;(3)當(dāng)0°<α<90°時(shí),若邊AD的中點(diǎn)為F,直接寫出線段EF的最大值.

19.(2018北京西城一模,27)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為249解析(1)①補(bǔ)全的圖形如圖1所示.

圖1②∠NCE=2∠BAM.(2)當(dāng)45°<α<90°時(shí),∠NCE=180°-2∠BAM.證明:如圖2,連接CM,設(shè)射線AM與CD的交點(diǎn)為H.解析(1)①補(bǔ)全的圖形如圖1所示.50

圖2∵四邊形ABCD為正方形,∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°,直線BD為正方形ABCD的對(duì)稱軸,且點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線BD對(duì)稱.∵射線AM與線段BD交于點(diǎn)M,∴∠BAM=∠BCM=α,∴∠1=∠2=90°-α.

51∵CE⊥AM,∴∠CEH=90°,∠3+∠5=90°.又∵∠1+∠4=90°,∠4=∠5,∴∠1=∠3,∴∠3=∠2=90°-α.∵點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線CE對(duì)稱,∴∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=180°-2∠BAM.(3)

+1.提示:∵∠CEA=90°,∴點(diǎn)E在以AC為直徑的圓上,∴線段EF的最大值為1+

.∵CE⊥AM,5220.(2018北京海淀一模,27)如圖,已知∠AOB=60°,點(diǎn)P為射線OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PE⊥OB,交OB于

點(diǎn)E,點(diǎn)D在∠AOB內(nèi),且滿足∠DPA=∠OPE,DP+PE=6.(1)當(dāng)DP=PE時(shí),求DE的長(zhǎng);(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)定點(diǎn)M,使得

的值不變,并證明你的判斷.

20.(2018北京海淀一模,27)如圖,已知∠AOB=6053解析(1)作PF⊥DE交DE于F.∵PE⊥BO,∠AOB=60°,∴∠OPE=30°,∴∠DPA=∠OPE=30°,∴∠EPD=120°.∵DP=PE,DP+PE=6,∴∠PDE=30°,DP=PE=3.∴DF=PD·cos30°=

,∴DE=2DF=3

.(2)存在.當(dāng)點(diǎn)M在射線OA上且滿足MO=2

時(shí),

的值不變,始終為1.理由如下:當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M不重合時(shí),延長(zhǎng)EP到K,使得PK=PD,連接MK.∵∠DPA=∠OPE,∠OPE=∠KPA,解析(1)作PF⊥DE交DE于F.∴DF=PD·cos354∴∠KPA=∠DPA.∴∠KPM=∠DPM.∵PK=PD,PM是公共邊,∴△KPM≌△DPM.∴MK=MD.作ML⊥OE于L,MN⊥EK于N.∵M(jìn)O=2

,∠MOL=60°,∴ML=MO·sin60°=3,∵PE⊥BO,ML⊥OE,MN⊥EK,∴四邊形MNEL為矩形,∴EN=ML=3.∵EK=PE+PK=PE+PD=6,∴EN=NK.∴∠KPA=∠DPA.55∵M(jìn)N⊥EK,∴MK=ME.∴ME=MK=MD,即

=1.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí),OP=OM=2

,易求得PD=PE=3,∴

=

=1.綜上,存在定點(diǎn)M,點(diǎn)M在射線OA上且滿足MO=2

時(shí),

的值不變,始終為1.解題關(guān)鍵解決本題第二問的關(guān)鍵是要能夠借助對(duì)稱性和解直角三角形的相關(guān)知識(shí)發(fā)現(xiàn)線段之間的數(shù)量

關(guān)系.∵M(jìn)N⊥EK,解題關(guān)鍵解決本題第二問的關(guān)鍵是要能夠借助對(duì)稱5621.(2018北京朝陽(yáng)一模,27)如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,點(diǎn)E為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A,B不重合),連接CE,

將∠ACE的兩邊所在射線CE,CA以點(diǎn)C為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,分別交射線AD于點(diǎn)F,G.(1)依題意補(bǔ)全圖形;(2)若∠ACE=α,求∠AFC的大小(用含α的式子表示);(3)用等式表示線段AE、AF與CG之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

21.(2018北京朝陽(yáng)一模,27)如圖,在菱形ABCD中,57解析(1)補(bǔ)全的圖形如圖所示.(2)由題意可知,∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四邊形ABCD是菱形,∠DAB=60°,∴∠DAC=∠BAC=30°.∴∠AGC=30°.解析(1)補(bǔ)全的圖形如圖所示.58∴∠AFC=α+30°.(3)線段AE、AF與CG之間的數(shù)量關(guān)系為AE+AF=

CG.證明:作CH⊥AG于點(diǎn)H.由(2)可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°,∴CA=CG.∴HG=

AG.∵∠ACE=∠GCF,∠CAE=∠CGF,∴△ACE≌△GCF,∴AE=FG.在Rt△HCG中,HG=CG·cos∠CGH=

CG,∴AG=

CG.即AF+AE=

CG.解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要根據(jù)120°角構(gòu)造含30°角的直角三角形,進(jìn)而通過全等三角形、解直角三

角形相關(guān)知識(shí)來解決.∴∠AFC=α+30°.解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要根據(jù)125922.(2018北京通州一模,27)如圖,直線l是線段MN的垂直平分線,交線段MN于點(diǎn)O,在MN下方的直線l上取一

點(diǎn)P,連接PN,以線段PN為邊,在PN的上方作正方形NPAB.射線MA交直線l于點(diǎn)C,連接BC.(1)設(shè)∠ONP=α,求∠AMN的度數(shù);(2)寫出線段AM與BC之間的等量關(guān)系,并證明.

22.(2018北京通州一模,27)如圖,直線l是線段MN的60解析(1)連接PM,如圖1所示.∵l是線段MN的垂直平分線,∴PM=PN,∴∠ONP=∠OMP=α.∵四邊形APNB是正方形,圖1∴PA=PN,∠APN=90°.∴PM=PA,∴∠AMP=∠MAP.∵∠APC+∠CPN=90°,∠CPN+∠ONP=90°,∴∠APC=∠ONP=α.∴∠MPA=90°-α-α=90°-2α.∴∠AMP=∠PAM=

(180°-∠MPA)=45°+α.∴∠AMN=∠AMP-∠PMN=45°.(2)AM=

BC.證明如下:作AE⊥MN,交直線MN于點(diǎn)E,作AG⊥l,交直線l于點(diǎn)G,連接EP,如圖2所示.圖2解析(1)連接PM,如圖1所示.圖1∴PA=PN,∠APN61在△AGP與△PON中,

∴△AGP≌△PON(AAS),∴PO=AG.又易知AG=EO,∴EP=

OE=

AG=AC.又∵∠APG=∠BAG,∴45°-∠APG=45°-∠BAG,即∠EPA=∠CAB.在△ACB與△EPA中,∴△ACB≌△PEA(AAS),∴BC=AE.又AM=

AE,∴AM=

BC.在△AGP與△PON中,?∴EP=?OE=?AG=AC.6223.(2018北京東城二模,27)如圖所示,點(diǎn)P位于等邊△ABC的內(nèi)部,且∠ACP=∠CBP.(1)∠BPC的度數(shù)為

°;(2)延長(zhǎng)BP至點(diǎn)D,使得PD=PC,連接AD,CD,①依題意補(bǔ)全圖形;②證明:AD+CD=BD;(3)在(2)的條件下,若BD的長(zhǎng)為2,求四邊形ABCD的面積.

23.(2018北京東城二模,27)如圖所示,點(diǎn)P位于等邊△63解析(1)120.(2)①如圖1所示.②在等邊△ABC中,∠ACB=60°,∴∠ACP+∠BCP=60°.∵∠ACP=∠CBP,∴∠CBP+∠BCP=60°,∴∠BPC=180°-(∠CBP+∠BCP)=120°,圖1解析(1)120.圖164∴∠CPD=180°-∠BPC=60°,∵PD=PC,∴△CPD為等邊三角形.∵∠ACD+∠ACP=∠ACP+∠BCP=60°,∴∠ACD=∠BCP.在△ACD和△BCP中,

∴△ACD≌△BCP(SAS).∴AD=BP,∴AD+CD=BP+PD=BD.(3)如圖2,作BM⊥AD于點(diǎn)M,BN⊥DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.∴∠CPD=180°-∠BPC=60°,65

圖2∵∠ADB=∠ADC-∠PDC=60°,∴∠ADB=∠CDB=60°,∴BM=BN=

BD=

.又由(2)得,AD+CD=BD=2,∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD=

AD·BM+

CD·BN=

(AD+CD)=

×2=

.

6624.(2018北京海淀二模,27)如圖,在等邊△ABC中,D,E分別是邊AC,BC上的點(diǎn),且CD=CE,∠DBC<30°,點(diǎn)C與

點(diǎn)F關(guān)于直線BD對(duì)稱,連接DE,DF,AF,FE,FE交BD于G.(1)DE,DF之間的數(shù)量關(guān)系是

;(2)若∠DBC=α,求∠FEC的大小;(用含α的式子表示)(3)用等式表示線段BG,GF和FA之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

24.(2018北京海淀二模,27)如圖,在等邊△ABC中,67解析(1)DE=DF.(2)∵△ABC是等邊三角形,∴∠C=60°.∵∠DBC=α,∴∠BDC=120°-α.∵點(diǎn)C與點(diǎn)F關(guān)于直線BD對(duì)稱,∴∠BDF=∠BDC=120°-α,DF=DC.∴∠FDC=120°+2α.由(1)知DE=DF,∴F,E,C在以D為圓心,DC為半徑的圓上.∴∠FEC=

∠FDC=60°+α.(3)BG=GF+FA.解析(1)DE=DF.68證明:連接BF,延長(zhǎng)AF,BD,交于點(diǎn)H,∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠BAC=60°,AB=BC=CA.∵點(diǎn)C與點(diǎn)F關(guān)于直線BD對(duì)稱,∴BF=BC,∠FBD=∠CBD.∴BF=BA,∴∠BAF=∠BFA.

證明:連接BF,延長(zhǎng)AF,BD,交于點(diǎn)H,69設(shè)∠CBD=α,則∠ABF=60°-2α,∴∠BAF=60°+α,∴∠FAD=α,∴∠FAD=∠DBC.由(2)知∠FEC=60°+α.∴∠BGE=∠FEC-∠DBC=60°.∴∠FGB=120°,∠FGD=60°.四邊形AFGB中,∠AFE=360°-∠FAB-∠ABG-∠FGB=120°,∴∠HFG=60°,∴△FGH是等邊三角形,∴FH=FG,∠H=60°.∵CD=CE,設(shè)∠CBD=α,70∴DA=EB.在△AHD與△BGE中,

∴△AHD≌△BGE.∴BG=AH.∵AH=HF+FA=GF+FA,∴BG=GF+FA.∴DA=EB.7125.(2018北京西城二模,27)如圖,在等邊三角形ABC中,CD為中線,點(diǎn)Q在線段CD上運(yùn)動(dòng),將線段QA繞點(diǎn)Q順

時(shí)針旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E落在射線BC上,連接BQ,設(shè)∠DAQ=α(0°<α<60°且α≠30°).(1)當(dāng)0°<α<30°時(shí),①在圖中依題意畫出圖形,并求∠BQE(用含α的式子表示);②探究線段CE,AC,CQ之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;(2)當(dāng)30°<α<60°時(shí),直接寫出線段CE,AC,CQ之間的數(shù)量關(guān)系.

25.(2018北京西城二模,27)如圖,在等邊三角形ABC72解析(1)①畫出的圖形如圖1所示.

圖1∵△ABC為等邊三角形,∴∠ABC=60°.∵CD為等邊三角形的中線,Q為線段CD上的點(diǎn),∴由等邊三角形的對(duì)稱性得QA=QB.∵∠DAQ=α,解析(1)①畫出的圖形如圖1所示.73∴∠ABQ=∠DAQ=α,∠QBE=60°-α.∵線段QE為線段QA繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得,∴QE=QA,∴QB=QE,可得∠BQE=∠180°-2∠QBE=180°-2(60°-α)=60°+2α.②CE+AC=

CQ.證明:如圖2,延長(zhǎng)CA到點(diǎn)F,使得AF=CE,連接QF,作QH⊥AC于點(diǎn)H.

圖2∴∠ABQ=∠DAQ=α,∠QBE=60°-α.74∵∠BQE=60°+2α,點(diǎn)E在BC上,∴∠QEC=∠BQE+∠QBE=(60°+2α)+(60°-α)=120°+α.∵點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上,∠DAQ=α,∴∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α.∴∠QAF=∠QEC.又∵AF=EC,QA=QE,∴△QAF≌△QEC,∴QF=QC.∵QH⊥AC于點(diǎn)H,∴FH=CH,CF=2CH.∵在等邊三角形ABC中,CD為中線,點(diǎn)Q在CD上,∴∠ACQ=

∠ACB=30°,即△QCF為底角為30°的等腰三角形.∴CH=CQ·cos∠HCQ=CQ·cos30°=

CQ.∴CE+AC=AF+AC=CF=2CH=

CQ,即CE+AC=

CQ.(2)當(dāng)30°<α<60°時(shí),AC-CE=

CQ.∵∠BQE=60°+2α,點(diǎn)E在BC上,即△QCF為底角為37526.(2017北京東城二模,28)取一張正方形的紙片進(jìn)行折疊,具體操作過程如下:第一步:如圖1,先把正方形ABCD對(duì)折,折痕為MN;第二步:點(diǎn)G在線段MD上,將△GCD沿GC翻折,點(diǎn)D恰好落在MN上,記為點(diǎn)P,連接BP.

圖1(1)判斷△PBC的形狀,并說明理由;(2)作點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)C',連接PC',DC'.①在圖2中補(bǔ)全圖形,并求出∠APC'的度數(shù);②猜想∠PC'D的度數(shù),并加以證明.圖2(溫馨提示:當(dāng)你遇到困難時(shí),不妨連接AC',CC',研究圖形中特殊的三角形)26.(2017北京東城二模,28)取一張正方形的紙片進(jìn)行折76解析(1)△PBC是等邊三角形.理由如下:在正方形ABCD中,BC=CD,又CD=CP,∴BC=CP,∵P在MN上,∴PB=PC.∴PB=BC=PC.∴△PBC是等邊三角形.(2)①補(bǔ)全圖形,如圖所示.由BA=BP,∠CBP=60°,可求得∠APB=75°,由∠BPC=60°,可得∠APC=135°.根據(jù)對(duì)稱性,得∠APC=∠APC'=135°.②∠PC'D=15°.證法一:連接AC',CC'.由①可得∠CPC'=90°.解析(1)△PBC是等邊三角形.由BA=BP,∠CBP=677由對(duì)稱性可知PC=PC',從而可求得AC=AC'=CC'=

AB.從而△ACC'為等邊三角形.由AC'=CC',DA=DC,C'D=C'D,可證△AC'D≌△CC'D,可得∠AC'D=∠CC'D=30°.根據(jù)對(duì)稱性得∠AC'C=∠ACC',∠PC'C=∠PCC',所以∠AC'P=∠ACP,由△ABC為等腰直角三角形,可得∠ACB=45°,由△PBC為等邊三角形,可得∠BCP=60°,從而∠ACP=∠AC'P=15°.所以∠PC'D=∠AC'D-∠AC'P=15°.證法二:連接AC',CC'.由BA=BP,∠CBP=60°,可求得∠BAP=∠APB=75°,又∠BAC=45°,∴∠CAP=30°.根據(jù)對(duì)稱性,得∠CAP=∠C'AP=30°,從而∠CAC'=60°.由對(duì)稱性可知AC=AC',從而△ACC'為等邊三角形.以下同證法一.由對(duì)稱性可知PC=PC',從而可求得AC=AC'=CC'=?7827.(2017北京西城一模,28)在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于點(diǎn)D.(1)如圖1,當(dāng)∠ABC=90°時(shí),若CE平分∠ACB,交AB于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,①求證:△BEF是等腰三角形;②求證:BD=

(BC+BF);(2)點(diǎn)E在AB邊上,連接CE.若BD=

(BC+BF),在圖2中補(bǔ)全圖形,判斷∠ACE與∠ABC之間的數(shù)量關(guān)系,寫出你的結(jié)論,并寫出求解∠ACE與∠ABC關(guān)系的思路.

圖1圖227.(2017北京西城一模,28)在△ABC中,AB=BC79解析在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于點(diǎn)D.∴∠ABD=∠CBD,AD=CD.(1)①證明:∵∠ABC=90°,∴∠ACB=45°.∵CE平分∠ACB,∴∠ECB=∠ACE=22.5°.∴∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°.∴BE=BF.∴△BEF是等腰三角形.②證明:延長(zhǎng)AB至M,使得BM=AB,連接CM.∴BD∥CM,BD=

CM,∴∠BCM=∠DBC=∠ABD=∠BMC=45°,∠BFE=∠MCE.∴BC=BM.由①可得,∠BEF=∠BFE,BE=BF.∴∠BFE=∠MCE=∠BEF.解析在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于點(diǎn)D.∴BD∥C80∴EM=MC,∴BD=

EM=

(BC+BF).(2)∠ACE=

∠ABC.a.與(1)②同理可證BD∥PC,BD=

PC,BP=BC;b.由BD=

(BC+BF)可知△PEC和△BEF分別是等腰三角形;c.由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°,∠FCD+∠DFC=90°,可知∠ACE=

∠ABC.解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是借助輔助線(建議使用“延長(zhǎng)”)構(gòu)造等腰三角形,尋找邊角關(guān)系.∴EM=MC,∴BD=?EM=?(BC+BF).解題關(guān)鍵解8128.(2017北京東城一模,28)在等腰△ABC中.(1)如圖1,若△ABC為等邊三角形,D為線段BC中點(diǎn),線段AD關(guān)于直線AB的對(duì)稱線段為線段AE,連接DE,則∠BDE的度數(shù)為

;(2)若△ABC為等邊三角形,點(diǎn)D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合),連接AD并將線段AD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE,連接BE.①根據(jù)題意在圖2中補(bǔ)全圖形;②小玉通過觀察、驗(yàn)證,提出猜測(cè):在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中,恒有CD=BE.經(jīng)過與同學(xué)們的充分討論,形成了幾種

證明的思路:思路1:要證明CD=BE,只需要連接AE,并證明△ADC≌△AEB;思路2:要證明CD=BE,只需要過點(diǎn)D作DF∥AB,交AC于F,證明△ADF≌△DEB;思路3:要證明CD=BE,只需要延長(zhǎng)CB至點(diǎn)G,使得BG=CD,證明△ADC≌△DEG.……請(qǐng)參考以上思路,幫助小玉證明CD=BE.(只需要用一種方法證明即可)28.(2017北京東城一模,28)在等腰△ABC中.82(3)小玉的發(fā)現(xiàn)啟發(fā)了小明:如圖3,若AB=AC=kBC,AD=kDE,且∠ADE=∠C,此時(shí)小明發(fā)現(xiàn)BE,BD,AC三者之

間滿足一定的數(shù)量關(guān)系,這個(gè)數(shù)量關(guān)系是

.(直接給出結(jié)論無需證明)

(3)小玉的發(fā)現(xiàn)啟發(fā)了小明:如圖3,若AB=AC=kBC,A83解析(1)30°.(2)①補(bǔ)全圖形如圖所示.②思路1:如圖,連接AE.∵AD=DE,∠ADE=60°,∴△ADE為等邊三角形,∴AE=AD.又∵△ABC為等邊三角形,∴∠EAD=∠BAC=60°,AB=AC.∵∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD,∴∠EAB=∠DAC.∴△EAB≌△DAC.∴CD=BE.思路2:過點(diǎn)D作DF∥AB,交AC于F.解析(1)30°.∴△ADE為等邊三角形,84∵△ABC為等邊三角形,∴∠BAC=∠C=60°,∵DF∥AB,∴∠DFC=60°.∴