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文檔簡介

三、數量乘法一、加法二、乘法四、轉置§4.2矩陣的運算1．定義設則矩陣稱為矩陣A與B的和，記作．即一、加法說明例如只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.(1)交換律(2)結合律(3)

(4)

定義2．性質3．減法4．性質設則矩陣其中

稱為與的積，記為．

1．定義二、乘法①乘積

有意義要求

A的列數＝

的行數.②乘積

中第行第列的元素由的第行乘的第列相應元素相加得到．注意如不存在.例1

線性方程組令則（1）可看成矩陣方程例2設例3故解例4．而無意義．例5．例6．注意③未必．若，稱A與B可交換．①一般地，即且時，有可能．②未必有或．2．矩陣乘法的運算規(guī)律(5)

(結合律)（分配律)證：1）設令其中

的第

i行第

l

列元素為

的第

i行第

l

列元素為

結合律得證.設為

級方陣．定義稱為的次冪.3．矩陣的方冪定義個(3)一般地,性質解:例．設求由此歸納出用數學歸納法證明之.當時，顯然成立.假設時成立，則時，故對于任意都有稱為矩陣

A與數

k的數量乘積．記作：三、數量乘法1．定義設則矩陣即2．性質注:矩陣的加法與數量乘法合起來,統稱為矩陣的

線性運算.(6)若

A為

n

級方陣，(數量矩陣與任意矩陣可交換)設的轉置矩陣是指矩陣記作或．

四、轉置1．定義2．性質(5)若為方陣，則（3）證：設中

的元素為

從而中的元素為

中的元素為

又的第

i行元素為的第

j列元素為例9已知解法1解法2設

n

級方陣(1)若滿足即3．對稱矩陣反對稱矩陣定義則稱

A為對稱矩陣；(2)若滿足即則稱

A為反對稱矩陣.性質(2)對稱，對稱

；

反對稱，反對稱．(1)

對稱對稱

;反對稱反對稱．(3)奇數級反對稱矩陣的行列式等于零．為奇數時，

i)對稱，積對稱嗎?

想一想ii)反對稱，積反對稱嗎?

皆為

n

級對稱矩陣，證明：例10

已知對稱證：若AB對稱，則有反過來，若AB=BA，則有所以AB對稱.例12

設E為

n

單位

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