計(jì)算方法-第2章-1、插值法(拉格朗日插值)課件

計(jì)算方法第二章插值法1/3/20231第二章插值法2.1引言2.2拉格朗日插值2.3均差與牛頓插值公式2.4埃爾米特插值2.5分段低次插值1/3/20232本章要點(diǎn)用簡(jiǎn)單的函數(shù)(如多項(xiàng)式函數(shù))作為一個(gè)復(fù)雜函數(shù)的近似,最簡(jiǎn)單實(shí)用的方法就是插值.本章主要介紹有關(guān)插值法的一些基本概念，及多項(xiàng)式插值的基礎(chǔ)理論和幾個(gè)常用的插值方法：拉格朗日插值、分段線性插值、牛頓插值、埃爾米特插值。1/3/20233這就是插值問題，上式為插值條件其插值函數(shù)的圖象如下圖1/3/202351/3/20236二、插值法的類型且滿足其中為實(shí)數(shù)，就稱P(x)為插值多項(xiàng)式，相應(yīng)的插值法稱為多項(xiàng)式插值；若P(x)為分段的多項(xiàng)式，就稱為分段插值；若P(x)為三角多項(xiàng)式，就稱為三角插值。本章只討論多項(xiàng)式插值與分段插值1/3/202372.2拉格朗日插值此插值問題可表述為如下：?jiǎn)栴}求作次數(shù)多項(xiàng)式，使?jié)M足條件這就是所謂的拉格朗日（Lagrange）插值。1/3/20238從幾何圖形上看，表示過兩點(diǎn)的直線，因此也可表示為如下對(duì)稱形式：其中，顯然，二、線性插值—對(duì)稱式1/3/202310線性插值的局限性1/3/2023121/3/202314(x0–x1)(x0–x2)(x–x1)(x–x2)f(x0)+(x1–x0)(x1–x2)(x–x0)(x–x2)f(x1)+(x2–x0)(x2–x1)(x–x0)(x–x1)f(x2)L2(115)=x0=100,x1=121,x2=144f(x0)=10,f(x1)=11,f(x2)=12(100–121)(100–144)(115–121)(115–144)*10+(121–100)(121–144)(115–100)(115–144)*11+(144–100)(144–121)(115–100)(115–121)*12=10.7228拋物插值舉例例2：L2(x)=和用線性插值相比，有效數(shù)字增加一位1/3/202315為了構(gòu)造，我們先定義n次插值基函數(shù)。2.2.2拉格朗日n次插值多項(xiàng)式定義：若n次多項(xiàng)式在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上滿足條件1/3/202316n+1次多項(xiàng)式對(duì)n=1及n=2時(shí)的情況前面已經(jīng)討論，用類似的推導(dǎo)方法，可得到n次插值基函數(shù)為：1/3/202317且從而1/3/202318例3：求過點(diǎn)(2，0)(4，3)(6，5)(8，4)(10，1)的拉格朗日插值多項(xiàng)式。1/3/2023201/3/2023211/3/202323拉格朗日插值多項(xiàng)式的缺點(diǎn)：（1）插值基函數(shù)計(jì)算復(fù)雜（2）高次插值的精度不一定高1/3/2023241/3/202326令設(shè)其中證明：假設(shè)在區(qū)間[a,b]上f(x)的插值多項(xiàng)式為1/3/202327若引入輔助函數(shù)1/3/202328所以因此1/3/202330則注意（1）余項(xiàng)表達(dá)式只有在f(x)的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能應(yīng)用。（2）在內(nèi)的具體位置通常不可能給出，所以，設(shè)1/3/202331例1:解:1/3/2023321/3/202333例2.并作圖比較.解:1/3/202334不同次數(shù)的拉格朗日插值多項(xiàng)式的比較圖Runge現(xiàn)象1/3/202335結(jié)果表明,并不是插值多項(xiàng)式的次